Luận văn Dạy học phương trình – Bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương pháp giải cho học sinh THPT ở miền núi

Luận văn Dạy học phương trình – bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương pháp giải cho học sinh THPT ở miền núiMở đầu 1.Lý do chọn đề tài Trải qua hơn 20 năm đổi mới, đất nước ta đã thu được nhiều thành tựu đáng kể về kinh tế, chính trị, văn hóa, xã hội, đặc biệt trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật. Nhưng bên cạnh đó gặp không ít khó khăn. Xã hội ngày càng phát triển, càng đòi hỏi phải có đội ngũ lao động có trình độ khoa học kĩ thuật có năng lực sáng tạo dám nghĩ, dám làm để thích ứng với thời đại. Chính vì vậy Đảng và Chính phủ ta luôn coi giáo dục là quốc sách hàng đầu. Trong đó giáo dục môn Toán giữ một vị trí rất quan trọng. Bởi lẽ rất nhiều vấn đề của các ngành khoa học kĩ thuật dược giải quyết nhờ sự giúp đỡ đắc lực của toán. Một kiến thức quan trọng và cơ bản là phương trình, bất phương trình của chương trình THPT. Đặc biệt là mảng phương trình- bất phương trình vô tỷ. Rất nhiều học sinh lúng túng và khó nhận dạng để lựa chọn cách giải. Các em dùng tất cả các phép biến đổi thông thường nhưng cũng không tìm ra lời giải đối với phương trình- bất phương trình vô tỷ lạ, cần vận dụng nhiều phương pháp mới có thể giải được chúng. Vì vậy, để giúp các em học sinh nâng cao khả năng giải Toán và hứng thú trong học tập, cung cấp thêm cho giáo viên về phân loại một số phương pháp giải phương trình − bất phương trình vô tỷ.Chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài ”Dạy học phương trình – bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương pháp giải cho học sinh THPT ở miền núi”. 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một cách tổng quan và có hệ thống về phương trình − bất phương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy và học môn toán cho giáo viên và học sinh THPT, đặc biệt là các học sinh ở miền núi. Phân loại các phương pháp giải phương trình- bất phương trình vô tỷ giúp học sinh hình thành tư duy toán học trong quá trình học và làm bài tập. 3.Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phương trình- bất phương trình vô tỷ ở trường phổ thông. - Vai trò của phương trình bất phương trình trong dạy học toán. - Vị trí chức năng của bài toán về phương trình- bất phương trình. - Phương pháp tìm lời giải. - Yêu cầu của lời giải. - Xây dựng hệ thống ví dụ cho từng phương pháp giải. - Thực nghiệm sư phạm. 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận tài liệu. - Tìm hiểu thực tế ở phổ thông qua phiếu điều tra. - Thực nghiệm sư phạm. - Đánh giá kết quả thu được. 5. Đóng góp của đề tài Đề tài góp phần vào việc xây dựng một cách có hệ thống các phương pháp giải về phương trình- bất phương trình vô tỷ cho học sinh THPT, đặc biệt là học sinh ở miền núi. Đồng thời là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, sinh viên ngành sư phạm toán để nâng cao chất lượng day và học. 6. Cấu trúc của đề tài Phần mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận chung 1, Vai trò của phương trình – bất phương trình vô tỷ trong dạy học toán. 2, Vị trí chức năng của bài toán về phương trình bất phương trình. 3, Phương pháp tìm lời giải. 4, Yêu cầu lời giải. 5, Tìm hiểu việc dạy phương trình- bất phương trình vô tỷ 1 số trường THPT. Phần nội dung Chương 2: Phân loại các phương pháp giải phương trình- bất phương trình vô tỷ 1. Phương pháp biến đổi tương đương . 2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 3. Phương pháp nhân liên hợp. 4. Phương pháp hàm số. 5. Các phương pháp khác: phương pháp bất đẳng thức, phương pháp đồ thị, phương pháp toạ độ véc tơ, phương pháp hình học, sử dụng điều kiện cần và đủ, tính chẵn lẻ của hàm số… Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích thực nghiệm: kiểm tra giả thiết khoa học và những cơ sở lí luận của đề tài. Kiểm tra khả năng vận dụng các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ. 2. Nội dung thực nghiệm. 3. Tổ chức thực nghiệm. 