Luận văn Hàm trụ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội-2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT. Nguyễn Huy Lợi Hà Nội, 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. NGƯT Nguyễn Huy Lợi và các thầy cô giáo đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chất cũng như tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô, cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần xa và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn sớm được hoàn thành. LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Phùng Thị Nhàn NHỮNG KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trong bảng sau R tập hợp số thực C tập hợp số phức ∅ tập rỗng −∞ âm vô cùng ∞ dương vô cùng (tương đương với +∞) ber là phần thực của hàm bei là phần ảo của hàm Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 1. HÀM TRỤ 9 1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Hàm Gamar Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1. Hàm trụ loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2. Các hàm trụ khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3. Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ . . . . . . . . 39 1.3.4. Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm . . 47 Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết . . . . . . . . . . 53 2.1.1. Định lý cộng đối với các hàm Bessel . . . . . . . . 53 2.1.2. Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.3. Các tích phân có chứa hàm Bessel . . . . . . . . . 54 2.1.4. Tích phân Sonhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.5. Tích phân của thuyết sóng điện . . . . . . . . . . 58 2.1.6. Dao động của dây xích . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.7. Dao động của màng tròn . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.8. Nguồn nhiệt hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.9. Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn . . . . . . . . 67 62.2. Một số ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự ra đời của số phức và quá trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí thuyết hàm số biến số phức như một dấu mốc quan trọng trong quá trình phát triển toán học. Những kết quả đạt được trong lý thuyết đó đã giải quyết rất nhiều những vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác nhau. Khi nghiên cứu giải tích phức, một trong những vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ. Nhiều tính chất quan trọng của hàm trụ đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao trong vật lý, kỹ thuật, xây dựng. . . Từ việc nghiên cứu hàm trụ trong không gian hai chiều, nhiều nhà toán học đã không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều chiều và đạt được nhiều kết quả to lớn. Với những kết quả đã đạt được trong không gian các hàm biến số thực như việc tính độ dài đường cong, diện tích mặt, thể tích khối. . . . Việc nghiên cứu trên hàm trụ đã giải quyết một cách triệt để những vấn đề này trên những lớp hàm biến số phức đặc biệt được biểu diễn thông qua hàm trụ. Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong khoa học và đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Hàm trụ và ứng dụng” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 8Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Hàm trụ. Chương 2: Ứng dụng của hàm trụ. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic và hệ thống. 6. Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, giải toán và thực tiễn. Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và người yêu thích toán học. Chương 1 HÀM TRỤ 1.1. Hàm chỉnh hình Giả sử hàm f = u + iv xác định và hữu hạn trong lân cận nào đó của điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C. Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng f khả vi tại điểm z0 theo nghĩa giải tích thực (hay R2− khả vi), nếu các hàm u và v khả vi như những hàm của (x, y) tại điểm (x0, y0) biểu thức df = du+ idv, (1.1) được gọi là vi phân của f tại điểm z0. Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó C− khả vi trong lân cận của điểm ấy. Ta sẽ gọi hàm f là chỉnh hình trên tập mở D, nếu nó chỉnh hình tại mỗi điểm của D (do vậy trong tập D khái niệm giải tích và khả vi phức trùng nhau). Ta sẽ gọi hàm f chỉnh hình trên tập hợp bất kì M ⊂ C nếu nó có thể thác triển giải tích lên tập hợp mở nào đó D ⊃M . Cuối cùng, hàm f chỉnh hình tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh hình của hàm ϕ(z) = ϕ(1z) tại z = 0. Định nghĩa này cho phép ta xét hàm chỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C. Định lý 1.1. Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng chỉnh hình trong miền ấy. Do đó tập hợp tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên một vành và vành này ta sẽ chỉ bằng kí hiệu H(D). H(D) là một không gian vector trên C. 10 Định lý 1.2. Giả sử D ∈ C là một miền và H(D) là tập hợp các hàm chỉnh hình trên D. Khi đó i) Nếu f ∈ H(D) và f(z) 6= 0 thì 1 f ∈ H(D). ii) Nếu f ∈ H(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Định lý 1.3. Nếu f : D → D∗ và g : D∗ → C là các hàm chỉnh hình, ở đây D và D∗ là các miền trong mặt phẳng (z), (w), thì hàm g0f : D → C chỉnh hình. Định lý 1.4. (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) thì tích phân của nó theo tuyến đóng bất kỳ γ ⊂ D, đồng luân với không trong miền này là bằng không ∫ γ fdz = 0 nếu γ ∼ 0 Chứng minh. Vì γ ∼ 0 nên trong D có thể biến dạng đồng luân tuyến tính đóng γ1 : z = z1(t), t ∈ [0, 1], nằm trong hình tròn nào đó U ⊂ D. Mặt khác, hàm f có nguyên hàm F trong U và do đó nguyên hàm của f dọc theo γ1 sẽ là hàm F (z1(t)). Vì z1(0) = z1(1) = a (tuyến γ1 là tuyến đóng) nên theo công thức Newton-Leibnizt∫ γ1 fdz = F (a)− F (a) = 0.  Định lý 1.5. Hàm f bất kỳ, chỉnh hình trong miền đơn liên D, có nguyên hàm trong miền ấy. Định lý 1.6. (Định lý về giá trị trung bình) Giá trị của hàm f ∈ H(D) tại mỗi điểm hữu hạn z ∈ D bằng trung bình cộng của các giá trị của nó trên đường tròn đủ bé bất kỳ với tâm tại z f(z) = 1 2pi 2pi∫ 0 f(z + ρeit)dt. (1.2) 11 Chứng minh. Ta lấy hình tròn Uρ = {z′ : |z′ − z| < ρ} sao cho Uρ b D. Theo công thức tích phân Cauchy, ta thu được f(z) = 1 2pii ∫ ∂Uρ f(ζ) ζ − zdζ. (1.3) vì trên ∂Uρ ta có ζ − z = ρeit, t ∈ [0, 2pi] , dζ = ρeitidt, nên từ (1.3) suy ra (1.2).  Định lý 1.7. (Định lý Liouville) Nếu hàm f chỉnh hình trong toàn mặt phẳng C và giới nội, thì nó là hằng số. Chứng minh. Trong hình tròn đóng bất kỳ U¯ = {|z| ≤ R} , R < ∞ hàm f được biểu diễn bởi chuỗi Taylor f(z) = ∞∑ n=0 cnz n, hệ số của nó không phụ thuộc vào R. Vì f giới nội trong C (giả sử |f(z)| ≤ M), nên theo các bất đẳng thức Cauchy |cn| ≤ M Rn , n = 0, 1, 2, ... Bởi vì vế phải dần đến không khi R → ∞, nên cn = 0 với n = 0, 1, 2, ... do đó ta nhận được f(z) ≡ c0.  