Luận văn Dao động của dầm fgm có lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ chịu tải trọng di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- BÙI VĂN TUYỂN DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ LỖ RỖNG VI MÔ TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số : 9520101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà nội – 2018 Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Trần Thanh Hải Phản biện 1: GS.TS. Hoàng Xuân Lượng Phản biện 2: PGS.TS. Trần Minh Tú Phản biện 3: PGS.TS. Phan Bùi Khôi Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ ..’, ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam 1 MỞ ĐẦU 1. Tính thời sự của đề tài luận án Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô (porosities) sinh ra trong quá trình chế tạo FGM tới các đặc trưng dao động của dầm FGM được một số tác giả nghiên cứu trong thời gian gần đây [16, 17, 18, 19]. Do dầm FGM thường được sử dụng trong môi trường có nhiệt độ cao, nghiên cứu về ảnh hưởng của nhiệt độ tới dao động tự do cũng được một số tác giả nghiên cứu [20, 21]. Với bài toán dao động cưỡng bức của dầm FGM chỉu tải trọng di động, theo hiểu biết của tác giả, mới chỉ có nghiên cứu Wang và Wu [22], trong đáp ứng động lực học của dầm dầm FGM nằm trong môi trường nhiệt độ tăng đều, chịu tải trọng di động điều hòa được tính toán bằng phương pháp Lagrange. Cần nhấn mạnh rằng, trong [22] các tác giả chỉ xét dầm FGM hoàn hảo (không có lỗ rỗng vi mô), có cơ tính biến đổi dọc và trường nhiệt độ được giả định tăng đều. Về mặt toán học, trường nhiệt độ tăng đều là trường hợp riêng của trường nhiệt độ phi tuyến và khá đơn giản về mặt tính toán. Nghiên cứu dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô, chịu tải trọng di động trong môi trường nhiệt độ cao, vì thế có tính khoa học và có tính thực tế cao. 2. Mục tiêu của luận án Luận án nhằm phát triển mô hình phần tử hữu hạn dùng trong nghiên cứu dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ chịu tác dụng của tải trọng di động. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu dầm FGM hai pha là gốm và kim loại với cơ tính biến đổi theo chiều cao dầm. Tải trọng tác động lên dầm là các lực tập trung hoặc lực điều hòa di động trên dầm với vận tốc không thay đổi. 4. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn, trong đó phương pháp giải tích dùng để xây dựng các phương trình vi phân chuyển động của dầm, phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để giải phương trình chuyển động và tính toán các đặc trưng động lực học của dầm. 2 5. Cấu trúc của luận án Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, phần kết luận và danh mục các công trình của tác giả liên quan tới nội dung luận án. Các các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối luận án. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN 1.1. Dầm FGM FGM có thể xem như là vật liệu composite mới, được tạo từ hai hay một vài vật liệu thành phần với tỷ lệ thể tích thay đổi liên tục theo một hoặc vài hướng không gian. So với vật liệu composite truyền thống, FGM có nhiều ưu điểm như độ bền phá hủy cao hơn, hệ số cường độ tập trung ứng suất giảm, cải thiện được sự phân bố của ứng suất dư, không làm mất tính liên tục của ứng suất, vì thế tránh được các vấn đề liên quan tới hiện tượng tách lớp thường gặp trong các vật liệu composite truyền thống. Với các ưu điểm nêu trên, FGM có tiềm năng ứng dụng trong các ngành công nghệ cao như công nghệ hàng không, vũ trụ, lĩnh vực quân sự, công nghệ hạt nhân, công nghệ năng lượng và cơ khí chính xác [24]. Dầm FGM, đối tượng quan tâm nghiên cứu trong Luận án này, thường được tạo từ hai pha vật liệu thành phần là pha gốm và pha kim loại. Tỷ lệ thể tích của các pha thành phần thay đổi theo hàm số mũ của một tọa độ không gian, chẳng hạn theo chiều cao của dầm theo quy luật [3] , 1 2 , 2 1 2 n c c m h zzV V V h h         (1.1) trong đó Vc, Vm tương ứng là tỉ lệ thể tích của pha gốm và pha kim loại, z là tọa độ theo chiều cao dầm, chỉ số mũ n là tham số vật liệu xác định tỷ lệ và sự phân bố thể tích của vật liệu thành phần. Ngoài quy luật (1.1), một số tác giả cũng nghiên cứu dầm có cơ tính biến đổi theo trục dầm và dầm có cơ tính biến đổi theo cả hai phương. 