Luận văn Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ___________________ Traàn Vaên Vöông ÑÒNH LÍ VEÀ CAÙC HEÄ TÖÛ PHOÅ DUÏNG ÑOÁI VÔÙI CAÙC NHOÙM ÑOÁI ÑOÀNG ÑIEÀU Chuyên ngành: Đại soá vaø lyù thuyeát soá Mã số: 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRAÀN HUYEÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy đã giảng dạy, truyền đạt cho em nhiều kiến thức trong các khóa học, nhờ đó em có điều kiện để thực hiện và hoàn thành luận văn. Đặc biệt, TS. Trần Huyên – Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình hoàn thiện kiến thức và hoàn thành luận văn. Em xin được gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy. Cuối cùng, em xin cảm ơn quý thầy phản biện đã xem luận văn và giúp em hiểu sâu sắc hơn vấn đề. Xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU  Lí do chọn đề tài Như ta đã biết, Đại Số Đồng Điều là một phần của Tôpô Đại Số , chuyên ngành xuất hiện từ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc hơn về các không gian tôpô. Trong đó, các tri thức về đồng luân dây chuyền, đồng điều đóng vai trò khá quan trọng. Nếu K là phức các nhóm aben và G là nhóm aben tùy ý thì Hom(K,G) là một phức. Định lí hệ tử phổ dụng là một lời giải cho bài toán tính đối đồng điều của phức Hom(K,G) thông qua đồng điều của phức K. Không chỉ vậy, định lí hệ tử phổ dụng còn có thể mở rộng thành một định lí tổng quát hơn, đó là định lí phân lớp đồng luân và định lí này giúp ta tính đồng điều của phức Hom(K,L) thông qua đồng điều của các phức K và L.Vì vậy, việc hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân là rất cần thiết. Nó có vai trò hỗ trợ trong việc tìm hiểu sâu hơn về Đại Số Đồng Điều và Tôpô Đại Số. Đó là lí do chọn đề tài.  Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân và cho thấy một vài ứng dụng của nó.  Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu trên phạm trù các phức, Hom của các phức và những vấn đề liên quan.  Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Làm rõ hai định lí quan trọng của đại số đồng điều: định lí hệ tử phổ dụng và định lí phân lớp đồng luân. Bên cạnh đó, cho thấy một vài ứng dụng của hai định lí trên trong việc tính đồng điều của phức Hom và tìm hiểu sâu hơn về đồng luân dây chuyền. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản được sử dụng khi trình bày luận văn. Đó là một số vấn đề về phức và đồng điều, hàm tử Ext, hàm tử Tor, Phần chứng minh của các mệnh đề, định lí có thể đọc chúng trong các tài liệu tham khảo. 1.1. Phức và đồng điều 1.1.1. Các định nghĩa  Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R-môđun là họ  n nK , gồm các R-môđun nK và các R-đồng cấu 1 , được cho theo tất cả các số nguyên n sao cho n n 1 0n n n: K K      . Như vậy, phức K là dãy vô tận về hai đầu: n n 1 n 1 n n 1K : K K K         trong đó tích của 2 đồng cấu nối tiếp nhau thì bằng 0.  Chu trình n-chiều của phức K là phần tử của môđun con n nC (K) Ker   Bờ n-chiều của phức K là phần tử của  n n 1 nB K K 1     Đồng điều H(K) là họ các môđun nn n 1 KerH (K) Im    . Đẳng thức  nH K 0 có nghĩa là dãy K khớp tại nK .  