Luận văn Dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH LÊ THÀNH ĐẠT DẠY HỌC GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN  ôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã bỏ nhiều thời gian và công sức để giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan trọng của bộ môn didactic Toán, giúp chúng tôi có đủ hành trang để tiếp thu bộ môn didactic Toán này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:  Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh.  Ban chủ nhiệm và các giảng viên Khoa Toán Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh.  Tất cả những học viên cùng khóa đã giúp đỡ tôi học tập và nghiên cứu về bộ môn didactic Toán trong suốt khóa học.  Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ Toán Trường THPT Bù Đăng đã tạo nhiều điều kiện và giúp đỡ tôi có thời gian học tập và tiến hành nghiên cứu thực hành giảng dạy giới hạn hữu hạn của hàm số của giáo viên. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin được chia sẻ niềm hạnh phúc đến những người thân yêu trong gia đình, những người đã và luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập. TÔI XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN Lê Thành Đạt T DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT : Bài tập CLHN : Chỉnh lí hợp nhất CT : Chương trình GD & ĐT : Giáo dục và Đào tạo GV : Giáo viên HS : Học sinh THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa SGK. M : Sách giáo khoa Mỹ SGK 11.CB : Sách giáo khoa 11 cơ bản SGK 11.CLHN : Sách giáo khoa 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 SGK 11.NC : Sách giáo khoa 11 nâng cao SGK 12.CB : Sách giáo khoa 12 cơ bản SGK 12.NC : Sách giáo khoa 12 nâng cao VD : Ví dụ ĐẶT VẤN ĐỀ  I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong lời tựa của tác phẩm “Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse. Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck” (Nhóm AHA, 1999), một câu hỏi được đặt ra : “ Giải tích toán học là gì? ”. Theo các tác giả của Group AHA : “Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong đó phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc) và Hình học (bài toán tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích và thể tích). Đồng thời được nhìn nhận theo hai hướng : có thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), có thể nhìn rất xa (qua việc nghiên cứu các hành vi tiệm cận). Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn []. Như vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực” Khẳng định này cũng được thể hiện một cách khá rõ ràng ở chương trình toán học phổ thông Việt Nam với vai trò là công cụ để nghiên cứu các khái niệm cơ sở của Giải tích như : khái niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm đường tiệm cận Trong chương trình hiện hành hoàn toàn vắng mặt ngôn ngữ  ;   khi định nghĩa giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Bên cạnh đó chúng tôi ghi nhận sự có mặt của những hoạt động và kiểu bài toán xấp xỉ khi nghiên cứu khái niệm giới hạn trong bộ sách giáo khoa cơ bản, đồng thời máy tính bỏ túi được chương trình hiện hành sử dụng một cách chính thức để tính các giá trị gần đúng. Trong luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả đã xây dựng một đồ án didactic với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm xấp xỉ và trong môi trường máy tính bỏ túi với giả thuyết công việc : “Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghĩa của khái niệm giới hạn theo nghĩa topo có mặt một cách hình thức trong định nghĩa bằng  ;   : quan điểm xấp xỉ được xuất hiện nhờ các thực nghiệm số.” (trang 33) Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên và học sinh chắc chắn gặp nhiều khó khăn khi tổ chức dạy và học khái niệm giới hạn thông qua các bài toán xấp xỉ có mặt trong chương trình hiện hành, vì đây là một trong những điểm mới so với các chương trình trước đó. Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới câu hỏi khởi đầu sau : - Nếu không sử dụng ngôn ngữ  ;   để định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, thì việc giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số được thể chế hiện hành tổ chức thực hiện như thế nào ? - Những bài toán xấp xỉ nào được xuất hiện trong các sách giáo khoa hiện hành khi xây dựng và trình bày khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ? Những khó khăn và thuận lợi nào giáo viên và học sinh có thể gặp phải khi làm việc trên những bài toán này ? Các nội dung liên quan đến tri thức giới hạn hàm số được chương trình hiện hành sắp xếp trình bày một cách rõ ràng với hai chủ đề riêng biệt : “giới hạn hữu hạn của hàm số - giới hạn vô cực của hàm số” thông qua các hoạt động cụ thể để xây dựng và hình thành các khái niệm. Trong giới hạn về thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ và để nghiên cứu có thể hoàn thành tốt, chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu của mình vào khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. II. Khung lí thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán. Cụ thể, điểm tựa lý thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học. Sau đây chúng tôi trình bày một cách tóm tắt những khái niệm lý thuyết cơ bản mà chúng tôi sử dụng cho nghiên cứu của mình trong luận văn. Một số yếu tố của thuyết nhân học – Những thuật ngữ cơ bản Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân hay với một thể chế. Quan hệ của cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O) là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O như: thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ về nó, nói về nó, R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết về O, và tùy theo thời gian và hoàn cảnh mà mối quan hệ R(X, O) này có thể thay đổi. “Theo thời gian, hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển : những đối tượng trước đây không tồn tại đối với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một số khác ngừng tồn tại, đối với những đối tượng khác thì quan hệ các nhân của X thay đổi. Trong sự tiến triển này, O : đối tượng X : cá nhân I : thể chế R(X, O) : quan hệ cá nhân của X với O R(I, O) : quan hệ thể chế với O cái bất biến là cá nhân, cái thay đổi là con người” (Chavallard 1992) Theo quan điểm này, việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người. Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I, từ đó dẫn đến việc thiết lập hay biến đổi mối quan hệ R(X,O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X, như vậy giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định gọi là quan hệ thể chế với đối tượng O, ký hiệu là R(I, O). Quan hệ này là một ràng buộc (thể chế) đối với quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I và nó phụ thuộc vào vị trí mà cá nhân chiếm trong thể chể I. Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I. Trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O). Tổ chức toán học Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần  , , , T    trong đó : T là một kiểu nhiệm vụ phải giải quyết,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ cho phép giải thích kỹ thuật  ,  là lý thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  . Một praxéologie mà trong đó T là kiểu nhiệm vụ toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique), ký hiệu là OM. Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O. “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng [] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định” (Bosch. M và Chevallard Y., 1999). Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O, bởi vì : “ Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên ”. Tổ chức didactic Tổ chức didactic là một praxéologie, trong đó kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nó là kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu. Cụ thể hơn, một tổ chức didactic là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu “nghiên cứu tác phẩm O như thế nào ?”. Theo Chevallard, để phân tích thực hành của giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai câu hỏi :  Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp học cụ thể ?  Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức didactic mà một giáo viên đã triển khai để truyền bá một tổ chức toán học cụ thể trong một lớp học cụ thể? Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên chính là khái niệm các thời điểm nghiên cứu. Theo ông, dù không phải là mọi tổ chức toán học đều được tổ chức nghiên cứu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có một số những thời điểm nghiên cứu nhất thiết phải có mặt cho dù dưới những hình thức rất khác nhau. Cụ thể, ông cho rằng một tình huống học tập nói chung bao gồm 6 thời điểm nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm didactic (moment didactique). Thời điểm thứ nhất : là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM được diễn ra dưới hình thức thông báo hoặc dưới hình thức giải quyết một kiểu nhiệm vụ cụ thể. Đó chính là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O. Sự gặp gỡ như vậy có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, có một cách gặp (hay « gặp lại ») hầu như không thể tránh khỏi là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu thành nên O (trừ khi người ta chưa thực sự quan tâm đến việc nghiên cứu O). Sự « gặp gỡ lần đầu tiên » với kiểu nhiệm vụ Ti có thể xảy ra qua nhiều lần tùy vào môi trường toán học và didactic tạo ra sự gặp gỡ này, cụ thể : người ta có thể khám phá lại một kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại một người mà người ta nghĩ rằng mình đã biết rõ. Có hai câu hỏi cần xem xét trong thời điểm này :  Cái gì được gặp trong lần gặp đầu tiên với tổ chức toán học liên quan đến O?  