Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiên cứu
các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dựng các mô
hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sản phẩm tài chính trong
thị trường thực tế. Đây là một lĩnh vực mới, được quan tâm nghiên cứu trong những
năm gần đây ở Việt Nam.
Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết phái sinh tài chính được đánh dấu bởi bài
báo của Black và Scholes năm 1973. Hai ông đã tìm ra công thức nổi tiếng để tính
số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có được quyền mua hoặc bán
một loại cổ phiếu tại một thời điểm ở tương lai với giá trị đã định trước và ngay lập
tức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay, trên thế giới, thị trường phái sinh
tài chính phát triển rộng lớn hơn thị trường cổ phiếu chứng khoán. Nói cách khác,
lượng tiền đầu tư vào các Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu nhiều hơn lượng tiền
đầu tư vào chính các cổ phiếu đó.
Nội dung của luận văn này nói về việc định giá các Quyền Chọn và giới hạn
trong phạm vi mô hình tài chính cơ bản với thời gian liên tục. Luận văn được chia
thành 2 chương:
Chương 1: Một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên
Chương 2: Mô hình tài chính cơ bản
69 trang |
Chia sẻ: duongneo | Lượt xem: 909 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Định giá quyền chọn trong toán học tài chính, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
FFF
Đặng Thị Kiêm Hồng
ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
FFF
Đặng Thị Kiêm Hồng
ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ LONG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá
trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô
giáo trong khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng
em trong suốt quá trình học tập tại trường.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Giải tích khóa 19,
chuyên ngành Giải tích đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi
cũng xin cảm ơn các tác giả đã viết sách giúp tôi có nguồn tài liệu tham khảo quý
giá trong quá trình tìm hiểu về Toán học tài chính.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 7 năm 2011
Học viên
Đặng Thị Kiêm Hồng
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5. Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1. Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.4. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. Mô hình tài chính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1. Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Các khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4. Sản phẩm phái sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2
2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2. Định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5. Sự đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu
52
2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiên cứu
các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dựng các mô
hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sản phẩm tài chính trong
thị trường thực tế. Đây là một lĩnh vực mới, được quan tâm nghiên cứu trong những
năm gần đây ở Việt Nam.
Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết phái sinh tài chính được đánh dấu bởi bài
báo của Black và Scholes năm 1973. Hai ông đã tìm ra công thức nổi tiếng để tính
số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có được quyền mua hoặc bán
một loại cổ phiếu tại một thời điểm ở tương lai với giá trị đã định trước và ngay lập
tức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay, trên thế giới, thị trường phái sinh
tài chính phát triển rộng lớn hơn thị trường cổ phiếu chứng khoán. Nói cách khác,
lượng tiền đầu tư vào các Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu nhiều hơn lượng tiền
đầu tư vào chính các cổ phiếu đó.
Nội dung của luận văn này nói về việc định giá các Quyền Chọn và giới hạn
trong phạm vi mô hình tài chính cơ bản với thời gian liên tục. Luận văn được chia
thành 2 chương:
Chương 1: Một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên
Chương 2: Mô hình tài chính cơ bản
Chương 1 là các kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho
việc thực hiện đề tài. Ở đây, chúng tôi diễn giải cụ thể các khái niệm về quá trình
ngẫu nhiên, đặc biệt là mac-tin-gan và quá trình Wiener. Chúng tôi cũng đưa ra cách
xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, đây là một trong những khái niệm quan trọng
trong quá trình làm việc với mô hình tài chính thời gian liên tục.
Nội dung chính của luận văn được trình bày chi tiết trong chương 2. Ở đây chúng
tôi chỉ đề cập đến việc định giá các Quyền Chọn với thời gian liên tục trong mô hình
thị trường tài chính cơ bản gồm hai tài sản cơ sở để đầu tư là một trái phiếu không
rủi ro và một chứng khoán có rủi ro. Việc hiểu rõ hoạt động của thị trường trong mô
hình đơn giản này là nền tảng để mở rộng nghiên cứu lên những mô hình thị trường
tổng quát hơn.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn vẫn không thể tránh khỏi có
những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của quý thầy cô
và các bạn. Xin chân thành cảm ơn!