Phức K được gọi là tự do nếu nK là môđun tự do với mọi n .  Cho  n n và K K ,   ' ' 'n nK K ,  là các phức. Một biến đổi dây chuyền ' là họ các đồng cấu  f : K K 'K ,n nf : K n n sao cho: . 'n n n 1 nf f , n             ' * n n n ' n 1 n 1 f H f : H K H K c K f c K       được cảm sinh từ f là một đồng cấu.  Họ các đồng cấu  'n n n 1s s : K K   , n  được gọi là một đồng luân dây chuyền giữa 2 biến đổi dây chuyền f, g nếu thỏa: ' n 1 n n 1 n n ns s f g      Kí hiệu : s : f g  Cho K-phức các R-môđun và G là một R-môđun. Khi đó, ta có phức các nhóm aben sau: n 1 n n 1 n n 1Hom(K,G) : Hom(K ,G) Hom(K ,G) Hom(K ,G)         với . n n 1 n 1 n 1(f ) ( 1) f : K G       Đồng điều của phức được gọi là đối đồng điều của phức K với hệ số trong G. Đó là họ các nhóm aben được đánh theo chỉ số trên: Hom(K,G)   nn n n 1KerH (K,G) H Hom(K,G) Im    Các phần tử của được gọi là đối bờ n-chiều, còn các phần tử của được gọi là đối chu trình n-chiều. Như vậy, đối chu trình n-chiều là đồng cấu sao cho n 1Im  nKer nf : K G n 1f  0  . Mọi biến đổi dây chuyền cảm sinh biến đổi dây chuyền: 'K Kh :      * 'h Hom h,1 : Hom K ,G Hom K,G f fh    1.1.2. Một số kết quả thường dùng Định lí 1.1. Nếu  's : f g : K K và ' ' ' ' ''s : f g : K K là các đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền:  ' ' ' ' ''f s s g : f f g g : K K Định lí 1.2. Nếu  'f ,g : K K là các biến đổi đồng luân dây chuyền từ phức K tới phức K’ thì với mỗi ta có: n    'n n n nH ( f ) H ( g ) : H ( K ) H ( K ) . Định lí 1.3. (Dãy đồng điều khớp). Đối với mỗi dãy khớp ngắn các phức: 0 0    E : K L M ( là các biến đổi dây chuyền, và dãy khớp theo nghĩa khớp tại mọi n), dãy dài các nhóm đồng điều sau là khớp:  , 1 1 1 E ,n E ,n* * n n n n nH ( M ) H ( K ) H ( L ) H ( M ) H ( K )            trong đó,         * n * nH , H và    1E ,n n n: H M H K  là đồng cấu nối và được xác định như sau:    1 1LE ,n M Kcls m cls m      Mệnh đề 1.1. Cho K-phức các R-môđun và G là một R-môđun. Khi đó,  Hom K ,G và là các song hàm tử hiệp biến theo G và phản biến theo K. nH K ,G Mệnh đề 1.2. Xét phạm trù các R-môđun trái, kí hiệu là 1.2. Các hàm tử Hom và môđun RX Mod . R Mod 1. Quy tắc đặt tương ứng mỗi môđun RA Mod với nh om(X, A) vàóm H đặt mỗi R-đồng cấu là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù : A B  với đồng cấu nhóm: * : Hom( X ,A ) Hom( X ,B )     R Mod tới phạm trù các nhóm aben. un 2. Quy tắc đặt tương ứng mỗi môđ R ModA với nhóm Hom(A, X) và đặt mỗi R-đồng cấu là một hàm tử phản biến từ phạm trù : A B  với đồng cấu nhóm: * : Hom( B,X ) Hom( A,X )     R Mod tới phạm trù các nhóm aben. ất kì d các dãy sau đây là khớp: Định nghĩa 1.1. Cho K và L là phức các R-môđun. Ta định nghĩa phức Hom(K,L) là phức các p p n ư vậy, phần tử là m ọ các đồng cấu Định lí 1.4. Với mỗi môđun X và với b ãy khớp ngắn 0 0    A B C 0 0           * * * * Hom( X ,A ) Hom( X ,B ) Hom( X ,C ) Hom( C,X ) Hom( B,X ) Hom( A,X ) nhóm aben được xác định bởi: nHom (K,L) Hom    p (K ,L )  Nh ột h nf Hom (K,L)  p p p nf : K L , p   . Bờ Hf là họ  H p p p n 1f ) : K L   , ở ợc xác định bởi: ( đây H p( f ) đư  n 1p K nf ( 1) , f Hom K,L   H p L p 1( f ) f     với L và K là các tưđồng cấu bờ của các phức L và K ơng ứng. Nếu ' ': K K,h : L L  là các biến đổi dây chuyền thì: g      ' ', L Hom g,h : Hom K,L Hom K với p thỏa    n p p Hom g,h Hom g ,h      n     n p p n pHom g,h f h f g p là một biến đổi dây chuyền. h đề 1.3. Chu trình 0-chiều ức là biến đMện của ph ổi dây chuyền  Hom( K ,L ) f : K L ; nó là bờ của phần tử  1s Hom K ,L khi và chỉ khi s ân 0s : f là đồng lu . Từ mệnh ệ quả sau đây: đề 1.3, ta có h Hệ quả. Nhóm đồng điều là nhóm aben các lớp đồng luân của các biến đổi dây chuyền  0H Hom K ,L f : K L . Mệnh đề 1.4. Hom(K,L) là song hàm tử hiệp biến theo L và phản biến theo K. 1.3. Hàm tử Ext 1.3.1. Các định nghĩa  Cho A và C là các môđun trên vành R. Một mở rộng của A nhờ C là dãy khớp ngắn 0 E , : 0 A B C        các R-môđun và các R-đồng cấu.  Cấu xạ ' của các mở rộng là bộ ba : E E   , ,  các đồng cấu sao cho biểu đồ sau đây giao hoán:    E : 0 A B C 0      ' '' ' ' 'E : 0 A B C 0      Hai mở rộng E, E’ được gọi là toàn đẳng  'E E nếu A = A’, C = C’ và tồn tại cấu xạ . Dễ thấy quan hệ toàn đẳng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu  R hay đơn giản hơn   'A C1 , ,1 : E E  Ext C,A  Ext C,A là tập tất cả các lớp toàn đẳng của các mở rộng A nhờ C.  Tổng trực tiếp là một mở rộng của A nhờ C. Mở rộng được gọi là chẻ ra nếu nó toàn đẳng với tổng trực tiếp với tư cách một mở rộng. 0 A A C C 0     B C 0    E , : 0 A      Đồng cấu chéo, đồng cấu tổng  Đồng cấu chéo của một môđun C là đồng cấu: C : C C C,      (c) = (c,c)  Đồng cấu tổng của môđun A là đồng cấu: 1 2 1 2: A A A, a ,a ) a a        1.3.2. Một số mệnh đề Mệnh đề 1.5. Mọi mở rộng nhờ một môđun xạ ảnh luôn chẻ ra. Mệnh đề 1.6. Cho A, C và C’ là các môđun trên vành R. Nếu E là mở rộng của A nhờ C và là đồng cấu thì tồn tại mở rộng E’ của A nhờ C’ và cấu xạ . Cặp được xác định một cách duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của E’. Kí hiệu:  ': C C   ',E  1    'A , , : E E  E'E .    Mệnh đề 1.7. Cho A, C và C’ là các môđun trên vành R. Nếu E là mở rộng của A nhờ C và là đồng cấu thì tồn tại mở rộng E’ của A’ nhờ C và cấu xạ . Cặp được xác định một cách duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của E’. Kí hiệu: ': A A    ',E  1     'C, , : E E  'E E. . Mệnh đề 1.8. Đối với các đồng cấu ,  và mở rộng E trong các mệnh đề 1.6 và 1.7, tồn tại toàn đẳng:        E E Mệnh đề 1.9. 1. Đối với các môđun A và C cho trước, tập các lớp toàn đẳng của các mở rộng môđun A nhờ môđun C là nhóm aben với phép toán hai ngôi cho tương ứng các lớp toàn đẳng của các mở rộng và lớp toàn đẳng của mở rộng: 1E 2E  1 2 1 2    A CE E E E Lớp các mở rộng chẻ ra là phần tử không của nhóm này, phần tử đối của mở rộng bất kì E là  . 