Luận văn Định lý điểm bất động trong không gian nón metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bài luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn và cung cấp đầy đủ các tài liệu để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách tốt nhất. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp đã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học tập. Sau cùng tôi xin kính chúc Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và tất cả các bạn dồi dào sức khỏe, luôn đạt được nhiều thành công trong công việc cũng như trong cuộc sống. Tôi xin chân thành cảm ơn. Học viên thực hiện Dương Thùy Vân MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN ....................................................................... 3 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón ............................................................................... 3 1.2 Không gian nón định chuẩn ............................................................................... 4 1.3 Định lí Krasnoselskii ......................................................................................... 7 Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED ........................................................................ 10 2.1 Không gian lồi địa phương có thứ tự ............................................................. 10 2.2 Không gian nón định chuẩn phi Archimed .................................................... 13 2.3 Các định lí điểm bất động ............................................................................... 14 2.4 Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers ........................................................... 18 2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm ................................................................... 20 Chương 3. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN ......... 24 3.1 E – không gian ............................................................................................... 24 3.2 Các định lý điểm bất động trong E-không gian ............................................. 26 3.3 Định lý Krasnoselskii trong E-không gian Banach ........................................ 28 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 33 1 LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên cũng như cho nhiều mô hình Kinh tế Xã hội. Lý thuyết điểm bất động hình thành từ đầu thế kỷ 20, phát triển mạnh mẽ và được hoàn thiện cho đến ngày nay. Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lý Schauder về điểm bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là các định lý quan trọng của lý thuyết điểm bất động. Năm 1955 Krasnoselskii đã kết hợp hai định lý này trong định lí quan trọng về điểm bất động của ánh xạ là tổng của ánh xạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục. Định lý này đã tìm được những ứng dụng sâu sắc trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân,Do sự quan trọng của định lý Krasnoselskii mà nó được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng. Hướng