4
Chương 1
Một số kiến thức về giải tích
ngẫu nhiên
1.1. Không gian xác suất
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. ChoΩ là một tập cho trước, một σ -đại sốF trênΩ là một họ các
tập con của Ω có những tính chất sau
(i) /0 ∈F ,Ω ∈F .
(ii) A ∈F ⇒ A ∈F .
(iii) A1,A2, ... ∈F ⇒
∞⋃
i=1
Ai ∈F .
Bộ (Ω,F ) được gọi là một không gian đo được.
Một độ đo xác suất P trên một không gian đo được (Ω,F ) là một hàm
P :F → [0,1] sao cho
(a) P( /0) = 0,P(Ω) = 1.
(b) Nếu A1,A2, ... ∈F và {Ai}∞i=1 rời nhau (Ai∩A j = /0, nếu i 6= j) thì
P(
∞⋃
i=1
Ai) =
∞
∑
i=1
P(Ai)
Bộ ba (Ω,F ,P) được gọi là một không gian xác suất.
5
Định nghĩa 1.2. Nếu (Ω,F ,P) là một không gian xác suất thì hàm X : Ω→ Rn
được gọi làF -đo được nếu X−1(U) = {ω ∈Ω,X(ω) ∈U} ∈F .
Một biến ngẫu nhiên X là một hàmF -đo được, X :Ω→ Rn.
1.1.2. Các khái niệm hội tụ
Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất cơ bản, P là độ đo đủ.
Định nghĩa 1.3. Hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất 1)
Giả sử {Xn,n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác
suất (Ω,F ,P).
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất
1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn
h.c.c−−→ X , nếu
P{ω : lim
n→∞Xn(ω) = X(ω)}= 1.
Định nghĩa 1.4. Hội tụ theo xác suất
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu
Xn
P−→ X , nếu
lim
n→∞P{ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε}= 0, với mọi ε > 0.
• Xn h.c.c−−→ X ⇒ Xn P−→ X .
• Xn P−→ X ⇒∃{Xnk} ⊂ {Xn} : Xnk
h.c.c−−→ X .
Định nghĩa 1.5. Hội tụ trung bình
Giả sử {Xn} ⊂ Lp, p ∈ (0,+∞).
Dãy {Xn} hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn Lp−→ X , nếu
lim
n→∞E |Xn−X |
p = 0.
• Xn Lp−→ X , p ∈ (0,+∞)⇒ Xn P−→ X .
1.2. Quá trình ngẫu nhiên
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên
Ta muốn diễn tả một quá trình mà sự tiến triển theo thời gian là ngẫu nhiên. Một
đối tượng như vậy là một quá trình ngẫu nhiên.
6
Định nghĩa 1.6. Xét không gian xác suất (Ω,F ,P) và một tập hợp chỉ số I (vô hạn
đếm được hay không đếm được). Ta xem I như một tập hợp các chỉ số thời gian; I
có thể là tập N, (−∞,+∞); (0,+∞) hay [0,T ]. Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác
định trên (Ω,F ,P) và lấy chỉ số trong I.
- Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I được gọi là một quá trình
ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
- Họ đếm được {X(t)}t∈I (I đếm được) các biến ngẫu nhiên được gọi là một quá
trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc.
Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo được (Ω,F ),(E,ξ ) và I là
tập hợp chỉ số.
Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω, lấy giá trị trong E là một ánh xạ:
X : I×Ω→ E đo được đối với độ đo tích trên I×Ω.
Quá trình ngẫu nhiên X , đôi khi được viết là X(t,•) hay X(t) hay Xt , t ∈ I.
Định nghĩa 1.7. Nếu cố định ω ∈Ω, thì {X(t,ω)}t∈I được gọi là quỹ đạo mẫu hay
sự thể hiện hay hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên (liên kết với ω).