4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. Phần kết luận CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1.Vai trò của phương trình - bất phương trình trong dạy học toán Phương trình - bất phương trình là mảng kiến thức rất quan trọng trong nhiều ngành khoa học đặc biệt là trong Toán học. Theo Ăngghen “Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng của không gian thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau giữa các đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản”. “Quan hệ số lượng” được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và trừu tượng. Chúng không những chỉ ra quan hệ logic “bằng nhau”, “”, “”, “>”, “<”, trên tập hợp số mà được hiểu như những phép toán trên tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý: Mệnh đề, phép biến hình… Những kiến thức về phương trình – bất phương trình đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đã được phát triển thành lý thuyết đại số cổ điển. Không những thế lý thuyết phương trình còn giữ vai trò quan trọng trong nhiều bộ môn khác của toán học. Trong lĩnh vực nghiên cứu thì phương trình – bất phương trình giữ một vị trí quan trọng. Nhưng trong chương trình toán học ở nhà trường phổ thông thì phương trình – bất phương trình cũng chiếm vị trí hết sức đặc biệt. Vì đây là nội dung cơ bản của toán học, nhưng cũng rất phong phú và đa dạng với nhiều phương pháp khác nhau. 1.1.2. Cấu trúc chương trình nội dung. Trước khi học về phương trình - bất phương trình ở THPT học sinh đã được làm quen và thực hành với những kiến thức liên quan đến phương trình - bất phương trình và dần làm việc với chúng và từng loại thích ứng với yếu tố đã học. Khái niệm phương trình - bất phương trình chính thức học sinh được học từ lớp 8 và được ôn tập củng cố, chính xác hóa lại kiến thức đó ở lớp 10 đồng thời nâng cao dần cho học sinh. Lớp 8: + Phương trình bậc nhất một ẩn + Phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức + Phương trình có chứa hệ số chữ + Giải bài toán bằng cách lập phương trình + Bất phương trình bậc nhất một ẩn + Hai phương trình tương đương Lớp 9: + Hệ phương trình tương đương + Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn + Phương trình bậc hai một ẩn + Một số phương trình quy về bậc hai Lớp 10: Học sinh được ôn tập lại những kiến thức về phương trình – bất phương trình đồng thời đưa ra kiến thức nâng cao dần cho học sinh Phương trình hệ quả Phương trình có chứa than số đòi hỏi phải biện luận khi giải Định nghĩa bất phương trình, các phép biến đổi tương đương đối với bất phương trình Giải bất phương trình bậc nhất bậc hai. Lớp 11: + Phương trình lượng giác – hệ phương trình lượng giác + Bất phương trình lượng giác – hệ bất phương trình lượng giác Lớp 12: Phương trình – hệ phương trình mũ và lôgarit Bất phương trình – hệ bất phương trình mũ và lôgarit Nội dung Tiết thứ Chương III: Phương trình – hệ phương trình (9 tiết) Bài 1: Đại cương về phương trình (2 tiết) Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai( 3 tiết) Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn (2 tiết) Ôn tập chương III (1 tiết) Kiểm tra chương III(1 tiết) Chương IV: Bất đẳng thức – bất phương trình (15 tiết) Bài 1: Bất đẳng thức (2 tiết) Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn (3 tiết) Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất (2 tiết) Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (2 tiết) Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai (4 tiết) Ôn tập chương IV (1 tiết) Kiểm tra chương IV (1 tiết) Chương trình nâng cao. Chương III: Phương trình và hệ phương trình (16 tiết) Bài 1: Đại cương về phương trình (2 tiết) Bài 2: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (2 tiết) Luyện tập (2 tiết) Bài 3: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn (3 tiết) Luyện tập (2 tiết) Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai 2 ẩn (1 tiết) Ôn tập và kiểm tra chương III (2 tiết) Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình (25 tiết) Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (3 tiết) Luyên tập (1 tiết) Bài 2: Đại cương về bất phương trình (1 tiết) Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Bài 5: Hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai (1 tiết) Bài 7: Bất phương trình bậc hai (2 tiết) Luyện tập (2 tiết) Bài 8: Một số phương trình và bất phương trình quy về phương trình bậc hai (2 tiết) Luyện tập (2 tiết) Ôn tập và kiểm tra chương IV (3 tiết) 19-20 21-22-23 24-25 26 27 28-29 30-31-32 33-34 35-36 37-38-39-40 41 42 24-25 26-27 28-29 30 31 32-33-34 35-36 37 38-39 40-41-42 43 44 45-46 47 48 49 50-51 52 53 54-55 56-57 58-59 60-61 62-63-64 1.1.3. Vị trí chức năng của bài tập toán học Như ta biết các bài toán về phương trình - bất phương trình là một dạng của bài tập toán. Cho nên để hiểu vai trò của phương trình - bất phương trình ta đi tìm hiểu về vị trí chức năng của bài tập toán học. Ở trường phổ thông dạy học là một dạng hoạt động Toán học. Do đó học sinh có thể xem việc giải bài tập Toán học là một hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Thông qua việc giải bài tập toán học, học sinh đều phải trải qua những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến và những hoạt động trí tuệ chung. Các bài Toán ở trường phổ thôn là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Qua đó bước đầu rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn, bồi dưỡng năng lực sáng tạo độc đáo, kỹ năng giải bài tập toán một cách thành thạo. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả trong việc giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. *) Vai trò của bài tập toán thể hiện 3 bình diện. - Bình diện mục tiêu dạy học + Hình thành củng cố tri thức kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn. + Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành phẩm chất trí tuệ. + Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. • Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý thuyết. • Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ chức cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…Tất nhiên, việc giải bài tập. Cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng với những chức năng khác nhau. Như vậy bài tập toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư duy khoa học, kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh. Bài tập về PT-BPT vô tỷ mang đầy đủ chức năng, vai trò của một bài tập toán học. 1.1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán Không phải là thuật giải bài toán mà những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi phát hiện Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học , tổng kết phương pháp chung để giải bài toán như sau : +Tìm hiểu nội nội dung đề bài. Ta thực hiện các thao tác : Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh. Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả nội dung đề bài. +Tìm cách giải Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán . Biến đổi cái đã cho cái phải tìm hay cái phải chứng minh.Liên hệ cái đã cho cái phải tìm với những tri thức đã biết,liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự,một trường hợp riêng , một bài toán tổng quát hơn , hay một bài toán nào đó có liên quan .Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng , quy nạp toán học , toán dựng hình, toán quỹ tích... Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả tìm được với một số tri thức có liên quan Tìm tòi những cách giải khác , so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất . VD: Để tìm lời giải bài toán giải PT: Ta cần đặt ra câu hỏi : Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay gặp bài toán này ở một dạng hơi khác ? (PT trên là PT vô tỷ, ta đã gặp nhiều lần ) Xét cái chưa biết (tìm nghiệm của PT trên ) Thấy được bài toán có liên quan mà có lần bạn giải rồi. Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng bài toán đó ? Giáo viên phân tích : Đặc điểm của PT chỉ chứa một nghiệm, làm thế nào để biến đổi PT vô tỷ thành PT dạng nguyên? (có học sinh nêu ý kiến chuyển vế rồi ta bình phương hai vế được . Sau khi đơn giản ta được . Đó là cách đồng thời bình phương hai vế để đưa phương trình vô tỷ thành phương trình dạng nguyên. Có thể tìm nghiệm của này dễ dàng ) Để giải phương trình (**) thì điều kiện phương trình có nghĩa là Kiểm tra lại kết quả làm được Để bình phương hai vế thì . Đối chiếu điều kiện trên thì là nghiệm của phương trình đã cho Có thật chỉ có cách giải đó thôi không? ( Những học sinh ham suy nghĩ không chịu dừng lại ở đó, họ muốn tìm phương pháp khác. Có học sinh đưa ra cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỷ về dạng nguyên . C2: Đặt . Ta có phương trình : Quay trở về tìm ta được . Vậy nghiệm của phương trình là ) So sánh để tìm ra cách giải tối ưu. Rõ ràng cách thứ hai ngắn gọn hơn . Có thể coi là cùng nhạc công nhưng bản nhạc đã khác. +Trình bày lời giải Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp, và thực hiện các bước đó. +Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. 1.1.5.Yêu cầu đối với lời giải Lời giải không mắc phải những sai lầm − Lời giải không mắc phải những sai lầm về kiến thức toán học, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán. Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức một hàm số thoả mãn yêu cầu bài ra... − Yêu cầu này cũng đảm bảo lời giải phải đầy đủ, không được thiếu một trường hợp nào, một chi tiết nào. Đặc biệt giải PT-BPT không được thiếu nghiệm. − Ngôn ngữ dùng phải chính xác − Lập luận phải chặt chẽ + Luận đề phải nhất quán: Luận đề là một yêu cầu hoặc một điều phải chứng minh. Luận đề phải nhất quán nghĩa là không được đánh tráo đề bài, đánh tráo điều phải chứng minh. + Luận cứ phải đúng: Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa định lý đã biết .Trong quá trình giải bài tập phải sử dụng những tiên đề, định nghĩa định lý đã biết một cách chính xác, đầy đủ các điều kiện + Luận chứng phải hợp lôgic: Luận chứng là phép suy luận được sử dụng trong chứng minh, luận chứng phải hợp lôgic nghĩa là phép suy luận phải hợp lôgic Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vận dụng được nhiều kiến thức khác nhau để di đến cùng một đích, chính quá trình tìm được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ra lời giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất và dùng kiến thức đơn giản nhất. Tìm được những lời giải khác nhau cho một phương trình - bất phương trình là rất tốt. Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh đã giải đúng được bài toán theo một phương pháp nhất định. Đứng trước một phương trình - bất phương trình đầu tiên cần lo giải được nó rồi mới giải theo một cách khác Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Bài toán khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán mới nhờ bỏ bớt đi một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ đi một số điều kiện ràng buộc, hoặc một số đòi hỏi của kết luận, thay hằng bởi biến. Khi đó ta có bài toán mở rộng hoặc tăng thêm độ phức tạp của bài toán cũ Một yêu cầu quan trọng về hình thức là trình bày lời giải rõ ràng đảm bảo mĩ thuật 1.2. Cơ sở thực tiễn *Tìm hiểu việc dạy phương trình - bất phương trình vô tỷ một số trường THPT. Để thấy được thực trạng dạy và học nội dung phương trình trong các trường THPT ở Sơn La. Chúng tôi điều tra mẫu trên những trường: THPT Mai Sơn (Mai Sơn – Sơn La), THPT Phù Yên ( Phù Yên- Sơn La). Để tìm hiểu thực trạng dạy và học chúng tôi tiến hành điều tra hai đối tượng: Giáo viên và học sinh. Quá trình điều tra thu được kết quả như sau: 1. Điều tra giáo viên Bảng 1: Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT tỉnh Sơn La Trường THPT Số lượng giáo viên Tuổi nghề Hệ đào tạo Chất lượng giảng dạy 1-10 10-20 Trên 20 Trên Đại học Đại học Cao đẳng Giỏi Khá Trung bình Mai Sơn 10 4 4 2 2 8 0 4 6 0 Phù Yên 14 10 2 2 0 14 0 2 3 0 Nhận xét : Qua điều tra trên cho ta thấy một số giáo viên có thâm niên công tác lâu năm nên có những kinh nghiệm nhất định trong công tác giảng dạy. Do đó trình độ các bước lên lớp và phương pháp dạy bộ môn đều nắm vững. Tuy nhiên cũng có một số giáo viên trẻ mới bước vào nghề nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Về trình độ: Đa số các giáo viên được đào tạo trình độ đại học chính quy về chất lượng giảng dạy, đa số đều đạt loại khá, giỏi. Trong mỗi trường đều có những giáo viên đạt chất lượng loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. Tuy nhiên số lượng chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích cực trong cổ vũ và động viên các nhà giáo phấn đấu nâng cao tay nghề và chất lượng giảng dạy Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy phương trình của giáo viên 2 trường THPT: THPT Mai Sơn và THPT Phù Yên chúng tôi thu được kết quả như sau : Bảng 2: Đánh giá về nội dung “ Phương trình – Bất phương trình vô tỉ” trong chương trình. STT Trường THPT Số lượng Nội dung chương trình Mức độ kiến thức Phù hợp Không phù hợp Dễ Khó Bình thường 1 Mai Sơn 10 6 4 0 4 6 2 Phù Yên 14 10 4 0 6 8 Kết quả điều tra cho thấy chương trình về “ Phương trình- bất phương trình vô tỷ” của học sinh trường THPT là tương đối phù hợp, phân bố hợp lý, mức độ kiến thức trong chương trình tương đối phù hợp với học sinh. Kết luận: Bằng phương pháp điều tra tôi rút ra một số kết luận chung nhất về thực trạng giảng dạy nội dung phương trình- bất phương trình vô tỷ ở 2 trường THPT của Sơn La như sau. Sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học truyền thống và phương pháp mới vào bài giảng, chú ý tới thao tác thực hành nhưng chưa thực sự sâu sắc, chưa chú ý tới cơ sở xuất phát. Do đó gây hạn chế cho việc học sinh phát triển khả năng nhìn nhận đánh giá có căn cứ, phần lớn còn lúng túng khi giảng “ Phương trình - bất phuơng trình vô tỷ” có các dạng phức tạp. Một số giáo viên đã thực hiện đổi mới theo sự hiểu biết của mình dựa trên những cơ sở phương pháp truyền thống, nhưng hiệu quả chưa cao. 2.Điều tra học sinh Khó khăn lớn nhất của học sinh THPT nói chung và học sinh THPT miền núi nói riêng là chưa linh hoạt trong việc giải phương trình - bất phương trình vô tỉ. Dễ chán nản ngại làm khi gặp những bài toán “ phương trình - bất phương trình vô tỷ “ ở dạng khó. Bên cạnh đó đa số các em là con em của các đồng bào dân tộc nên không có điều kiện để học tập, tài liệu tham khảo còn ít. Do đó kết quả học tập chưa cao. Qua điều tra về khả năng nhận thức, mức độ kiến thức tính hứng thú học tập kiến thức phương trình - bất phương trình vô tỷ củ