thứ nhất tìm cách giảm nhẹ điều kiện co và điều kiện compact hoặc điều kiện bất biến của miền xác định. Hướng mở rộng thứ hai là mở rộng về không gian như thay không gian định chuẩn bằng không gian lồi địa phương hoặc không gian nón - định chuẩn Không gian nón – mêtric và nón – định chuẩn được đưa vào nghiên cứu trong những năm 1950 khi thay miền giá trị của mêtric và chuẩn thông thường là [0, )∞ bởi nón dương của một không gian có thứ tự. Các không gian này tìm được các ứng dụng quan trọng trong Giải tích số, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điểm bất động. Các kết quả về điểm bất động trong không gian nón – mêtric chủ yếu liên quan đến ánh xạ dạng co. Việc tìm hiểu định lý Krasnoselskii cho không gian nón - định chuẩn và ứng dụng của nó là đề tài có ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Đó là lí do tôi chọn đề tài này. Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống hướng nghiên cứu định lý Krasnoselskii trong không gian nón - định chuẩn, không gian nón – định chuẩn phi Archimed, và trong E – không gian; các ứng dụng của nó trong phương trình tích phân, phương trình hàm. 2 Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và toàn diện hơn các kiến thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, thấy rõ hơn mối liên hệ giữa chúng; biết vận dụng các kiến thức đã học để học tập các vấn đề mới và làm quen với nghiên cứu khoa học. Luận văn có thể là tài liệu tham khảo “ Định lý Krasnoselskii trong không gian nón – định chuẩn” cho học viên Cao học chuyên ngành Toán Giải Tích. Luận văn có ba chương. Chương 1 trình bày định lý Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn. Chương 2 trình bày định Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn phi Archimed. Chương 3 trình bày định Krasnoselskii trong E - không gian. 3 Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN 1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón 1.1.1. Các định nghĩa 1) Tập K trong không gian Banach thực E (E, . )= được gọi là nón nếu i) K là tập đóng ii) K K K K K 0, ,+ ⊂ λ ⊂ ∀λ ≥ iii) { }K ( K)∩ − = ∅ Nếu K là nón thì thứ tự trong E sinh bởi K được định bởi x y y x K≤ ⇔ − ∈ Khi đó, cặp (E, K) được gọi là không gian Banach có thứ tự 2) Nón chuẩn Nón K được gọi là nón chuẩn nếu N 0 : x y x N y∃ > θ ≤ ≤ ⇒ ≤ 3) Ánh xạ tăng Ánh xạ A : M E E⊂ → được gọi là dương nếu A(x) x M, x≥ θ ∀ ∈ ≥ θ Ánh xạ A tăng nếu x, y M và x y thì A(x) A(y)∈ ≤ ≤ Ta dễ thấy nếu A : E E→ là ánh xạ tuyến tính và dương thì A là ánh xạ tăng 4) Nón liên hợp Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của K là { }* * : ( ) 0 = ∈ ≥ ∀ ∈K f E f x x K 1.1.2. Bổ đề 1) *( ) 0, ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈o ox K f x f K 2) Nếu ∈x K { }θ thì tồn tại *∈f K sao cho f (x)>0 1.1.3. Bổ đề Cho không gian Banach (E, . ) được sắp thứ tự bởi nón K và *. là phiếm hàm Minkowskii của tập [ ] [ ]( ,1) ( ,1)− ∩ +B K B Kθ θ . Khi đó 1. *. là một chuẩn trong E thỏa * u u u E≤ ∀ ∈ và * * u v≤ nếu u vθ ≤ ≤ 4 2. * . u  nếu K là nón chuẩn 1.2. Không