Luận văn Định lí choquet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------- HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------ HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET Ngành : Toán. Chuyên ngành : Toán giải tích. Mã số : 60 46 01. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 LỜI CẢM ƠN  Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đậu Thế Cấp, TS.Lê Thị Thiên Hương đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này. Em xin cám ơn các quý thầy, cô đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quý báu. Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. Hà Hữu Nam MỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T .............................................................................................................................................. 3 0TMỤC LỤC0T .................................................................................................................................................... 4 0TMỘT SỐ KÍ HIỆU0T ....................................................................................................................................... 5 0TMỞ ĐẦU0T...................................................................................................................................................... 6 0TCHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T .............................................................................................. 7 0T1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên0T ................................................................................... 7 0T1.2. Hàm hoàn toàn đơn điệu.0T ................................................................................................................. 13 0T1.3. Một số kết quả đã sử dụng trong luận văn.0T....................................................................................... 17 0T1.3.1. Định lí (Hahn – Banach)0T ............................................................................................................ 17 0T1.3.2. Định lí (Stone – Weierstrass)0T ..................................................................................................... 17 0T1.3.3. Bổ đề (Zorn)0T .............................................................................................................................. 17 0T1.3.4. Định lí (Riesz)0T ........................................................................................................................... 17 0T1.3.5. Bổ đề (Fatou)0T ............................................................................................................................ 18 0TChương 2. ĐỊNH LÍ CHOQUET0T ............................................................................................................... 19 0T2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict 0T ..................................................................................... 19 0T2.2. Định lí tồn tại Choquet – Bishop – De Leeuw0T .................................................................................. 22 0TChương 3. ỨNG DỤNG0T ............................................................................................................................. 29 0T3.1. Định lí Rainwater và định lí Haydon0T ................................................................................................ 29 0T3.2. Biên Choquet0T ................................................................................................................................... 30 0T3.3. Áp dụng biên Choquet vào giải thức0T................................................................................................. 36 0T3.4. Biên Choquet của các đại số đều0T ...................................................................................................... 