Lần gặp đầu tiên có thể xảy ra dưới những hình thức nào? Thời điểm thứ hai : là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti và xây dựng nên một kỹ thuật i cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này được diễn ra dưới các hình thức: giáo viên thông báo kỹ thuật và học sinh giải quyết nhiệm vụ, học sinh tự xây dựng kỹ thuật để giải quyết nhiệm vụ, Như thế, nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng. Kỹ thuật này lại là phương tiện và công cụ để giải quyết mọi bài toán “cùng kiểu”. Thời điểm thứ ba : là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết [/] liên quan đến i , nghĩa là tạo ra những yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập. Thời điểm thứ tư : là thời điểm làm việc với kỹ thuật. Thời điểm này là thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu quả nhất, có khả năng vận hành tốt nhất trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ liên quan, điều này nói chung thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là thời điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật bằng cách cho học sinh làm việc với một số nhiệm vụ khác nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này, để làm được điều này đòi hỏi phải xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ. Thời điểm thứ năm : là thời điểm thể chế hóa. Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng các kiểu bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật được ưu tiên giải, các yếu tố công nghệ - lý thuyết của kỹ thuật đó, Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố của tổ chức toán học đã tham gia vào quá trình xây dựng này với những yếu tố của tổ chức toán học thực sự muốn nhắm đến, sự phân biệt này được thể hiện qua việc học sinh tìm cách làm rõ sự cần thiết “phải biết” hay không một kết quả của một bài toán hay một quy trình nào đó. Thời điểm thứ sáu : là thời điểm đánh giá. Thời điểm này có mục đích xem xét tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật liên quan với kiểu nhiệm vụ : kỹ thuật nào có thể giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên ? Kỹ thuật nào dễ sử dụng ? Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa. Trong thực tế, việc dạy học phải đi đến một thời điểm mà ở đó người ta phải «điểm lại tình hình» : cái gì đã học được, cái gì có giá trị, Sáu thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T  : dạy một tổ chức toán học như thế nào ? Phân tích một tổ chức didactic có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay không được thực hiện). Trong đó ba thời điểm đầu tương ứng với giai đoạn nghiên cứu bài học của học sinh. Đánh giá một tổ chức toán học Đánh giá các kiểu nhiệm vụ : việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn  Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ iT đã được nêu rõ chưa, đặc biệt đã được thể hiện qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và sẵn có để sử dụng chưa ? Hay ngược lại, chúng chỉ được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu?  Tiêu chuẩn về lý do tồn tại : lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ iT đã được nói rõ chưa ? Hay ngược lại, chúng dường như không có lý do gì để tồn tại ?  Tiêu chuẩn thỏa đáng : những kiểu nhiệm vụ được xem xét có thỏa đáng với nhu cầu toán học của học sinh trong hiện tại và trong tương lai hay không ? Hay ngược lại, dường như chúng rất biệt lập với các nhu cầu toán học của học sinh ? Đánh giá kỹ thuật : Kỹ thuật được đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ iT đã thực sự được xây dựng chưa, hay chỉ mới là phác thảo ? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu không ? Nó có giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể không ? Tương lai của nó ra sao và nó có thể tiến triển theo một cách thức thích hợp hay không ? Đánh giá công nghệ : Với một thông báo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật thì vấn đề giải thích nó có được đặt ra hay không ? Hay người ta thừa nhận thông báo này một cách hiển nhiên, đã được biết rõ ? Các hình thức giải thích mà người ta đã sử dụng có gần gũi và dễ hiểu với các hình thức chuẩn trong toán học không ? Cách giải thích đó có phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện sử dụng nó không ? III. Phương pháp nghiên cứu Với khung lý thuyết tham chiếu ở trên, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi lựa chọn là : - Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về khoa học luận lịch sử của khái niệm giới hạn để làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm này, qua đó ghi nhận một số kết quả nghiên cứu thể chế đối với khái niệm giới hạn trước đây để dùng làm cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế hiện hành. - Phân tích và so sánh chương trình - SGK hiện hành với chương trình - SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để làm rõ những tiến triển của thể chế hiện hành trong việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số so với các thể chế trước kia. Bên cạnh đó phân tích một bộ SGK Mỹ để làm cơ sở tham chiếu so sánh việc xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với các bộ SGK ở Việt Nam, nhằm làm rõ những lựa chọn sư phạm khác có thể sử dụng trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông. Từ đó cho phép xây dựng và bổ sung tổ chức toán học mới cho thể chế Việt Nam dưới ánh sáng của kết quả phân tích tri thức luận. - Tiến hành quan sát và xây dựng protocol những tiết dạy của giáo viên có nội dung liên quan đến việc giảng dạy giới hạn hữu hạn của hàm số (ở góc độ là đối tượng nghiên cứu), sau đó phân tích và đánh giá các tổ chức toán học, tổ chức didactic của các tiết học được quan sát. Trong phần này chúng tôi sẽ làm rõ các vấn đề :  Các tổ chức toán học được giáo viên xây dựng trong tiết dạy.  Các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà giáo viên triển khai để xây dựng các tổ chức toán học đó.  Đánh giá các tổ chức toán học được giáo viên xây dựng trong lớp học. IV. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm 5 phần : PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu của luận văn. CHƯƠNG 1 Trình bày tóm tắt các kết quả nghiên cứu khoa học luận đã có của khái niệm giới hạn, qua đó làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử tiến triển của nó. Đồng thời nêu lên các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến khái niệm giới hạn của hàm số. Trong chương gồm các mục : 1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn 1.2 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn trong chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 1.3 Nghiên cứu các đồ án didactic đã được xây dựng 1.4 Một số kết luận và câu hỏi nghiên cứu Q1 CHƯƠNG 2 Phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Đầu tiên, chúng tôi phân tích bộ sách giáo khoa của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và hai bộ sách giáo khoa của chương trình hiện hành, qua đó làm rõ mối quan hệ thể chế với giới hạn hữu hạn của hàm số, đồng thời cũng làm rõ những tiến triển trong việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở thể chế hiện hành so với các thể chế trước kia. Tiếp theo, chúng tôi đi phân tích một bộ sách giáo khoa Mỹ để làm rõ các ràng buộc của thể chế và hợp đồng didactic gắn liền với giới hạn hữu hạn của hàm số. Đồng thời so sánh và tổng hợp với việc nghiên cứu thể chế Việt Nam, qua đó đề ra các giả thuyết nghiên cứu như là hệ quả của việc phân tích khoa học luận trong chương 1 và phân tích quan hệ thể chế trong chương 2. Trong chương này gồm các mục : 2.1 Phân tích chương trình 2.2 Phân tích sách giáo khoa 2.3 Kết luận và so sánh 2.4 Câu hỏi nghiên cứu Q2 và giả thuyết nghiên cứu CHƯƠNG 3 Trình bày việc nghiên cứu thực tế giảng dạy giới hạn hữu hạn hàm số của giáo viên Việt Nam thông qua việc : phân tích tổ chức toán học cần giảng dạy và tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn. Qua đó kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2. Trong chương gồm các mục : 3.1 Các tổ chức toán học cần xây dựng 3.2 Tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn 3.3 Đánh giá tổ chức toán học 3.4 Một số kết luận KẾT LUẬN Tóm tắt những kết quả đạt được ở chương 1, chương 2, chương 3. Đề xuất hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn này. TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC CHƯƠNG 1 TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÀ CÁC VẤN ĐỀ ĐẶT RA Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu là : tóm lại vắn tắt những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử đã được tổng hợp từ các công trình nghiên cứu trước đây; Ghi nhận một số kết quả nổi bật từ việc phân tích mối quan hệ thể ch