Định nghĩa 1.8. Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn(n ≥ 1) thì ta có một quá
trình ngẫu nhiên n chiều.
1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
Định nghĩa 1.9. Một họ các σ - đại số con (Ft , t ≥ 0) củaF ,Ft ⊂F , được gọi
là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
• Đó là một họ tăng theo t, tức làFs ⊂Ft nếu s< t,
• Họ đó là liên tục phải, tức làFt = ∩
ε>0
Ft+ε ,
• Với A ∈F và P(A) = 0 thì A ∈F0 (và do đó A nằm trong mọiFt ).
Định nghĩa 1.10. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0). Xét σ - đại sốFXt
sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s≤ t :F Xt = σ(Xs,s≤ t), σ - đại số này
chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t.
Ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay là lịch sử của X , hay cũng còn gọi
là trường thông tin về X .
Định nghĩa 1.11. Cho một bộ lọc bất kì (Ft , t ≥ 0) trên (Ω,F ). Một quá trình
ngẫu nhiên X được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu: mọi Xt là đo được đối với
7
σ -đại sốFt .
Mọi quá trình X = (Xt , t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó (FXt , t ≥ 0).
Định nghĩa 1.12. Một không gian xác suất (Ω,F ,P) trên đó có một bộ lọc (Ft)t≥0
được gọi là một không gian xác suất được lọc, kí hiệu là (Ω,F ,(Ft),P).
1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số
Định nghĩa 1.13. Cho (Ω,F ,P) là một không gian xác suất, X : Ω→ Rn là biến
ngẫu nhiên sao cho E(X)< ∞ và G là một σ - đại số con củaF ,G ⊂F .
Khi đó, một biến ngẫu nhiên Z sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối
với σ - đại số G , nếu:
• Z là biến ngẫu nhiên đo được đối với G .
• Với mọi tập A ∈ G thì ta có ∫
A
ZdP=
∫
A
XdP.
Biến ngẫu nhiên Z được ký hiệu là E(X |G ).
Nếu ta chọn σ - đại số G là σ - đại số σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y
nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được ký hiệu
là E(X |Y ).
Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện
Giả sử X ,Y : Ω→ Rn là hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞,E(Y ) < ∞. Tất cả
các hệ thức phát biểu dưới đây đều theo nghĩa hầu chắc chắn:
1. Nếu G là σ - đại số tầm thường { /0,Ω} thì E(X |G ) = EX .
2. E(X+Y |G ) = E(X |G )+E(Y |G ).
3. Nếu X đo được đối với G thì E(XY |G ) = XE(Y |G ).
Nói riêng, nếu c là một hằng số thì E(cY |G ) = cE(Y |G ).
4. Nếu G1 ⊂ G2 thì
E(E(X |G2) |G1) = E(X |G1) .
Nói riêng, E(E(X |G )) = EX .
5. Nếu X độc lập với G thì E(X |G ) = EX .
8
6. Nếu G vàH là hai σ - đại số con của F và độc lập với nhau, và X là biến
ngẫu nhiên độc lập đối với G thì
E(X |σ(G ,H )) = E(X |H ) ,
trong đó σ(G ,H ) là σ - đại số nhỏ nhất chứa cả G lẫnH .
7. Nếu g là một hàm lồi trên tập I ⊂ R và X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị
trên I thì
g(E(X |G ))≤ E(g(X)|G ) .
Nói riêng,
(i) Với g(x) = |x| thì |E(X |G )| ≤ E(|X | |G ) .
(ii) Với g(x) = x2 thì (E(X |G ))2 ≤ E((X)2 |G ).
8. Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu Xn ≥ 0 và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n→ ∞) với E|X |< ∞
thì
E(Xn|G ) ↑ E(X |G ) .
9. Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu Xn ≥ 0 thì E
(
lim inf
n
Xn |G
)
≤ lim inf
n
E(Xn |G ) .
10. Sự hội tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu lim
n→∞Xn = X hầu chắc chắn và |Xn| ≤ Y với EY < ∞ thì
lim
n→∞E(Xn |G ) = E(X |G ) .
11. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ(x,y) là một hàm hai biến sao
cho E |φ(X ,Y )|< ∞. Khi đó thì
E(φ (X ,Y ) |Y ) = E(φ(X ,Y )) .
1.2.4. Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.14. Xác suất có điều kiện P(A|F ) của một biến cố A ∈F là một
biến ngẫu nhiên xác định bởi
P(A|F ) = E(IA|F ),
9
trong đó IA là hàm đặc trưng của biến cố A, tức là
IA (ω) =
{
1 nếu ω ∈ A,
0 nếu ω /∈ A.
Tính chất
(1) P(Ω|F ) = 1 (h.c.c).
(2) ∀A ∈F : P(A|F ) = 1−P(A|F ) (h.c.c).
(3) ∀A1,A2, ... ∈F rời nhau từng đôi một thì
P
(
∞⋃
n=1
An |F
)
=
∞
∑
n=1
P(An |F ).
1.2.5. Mac-tin-gan
Định nghĩa 1.15. Cho không gian xác suất được lọc (Ω,F ,(Ft),P). Một quá trình
ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) được gọi là một mac-tin-gan đối với bộ lọc (Ft , t ≥ 0)
nếu
(i) Xt khả tích với mọi t ≥ 0, tức là E |Xt |< ∞,∀t ≥ 0.
(ii) X thích nghi với bộ lọc (Ft).
(iii) Với mọi s, t ≥ 0 và s≤ t, hầu chắc chắn có
Xs = E(Xt |Fs),
hay có thể viết dưới dạng tích phân∫
A
Xs dP=
∫
A
Xt dP
với mọi s, t ≥ 0,s≤ t,A ∈Fs.
• Quá trình ngẫu nhiên Xt , t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan dưới đối với bộ lọc
(Ft) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và
(iv) Với mọi s, t ≥ 0,s≤ t hầu chắc chắn có
Xs ≤ E(Xt |Fs),
hay có thể viết dưới dạng tích phân∫
A
Xs dP≤
∫
A
Xt dP
với s, t ≥ 0,s≤ t,A ∈Fs.
10
• Quá trình ngẫu nhiên Xt , t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan trên đối với bộ lọc
(Ft) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và
(v) Với mọi s, t ≥ 0,s≤ t hầu chắc chắn có
Xs ≥ E(Xt |Fs),
hay có thể viết dưới dạng tích phân∫
A
Xs dP≥
∫
A
Xt dP
với s, t ≥ 0,s≤ t,A ∈Fs.
Ví dụ 1.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho EX < ∞ và cho (Ft) là
một bộ lọc bất kỳ trên (Ω,F ,P). Đặt Mt = E[X |Ft ]. Khi đó quá trình ngẫu nhiên
(Mt)t≥0 là một mac-tin-gan đối với (Ft).
Thật vậy,
- Theo định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện ta có Mt thích nghi với lọc (Ft) .
- Với mỗi t ta có
E|Mt | ≤ E [E [|X ||Ft ]] = E|X |< ∞
nên Mt khả tích.
- Với mọi s< t ta có
E[Mt |Fs] = E [E [X |Ft ]|Fs] = E[X |Fs] =Ms,
(vì (Ft) là bộ lọc nênFs ⊂Ft ).
Vậy Mt là một mac-tin-gan đối với lọc (Ft) .
Ví dụ 1.2. Quá trình ngẫu nhiên (Wt , t ≥ 0) khả tích, thích nghi với lọc (Ft) và
thỏa mãn:
Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s< t thìWt−Ws độc lập đối vớiFs. Tính chất này được
gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ.
Khi đó (Wt , t ≥ 0) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên
(
FWt
)
của nó, ở đây
ta viếtFWt = σ{Xs,s≤ t} (để cho gọn, ta viếtFt =FWt ).