39 0TKẾT LUẬN0T ................................................................................................................................................ 46 0T ÀI LIỆU THAM KHẢO0T........................................................................................................................... 48 MỘT SỐ KÍ HIỆU exX là tập hợp các điểm cực biên của X. A là tập hợp các hàm affine liên tục, xác định trên X. C là tập hợp các hàm lồi liên tục, xác định trên X. CRCR(Y) là không gian các hàm nhận giá trị phức và liên tục trên Y theo chuẩn sup. K(M) là không gian trạng thái của tập hợp M. B(M) là biên Choquet của tập hợp M MỞ ĐẦU Vào đầu thế kỷ XX, nhiều lĩnh vực toán học, trong đó có giải tích, đã phát triển mạnh mẽ. Có rất nhiều khái niệm và kết quả mới đã ra đời trong thời kì này. Một trong những kết quả đó là lý thuyết Choquet, do giáo sư Gustave Choquet, người Pháp xây dựng nên. Lý thuyết này chủ yếu nghiên cứu hai lĩnh vực của toán học là giải tích hàm và giải tích lồi. Từ khi ra đời tới nay, lý thuyết Choquet đã được nhiều nhà toán học và nhiều nhà sư phạm quan tâm, nghiên cứu. Từ đó, Lý thuyết Choquet ngày càng được bổ sung hoàn chỉnh hơn cả về nội dung và ứng dụng của nó. Trong lý thuyết Choquet, nhiều kết quả cho thấy mối liên hệ giữa độ đo với tập hợp các điểm cực biên của một tập lồi X. Cùng với khái niệm “điểm biểu diễn bởi một độ đo”, Choquet đưa ra những kết quả quan trọng, có nhiều ứng dụng trong toán học. Trong luận văn này chúng tôi xét định lí Choquet trong trường hợp khả metric và nghiên cứu định lí tồn tại độ đo của Choquet–Bishop–De Leeuw. Ngoài ra luận văn còn đưa ra khái niệm biên Choquet cùng một số ứng dụng của nó trong giải tích hàm (định lí Rainwater và định lí Haydon), trong giải thức, đại số đều . Cụ thể luận văn gồm những chương sau. Chương một giới thiệu khái niệm độ đo biểu diễn điểm, độ đo tựa trên một tập con Borel và một số tính chất đơn giản liên quan đến điểm cực biên của một tập lồi. Ngoài ra, chương một cũng nêu khái niệm hàm hoàn toàn đơn điệu và định lí Bernstein về hàm hoàn toàn đơn điệu. Chương hai của luận văn dành cho việc chứng minh định lí Choquet trong trường hợp khả metric và định lí tồn tại độ đo của Bishop-De-Leeuw. Chương ba nêu các ứng dụng của định lí Choquet trong giải tích hàm qua hai định lí Rainwater và Haydon. Trong chương này, luận văn còn đưa ra khái niệm biên Choquet và ứng dụng của nó vào giải thức và đại số đều. CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên Xét kết quả cổ điển sau đây của Minkowski: “ Nếu X là một tập con lồi compact của một không gian hữu hạn chiều E, và x là một phần tử của X, thì x là một tổ hợp lồi của hữu hạn những điểm cực biên trong X ”. Tức là khi đó, tồn tại những điểm cực biên 1 2 kx ;x ;...;x và các số dương 1 2 k; ;...;µ µ µ với i k i i 1 1 = = µ =∑ sao cho i k i i i 1 x x = = = µ∑ . Bây giờ ta trình bày lại sự biểu diễn này của x như sau. Với điểm y bất kì thuộc X, cho yε là “điểm lượng” tại y, nghĩa là yε là một độ đo Borel, y 1ε = tại bất kì các tập con Borel có chứa y của X, và y 0ε = tại các tập con Borel còn lại. Kể từ đây ta viết tắt iε thay cho ixε . Cho i iµ = µ ε∑ thì µ là một độ đo Borel chính quy trên X, 0µ ≥ và ( )X 1µ = . Ngoài ra, với mọi hàm số f là tuyến tính, liên tục trên E, ta có ( ) ( )( )i i X f x f x fd= µ = µ∑ ∫ . Khi đó ta nói rằng độ đo µ biểu diễn điểm x. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một tập compact khác rỗng của một không gian lồi địa phương E và µ là một độ đo xác suất trên X ( tức là độ đo µchính quy và không âm trên X, với ( )X 1µ = ). Một điểm x trong E được gọi là biểu diễn bởi độ đo µ nếu ( ) X f x fd= µ∫ với mọi hàm số f tuyến tính liên tục trên E . Ta còn viết ( )fµ thay cho X fdµ∫ . Khi đó ta nói: “ x là trọng tâm của µ ” hay “ x là tích chập của µ”. Sự hạn chế E là một không gian lồi địa phương nhằm đảm bảo sự tồn tại của nhiều hàm trong EP*P tách những điểm; điều này bảo đảm rằng có nhiều nhất một điểm biểu diễn bởi độ đo µ , và sau nữa là chúng ta chú ý đến những độ đo trên vành σ , sao cho có mặt các độ đo Borel. Một điểm x tùy ý trong X được biểu diễn bình thường bởi xε ; ở đây ta quan tâm đến vấn đề đã làm rõ bằng ví dụ trên, đó là: Với một tập con lồi compact X của một không gian hữu hạn chiều, với mọi x thuộc X, ta có thể biểu diễn nó bởi một độ đo xác suất, mà độ đo xác suất này được tựa trên các điểm cực biên của X. Định nghĩa 1.1.2. Nếu f là một độ đo chính quy không âm trên không gian compact Hausdoff X và S là một tập con Borel của X, ta nói rằng µđược tựa trên S nếu ( )X \ S 0µ = . Ta thấy nảy sinh vấn đề sau: “X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương E và x một phần tử của X. Khi đó có tồn tại một độ đo xác suất µ trên X, được tựa trên các điểm cực biên của X và biểu diễn x hay không ? Nếu µ tồn tại thì nó có duy nhất hay không ? ” Choquet đã chỉ ra rằng, nếu ta bổ sung giả thiết X khả mêtric thì khi đó sẽ tồn tại một độ đo xác suất µ trên X sao cho µ được tựa trên các điểm cực biên của X và biểu diễn x. Việc độ đo xác suất µ trên X có duy nhất hay không tùy thuộc vào tính chất hình học của X. Cho Y là một không gian Hausdorff compact, ( )C Y là một không gian Banach các hàm thực liên tục trên Y (theo chuẩn sup) và X là tập hợp tất cả các hàm L tuyến tính liên tục trên C ( )Y thỏa mãn ( )L 1 1 L= = . Khi đó X là một tập con lồi compact của không gian lồi địa phương ( )*E C Y= (trong tôpô yếu của nó) và định lí Riesz khẳng định rằng, với mỗi L X∈ sẽ tương ứng với duy nhất một độ đo xác suất µ trên Y, sao cho ( ) ( ) Y L f fd , f C Y= µ ∀ ∈∫ và Y là một đồng phôi (theo phép nhúng tự nhiên) với tập các điểm cực biên của X. Vậy ta có thể xem µ là một độ đo xác suất trên các tập con Borel của X, 0µ = trên tập mở X\Y. Khi đó µ được tựa bởi các điểm cực biên của X. Cần nhắc lại rằng EP*P là không gian của các hàm tuyến tính và liên tục yếu trên C(Y)P*P, bao gồm những hàm có dạng biến L thành L(f), với f∈C(Y), để thấy rằng đây là một dạng biểu diễn mà chúng ta đang quan tâm. Có hai điểm ở phần trên nên nhấn mạnh: Thứ nhất, các điểm cực biên của X tạo nên một tập con compact. Thứ hai, sự biểu diễn trên là duy nhất. Dễ thấy rằng, một độ đo xác suất bất kì µ trên Y xác định một hàm tuyến tính liên tục trên C(Y), mà nó thuộc X. Việc này là hoàn toàn đúng như kết quả sẽ trình bày sau đây. Trước tiên ta nhắc lại rằng một hàm φ từ một không gian tuyến tính vào một không gian tuyến tính khác là hàm affine nếu nó thỏa mãn ( )( ) ( ) ( ) ( )x 1 y x 1 yφ λ + − λ = λφ + − λ φ với mọi x, y và mọi số thực λ . Mệnh đề 1.1.3. Cho Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E, và bao lồi đóng X của Y là một tập compact. Nếu µ là một độ đo xác suất trên Y thì tồn tại duy nhất một điểm x X∈ được biểu diễn bởi µvà hàm µ là một ánh xạ affine liên tục yếu từ ( )*C Y vào trong X. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng tập lồi compact X chứa điểm x thỏa mãn ( ) * Y f x fd , f E= µ ∀ ∈∫ . Với mỗi *f E∈ , ta đặt ( ) ( ){ }fH y : f y f= = µ ; thì fH là những siêu phẳng đóng, và chúng ta cần chứng minh { }*fH : f E X∩ ∈ ∩ ≠∅ Vì X là tập compact, nên với mọi tập hữu hạn fR1R,,fRnR trong EP*P, i n fi 1 H X = ∩ ∩ là khác rỗng. Xét ánh xạ nT : E R→ thỏa mãn ( ) ( ) ( )( )1 2 nTy f y ,f y ,...,f y= Khi đó T là ánh xạ tuyến tính, liên tục Do đó TX là tập lồi, compact, điều đó chứng tỏ rằng p TX∈ , với ( ) ( ) ( )( )1 2 np f , f ,..., f= µ µ µ . Thật vậy, nếu p TX∉ thì tồn tại một hàm tuyến tính trên RPnP tách chặt p và TX. Biểu diễn hàm này là ( )1 2 na a ;a ;...;a= , ta có ( ) ( ){ }a;p sup a;Ty : y X> ∈ . Nếu kí hiệu *g E∈ là i ig a f=∑ thì khẳng định cuối trở thành ( ) Y gd supg Xµ >∫ . Từ bao hàm Y X⊂ và ( )Y 1µ = suy ra mẫu thuẫn. Vậy phần thứ nhất