0    A A C C 1 A E 0  2. Ex là song hàm tử hiệp biến theo A và phản biến theo C. t C,A 1.4. Hàm tử Tor Định nghĩa 1.2. Cho là R-môđun phải và là R-môđun trái, ta xác định RG R C  RnTor G,C là tập tất cả các bộ ba:  t ,  C L, *: L . Trong đó, L là phức các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n,   là các biến đổi dây chuyền ( xem G, C là phức tầm thường, : L G,  *L H Rom L,R ). Nếu là một phức khác và 'L ': L L  là biến đổi dây chuyền thì ánh xạ liên hợp cũng là biến đổi dây chuyền. Đối với các biến đổi và , ta xem * '*: L L  * ' ': L G  *: L C     ' *' ,L, ',L,      và quan hệ bằng nhau trong  RnTor G,C là quan hệ tương đương bé nhất bảo toàn hệ thức trên. Nếu đã cho các ánh xạ ' thì các qui tắc: ': G G , : C C          * , L, , L,    * , L, , L, ;        là bảo toàn hệ thức trên. Đôi khi, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể viết thay cho . nTor RnTor Mệnh đề 1.10.  nTor G,C  1. là nhóm cộng aben với phép toán được xác định như sau: với 1 2  nt ,t Tor G,C thì        1 2 1 2     G C n* *t t t t Tor G,C 2. là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R-môđun phải và R-môđun trái đến phạm trù các nhóm aben. nTor Chương 2 ĐỊNH LÍ HỆ TỬ PHỔ DỤNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Nếu K là phức các nhóm aben và G là nhóm aben tùy ý thì Hom(K,G) là một phức. Định lí hệ tử phổ dụng là một lời giải cho bài toán tính đối đồng điều của phức Hom(K,G) thông qua đồng điều của phức K. 2.1. Bổ sung tính khớp cho phản hàm tử Hom(-, G) Như đã biết, với mỗi môđun G, phản hàm tử Hom(-, G) chuyển mỗi dãy khớp ngắn thành một dãy khớp chỉ về bên trái. Các kết quả sau bổ khuyết cho tính không khớp phải của phản hàm tư Hom(-, G). Mệnh đe 2.1. Cho A là môđun con của môđun B và E: 0 A B B/A = C 0    : B G   là dãy khớp các môđun. Khi đó, đồng cấu có thể thác triển tới đồng cấu khi và chỉ khi mở rộng : A G  E là chẻ ra. Chứng minh.  Giả sử đồng cấu : A G thác triển được tới : B G . Xét biểu đồ:     E: 0 A B C 0         (*) i'E : 0 G G C C 0      trong đó  được xác định như sau: Với b B, (b) b, b       . Khi đó, biểu đồ (*) giao hoán, thật vậy: + , ta có: a A   (a) (a), (a) (a),0 i (a) i               + b B  , ta có:      (b) b , b b              Vậy biểu đồ (*) là giao hoán, điều đó dẫn tới 'E E  là chẻ ra.  Ngược lại, nếu C 0 chẻ ra thì tồn tại đồng cấu B G là nghịch trái của i. Từ biểu đồ giao hoán: i 'E : 0 G B      ' 'i : ' ' E: 0 A B C 0 E: 0 G B C 0 i i                 Ta suy ra là thác triển của  .  i ' : B G  Mệnh đề 2.2. Nếu là dãy khớp ngắn các môđun thì với môđun G bất kì, ta có dãy khớp các nhóm aben sau: E: 0 A B C 0     0 * * * *EHom(C,G) Hom(B,G) Hom(A,G) Ext(C,G) Ext(B,G) Ext(A,G)       (2.1) Chứng minh. Theo định lí (1.4), dãy (2.1) khớp tại Hom(C,G) và Hom(B,G). Ta chứng minh dãy (2.1) khớp tại những vị trí còn lại.  Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Hom (A,G): Xét đồng cấu , ta có: : A G   * * * Im : B G : B G E KerE                    sao cho coù theå thaùc trieån tôùi ñoàng caáu cheû ra ( do meänh ñeà 2.1 ) Do đó: . Vậy dãy (2.1) khớp tại Hom ( A,G). *KerE Im * 0 * )  Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Ext(C,G): + Do chẻ ra nên dẫn đến . E * * *σ E =(Eσ)  * *Im E Ker  + Bây giờ ta cần chứng minh . Xét mở rộng bất kì mà chẻ ra. Khi đó, biểu đồ sau giao hoán: *Kerσ ImE 1E Ext(C,G 1E σ A  1E σ: 0 G G B B 0    β  1β σ 1 11 1E : 0 G B C 0     trong đó là nghịch phải của , ta định nghĩa   1 : B B1    . Do  là nghịch phải của  nên . Do đó . Từ đó ta có: 1 1 C    : B 1 1 0         1 1 a a 0, a       A 1 Vì dãy E1 khớp nên  1 1a Ker Im      , hơn nữa 1 đơn cấu nên tồn tại duy nhất    1 1g G : g a     . Bây giờ đặt: 1 : A G a g    thì hiển nhiên là đồng cấu và . Xét biểu đồ sau: 1 1 1    1 E: 0 A B C 0     1  1β 1 11 1E : 0 G B C 0     Do các hình vuông giao hoán nên bộ ba 1 1 1( , ,1) : E E   là cấu xạ các dãy khớp và vì vậy ta có . Vậy dãy (2.1) khớp tại thành viên Ext(C,G). 1 1E   E  Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Ext(B,G): + Ta có:  ** * * *0 Im Ker         . + Ta chứng minh: *Ker Im *   . Lấy bất kì dãy khớp ngắn   1 11B B   *1 1 1 1E Ker , E , : 0 G 0       mà 1E  chẻ ra. Gọi  1, ,  là cấu xạ: . Bây giờ ta cần tìm 1 1E E  2E E xt C,G sao cho E2 1E  . Xét biểu đồ sau: 21 2 1 1 2 2 1 1 1 ' ' 2 0 : 0 0 : 0 0 : 0 0 0 pi i E G G A A E G B B E G B C                             Ta cần tìm môđun B’ và xây dựng các đồng cấu 2, 2  và ' để được biểu đồ giao hoán trên và E2 là dãy khớp. Gọi là nghịch phải của 2i : A G A  2p : G A A  . Ta có: 2 2 Ap i 1 . Đặt . Lấy và 2 1i : A B    ' 1B B / Im  ' '1 1: B B B / Im    là phép chiếu. Chọn . ' '2 1 : G B B   1 / Im   Khi đó:  ' '2 1 1 1(g) (g) (g) (g) Im          . Ta xây dựng '2 1: B B / Im C   1b Im (b)   . Với định nghĩa này thì là đồng cấu. Thật vậy: 2 Giả sử 1 2b Im b Im     , với 1 2 1b ,b B 1 2 1 2 2 b b Im a A : b b (a) i (a)                      1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2b b i (a) i (a) p i (a) p i (a) 0               (vì 1 2p    và ) 0  1 1 1 2(b ) (b )   . Do đó, là ánh xạ. Và dễ dàng nhận thấy 2 2 là đồng cấu. Hơn nữa, ta có: c C  , do là toàn cấu nên  b B : (b) c    .Và do là toàn cấu nên 1 1 1 1 1b B : (b b )    2 1 1 1b Im (b )     (b) c   . Như vậy, 2 là toàn cấu. Như vậy ta chỉ còn phải kiểm tra tính khớp của dãy: 2 2' 2E : 0 G B C 0      Giả sử: '2 1(g) 0 (g) 0      ' 1(g) 0    1(g) Im 0 Im      1 1 1 1 a A : (g) (a) (g) (a)            Mà        1 1 2 1 2 2 2 2 2i i p i p i              (**) (vì 1 2p    và 2 2 Ap i 1 ) Mặt khác, nên (do 1 1 0   1 1 1(a) (a) (g) 0 a 0           đơn cấu) 1(g) (a) (0) 0      g 0  (do đơn cấu). 1 Do đó, là đơn cấu. Giờ ta cần chứng minh:2 2 2Im Ker   , ta có:    ' '2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0                       (vì 1 1 0   ) 2 2Im Ker    Mặt khác, lấy bất kì   2b Im Ker    , với 1b B , thì:  '1 2 2(b) (b) b Im 0         1 1 (b) Ker Im a A : (b) (a)            Mà (do (**)) 1      1 1 1 (b) (a) (a) b (a) 0           1 1b (a) Ker Im      1 1g G : b (a) (g) b (g) (a) Im           2 ' '1 1 1 2b Im (g) Im (g) (g) (g) Im                  2 2Ker Im    Như vậy, . Và do đó dãy (2.1) khớp tại Ext(B,G). 