gian nón định chuẩn 1.2.1. Định nghĩa Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự và X là không gian tuyến tính thực Ánh xạ :p X E→ được gọi là một chuẩn nón( hay K-chuẩn) nếu θ θ θ θ θ λ λ λ ≥ ∀ ∈ = ⇔ = = ∀ ∈ ∀ ∈ + ≤ + ∀ ∈  ) ( ) ( ) ( , laàn löôït laø phaàn töû khoâng cuûa E vaø X töông öùng) ) ( ) ( ) , ) ( ) ( ) ( ) , E E X E X i p x x X p x x ii p x p x x X iii p x y p x p y x y X Nếu p là một chuẩn nón trên X thì cặp (X, p) được gọi là không gian nón định chuẩn ( hay K – không gian định chuẩn) Không gian nón định chuẩn (X, p) với tôpô τ được kí hiệu là τ( , , )X p 1.2.2 Định nghĩa Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự; (X, p) là không gian nón định chuẩn. Ta định nghĩa { } θ →∞ →∞ = ⇔ ⊂ ∀ ⊂ = ∈ 1) lim x lim p(x - x)= trong E 2) A X ñoùng neáu , lim x thì x A n nn n nn x x A x Trong (X, p) ta sẽ xét hai tôpô sau 1 G X Xτ = ⊂{ } laø taäp ñoùng G τ2 là tôpô trên X được xác định bởi họ nửa chuẩn { }∈ *: f p f K (X, τ2 ) là không gian vectơ tôpô lồi địa phương. Họ các tập { }ε ε≤ ≤∈ 0 i ii nx X f p x f là cơ sở lân cận của θ Lưới { }α ⊂x X hội tụ về x trong τ2 nếu lim α − =( ( )) 0f p x x ∀ ∈ *f K 1.2.3. Định nghĩa Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự; (X, p) là không gian nón định chuẩn, τ là một tôpô trên X. Ta nói 5 1) τ( , , )X p là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mỗi dãy { } ⊂nx X mà ∞ + = −∑ 1 1 ( )n n n p x x hội tụ trong E thì { }nx hội tụ trong τ( , , )X p 2) τ( , , )X p là đầy đủ theo Kantorovich nếu với mỗi dãy { }nx thỏa − ≤ ∀ ≥( ) k,l n, k l np x x a với { } θ→∞⊂ =, lim an n Ena K thì { }nx hội tụ trong τ( , , )X p 1.2.4. Bổ đề Cho không gian Banach (E, . ) được sắp thứ tự bởi nón chuẩn K với N=1: x y x yθ ≤ ≤ ⇒ ≤ và (X, p) là không gian nón định chuẩn. Khi đó ánh xạ →: , q(x)= ( )q X p x là một chuẩn trên X có những tính chất sau: 1)Tôpô τ1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q) 2) Nếu τ1( , , )X p là đầy đủ theo Weierstrass thì (X, q) đầy đủ Chứng minh 1) Dễ thấy q là một chuẩn trên X và lim nn x x →∞ = trong τ1( , , )X p lim nn x x →∞ ⇔ = trong (X, q). Do đó A X⊂ là tập đóng trong τ1( , , )X p ⇔ A đóng trong (X, q) Vậy tôpô τ1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q) 2) Lấy dãy{ }nx X⊂ sao cho 1 ( )n n q x ∞ = < ∞∑ Chúng ta chứng minh sự hội tụ của chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ trong (X, q) Thật vậy, đặt 1 2 ...n ns x x x= + + + , *n N∈ , ta có 1 1 1 ( ) ( )n n n n n p s s q x ∞ ∞ − = = − = < ∞∑ ∑ 1 1 ( )n n n p s s ∞ − = ⇒ −∑ hôi tụ trong ( , . )E 6 Vì ( )1, ,X p τ là đầy đủ theo Weierstrass nên { }nx hội tụ trong ( )1, ,X p τ và trong (X, q). 