Luận văn Giải quyết một bài toán đặt ra khi tìm hiểu sâu về định lý frobenius

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Việt Mười GIẢI QUYẾT MỘT BÀI TOÁN ĐẶT RA KHI TÌM HIỂU SÂU VỀ ĐỊNH LÝ FROBENIUS Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LêI C¶M ¥N Lêi nãi ®Çu tiªn t«i xin ®−îc bμy tá lßng biÕt ¬n ch©n thμnh ®Õn Ban gi¸m hiÖu, Ban l·nh ®¹o Phßng KHCN & Sau ®¹i häc vμ Ban l·nh ®¹o khoa To¸n - Tin häc cña Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Thμnh phè Hå ChÝ Minh ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn cho häc viªn cao häc ®¹i sè khãa 16 hoμn thμnh tèt nhiÖm vô häc tËp cña m×nh. Xin ch©n thμnh c¸m ¬n c¸c thÇy: PGS. TS. Bïi T−êng TrÝ, PGS. TS. Mþ Vinh Quang, TS. TrÇn Huyªn, TS. Bïi Xu©n H¶i ë khoa To¸n - Tin häc cña hai tr−êng §¹i häc S− ph¹m vμ §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn Thμnh phè Hå ChÝ Minh ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vμ gióp ®ì chóng t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp. §Æc biÖt, xin bμy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt ®Õn thÇy PGS.TS. Bïi T−êng TrÝ, ng−êi ®· ra ®Ò tμi vμ trùc tiÕp h−íng dÉn ®Ó t«i hoμn thμnh tèt luËn v¨n nμy. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1843 khi nghiên cứu để tìm cách nhân những bộ ba số (a, b, c) thuộc R3, Sir William Rowan Hamilton đã tình cờ phát hiện ra quaternions. Sau này, quaternions được biết đến như là một ví dụ chuẩn về vành chia thật sự . Thậm chí, nó còn được chứng minh là vành chia vô hạn (Joseph Henry Maclagan Wedderburn chứng minh vào năm 1905). Dựa trên nền tảng của quaternions năm 1877 Frobenius đã xác định đại số đại số có phép chia trên trường số thực R và đưa đến định lý nổi tiếng - Định lý Frobenius. Khi nghiên cứu về định lý Frobenius chúng ta thấy rõ trường số phức C là trường mở rộng bậc 2 của trường số thực R, thể quaternions H là mở rộng của trường số phức C và nó có số chiều trên C là 2, số chiều trên R là 4. Tuy nhiên, trong quyển Lý thuyết các vành không giao hoán (Noncommutative rings) của I. N. Herstein khi muốn làm sáng tỏ định lý của Wedderburn-Artin về cấu trúc các vành Artin nửa đơn trong bổ đề 2.1.5 Herstein có nói “Cho K là một trường đóng đại số. Nếu D là đại số chia được, đại số trên K thì D=K” và trong quyển Đại số (Algebra) của Pierre Grillet có bổ đề 10.6.8 được Grille phát biểu “Cho D là một vành chia được hữu hạn chiều trên một trường con K. Nếu K là đóng đại số thì D=K”. Vậy phải chăng từ các kết quả này ta suy ra H=C. 2. Mục đích nghiên cứu Giải quyết bài toán được đặt ra và hiểu rõ, sâu sắc hơn về định lý Frobenius. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Kết hợp giữa đại số hiện đại và lý thuyết vành. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài Giải quyết mâu thuẫn đặt ra giữa định lý Frobenius và hai bổ đề: Bổ đề 2.1.5 trong quyển Lý thuyết các vành không giao hoán (Noncommutative rings) của I. N. Herstein, Bổ đề 10.6.8 trong quyển Đại số (Algebra) của Pierre Grillet. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn gồm ba chương: Chương 1: Các kiến thức cơ sở Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về vành, vành chia, trường, đại số trên một trường, trường đóng đại số, một số tính chất của vành chia Đặc biệt trong chương cũng xây dựng thể quaternions H, đại số quaternions H và chứng minh lại định lý Frobenius. Chương 2: Định lý Wedderburn - Artin và các hệ quả của nó Nội dung của chương trình bày một số định nghĩa của đại số không giao hoán và chứng minh một số kết quả cơ bản của đại số không giao hoán để làm cơ sở chứng minh định lý Wedderburn - Artin và các hệ quả của nó. Đặc biệt trong chương cũng phát biểu và chứng minh lại bổ đề 2.1.5 trong quyển Lý thuyết các vành không giao hoán (Noncommutative rings) của I. N. Herstein, bổ đề 10.6.8 trong quyển Đại số (Algebra) của Pierre Grillet để làm cơ sở cho chương 3. Chương 3: Giải quyết mâu thuẫn đặt ra ở cuối chương 2 Xây dựng khái niệm đa thức trên một thể và một số tính chất để làm cơ sở giải quyết vấn đề. Mâu thuẫn giữa định lý Frobenius và các bổ đề 2.1.5 của I. N. Herstein, bổ đề 10.6.8 trong quyển Algebra của Pierre Grillet đã được giải quyết ở mục 3.4 của luận văn. Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Vành 1.1.1. Định nghĩa Ta gọi là một vành mỗi tập hợp R  cùng với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng +: RxR  R (x, y) x + y, và phép nhân . : RxR  R (x, y) xy, thoả mãn ba điều kiện sau đây: (R1) R là một nhóm abel đối với phép toán cộng. (R2) Phép nhân có tính kết hợp (R3) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy với mọi x, y, z  R Khi hai phép toán điều đã rõ, ta sẽ nói đơn giản: R là một vành. Nhóm (R, +) được gọi là nhóm cộng của vành. Phần tử trung lập của nó ký hiệu bởi 0, phần tử đối của x  R được ký hiệu là (-x). Ký hiệu x - y := x+(-y) 1.1.2. Định nghĩa Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó giao hoán. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1  R sao cho 1.x = x.1 = x, x  R. 1.1.3. Ví dụ (a) Mỗi tập hợp số sau đây Z, Q, R, C đều lập thành một vành (giao hoán, có đơn vị) đối với hai phép toán cộng và nhân các số như thường lệ. (b) Tập hợp N các số tự nhiên không lập nên một vành với hai phép toán trên, vì N không khép kín đối với phép trừ. (c) Ta trang bị cho nhóm cộng Z/n các số nguyên modulo n (n > 0) một phép nhân như sau: [a][b] = [ab]. Dễ kiểm tra rằng định nghĩa này không phụ thuộc đại biểu. Nhóm cộng Z/n cùng với phép nhân đó lập thành một vành giao hoán, có đơn vị là [1], được gọi là vành các số nguyên modulo n. (d) Gọi M(n, R) là tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n (n > 0) với các phần tử trong một vành R. Cùng với hai phép toán cộng và nhân các ma trận, M(n, R) là một vành. Nó có đơn vị nếu R có đơn vị. Nhưng M(n, R) nói chung không giao hoán nếu n > 1, ngay cả khi R giao hoán Chẳng hạn              01 10 10 11 01 11 11 10 10 11 01 10 , trong M(2,R), với giả thiết rằng 1  0 trong R. (e) Giả sử A là một nhóm abel (với phép toán viết theo lối cộng). Gọi End(A) là tập hợp các tự đồng cấu của nhóm A. Tập này cùng với hai phép toán sau đây (   )(x) =  (x) +  (x), ( . )(x) =  ( (x)), , End(A), x A, lập nên một vành, gọi là vành các tự đồng cấu của A. Phần tử 0 của End(A) là đồng cấu 0, còn phần tử đơn vị là đồng cấu đồng nhất idA. 1.1.4. Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, phần tử a thuộc R được gọi là bội của phần tử b thuộc R (hay a chia hết cho b, ký hiệu a  b) nếu có c thuộc R sao cho a=bc. Trong trường hợp này ta còn nói rằng b là ước của a (hay b chia hết a, ký hiệu b | a). 1.1.5. Định nghĩa Nếu a0, b0 là các phần tử của một vành R với tích ab = 0, thì a được gọi là một ước trái của 0 và b được gọi là một ước phải của 0. Nếu vành R giao hoán thì a và b được gọi là các ước của 0. Chằng hạn, [2] và [3] là các ước của 0 trong Z/6 vì [2]0, [3]0 nhưng [2][3] = [6] = [0]. 1.1.6. Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán có đơn vị ký hiệu là 1, một phần tử a thuộc R được gọi là ước của đơn vị nếu tồn tại một phần tử b thuộc R sao cho ab=1. Một phần tử như thế cũng gọi là khả nghịch, nghịch đảo của nó được ký hiệu là a-1. Như vậy các ước của đơn vị trong một vành giao hoán R lập thành một nhóm giao hoán đối với phép nhân. 1.2. Trường 1.2.1. Định nghĩa (a) Vành có đơn vị R được gọi là một thể (vành chia được) nếu 1  0 và mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch, nói cách khác, nếu R\{0} là một nhóm đối với phép nhân. (b) Mỗi thể giao hoán được gọi là một trường. Như vậy trường là một vành giao hoán, có đơn vị 1  0 sao cho mọi phần tử khác 0 của nó đều khả nghịch. Điều kiện 1  0 tương đương với điều kiện R không tầm thường: R  {0} 1.2.2. Ví dụ: (a) Mỗi vành Q, R, C đều là một trường. Trong khi đó vành Z không là trường, vì các phần tử khác 1 đều không khả nghịch trong Z. (b) Vành Z/n các số nguyên modulo n là một trường nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố. Thật vậy, Z/n là một trường khi và chỉ khi mọi lớp [m]0 đều khả nghịch trong Z/n. Điều này tương đương với r  Z: [r][m]=[1],  r , s Z: rm +sn =1,  m và n nguyên tố cùng nhau. Mỗi lớp [m]  0 đều có một đại biểu m thoả mãn 0<m<n. Do đó, Z/n là một trường nếu và chỉ nếu n nguyên tố với mọi m thoả mãn 0<m<n. Đó là điều kiện cần và đủ để n là một số nguyên tố. (c) Giả sử K là một trường. Khi đó, M(n,K) không là một trường nếu n>1, vì vành này không giao hoán. (d) Thể quaternion: Gọi H là không gian véctơ thực 4 chiều. Các phần tử của H là những bộ số thực được sắp thứ tự (a, b, c, d). Đặt = (1,0,0,0), i=(0,1,0,0), j=(0,0,1,0), k=(0,0,0,1) thì { , i, j, k} là một cơ sở của H. Mỗi phần tử q=(a,b,c,d) của H được biểu diễn duy nhất dưới dạng: q= a + bi + cj + dk = a + bi + cj + dk. Phép cộng trên H được định nghĩa như sau: (a + bi + cj + dk) + (x + yi + zj + tk) = (a+x) + (b+y)i + (c+z)j + (d+t)k Phép nhân trên H được định nghĩa như sau: q =q = q với mọi q H  222 kji - ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j Quy tắc trên cho ta: (a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+tk) = (ax-by-cz-dt) + (ay+bx+ct-dz)i +(az-bt+cx+dy)j + (at+bz-cy+dx)k. Với mọi phần tử q=(a+bi+cj+dk) thuộc vào H ta đều có: (a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk) = a2 + b2 + c2 + d2 Đặt |q|2 = a2 + b2 + c2 + d2 và q= a - bi - cj - dk ta được phần tử k q d j q c i q b q a q q           22222 là phần tử nghịch đảo của phần tử q=a+bi+cj+dk thuộc H. Chúng ta dễ dàng kiểm tra được với phép toán cộng và phép toán nhân trên thì H là một thể, gọi là thể quaternion, nhưng không phải là trường. 