của chứng minh được hoàn thành. Tiếp theo, giả sử lưới αµ của độ đo xác suất trên Y hội tụ yếu trong C(X)P * P về một độ đo xác suất µ , cho xα và x là tích chập tương ứng của chúng. Vì X là tập compact nên ta cần chứng minh rằng x xα → , điều đó đủ để chứng tỏ rằng mọi lưới con hội tụ xβ của xα hội tụ về x. Nhưng nếu ta chọn x yβ → thì lưới con tương ứng βµ hội tụ yếu về µ và do đó ( ) ( ) ( ) ( ) *f x f f f x , f Eβ β= µ →µ = ∀ ∈ , từ điều cuối cùng tách các điểm của X, và x = y. Giả thiết rằng X là tập compact có thể nằm trong không gian E, mà trong đó bao lồi đóng của một tập compact luôn luôn là tập compact. Ví dụ như, nếu không gian E là đầy đủ hoặc E là một không gian lồi địa phương thu được bằng cách lấy một không gian Banach trong tôpô yếu của nó. Một điều đơn giản nhưng hữu ích, là đặc điểm của bao lồi đóng của một tập compact có thể được cho bằng những số hạng của những độ đo và các trọng tâm của nó. Mệnh đề 1.1.4. Giả sử Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E. Một điểm x của E thuộc bao lồi đóng X của Y nếu và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất µ trên Y biểu diễn điểm x. Chứng minh Nếu µ là một độ đo xác suất trên Y biểu diễn điểm X thì với mỗi *f E∈ ( ) ( ) ( ) ( )f x f supf Y supf X= µ ≤ ≤ . Vì X là tập lồi và đóng nên dẫn đến x thuộc X. Ngược lại, nếu x thuộc X thì sẽ tồn tại một lưới trong bao lồi của Y hội tụ về x, tương đương với việc tồn tại điểm yα có dạng n i i i 1 y x α α α α = = λ∑ ( i i i0, 1,x α α αλ > λ =∑ thuộc vào Y, α thuộc vào một vài tập định hướng) hội tụ về x. Ta có thể biểu diễn điểm yα bởi độ đo xác suất i ix α α αµ = λ∑ . Theo định lí Riesz, tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên Y có thể đồng nhất với một tập con lồi, compact yếu của C(Y)P*P, từ đó tồn tại một lưới con βµ của αµ , hội tụ ( trong tôpô yếu của C(Y)P * P ) về một độ đo xác suất µ trên Y. Trong trường hợp đặc biệt, mỗi hàm *f E∈ ( khi thu hẹp trên Y) thuộc vào C(Y), vì vậy lim fd fdβµ = µ∫ ∫ . Vì yα hội tụ về x, nên lưới con yβ cũng hội tụ về x, và do đó ( ) Y f x fd= µ∫ với mỗi *f E∈ . Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Từ mệnh đề trên, chúng ta dễ dàng trình bày lại định lí Krein – Milman. Ta nhắc lại phát biểu sau: “ Nếu X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương, khi đó X là một bao lồi đóng của các điểm cực biên của nó”. Chúng ta trình bày lại như sau: “ Mỗi điểm của một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương là trọng tâm của một độ đo xác suất trên X, mà độ đo xác suất này được tựa trên bao đóng của các điểm cực biên của X ”. Để chứng minh sự tương đương của hai khẳng định này, ta giả sử rằng giả thiết trên thỏa mãn và x thuộc X. Cho Y là bao đóng của các điểm cực biên của X; vậy thì x thuộc bao lồi đóng của Y. Theo mệnh đề 1.1.4 thì x là trọng tâm của một độ đo xác suất µ trên Y. Nếu chúng ta thác triển độ đo µ trên X, thì chúng ta sẽ đạt được kết quả mong muốn. Ngược lại, giả sử rằng khẳng định thứ hai là đúng và x là một phần tử trong X. Khi đó theo mệnh đề 1.1.4, x thuộc bao lồi đóng của Y (ở đây ta định nghĩa Y như trên), vậy x thuộc bao lồi đóng những điểm cực biên của X. Rõ ràng rằng, bất kì định lí biểu diễn nào, mà sử dụng độ đo được tựa trên các điểm cực biên của X, đều là một sự gọt giũa của định lí Krein – Milman. Thực ra Klee đã chứng minh được rằng, hầu như mỗi tập con lồi compact của một không gian Banach hữu hạn chiều là một bao đóng những điểm cực biên của nó. Với những tập như thế thì phép biểu diễn Krein – Milman không cho nhiều thông tin hơn phép biểu diễn điểm lượng. Việc tìm thấy độ đo tựa trên các điểm cực biên của X, xuất phát từ điều kiện tập hợp các điểm cực biên không được là tập Borel. Điều khó khăn này được ẩn chứa trong trường hợp X là khả mêtrict. Ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.1.5. Nếu X là một tập con lồi, compact và khả mêtric của một không gian vectơ tôpô thì những điểm cực biên của X tạo nên một tập hợp Gδ . Chứng minh. Giả sử tôpô trên X là tôpô được sinh bởi mêtrict d, và với mỗi số tự nhiên n 1≥ cho ( ) ( ){ }1 1nF x : x 2 x y , y X,z X,d y,z n− −= = + ∈ ∈ ≥ . Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng các tập FRnR là những tập đóng, và một điểm x thuộc X, không phải là điểm cực biên của X, khi và chỉ khi nó thuộc vào các tập FRnR. Khi đó phần các điểm cực biên là một Fσ . Để ý rằng với mỗi điểm x của X, ta luôn có sự biểu diễn x qua độ đo xε . Nếu x không phải là một điểm cực biên của X thì x còn có sự biểu diễn theo độ đo khác nữa. Thực vậy, các điểm cực biên của X được mô tả bằng việc nó không biểu diễn những độ đo khác. Mệnh đề 1.1.6. Cho X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương E và x X∈ . Điểm x là điểm cực biên của X nếu và chỉ nếu khối lượng điểm xε chỉ là độ đo xác suất trên X biểu diễn điểm x. Chứng minh. Giả sử x là một điểm cực biên của X và độ đo µ biểu diễn điểm x. Ta cần chứng minh rằng µ được tựa trên tập hợp { }x . Muốn vậy, ta chứng minh ( )D 0µ = với mỗi tập compact D, { }D X\ x∈ . Giả sử ( )D 0µ > với những tập D như trên. Từ tính compact của D, suy ra có một vài điểm y của D mà ( )U X 0µ ∩ > với mỗi lân cận U của y. Chọn U là một lân cận lồi đóng của y sao cho { }K U X X \ x= ∩ ⊂ . Tập K là tập compact, lồi và ( )0 r K 1< = µ < . (Nếu ( )K 1µ = thì tích chập x của µ thuộc vào K). Do đó ta có thể định nghĩa độ đo Borel µ R 1R và µ R 2R trên X, thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )111 2B r B K và B 1 r B X \ K−−µ = µ ∩ µ = − µ ∩ với mọi tập Borel B trong X. Cho xRiR là tích chập của µ R iR ; vì ( )1 K 1µ = nên 1x K∈ , khi đó 1x x≠ . Ngoài ra, ( )1 2r 1 rµ = µ + − µ , suy ra ( )1 2x rx 1 r x= + − , dẫn đến điều mâu thuẫn. Thật thú vị khi ta để ý rằng, định lí cổ điển Milman “hội tụ” đến định lí Krein-Milman, đó là một hệ quả dễ thấy của mệnh đề 1.1.4 và 1.1.6; từ đó dẫn đến bao đóng của exX là tập con đóng nhỏ nhất sinh ra X. Mệnh đề 1.1.7 (Milman) Cho X là một tập con compact của một không gian lồi địa phương, trong đó Z X⊂ và X là bao lồi đóng của Z. Khi đó các điểm cực biên của X được chứa trong bao đóng của Z. Chứng minh. Thật vậy, gọi Y cl Z= và giả sử rằng x exX∈ . Theo hệ quả 1.1.4, tồn tại một độ đo µ trên Y biểu diễn điểm x; theo mệnh đề 1.1.6 thì xµ = ε . Từ trên ta có x Y∈ , suy ra điều cần phải chứng minh. 1.2. Hàm hoàn toàn đơn điệu. Định nghĩa 1.2.1. Một hàm số thực f xác định trên ( )0;+∞ được gọi là hàm hoàn toàn đơn điệu nếu f có đạo hàm đến mọi cấp và ( )n n1 f 0− ≥ , với mọi n = 0, 1, 2, Nhận xét Ta luôn có f và các hàm số ( )n n1 f− là những hàm số không âm và không tăng. Ví dụ : x−α và xe−α ( )0α ≥ . Trong phần này chúng ta chỉ xét các hàm bị chặn. Ta kí hiệu một điểm compact hóa của ( ]0;+∞ là ( ]0;+∞ . Định lí 1.2.2 (Bernstein). Nếu f là hàm bị chặn và hoàn toàn đơn điệu trên ( )0;+∞ thì tồn tại một độ đo Borel đơn trị và không âm µ xác định trên [ ]0;+∞ sao cho [ ]( ) ( )0; f 0+µ +∞ = . Với x > 0 thì ( ) ( )x 0 f x e d ∞ −α= µ α∫ . Chứng minh. ( Chú ý rằng điều ngược lại là đúng, nghĩa là nếu một hàm f xác định trên ( )0;+∞ mà biểu diễn được như trên thì đạo hàm dưới dấu tích phân là tồn tại và f là hàm hoàn toàn đơn điệu. Ngoài ra, áp dụng định lí hội tụ mạnh Lebesgue cho hàm nf : e α − α→ , ta thấy rằng ( ) [ ]( ) 0 f 0 d 0; ∞ + = µ = µ ∞∫ , vậy f là hàm bị chặn). Choquet đã chứng minh điều này trong một trường hợp tổng quát hơn rất nhiều. Chúng ta bắt đầu bằng việc phác họa một cách khái quát các bước chứng minh định lí. Kí hiệu nón lồi của tất cả các hàm hoàn toàn đơn điệu f là CM, khi đó ( )f 0+ < ∞ . (Vì một hàm hoàn toàn đơn điệu f là không tăng nên giới hạn bên phải tại điểm 0, luôn luôn tồn tại, mặc dù kết quả của giới hạn này có thể là vô cực.). Cho K là tập lồi chứa tron