1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới 1.2.1. Ứng xử cơ học của dầm FGM Phương pháp giải tích truyền thống, đặc biệt phương pháp Galerkin, được một số tác giả sử dụng trong nghiên cứu ứng xử cơ học của dầm FGM [35-41]. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 3 cũng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu dầm FGM. Một số phần tử hữu hạn đã được đề nghị để phân tích dầm FGM trong thời gian gần đây [59-64], trong đó phải kể tới các công trình của Alshorbagy và cộng sự [25] Mohanty và đồng nghiệp [66, 67], Gan và Nguyễn Đình Kiên [70, 71, 72]. Eltaher và cộng sự [73, 74] xét tới vị trí thực của trục trung hòa trong xây dựng công thức phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động tự do của dầm có kích thước macro/nano làm từ vật liệu FGM. Jin and Wang [76] sử dụng phương pháp phần tử cầu phương để xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM. Frikha và cùng đồng nghiệp [77] phát triển phần tử dầm hỗn hợp dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao dùng trong phân tích uốn. 1.2.2. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô Sự xuất hiện của lỗ rỗng vi mô làm giảm độ cứng của vật liệu, dẫn tới khả năng chịu tải thấp hơn của các phần tử kết cấu FGM. Wattanasakulpong và Ungbhakorn [18], Wattanasakulpong và Chaikittiratana [19] đề nghị mô hình đơn giản, trong đó thể tích của lỗ rỗng vi mô được chia đều cho cả pha gốm và pha kim loại để nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng tới dao động tự do của dầm FGM. Mô hình lỗ rỗng nói trên cũng được Ebrahimi và Zia [79] sử dụng trong phân tích dao động tự do phi tuyến của dầm Timoshenko làm từ FGM. Chen và cộng sự [16] đưa ra khái niệm hệ số lỗ rỗng (porosity coefficient) trong nghiên cứu ứng xử uốn và mất ổn định của dầm FGM. Mô hình trong [16] được các tác giả mở rộng cho bài toán dao động phi tuyến của dầm sandwich với lõi là FGM có lỗ rỗng vi mô [80], dao động tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko làm từ FGM [81]. Shafiei và Kazemi [82] mở rộng mô hình lỗ rỗng trong [18, 19] sang trường hợp lỗ rỗng phân bố không đều trong mặt phẳng thiết diện ngang để nghiên cứu bài toán mất ổn định của dầm nano/micro làm từ FGM. Mô hình lỗ rỗng phân bố không đều cũng được sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm 2D- FGM [83]. 1.2.3. Dầm FGM trong môi trường nhiệt độ Chakraborty và cộng sự [84] xây dựng phần tử dầm Timoshenko để nghiên cứu truyền sóng trong dầm sandwich có lõi FGM với sự tăng đều của nhiệt độ môi trường. Bhangale và Ganesan [85] dùng FEM để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới tới tần số dao động 4 riêng và hệ số hao tán của dầm sandwich FGM có lõi là vật liệu đàn nhớt. Ching và Yen [86] đư ra lời giải số cho bài toán biến dạng cơ- nhiệt của dầm FGM. Phương pháp cầu phương vi phân (DQM) được Xiang và Yang [87] sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm Timoshenko dự ứng lực do nhiệt độ, làm từ vật liệu FGM phân lớp có độ dày thay đổi. Pradhan và Murmu [88] nghiên cứu dao động tự do của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi. DQM được Malekzadeh [89], Malekzadeh và cộng sự [90] sử dụng trong nghiên cứu dao động tự do của vòm và dầm cong làm từ FGM trong môi trường nhiệt độ cao. Esfahani và đồng nghiệp [92] khảo sát ảnh hưởng của nền đàn hồi và sự tăng nhiệt độ môi trường tới sự mất ổn định phi tuyến của dầm Timoshenko làm từ FGM bằng DQM tổng quát. Mahi cùng cộng sự [30] xây dựng phương pháp giải tích để đánh giá ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ tới tần số dao động riêng của dầm FGM. Wattanasakulpong và đồng nghiệp [21] xây dựng các phương trình cơ bản để nghiên cứu bài toán mất ổn định nhiệt và dao động tự do của dầm FGM. Ma và Lee [95] đưa ra nghiệm giải tích cho bài toán ứng xử phi tuyến của dầm FGM chịu tải trọng nhiệt. Phương pháp giải tích cũng được Eroglu sử dụng trong nghiên cứu bài toán dao động tự do của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ [96]. Trinh và cộng sự [98] trình bày phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động và mất ổn định của dầm FGM chịu tải trọng cơ- nhiệt. Với sự trợ giúp của phương pháp Runge-Kutta, Kiani và đồng nghiệp [99] đã khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường tới đáp ứng va đập với vận tốc thấp của dầm FGM. Ghiasian và cộng sự [100] nghiên cứu bài toán mất ổn định tĩnh và động của dầm Euler- Bernoulli làm từ FGM chịu tải trọng nhiệt tăng đều. Ebrahimi và cộng sự [17] thiết lập phương trình chuyển động để nghiên cứu dao động tự do của dầm Euler-Bernoulli làm từ FGM có lỗ rỗng vi mô, nằm trong môi trường nhiệt độ cao. 1.2.4. Dầm FGM chịu tải trọng di động Phương pháp nhân tử Lagrange được Şimşek và cộng sự sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm FGM chịu các lực di động khác nhau [4, 5, 6, 8, 10, 11]. Yang và cộng sự [104] nghiên cứu dao động của dầm có vết nứt với cơ tính biến đổi theo số mũ Euler, chịu kích động bởi lực di động. Phương pháp Ritz và DQM được Khalili và đồng nghiệp [105] dung trong nghiên cứu dao động của dầm FGM 5 chịu kích động bởi khối lượng di động. Rajabi và cộng sự [7] sử dụng phương pháp Petrov–Galerkin để chuyển hệ phương trình vi phân bậc bốn của bài toán dầm FGM chịu hệ khối lượng-lò xo di động về hệ phương trình vi phân bậc hai và giải hệ phương trình bằng phương pháp số Runge-Kutta. Wang và Wu [22] sử dụng phương pháp Lagrange trong nghiên cứu ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ đồng nhất tới ứng xử động lực học của dầm Timoshenko làm từ FGM với cơ tính biết đổi dọc theo chiều dài dầm chịu lực điều hòa di động. Gan và Nguyễn Đình Kiên [106] xây dựng phần tử dầm Timoshenko có tính tới ảnh hưởng vị trí của mặt trung hòa và ứng dụng trong phân tích động lực học của dầm FGM đa nhịp. FEM cũng được Gan và đồng nghiệp sử dụng trong nghiên cứu dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc theo trục dầm [26] chịu lực di động và dầm FGM có gối tựa đàn hồi [107] chịu tải trọng di động. 1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước Sử dụng phương pháp giải tích, Nguyễn Trung Kiên và cộng sự [111] nghiên cứu bài toán uốn và dao động của dầm Timoshenko làm từ FGM chịu lực dọc trục. Bài toán uốn và dao động của dầm FGM nhưng được Thái Hữu Tài và Võ Phương Thức [112] nghiên cứu bằng các lý thuyết dầm bậc cao khác nhau. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, Võ Phương Thức và cộng sự [113] xây dựng phương trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là vật liệu thuần nhất, sau đó dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính tần số dao động riêng và các mode dao động. Võ Phương Thức và đồng nghiệp [34] phát triển mô hình phần tử hữu hạn cho phân tích uốn và dao động tự do của dầm sandwich. Bài toán dao động và chẩn đoán vết nứt của dầm FGM được Nguyễn Ngọc Huyên [114], Nguyễn Ngọc Huyên và Nguyễn Tiến Khiêm [115], Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự [116, 117] nghiên cứu bằng phương pháp giải tích. Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [118, 119, 120] phát triển các phần tử dầm dựa trên phương pháp hệ tọa độ đồng hành để nghiên cứu bài toán chuyển vị lớn của dầm thon làm từ FGM. FEM cũng được Nguyễn Đình Kiên và đồng nghiệp sử dụng trong phân tích chuyển vị lớn của khung FGM [121], khung sandwich FGM [33]. Ảnh hưởng của biến dạng dẻo tới ứng xử mất ổn định và uốn phi tuyến của dầm FGM được quan tâm nghiên cứu bằng FEM trong thời gian gần đây [122, 123, 124]. 