1.2.3. Định nghĩa Một vành giao hoán R có đơn vị 10 và không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên. 1.2.4. Mệnh đề (a) Một vành giao hoán R có đơn vị 10 là một miền nguyên khi và chỉ khi trong R có luật giản ước: ab = ac, a0  b = c, với mọi a, b, c  R. (b) Mỗi trường đều là một miền nguyên. 1.2.5. Ví dụ (a) Z là một miền nguyên, nhưng không phải là một trường. (b) Z/n là một miền nguyên nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố. Thật vậy, nếu n là một hợp số thì nó có thể phân tích thành n = a.b trong đó 0<a,b<n. Hay [a][b] = [n] = 0 trong Z/n. Vậy Z/n có ước của 0. Ngược lại, giả sử n là một số nguyên tố, và [a][b] = 0 trong Z/n. Khi đó n chia hết a.b, nên hoặc n chia hết a (tức là [a]= 0), hoặc là n chia hết b (tức là [b] = 0). Do đó Z/n không có ước của 0. Kết hợp điều này với ví dụ 1.2.2 (b) ta thấy Z/n là miền nguyên nếu và chỉ nếu nó là một trường. (c) M(n,R) không là một miền nguyên nếu n > 1. Chẳng hạn với n = 2 ta có        00 00 00 0 00 0 aa , với mọi a  R. 1.2.6. Bổ đề Cho R là một miền nguyên, ta có các tính chất sau: i. a | a với mọi a thuộc R. ii. c | b và b | a thì c | a với mọi a, b, c thuộc R. iii. Cho u thuộc R, nếu u là phần tử khả nghịch thì u | a với mọi a thuộc R. iv. Cho b, u là các phần tử của R, nếu b | u và u là phần tử khả nghịch thì b là phần tử khả nghịch. v. Cho x, x' là hai phần tử thuộc R. Một quan hệ S xác định như sau: xSx' khi tồn tại một phần tử khả nghịch u của R sao cho x'=ux, là một quan hệ tương đương; x và x' gọi là liên kết. 1.2.7. Bổ đề Cho R là một miền nguyên, hai phần tử x, x’ của R liên kết khi và chỉ khi x | x’ và x’ | x. 1.2.8. Định nghĩa Các phần tử liên kết với phần tử x thuộc miền nguyên R và các phần tử khả nghịch trong R là các ước không thật sự của x, còn các ước khác của x được gọi là ước thật sự của x. 1.3. Trường đóng đại số Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1. Gọi A là tập hợp gồm tất cả các dãy vô hạn f = (a0, a1, a2, ) trong đó aiR và các ai đều bằng 0, trừ ra một số hữu hạn chỉ số i. Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trong A như sau. Giả sử g = (b0, b1, b2, )A. Khi đó: f+g = (a0+b0, a1+b1, a2+b2, ) f.g = (c0, c1, c2, ) trong đó ck = ji kji ba  , k=0, 1, 2, Dễ dàng kiểm tra lại rằng A cùng với hai phép toán đó lập thành một vành giao hoán, có đơn vị là 1 = (1, 0, 0, ) và phần tử không của vành này là 0 = (0, 0, 0, ). Ta ký hiệu X = (0, 1, 0, .)A. Dễ thấy X2 = (0, 0, 1, 0, 0, 0,) Xn = (  tu phann 0,...,0 , 1, 0, 0, ) a.Xn = (  tu phann 0,...,0 , a, 0, 0, ) với mọi aR Lúc này ta có f = (a0, a1, a2, , an, 0, , 0) = a0 + a1x + + anxn. Đây là cách biểu thị duy nhất đối với mọi phần tử fA. Mặt khác f là phần tử 0 nếu và chỉ nếu a0= a1= a2= = an=0 1.3.1. Định nghĩa Vành A nói trên gọi là vành đa thức của ẩn x với các hệ số trong R và được ký hiệu là R[x]. Mỗi phần tử của R[x] được gọi là một đa thức của ẩn x. Giả sử f = a0 + a1x + + anxn với an0 khi đó ta nói f có bậc n và viết deg(f)=n. Phần tử ai được gọi là hệ số thứ i của f, còn an gọi là hệ số cao nhất của f. 1.3.2. Mệnh đề Nếu R là một miền nguyên thì R[x] cũng vậy. 1.3.3. Định lý Giả sử R là một miền nguyên và gR[x] là