2Ker Im  2   Vậy dãy (2.1) khớp đối với bất kì G.  Mệnh đề 2.2 khẳng định rằng hàm tử Ext là sự bổ khuyết cho tính không khớp phải của hàm tử Hom. Tuy nhiên, khi đó Ext lại gây nên một sự không khớp mới: trong dãy (2.1), ánh xạ không phải luôn là toàn cấu. Thật vậy, ta xét ví dụ sau:   Ext B,G Ext A,G Ví dụ. Cho là vành các đa thức 2 biến x, y với hệ số trong trường K, và là iđêan gồm các đa thức có hệ số tự do bằng 0 ( có thể xem như là R-môđun). Ở đây, trường K được xét như là R-môđun với phép nhân ngoài như sau: R K x, y f(x,y).k = f(0,0).k , f(x,y)  R = K[x,y] và  k  K. (f(0,0) là hệ số tự do của đa thức f(x,y)  R) Ta kiểm tra với phép nhân trên thì K là R-môđun: Thật vậy,  f(x,y),g(x,y)  R = K[x,y] và  k,h  K ta có: + M1: 1. (vì đa thức có hệ số tự do bằng 1) k k f (x, y) 1 Vì đa thức có hệ số tự do bằng tích 2 hệ số tự do của 2 đa thức và g( nên: f (x, y).g(x, y) f (x, y) x, y) + M2: [f(x,y).g(x,y)].k = [f(0,0).g(0,0)].k = f(0,0).[g(0,0).k] = f(x,y).[g(0,0).k] = f(x,y).[g(x,y).k] + M3: f (x,y).( k + h) = f(0,0).( k + h) = f(0,0).k + f(0,0).h = f(x,y).k + f(x,y).h Vì hệ số tự do của đa thức bằng tổng 2 hệ số tự do của 2 đa thức và nên: f (x, y) g(x, y) f (x, y) g(x, y) + M4: [f(x,y) + g(x,y)].k = [f(0,0) + g(0,0)].k = f(0,0).k + g(0,0).k = f(x,y).k + g(x,y).k Xét dãy  E , : 0 x, y R K        0 Trong đó, là phép nhúng : x, y R    và  : R K x, y K   f (x, y) f (0,0) Để kiểm tra tính khớp của E ta cần chỉ ra rằng là toàn cấu và Ker Im   . +  là toàn cấu: Xét  f (x, y),g(x, y), r r(x, y) R K x, y   x, y) g(x, y) , y) f (x, y) , vì hệ số tự do của đa thức bằng tổng 2 hệ số tự do của f ( và và hệ số tự do của đa thức bằng tích 2 hệ số tự do r(x và nên ta có:  f (x, y) g(x, y) .f (x, y)r(x, y) * [f(x,y) + g(x,y)] = f(0,0) + g(0,0) = [f(x,y)] + [g(x,y)].   * [ r.f(x,y)] = [r(x,y).f(x,y)] = r(0,0).f(0,0) = r(x,y).f(0,0) = r. [f(x,y)].   Do đó, là đồng cấu R-môđun.  Hơn nữa, với , ta chọn k K   f (x, y) k R K x, y   thì ta có:  f (x, y) f (0,0) k   Như vậy, là toàn cấu.  + : Ker Im   Thật vậy, ta có: f(x,y) Ker [f(x,y)] = 0 f(0,0) = 0 f(x,y) = Im       Như vậy, dãy  E ,   là khớp 0 x, y R K     0 là dãy khớp. Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng: là không toàn cấu với mọi môđun G (tức là dãy (2.1) không khớp về bên phải). * : Ext(R,G) Ext( x, y ,G)    Do R là R-môđun tự do nên với mỗi môđun G nên để chứng minh là không toàn cấu với mọi môđun G, ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại môđun G sao cho hay nói cách khác không phải là R-môđun xạ ảnh. Ext(R,G) = 0 y ,G) 0   * : Ext(R,G) Ext( x, y ,G)    Ext( x, Gọi M là R-môđun tự do sinh bởi {x,y} : M = Rx Ry = K[x,y]x K[x,y]y.  Khi đó, ta có toàn cấu sau: p : M = K[x,y]x K[x,y]y [f(x,y).x , g(x,y).y] f(x,y).x + g(x,y).y    Thật vậy, dễ thấy p là