Luận văn Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………….....………………………………… 4 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………………………………………………... 4 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………………………………………....... 4 4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN…………………………………………..……... 4 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………………………………..…... 5 6. NỘI DUNG LUẬN VĂN……………………………………………..….... 5 PHẦN NỘI DUNG Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………….. 6 1.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 6 1.2 Khoảng hội tụ………………………………………………………... 6 1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 7 1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa……………………………... 7 1.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 8 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 9 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 9 2.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 9 2.3 Phương trình vi phân cấp hai………………………………………... 10 2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……….. 10 2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất….. 12 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi………..... 12 2.6.1 Phương trình thuần nhất……………………………... 12 2.6.2 Phương trình không thuần nhất………………………...13 2.7 Phương trình Cauchy-Euler……………………………………………... 14 Chương 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI 1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………. 16 1.1 Phương pháp hệ số bất định………………………………………… 16 1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp……………………………………. 22 1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm dạng chuỗi…………………………….… 24 1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính…………………………………………………………………...…….. 25 1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt……………………………………………………………….…. 27 1.5.1 Phương trình Airy………………..………………. 27 1.5.2 Phương trình Legendre………………...………….. 30 1.5.3 Phương trình Hermite…………………………….. 34 2. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………. 37 2.1 Phương pháp Frobenius……………………………………….…… 37 2.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius................................................ 38 2.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy……………….….... 43 2.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius …………….……………. 48 Chương 3 CÁC BÀI TOÁN 1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………………………………. 58 2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………………………………… 77 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện bài luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Trần Thị Thanh Thúy. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để em có thể hoàn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài đến nội dung, hình thức. Và em cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua. Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ các quý Thầy cô và các bạn. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Sinh viên thực hiện. PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay nhưng em không được học trong chương trình đại học. Nhờ cô Trần Thị Thanh Thúy đã gợi ý và tận tình hướng dẫn nên em đã chọn đề tài “Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Thực hiện đề tài “Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi”, em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm nghiên cứu những lớp phương trình vi phân có thể ứng dụng phương pháp chuỗi để giải trên cơ sở tổng hợp lại các khái niệm, định lý, tính chất của chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân. Thực hiện bài luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là: Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang web về phương trình vi phân, chuỗi lũy thừa, nghiệm chuỗi của phương trình vi phân…. Sau đó, phân tích, tổng hợp để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề. 4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN Nhận đề tài. Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài. Lập đề cương chi tiết. Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài. Thực hiện đề tài. Trình bày và thông qua GVHD. Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn. Báo cáo luận văn. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius. 6. NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn được chia làm 3 chương như sau: Chương 1: Kiến thức cơ bản Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau. Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn. Chương 3: Các bài toán Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được trình bày trong chương 2. PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. CHUỖI LŨY THỪA 1.1 Định nghĩa 1 Chuỗi lũy thừa theo x - x0 (hoặc chuỗi luỹ thừa tâm tại x0) là chuỗi hàm có dạng: (1.1) ở đó các a ( n = 0, 1, 2, ...) là các hằng số và được gọi là các hệ số của chuỗi. Đặc biệt, khi ta được chuỗi (1.2) và được gọi là chuỗi MacLaurin. 1.2 Khoảng hội tụ Chuỗi (1.1) luôn hội tụ tại . Tập hợp tất cả các điểm tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại . Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa. ∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa , chỉ có một trong 3 khả năng sau: Chuỗi hội tụ chỉ tại Chuỗi hội tụ với mọi x. (iii) Chuỗi hội tụ trong một khoảng tâm tại : , hoặc , hoặc , hoặc Số trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp (i) ta nói , trường hợp (ii) ta nói * Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau: , (1.3) (1.4) 1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa Để đơn giản, ta xét các chuỗi lũy thừa với , tức là chuỗi có dạng Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó. Tính chất 1. Giả sử và . Khi đó f(x) + g(x) = Tính chất 2. Với c là hằng số và n là số nguyên, ta có: cxm . Tính chất 3. Nếu với -R < x < R thì f '(x) = = a1 + 2a2x + . . . với -R < x < R. Bằng cách lặp lại tính chất này , ta được: f(k)(x) = 1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Nếu một chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ thì tổng của chuỗi này xác định một hàm số trên . Khi đó, được gọi là khai triển được thành chuỗi lũy thừa. Hàm số và các hệ số của chuỗi này có liên hệ với nhau như thế nào ? Định lý sau sẽ trả lời cho câu hỏi này. ∆ Định lý 2 Giả sử chuỗi (1.5) hội tụ về với Khi đó: với * Nếu có đạo hàm mọi cấp tại thì chuỗi (1.6) được gọi là chuỗi Taylor của theo các lũy thừa của ∆ Định lý 3 (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử khả vi vô hạn lần và tồn tại : Khi đó, ta có: □ Định nghĩa hàm giải tích Một hàm số là giải tích tại nếu là tổng của chuỗi lũy thừa theo các lũy thừa của và chuỗi này có bán kính hội tụ . Nếu là giải tích tại mọi điểm trong khoảng mở thì được nói là giải tích trên khoảng I này. 1.5 Một vài khai triển cơ bản Sau đây là khai triển một số hàm sơ cấp đơn giản và thông dụng nhất: 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân □ Định nghĩa 2 Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó. Phương trình vi phân có dạng: . (1.7) trong đó, là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn . Cấp của phương trình vi phân là nếu là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn có mặt trong phương trình. Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thay vào thỏa phương trình. 2.2 Phương trình vi phân cấp một □ Định nghĩa 3 Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: (1.8) hay (1.9) ∆ Định lý 4 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình Giả sử các hàm liên tục trên hình chữ nhật và là điểm trong của . Khi đó, tồn tại nghiệm duy nhất của (1.9) xác định và liên tục trong khoảng ( nào đó ) sao cho . □ Định nghĩa 4 Nghiệm của phương trình vi phân (1.9) là hàm thay vào thỏa (1.9). Nghiệm tổng quát của (1.9) là hàm thỏa (1.9) với mọi hằng số . Nghiệm riêng của (1.9) là nghiệm duy nhất thỏa điều kiện ban đầu . Nghiệm riêng có thể thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho . Bài toán tìm nghiệm riêng được gọi là Bài toán Cauchy. 2.3 Phương trình vi phân cấp hai □ Định nghĩa 5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng (1.10) trong đó là các hàm của biến độc lập . Nếu thì (1.10) trở thành (1.11) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.10). Nếu thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. 2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất Tìm một nghiệm riêng . Tìm một nghiệm riêng độc lập tuyến tính với bằng công thức sau: Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.20) là: với là các hằng số bất kỳ. ◙ Chú ý Công thức cho nghiệm y2(x) được tìm từ phương pháp sau: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: trên khoảng mở mà trong đó các hàm và là các hàm số liên tục. Giả sử ta đã biết nghiệm của phương trình này. Ta sẽ tìm nghiệm , sao cho và tạo thành hệ nghiệm độc lập tuyến tính. Đặt . Nếu ta biết thì sẽ tìm theo công thức: Thay biểu thức vào phương trình đã cho với và . Ta được: . Do là nghiệm phương trình đã cho nên: . Đặt với giả thiết không triệt tiêu trên I. Khi đó, phương trình trên trở thành . Giải phương trình này ta nhận được . Chọn ta có: chính là nghiệm độc lập tuyến tính với nghiệm y1(x). ∆ Định lý 5 Nếu là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình: thì và . 