6 Dao động của dầm FGM chịu kích động bởi tải trọng di động được một số tác giả trong nước quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Phạm Đình Trung [13] phân tích dao động của dầm FGM dưới tác động của khối lượng hoặc lực điều hòa di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Lê Thị Hà và đồng nghiệp xây dựng mô hình phần tử hữu hạn mới để phân tích dao động của dầm FGM đa nhịp chịu lực điều hòa di động [14], dầm có mặt cắt ngang thay đổi chịu nhiều lực di động [15]. Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [133] sử dụng hàm dạng Kosmatka để xây dựng mô hình phần tử hữu hạn trong nghiên cứu dao động của dầm có mặt cắt ngang không đồng nhất chịu tải trọng di động với vận tốc thay đổi. Hàm dạng Kosmatka cũng được Nguyễn Đình Kiên và đồng nghiệp [9] dùng để xây dựng biểu thức ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho phân tích dầm 2-D FGM chịu lực di động. 1.4. Nhận xét và định hướng nghiên cứu Nghiên cứu về kết cấu dầm FGM dưới tác dụng của lực di độngmới chỉ được một số ít tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Trong [12], tác giả Lê Thị Hà đã thành công trong việc xây dựng công thức phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của dầm FGM chịu tải trọng di động nhưng ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường chưa được xét tới. Mặc dù một số tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường tới dao động của dầm FGM, nhưng mới chỉ dừng lại ở bài toán dao động tự do. Độ cứng và mô-men khối lượng của dầm sẽ thay đổi khi xét tới ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và vì thế sẽ ảnh hưởng tới giá trị độ võng và các tham số động lực học của dầm. Thêm vào đó, khi nhiệt độ môi trường tăng, dầm không chỉ chịu tải trọng dưới dạng ứng suất nhiệt mà các hệ số đàn hồi của dầm cũng sẽ suy giảm. Các yếu tố này ảnh hưởng đáng kể tới ứng xử động lực học của dầm và cần được nghiên cứu. Từ các lý do nêu trên, bài toán dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động được đặt ra và nghiên cứu trong luận án này. CHƯƠNG 2. DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ 2.1. Dầm FGM chịu tải trọng di động Hình 2.1 minh họa dầm FGM với chiều dài L, thiết diện ngang là hình chữ nhật với chiều rộng b và chiều cao h không đổi. Dầm chịu 7 tác động của các lực F1, F2, FnF, di động từ trái sang phải với vận tốc không đổi v. Dầm được giả định được làm từ hai vật liệu thành phần là gốm và kim loại với tỉ lệ thể tích thay đổi theo hàm số lũy thừa như sau 1 , 1 2 n c c m zV V V h        (2.1) trong đó Vc , Vm tương ứng là tỉ lệ thể tích của gốm và kim loại. z là tọa độ theo chiều cao của dầm; số mũ n (không âm) là tham số vật liệu, xác định tỷ lệ và sự phân bố của các vật liệu thành phần. x yz bL h F1F2F nF y lç rçng z,w MÆt c¾t ngang dÇm gèm (Ec, Gc, c) kim lo¹i (Em, Gm, m) b h Hình 2.1. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động 2.2. Lỗ rỗng vi mô trong dầm FGM Với mô hình lỗ rỗng vi mô trong [18, 19], tỷ lệ thể tích lỗ rỗng V (V<<1), được giả định phân bố đều theo cả hai pha kim loại và gốm. Khi dầm ở trong môi trường nhiệt độ cao, các tính chất hiệu dụng của dầm FGM được tính theo công thức 1( , ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 c m m m n c zP z T P T P T h VP T P T P T                     (2.3) trong đó Pc và Pm tương ứng là tính chất của gốm và kim loại, phụ thuộc vào nhiệt độ T (K) của môi trường, Vα là tỷ lệ thể tích của lỗ rỗng vi mô. 2.3. Trường nhiệt độ trong dầm FGM Trường nhiệt độ phân bố theo chiều cao của dầm FGM có thể nhận được từ phương trình truyền nhiệt Fourier [91, 103] 8 ( ) 0d dTz dz dz      (2.4) với các điều kiện biên T = Tc tại z = h/2 và T = Tm tại z = - h/2. Trong phương trình (2.4), hệ số dẫn nhiệt κ(z) được giả thiết không phụ thuộc vào nhiệt độ. Giải (2.4) ta thu được trường nhiệt độ phân bố theo chiều cao của dầm dưới dạng /2 /2 /2 ( ) / ( ) ( ) z h m c m h h dz dzT T T T z z        (2.6) Dễ dàng thấy rằng, khi nhiệt độ mặt trên và mặt dưới dầm bằng nhau, Tc = Tm thì T = Tc = Tm. Trong trường hợp này nhiệt độ tại mọi điểm trong dầm là như nhau và được gọi là trường nhiệt độ tăng đều (UTR). Trường hợp Tc ≠ Tm, nhiệt độ tại mọi điểm trong dầm là hàm phi tuyến của tọa độ z. Trường nhiệt độ vì thế là trường nhiệt độ tăng phi tuyến (NLTR). Trong luận án này, giá trị tăng của nhiệt độ T cho NLTR được định nghĩa theo các nghiên cứu [17, 21], cụ thể là: T = Tc – Tm = Tc - T0 , với T0 = 300K là nhiệt độ quy chiếu. 