1.2.5. Bổ đề Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự, (X,p) là không gian nón định chuẩn , τ là tôpô trên X 1) Nếu ( ), ,X p τ là đầy đủ theo Kantorovich thì ( ), ,X p τ đầy đủ theo Weierstrass 2) Nếu K là nón chuẩn và ( )1, ,X p τ là đầy đủ theo Weierstrass thì ( )1, ,X p τ là đầy đủ theo Kantorovich Chứng minh 1) Lấy dãy { }nx X⊂ sao cho 1 1 ( )n n n p x x ∞ + = −∑ hội tụ trong E Đặt 1 n n s x ∞ = =∑ 1 2 ...n ns x x x= + + + là tổng riêng thứ n của chuỗi Cho l k n> ≥ , ta có 1 1( )l k l k np x x s s s s− −− ≤ − ≤ − với lim( )nn s s θ →∞ − = trong E Vì ( ), ,X p τ là đầy đủ theo Kantorovich nên { }nx hội tụ trong ( ), ,X p τ hay ( ), ,X p τ đầy đủ theo Weierstrass 2) Lấy dãy{ }nx thỏa { }( ) , , , liml k n n n E n p x x a k l n a K a θ →∞ − ≤ ∀ ≥ ⊂ = Do K là nón chuẩn nên ( )l k np x x N a− ≤ Do đó { }nx là dãy Cauchy trong (X, q) nên { }nx hội tụ trong (X, q) Suy ra { }nx hội tụ trong ( )1, ,X p τ theo bổ đề 1.2.4 Vậy ( )1, ,X p τ là đầy đủ theo Kantorovich. 7 1.3. Định lí Krasnoselskii Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự, (X, p)là không gian nón định chuẩn và 1 G X Xτ τ= = ⊂{ } 2 taäp ñoùng hoaëc =G laø τ τ với 2τ là tô pô trên X được xác định bởi họ nửa chuẩn { }*:f p f K∈ Giả sử C là tập lồi đóng trong ( ), ,X p τ và S, T: C→X là hai toán tử thỏa (i) T(x) + S(y)∈ C ∀ x,y∈ C (ii) S liên tục và ( )S C là compact đối với tôpô τ (iii) Tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục dương Q: E→E với bán kính phổ r (Q)<1 sao cho: ( ( ) ( )) ( ) ,p T x T y Q p x y x y C − ≤ − ∀ ∈  Khi đó T+S có một điểm bất động trong hai trường hợp sau: (TH1) 1τ τ= , K là nón chuẩn, ( )1, ,X p τ là đầy đủ theo Weierstrass (TH2) 2 2, ( , , )X pτ τ τ= là đầy đủ theo Kantorovich Chứng minh Từ T(x) + S(y)∈C ∀ x,y∈ C và C là tập đóng nên ( ) x C, y S(C)T x y C+ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ Cố định y S(C)∈ , ta định nghĩa : , T ( ) ( )y yT C C x T x y→ = + Lấy ox C∈ , ta xây dựng dãy 1( )n y nx T x −= , *n∈ Đặt 1 0( )u p x x= − , ta có ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )nn n n n n np x x p T x T x Q p x x Q u+ − − − = − ≤ − ≤ ≤  và 1 0 ( ) ( ) ( )n n Q u I Q u ∞ − = = −∑ Đặt 1 2 ...n ns x x x= + + + là tổng riêng thứ n của chuỗi Cho l k n> ≥ ta có 8 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l ni l k i i n i k i k p x x p x x Q u I Q u s θ − − →∞− + = = − ≤ − ≤ ≤ − − →∑ ∑ Trường hợp 1: K là nón chuẩn, ( )1, ,X p τ là đầy đủ theo Weierstrass Khi đó theo bổ đề 1.2.5, ( )1, ,X p τ là đầy đủ theo Kantorovich. Do đó tồn tại * lim nn x x →∞ = Ta có: ( ) + + − ≤ − + −  ≤ − + −  * * * 1 * * 1 * [ ( ) ] [ ( ) ( )] ( ) Q ( ) (1) y y y n n n n p T x x p T x T x p x x p x x p x x ( )( ) + − ≤ − + − ∀ ∈   ** * * 1 * ( ) ( ) ( ) y n nf p T x x f Q p x x f p x x f K (2) Cho n→∞ trong (1) ta có * *( )yT x x= Trường hợp 2: 2( , , )X p τ là đầy đủ theo Kantorovich Với *f K∈ ta có *f Q K∈ . Cho n→∞ trong (2) ta có * *( )yT x x= Chứng minh điểm bất động của yT là duy nhất Giả sử có điểm a thỏa ( )yT a a= . Khi đó * * *( ) [ ( ) ( )] ( )y yp a x p T a T x Q p a x − = − ≤ −  Vì 1( )I Q −− là ánh xạ tuyến tính dương nên *( ) Ep a x θ− = Vậy *a x= Vì toán tử ( ) ( )yT x T x y= + có một điểm bất động duy nhất ( )y S C∀ ∈ Nên tồn tại toán tử 1( ) : ( )I T S C C−− → Ta chứng minh 1( )I T −− liên tục Thật vậy, lấy lưới { } ( )y S Cα ⊂ sao cho lim y yα = , ( )y S C∈ trong tôpô τ Đặt 1 1( ) ( ), ( ) ( )x I T y x I T yα α − −= − = − , ta có ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( )]+ ( )p x x p T x T x p y y Q p x x p y yα α α α α− ≤ − + − ≤ − − Suy ra 1( ) ( ) [( )]p x x I Q p y yα α −− ≤ − − (3) 9 1 * ( ) ( ) [( )]f p x x f I Q p y y f Kα α −− ≤ − − ∀ ∈  (4) Từ (3) và K là nón chuẩn ta có 1lim x trong xα τ= Từ (4) và 1 *( )f I Q K−− ∈ ta có 2lim x trong xα τ= Toán tử 1( ) :I T S C C−− → là liên tục Vì 1( )I T −− là đẳng cấu nên 1 1( ) ( ) ( ) ( )I T S C I T S C− −− = − Do đó, do tính liên tục của ánh xạ 1( )I T −− và giả thiết ii) ta suy ra 1( ) ( )I T S C−−  là tập compact Theo định lý Schauder-Tychonoff, tồn tại x C∈ sao cho 1( ) ( )x I T S x−= −  Hay x = T(x)+ S(x). 10 Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED 2.1. Không gian lồi địa phương có thứ tự Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff thực mà tôpô của nó được xác định bởi họ nửa chuẩn{ }i i Ip ∈ . Khi đó họ các tập có dạng như dưới đây là cơ sở lân cận của θ , : ax p ( )J ii J V u E m uε ε∈   = ∈ <     , với 0, ,J I Jε > ⊂ hữu hạn Lưới { }uα hội tụ về u E∈ nếu { }( )ip u uα − hội tụ về 0 trong i I∀ ∈ Nếu K là nón thì thứ tự của E sinh bởi nón K được định nghĩa như sau u v v u K≤ ⇔ − ∈ Ta gọi cặp (E,K) là không gian lồi địa phương có thứ tự Nón K được gọi là nón minihedral nếu với mỗi cặp ,u v E∈ tồn tại cận trên đúng sup{u,v}. Ta kí hiệu sup{u,v} là u v∨ Ta kí hiệu u+ thay cho { }sup ,u θ , u- thay cho { }sup ,u θ− 2.1.1. Định nghĩa Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) có tính chất (E) nếu nón K là nón minihedral và (i) i I∀ ∈ , nửa chuẩn ip là bán đơn điệu , nghĩa là: 0 : ( ) . ( )i i i iN u v p u N p vθ∃ > ≤ ≤ ⇒ ≤ (ii) 0 : ( ) ( ) u Ei i i ii I m p u m p u +∀ ∈ ∃ > ≤ ∀ ∈ Từ (i) ta có nếu wn n nu v≤ ≤ và lim nu u= , lim wn u= thì lim nv u= Thật vậy, ta có wn n n nv u uθ ≤ − ≤ − nên ( ) ( )w 0,i n n i i n np v u N p u i I− ≤ − → ∀ ∈ Do đó n nv u θ− → hay nv u→ 11 2.1.2. Bổ đề Nếu không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) có tính chất (E) và lim nu u= , lim nv v= thì lim n nu v u v∨ = ∨ Chứng minh: Nếu lim nu θ= thì từ điều kiện (ii) của (E) ta có lim nu θ + = Giả sử lim nu u= , ta chứng minh lim nu u + += . Thật vậy, ( )(( ) )n n nu u u u u u u + + + + += − + ≤ − + ( )n nu u u u + + +≤ − + Suy ra ( ) u (u )n n nu u u u + + + +− − ≤ − ≤ − và do đó lim( ) = nu u θ + +− . Cuối cùng, ta có lim lim ( ) ( ) + = u .n n n n nu u uν ν θ ν ν θ ν ν ∨ = − ∨ + = − ∨ ∨  2.1.3. Định nghĩa Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) và toán tử Q : K K→ 1. Ta nói toán tử Q có tính chất (Q) nếu Q(θ ) = θ , Q liên tục tại θ và Q tăng ( )( ) ( )u Q u Qν ν≤ ⇒ ≤ . 2. Đặt { }1 n( ) sup , ( ),..., ( ) , S(u)= lim S ( )nn nS u u Q u Q u u− →∞= D = { u ∈K: S(u ) xác định} oD = {u ∈K: lim ( ) n n Q u θ →∞ = } Kí hiệu 1D là tập tất cả các phần tử u∈K sao cho lim ( ( ))nkn S Q u θ →∞ = đều đối với *k∈ (1) Vì họ các tập , : ax p ( )J ii J V u E m uε ε∈   = ∈ <     là cơ sở lân cận của θ nên (1) tương đương với điều kiện sau: *, 0, : , ( ( ( )))no o i ki I n n n k p S Q uε ε∀ ∈ ∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈ ⇒ < (2) 12 2.1.4. Bổ đề Giả sử không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ và có tính chất (E), toán tử Q có tính chất (Q) và 1u D∈ . Khi đó * 11) ( ) m mQ u D∈ ∀ ∈ và nếu v uθ ≤ ≤ thì 1v D∈ 2) ( ) nQ u D n∈ ∀ ∈và lim ( ( ))n n S Q u θ →∞ = Chứng minh: 1) Theo định nghĩa 1D , ta có 1( ) mQ u D∈ Q đơn điệu tăng ( )( ) ( )v u Q v Q uθ ≤ ≤ ⇒ ≤ nên ( ) ( ) *( ) ( ) k, nn nk kS Q v S Q u≤ ∀ ∈ * 1 neân i I, >0, n : , ( ( ( ))) n o o i ku D n n k p S Q uε ε∈ ∀ ∈ ∀ ∃ ∀ ≥ ∀ ∈ ⇒ < mà ip là bán đơn điệu nên ta có 1v D∈ 2) Trước tiên ta chứng minh u D∈ Giả sử A K⊂ là hữu hạn và 1 2A A A= ∪ , khi đó 1 2 1 2sup sup{sup ,sup } sup supA A A A A= ≤ + Từ đó ta có *( ) ( ) ( ( )) ,nn k n kS u S u S Q u n kθ +≤ − ≤ ∀ ∈ Do 1u D∈ nên lim ( ( )) n kn S Q u θ →∞ = đều đối với * k∈ Do đó { }( )n nS u là dãy cauchy trong E nên { }( )n nS u hội tụ hay u D∈ Do 1( ) nQ u D∈ nên ( )nQ u D∈ và do đó ( ( ))nS Q u xác định Cho k→∞ trong (2), ta có lim ( ( ( ))) 0 nin p S Q u i I→∞ = ∀ ∈ Vậy lim ( ( ))n n S Q u θ →∞ = . Nhận xét 1) Nếu lim ( ( ))nkn S Q u θ→∞ = đều đối với *,k∈ và đối với u C K∈ ⊂ thì lim ( ( ))n n S Q u θ →∞ = đều đối với u C∈ 13 2) Nếu (E, K) là không gian Banach có thứ tự với tính chất (E) và :Q E E→ là toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Q)<1 thì 1D K= và 1( ) ( ) ( )S u I Q u−≤ − Thật vậy, với ,k n N∀ ∈ , ta có ( ( )) ( )n ik i n S Q u Q uθ ∞ = ≤ ≤∑ lim ( ( ))nkn S Q u θ →∞ ⇒ = đều đối với *k∈ Cho n = 0 và k→∞ , ta có 1( ) ( ) ( )S u I Q u−≤ − 2.2. Không gian nón định chuẩn phi Archimed 2.2.1. Định nghĩa Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự 1. Ta gọi p là nón_ metric trên tập X nếu ánh xạ :p X X K× → thỏa (i) ( , ) Ep x y x yθ= ⇔ = (ii) ( , ) ( , ) ,p x y p y x x y X= ∀ ∈ (iii) ( , ) ( , ) ( , ) , ,p x y p x z p z y x y z X≤ + ∀ ∈ Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón _ metric Lưới { }xα hội tụ về x nếu lưới{ }( , )p x xα hội tụ về θ trong E Tập A X⊂ gọi là tập đóng nếu { } , lim xx A xα α⊂ = thì x A∈ 2. Không gian nón_metric (X, p) được gọi là đầy đủ theo Kantorovich nếu với mỗi dãy{ }n nx thỏa ( ), k, l n k l np x x a≤ ∀ ≥ với { } , lim an nn na K θ→∞⊂ = thì { }n nx hội tụ 2.2.2 Định nghĩa Nếu nón K là nón minihedral và p là nón _metric thỏa { }( , ) sup ( , ), ( , ) , x,y,z Xp x y p x z p z y≤ ∀ ∈ thì p được gọi là nón_metric phi Archimed 2.2.3 Định nghĩa Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự với K là nón minihedral, tôpô của E được xác định bởi họ nửa chuẩn { }i i Ip ∈ . Giả sử X là không gian vectơ thực và :p X K→ là ánh xạ thỏa 14 (i) ( ) E Xp x xθ θ= ⇔ = với ,E Xθ θ lần lượt là phần tử không trong E và X (ii) ( ) ( ) , x Xp x p xλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈ (iii) { }( ) sup ( ), ( ) x,y Xp x y p x p y+ ≤ ∀ ∈ Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón định chuẩn phi Archimed với tôpô được xác định bởi họ nửa chuẩn ( )i i Ip p ∈ 2.3. Các định lí điểm bất động 2.3.1. Định lí Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự, (E, K) đầy đủ, có tính chất (E) và k