2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.11) Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.10) có dạng: với thỏa mãn hệ phương trình: Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.10) có dạng: 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi 2.6.1 Phương trình thuần nhất *Dạng: (1.12) trong đó, p, q là hằng số. *Cách giải: Giải phương trình đặc trưng: (1.13) * Nếu (1.13) có hai nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: (là hằng số tùy ý) * Nếu (1.13) có nghiệm kép thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: * Nếu (1.13) có hai nghiệm phức liên hợp thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: 2.6.2 Phương trình không thuần nhất *Dạng: (1.14) trong đó, p, q là hằng số. * Cách giải: - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. - Tìm một nghiệm riêng của (1.14) a/ Trường hợp: trong đó, là một đa thức bậc và là hằng số. (i) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm riêng dạng: là một đa thức cùng bậc với có hệ số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. (ii) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm riêng dạng: với được xác định như trên. (iii) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.13) thì nghiệm riêng: là một đa thức cùng bậc với có các hệ số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định). b/ Trường hợp: : trong đó , là các đa thức bậc n và m; là các hằng số. (i) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm riêng dạng: . (ii) Nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm riêng: trong đó là các đa thức bậc có các hệ số được tìm bằng phương pháp hệ số bất định. - Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất là: . 2.7 Phương trình Cauchy-Euler □ Định nghĩa 6 Phương trình Cauchy-Euler là phương trình có dạng: (1.15) trong đó, là các hằng số. ■ Cách giải: Đổi biến , (1.16) Suy ra: (1.17) (1.18) và (1.19) Thế (1.18) và (1.19) vào (1.15) ta được: (1.20) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số. Giải (1.20) tìm được nghiệm Kết hợp (1.16) và (1.17), suy ra nghiệm của phương trình đã cho. Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI 1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA Một số phương trình vi phân có dạng rất đơn giản nhưng rất khó tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp. Ví dụ như phương trình . Phương trình này liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử và một số phương trình vi phân khác nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý nên việc giải các phương trình như dạng trên là rất quan trọng. Vì vậy, cần thiết phải xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm cho các phương trình nói trên. Trong đó, phương pháp ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa là phương pháp thông dụng nhất. * Phương pháp chuỗi lũy thừa: Phương pháp chuỗi lũy thừa là một phương pháp cơ bản để giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hàm số. Ý tưởng về phương pháp chuỗi lũy thừa cho việc giải phương trình vi phân là đơn giản và tự nhiên. Phương pháp này cho nghiệm của phương trình vi phân ở dạng lũy thừa: Cơ sở toán học của phương pháp này là thay biểu thức trên cùng với các đạo hàm , . . . vào phương trình vi phân và từ đó xác định giá trị của các hằng số . 1.1 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau. ▪ Ví dụ 1 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau: với . Một nghiệm theo các lũy thừa của sẽ có dạng là: với : cũng hội tụ với mọi . Thế vào phương trình đã cho, ta được: Sắp xếp các số hạng theo cùng lũy thừa của , ta được: . Do một chuỗi bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của chuỗi đều bằng 0 nên ta có: Ta có: Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được: Suy ra: Vậy, nghiệm chuỗi cần tìm là: ▪ Ví dụ 2 Dùng chuỗi lũy thừa giải phương trình: . Giả sử phương trình có nghiệm dạng: y = . Lấy vi phân từng số hạng chuỗi này, ta được: y' = c1 + 2c2x + 3c3x2 + . . . = , y'' = 2c2 + 2.3c3x + . . . = . Thay vào phương trình đã cho, ta có: Sắp xếp vế những số hạng trên theo số mũ tăng dần của x, ta được: Vì phương trình này thỏa với mọi x nên: Từ đó: Ta thấy: biểu diễn qua , biểu diễn qua . Và biểu diễn qua nhưng biểu diễn qua . Do đó: Tương tự: Nếu ta thế các giá trị từ đến vào y = và đặt , làm nhân tử chung ta được: ◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm. * Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát cho các hệ số . Công việc này được tiến hành như sau: Ta giải phương trình vi phân đã cho, nhưng lần này ta sử dụng ký hiệu tổng và để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của y' , y'' dễ dàng hơn, ta đặt n’ = n – 2, nghĩa là n = n’ + 2. Ta được : Theo lý thuyết chuỗi lũy thừa, hai chuỗi và là như nhau. Nên . Kỹ thuật này rất quan trọng trong việc sử dụng phương pháp chuỗi. Thay y, y' và y'' vào phương trình vi phân đã cho, ta được: . Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng không. Do đó, các hệ số của phải bằng 0: Suy ra: n = 0, 1, 2, 3, . . . Nếu biết c0 và c1 thì các hệ số còn lại sẽ được xác định. Với Với Với Với Với Với Theo quy luật trên, ta có: Với các hệ số chẵn: Với các hệ số lẻ: Do đó, nghiệm của phương trình đã cho là: y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + . . . = c0 ( 1 - + - + . . . + + . . . ) +c1 ( x - ) = c0 + c1, với c0 và c1 là hai hằng số tùy ý. ► Nhận xét * Chúng ta nhận thấy hai chuỗi tìm được ở trên chính là các chuỗi Maclaurin của và . Do đó, nghiệm của phương trình là: * Tuy nhiên, có một số trường hợp khó có thể biểu diễn các nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa của các phương trình vi phân dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết. Ví dụ sau minh họa điều này. ▪ Ví dụ 3 Giải phương trình: . Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: Khi đó: Thếvào phương trình và rút gọn, ta được: = 0 . Do đó: (n+2)(n+1)cn+2 - (2n-1)cn = 0. Vậy: cn+2 = , n = 0, 1, 2, . . . Với Với Với Với Với . . . . . . . . . . . . . Tổng quát, các hệ số được cho bởi: Do đó, nghiệm của phương trình là: ► Nhận xét Trong ví dụ này, hai chuỗi lũy thừa trong công thức nghiệm không thể được biểu diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết. □ Định nghĩa 1 Hệ thức truy hồi giữa là một phương trình có dạng nghĩa là cm+n được xác định bởi m số hạng trước nó. * Số nguyên dương m là bậc của hệ thức truy hồi. Ví dụ: là hệ thức truy hồi bậc hai. * Không có phương pháp tổng quát để tìm hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, kỹ thuật đơn giản thường làm là viết lại một cách khéo léo hệ thức truy hồi. Điều này được minh hoạ qua các ví dụ sau: * Hệ thức truy hồi có thể được viết lại dưới dạng: , nên Do đó, * Hệ thức truy hồi có thể được viết lại dưới dạng: , nên Do đó, cn = c0 / 2n . * Hệ thức truy hồi có thể được giải như sau: Nếu là số chẵn, , hệ thức truy hồi trên có thể được viết là : , nên Do đó, Nếu n là số lẻ, n = 2m +1, hệ thức truy hồi trên có thể được viết là , nên Do đó, 1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp Để đơn giản ta trình bày phương pháp này cho các phương trình cấp hai. Các phương trình cấp khác được trình bày tương tự. * Xét phương trình (2.1) , (2.2) trong đó, hàm số và các đạo hàm riêng của nó liên tục trong miền mở chứa điểm . Vấn đề trước tiên là tìm với , đã biết. Để tìm chỉ việc cho , , vào (2.1) ta được (2.3) Tiếp theo để tìm , ta đạo hàm (2.1) (2.4) rồi cho , , , ( theo (2.3)) vào (2.4) ta được Tiếp tục quá trình đó ta lần lượt tìm được , với mọi . Tiếp đến thiết lập chuỗi Taylor rồi tìm khoảng hội tụ của nó. Cuối cùng là kiểm tra xem chuỗi đó có phải là nghiệm hay không. Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau: ▪ Ví dụ 4 Xét phương trình , Ta có ngay , dễ thấy rằng Từ đấy, ta được Vậy ta có chuỗi lũy thừa quanh là: Ta có: Vậy là nghiệm của phương trình. ▪ Ví dụ 5 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm một nghiệm riêng của phương trình sau: , với . Bài toán này đã được giải bằng phương pháp hệ số bất định. Ta có: . Vì các hàm này đều là các đa thức, nên nghiệm chuỗi nhận được sẽ hội tụ với mọi . Điều kiện ban đầu cho ta giá trị của nghiệm và đạo hàm tại nên ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng chuỗi Maclaurin là: . Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay . Để tìm , ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta được: . Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của phương trình này ta được: . Kết hợp với , ta suy ra: , . Từ đó, ta được: là nghiệm chuỗi với năm số hạng đầu tiên thỏa yêu cầu bài toán. ◙ Chú ý trong ví dụ trên được trình bày trong định lý sau đây. 1.3 Điều kiện tồn tại nghệm dạng chuỗi □ Định nghĩa điểm chính qui Điểm được gọi là điểm chính qui ( điểm thông thường) của phương trình vi phân tuyến tính nếu các hàm và đều giải tích tại . ∆ Định lý 1 Cho phương trình vi phân tuyến tính có dạng: Nếu mỗi hàm tro