2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tham số vật liệu Touloukian [130] chỉ ra rằng tính chất P của một vật liệu liên hệ với nhiệt độ dưới dạng hàm phi tuyến sau 1 2 30 1 1 2 3( 1 )P P P T PT PT PT       (2.18) trong đó P0, P-1, P1, P2 và P3 là các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ. Hình 2.2 và 2.3 minh họa ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô Vα và sự tăng nhiệt độ ΔT tới mô-đun đàn hồi hiệu dụng của dầm FGM tạo bởi thép không gỉ và ô-xit nhôm cho các giá trị V khác nhau và ΔT = 500K. Mô-đun đàn hồi giảm rõ rệt khi xét tới ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô, cho cả UTR và NLTR. So sánh Hình 2.2(b) với Hình 2.3 ta thấy rằng mô-đun đàn hồi hiệu dụng E của dầm FGM suy giảm mạnh hơn trong trường nhiệt độ là phân bố đều. 2.5. Các phương trình cơ bản 2.5.1. Trường chuyển vị Chuyển vị ngang của một điểm bất kỳ trong dầm cho bởi 9 0 0 ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ) u x z t u x t z x t w x z t w x t    (2.24) trong đó u0(x,t), w0(x,t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương ngang của điểm nằm trên trục giữa của dầm, θ(x,t) là góc quay của thiết diện ngang của dầm và t là thời gian. 2.5.2. Trường biến dạng, ứng suất Từ (2.24) ta nhận được trường biến dạng cho dầm như sau , 0, , z , , 0, xx x x x x z x x u u z u w w            (2.25) trong biểu thức trên kí hiệu (..),x được dùng để chỉ đạo hàm riêng theo biến x và (..),z là đạo hàm riêng theo biến z. Theo định luật Hook, ứng suất pháp và ứng suất trượt tương ứng với trường biến dạng (2.25) là:     0, , 0, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) xx xx x x xz xz x z T E z T E z T u z z T G z T G z T w               (2.26) trong đó E(z,T) và G(z,T) tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hiệu dụng , ψ là hệ số hiệu chỉnh. -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 180 200 220 240 260 280 300 320 340 z/h E (G Pa ) -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 180 200 220 240 260 280 300 320 340 z/h E (G Pa ) n=5 n=10 n=0.1 n=0.5 n=10 n=1 n=5 n=1 n=0.5 n=0.1 (a) T=0 K,V=0 (b) T=0 K,V=0.1 Hình 2.2. Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng 10 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 140 160 180 200 220 240 260 280 z/h E (G Pa ) -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 140 160 180 200 220 240 260 280 z/h E( G Pa ) n=0.5 n=1 n=5 n=10 n=0.1 n=0.5 n=5 n=10 (a) NLTR, T=500 K, V=0.1 (b) UTR, T=500 K, V=0.1 n=0.1 n=1 Hình 2.3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng trong trường nhiệt độ UTR và NLTR 2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi Năng lượng biến dạng đàn hồi (U ) có thể viết dưới dạng  22 211 0, 12 0, , 22 , 33 0, 0 1 2 2 L x x x x xU A u A u A A w dx           (2.27) trong đó V là thể tích dầm, A là diện tích thiết diện ngang của dầm; các đại lượng A11, A12, A22 và A33 tương ứng là độ cứng dọc trục, độ cứng tương hỗ giữa dọc trục và uốn, độ cứng chống uốn và độ cứng chống trượt. 2.5.4. Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu Giả sử dầm không có ứng suất nhiệt khi nhiệt độ bằng nhiệt độ quy chiếu T0 và chịu ứng suất nhiệt do sự thay đổi nhiệt độ. Ứng suất nhiệt ban đầu do sự tăng nhiệt độ T được định nghĩa bởi [30, 91] ( , ) ( , )Txx E z T z T T    (2.29) Năng lượng biến dạng sinh ra do ứng suất nhiệt ban đầu có dạng [17, 30] 2 20, 0, 0 1 1( , ) ( , ) 2 2 L T x T x V U E z T z T Tw dV N w dx     (2.30) trong đó NT là tổng lực dọc