Thật vậy, hiển nhiên nó thích nghi vớiFt và với 0≤ s≤ t, hầu chắc chắn có
E(Wt |Ft) = E(Ws+Wt −Ws|Fs)
= E(Ws|Fs)+E(Wt −Ws|Fs)
=Ws+E(Wt −Ws) =Ws,
vì đại lượng ngẫu nhiên Wt −Ws độc lập với tất cả các biến cố của σ -đại số FWt .
Điều này có được là do Wt −Ws không phụ thuộc vào số hữu hạn bất kì các đại
lượng ngẫu nhiênWt1 , ...,Wtn ( 0≤ t1 ≤ ...≤ tn ≤ s) sinh ra σ -đại số này.
11
Ví dụ 1.3. Giả sử Xt ,0 ≤ t < ∞,X0 = 0,EX = 0 là quá trình có gia số độc lập,
E(Xt −Xs)2 = F(t)−F(s), với 0≤ s≤ t. Khi đó, X2t −F(t) là mac-tin-gan đối với
bộ lọc tự nhiênFt .
Thật vậy,
E(X2t −F(t)|Fs) = E[X2s +2Xs(Xt −Xs)+(Xt −Xs)2−F(t)|Fs]
= X2s +2XsE(Xt −Xs|Fs)+E[(Xt −Xs)2|Fs]−F(t)
= X2s +E(Xt −Xs)2−F(t)
= X2s −F(s) hầu chắc chắn với 0≤ s≤ t.
Đặc biệt, đối với quá trình WienerWt ,0 ≤ t ≤ ∞,W0 = 0 thìW 2t − t, t ≥ 0 là mac-
tin-gan đối vớiFWs ,s≤ t (vì rằng E(Wt −Ws)2 = t− s).
Định lí 1.4. (Phân tích Doob-Meyer)
Nếu X = (Xt , t ≥ 0) là một mac-tin-gan dưới đối với (Ft), khả tích (tức E|Xt |<
∞, t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau:
Xt =Mt +At ,
trong đó Mt là một mac-tin-gan đối với (Ft) liên tục phải và At là một quá trình
tăng thích nghi với (Ft).
Ứng dụng của lý thuyết Mac-tin-gan trong Toán học tài chính
Ý tưởng chính là như sau:
Trong Toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu
St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các sản phẩm phái sinh (như giá các quyền
chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung, chúng không phải
là những mac-tin-gan đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét.
Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung
Xt không phải là một mac-tin-gan. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được Xt
thành một quá trình Zt = φ(Xt) là một mac-tin-gan và giả thử ta biết giá trị đáo hạn
ZT . Khi đó, vì
E(ZT |Ft) = Zt (t < T )
nên có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi
Xt = φ−1 [E(ZT |Ft)] , t < T.
Đặc biệt,
X0 = φ−1 [E(ZT |F0)] .
Nghĩa là ta có thể tính được giá của tài sản tại thời điểm cần đầu tư dựa vào giá của
tài sản đó tại thời điểm đáo hạn.
12
Có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:
(a) Áp dụng phân tích Doob-Meyer:
Giả sử Xt là một mac-tin-gan dưới. Ta có phân tích
Xt = mac-tin-gan Mt + quá trình tăng At .
Nếu tìm được cụ thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một mac-tin-
gan cụ thểMt = Xt−At . Nếu Xt là một mac-tin-gan trên thì−Xt là một mac-tin-gan
dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự.
(b) Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất:
Khi ta nói Xt nói chung không phải là một mac-tin-gan, ấy là ta xét dưới độ đo
xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả sử ta tìm được một độ đo xác suất mới là Q
tương đương với độ đo xác suất P và một phép biến đổi quá trình Xt thành một quá
trình Xˆt sao cho dưới xác suất Q mới này thì Xˆt trở thành một mac-tin-gan.
Giả sử bằng cách nào đó ta biết được giá trị đáo hạn Xt , tức là biết XˆT . Khi đó
do tính chất mac-tin-gan của Xˆt ta có
EQ(XˆT |Ft) = Xˆt , ∀t < T.
Gọi φ là phép biến đổi từ Xt sang Xˆt , vậy Xt = φ−1(Xˆt) và ta định giá được tài sản