một đa thức với hệ tử cao nhất khả nghịch trong R. Khi đó với mỗi đa thức fR[x], tồn tại duy nhất một cặp đa thức q, rR[x], sao cho: f = qg + r, deg r< deg g. 1.3.4. Định nghĩa Giả sử R là một miền nguyên. Phần tử a khác 0 và không khả nghịch của R được gọi là bất khả quy nếu a không có ước thật sự. Mọi phần tử không bất khả quy thì được gọi là khả quy. Ví dụ: (a) x2 - 2 là bất khả quy trong Q[x] nhưng khả quy trong R[x]. cụ thể là x2 - 2 = (x- 2 )(x+ 2 ). (b) x2 +1 là bất khả quy trong R[x] nhưng khả quy trong C[x]. cụ thể là x2 + 1 = (x+ 1 )(x- 1 ). 1.3.5. Định nghĩa Giả sử F là một trường. Ta nói phần tử c thuộc F là một nghiệm của đa thức f(x) = a0 + a1x + + anxn thuộc F[x] hay là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 nếu f(c) = a0 + a1c + + ancn = 0 1.3.6. Định lý Bézout Phần tử c thuộc F là một nghiệm của đa thức f(x) thuộc F[x] nếu và chỉ nếu (x-c) chia hết f(x) trong vành F[x] 1.3.7. Định lý Giả sử f(x) là một đa thức bất khả quy trong vành F[x]. Khi đó f(x) có nghiệm trong trường K:=F[x]/(f(x)) là một mở rộng của trường F. 1.3.8. Định nghĩa Trường F được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức ẩn x có bậc dương với hệ số trong F đều phân tích được thành tích của các nhân tử tuyến tính trong F[x]. Nói khác đi, trường F là đóng đại số khi và chỉ khi mọi đa thức bất khả quy trong F[x] đều là đa thức bậc nhất. Ví dụ: Trường số phức C là trường đóng đại số. 1.4. Đặc số của vành 1.4.1. Định nghĩa Giả sử R là một vành có đơn vị. Ta nói đặc số của R bằng n > 0 nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n.1 = 0. Nếu không có số nguyên dương nào như thế thì ta nói R có đặc số bằng 0. Đặc số của R được ký hiệu là char R. Như thế, nếu char R = n  0, thì vành con của R sinh bởi 1 (gồm tất cả các bội nguyên của 1) đẳng cấu với Z/n. 1.4.2. Ví dụ (a) Char Z = Char Q = Char R = Char C = 0. (b) Char (Z/m) = m. (c) Char Z[x] =Char Q[x] = Char R[x] = Char C[x] = 0. (d) Char (Z/m [x]) = m. 1.4.3. Định lý Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0, hoặc là một số nguyên tố 1.4.4. Mệnh đề Trong nhóm cộng của một miền nguyên R, mọi phần tử khác 0 đều có cùng một cấp, cấp này bằng Char R nếu Char R > 0 và bằng  nếu Char R=0. 1.4.5. Định lý Giả sử F là một trường. Khi đó trường con của F sinh bởi phần tử đơn vị hoặc là đẳng cấu với Z/p nếu Char F = p, hoặc là đẳng cấu với Q nếu Char F = 0. Nói cách khác mọi trường đều là một mở rộng hoặc của trường Z/p hoặc của trường Q tùy theo đặc số của nó bằng p hay bằng 0 1.4.6. Một vài tính chất của vành chia được Cho K là một vành chia được, F = {xK: xy = yx với mọi y  K} = Z(K) là tâm của nó, S = {  hh ir Kvíixxx 22 1 ..... }. Dễ thấy S có các tính chất sau: S + S  S. S.S  S. c  0, c  S khi đó: c-1 = c(c-1)2  S.S  S. Như vậy, S là vành chia được con của K Bổ đề 1: Nếu bình phương của mọi phần tử của K đều nằm trong F thì K là một trường. Chứng minh Trường hợp 1: Char K  2 Mọi phần tử a K đều được biểu diễn dưới dạng 22 2 1 2 1        aaa . (*) Kết hợp giả thiết cho ta a  F. Vậy K là một trường Trường hợp 2: Char K = 2 Giả sử K không là trường. Khi đó tồn tại a, b  K sao cho abba. Đặt c = ab + ba, ta được c  0. Ta có c = ab + ba = (a + b)2 - a2 - b2 nên c  F. Hơn nữa ca=(ab+ba)a = a(ba) + (ba)a = (a + ba)2 - a2 - (ba)2 nên ca  F. Từ đây cho ta a  F, tức là ta có được ab = ba. Điều này cho ta sự mâu thuẫn. Vậy K là một trường. Bổ đề 2: Nếu K không phải là trường đặc trưng 2 thì S = K Chứng minh Nếu Char K  2 thì 22 2 1 2 1        aaa , aK nên aS do đó S = K. Vậy ta chỉ cần chứng minh điều khẳng định khi Char K = 2 và K không là trường. Với mọi phần tử m, n bất kỳ thuộc K ta có thể phân tích phần tử mn + nm như sau: mn + nm = (m + n)2 - m2 - n2. Điều này chứng tỏ mọi phần tử dạng mn + nm đều thuộc S. Theo bổ đề 1 thì tồn tại phần tử x  K sao cho x2  F. Do đó có thể tìm được phần tử y  K sao cho x2y  yx2. Khi đó phần tử c = x2y + yx2  S. Lấy a là phần tử bất kỳ của K ta có: ca = (x2y + yx2)a = x2ya + yx2a = x2ya + yx2a + 2x2ay =x2ya + x2ay + yx2a + x2ay = x2(ya + ay)+y(x2a) + (x2a)y  S. Từ đó cho ta c-1(ca)  S tức là a  S. Vậy K = S Định lý Wedderburn: Mọi thể hữu hạn đều là trường. 1.5. Đại số trên một trường 1.5.1. Định nghĩa Cho trường K và tập hợp A Ø, trên tập A ta trang bị các phép toán như sau: (a) Phép cộng: +: A  A  A (x, y)  x + y (b) Phép nhân: . : A  A  A (x, y)  xy (c) Phép nhân với vô hướng (trong K): . : K  A  A ( , x)   x A được gọi là một đại số trên K nếu các điều kiện sau được thoả mãn: (A1) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành. (A2) A cùng với phép cộng và phép nhân với vô hướng lập thành một không gian vectơ trên K. (A3) Hai cấu trúc vành và không gian véctơ ở trên A ràng buộc nhau bởi điều kiện:  (xy) = ( x)y = x( y), với mọi   K, x,y A Nói cách khác, A là một đại số trên K nếu nó vừa là một vành vừa là một không gian vectơ, trong đó phép cộng của vành A trùng với phép cộng trong không gian vectơ A còn phép nhân của vành A thì liên hệ với phép nhân vô hướng trong không gian vectơ A bởi công thức  (xy) = ( x)y = x( y), với mọi   K, x,y A 1.5.2.Ví dụ (a) Mỗi trường mở rộng của trường K là đại số trên trường K. (b) Vành đa thức K[X] là một đại số trên trường K. (c) Tập hợp M(n, K) các ma trận vuông cấp n với các phần tử trong K lập nên một đại số trên K đối với các phép toán thông thường trên ma trận. (d) Giả sử V là không gian véctơ trên K. Tập hợp End(V) các tự đồng cấu của V là một đại số trên K đối với các phép toán thông thường trên tự đồng cấu (trong đó phép nhân là phép hợp thành các đồng cấu). (e) Đại số Quaternion H: Xét không gian vectơ thực 4 chiều H = RRiRjRk, với cơ sở {1, i, j, k}. Ta định nghĩa một phép nhân trên H bằng cách thác triển những đẳng thức sau đây, sao cho các điều kiện (A1) và (A3) được thoả mãn: 1222  kji , ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j. Như thế, H là một đại số trên R, được gọi là đại số Quaternion. Có một diễn đạt khác của đại số này như sau: H = ),2(,: CMCba ab ba          , Trong đó a là liên hợp phức của a, còn các phép toán (cộng, nhân, nhân với vô hướng) trên H là thu hẹp của các phép toán tương ứng trên M(2,C). Các phần tử 1, i, j, k được đặt tương ứng với các ma trận sau: , 10 01 1     , 10 01      i , 01 10     j ,01 10      k Dễ kiểm tra lại rằng các ma trận này thoả mãn các quan hệ về tích giữa 1, i, j, k nói trên. Hơn nữa      ab ba = Re(a)   