Định lý 1.8. Đạo hàm của f ∈ H(D) là hàm chỉnh hình trong miền D. Định lý 1.9. Nếu trong hình tròn {|z − z0| < R} hàm f được biểu diễn như là tổng chuỗi luỹ thừa f(z) = ∞∑ n=1 cn(z − z0)n, thì hệ số của chuỗi được xác định đơn vị theo công thức cn = f (n)(z0) n! n = 0, 1, 2, ... (1.4) 12 Chứng minh. Thế z = z0 vào (1.4), ta tìm được f(z0) = c0. Vi phân từng từ chuỗi (1.4) ta được f ′(z) = c1 + c2(z − z0) + ... và sau đó thế z = z0 ta tìm được f ′(z0) = c1. Lấy vi phân (1.4) n lần f (n)(z) = n!cn + c ′ 1(z − z0) + c′2(z − z0)2 + ... (ta không viết ra các biểu thức của hệ số) và lại thế z = z0 ta thu được n!cn = f (n)(z0).  1.2. Hàm Gamar Euler Trước tiên ta định nghĩa đạo hàm lôgarit của hàm Euler là khai triển sau đây ψ (1 + z) = −C − ∞∑ k=1 ( 1 z + k − 1 k ) . (1.5) ở đó C là một hằng số nào đó. Chuỗi (1.5) gồm các số hạng trong chuỗi picotgpiz = 1 z + ∞∑ k=−∞ ′ ( 1 z − k + 1 k ) = 1 z + ∞∑ k=1 2z z2 − k2 , z 6= k. (1.6) với các chỉ số âm (các công thức (1.5) và (1.6) còn khác nhau về dấu của k). Khai triển (1.6) là khai triển Mittag-Leffer của hàm ψ (1 + z), từ đó suy ra nó là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm z = −1,−2,−3, ... Hàm Euler Γ (1 + z) (“Hàm Gamar”) được xác định qua đạo hàm lôgarit của nó ln Γ (1 + z) = z∫ 0 ψ (1 + z) dz = −Cz − ∞∑ k=1 { ln ( 1 + z k ) − z k } , (1.7) 13 ở đây z 6= −k, (k = 1, 2, ...), và tích phân được lấy theo một đường bất kì không đi qua điểm này. Lấy được tích phân như trên vì chuỗi (1.6) hội tụ đều. Mũ hóa (1.7) ta được 1 Γ (1 + z) eC z ∞∏ k=1 ( 1 + z k ) e −z k , (1.8) tích vô hạn hội tụ, vì nó là một phần trong khai triển Weierstrass của sinpiz, ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k bằng −k và z = piz). Từ (1.8) suy ra rằng hàm 1Γ(1+z) nguyên và nó có không điểm tại các điểm z = −k, (k = 1, 2, ...) và chỉ có tại các điểm đó. Vì thế hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu và là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm và chỉ có tại các điểm đó mà thôi. Từ (1.8) suy ra Γ (1) = 1. Do khẳng định trên Γ (2) 6= 0 và bởi vì hằng số C chưa xác định, nên ta có thể buộc Γ (2) = 1. Khi đó từ (1.7) ta nhận được 0 = −C − ∞∑ k=1 { ln ( 1 + 1 k ) − 1 k } , hay C = ∞∑ k=1 { 1 k − ln ( 1 + 1 k )} = lim n→∞ { n∑ k=1 1 k − ln 2 1 . 3 2 ... n+ 1 n } = lim n→∞ { n∑ k=1 1 k − ln (n+ 1) } , khi thêm vào trong dấu móc số hạng 1n+1 → 0 (nó không làm thay đổi giới hạn) và thay n+ 1 bằng n, ta nhận được biểu thức cuối cùng đối với C C = lim n→∞ 1 + 1 2 + ...+ 1 n − lnn (1.9) Số C là giới hạn của hiệu giữa tổng riêng thứ n của chuỗi điều hoà (phân kỳ) và lnn, nó được gọi là hằng số Euler (giá trị gần đúng của nó bằng 0,5772157). Với z 6= k (k = −1,−2, ...) ta có ψ (1 + z)− ψ (z) = − ∞∑ k=1 { 1 z + k − 1 − 1 z + k } = 1 z , 14 vì tất cả các số hạng đều đã được giản ước. Lấy tích phân không định hạn hệ thức này ta nhận được ln Γ (z + 1)− ln Γ (z) = ln z + lnA, trong đó A là hằng số nào đó từ đó Γ (1 + z) = AzΓ (z). Ở đây khi đặt z = 1 và sử dụng tính chất Γ (1) = Γ (2) = 1 ta tìm được A = 1, từ đó Γ (1 + z) = zΓ (z) . (1.10) Công thức truy hồi vừa nhận được cho phép ta tính ngay được giá trị của Γ (z) trong dải k < Re z ≤ k+1 và k− 2 < Re z ≤ k− 1, nếu đã biết giá trị của nó trong dải k − 1 < Re z ≤ k. Áp dụng hai lần công thức (1.10) ta tìm được Γ (z + 2) = (z + 1) Γ (z + 1) = (z + 1) zΓ (z) , Γ (z + 3) = (z + 2)Γ (z + 2) = (z + 2) (z + 1) zΓ (z) , và nói chung với n nguyên dương bất kì Γ (z + n) = (z + n− 1) (z + n− 2) ...zΓ (z) . (1.11) Công thức (1.11) cho phép ta tìm giá trị Γ (z) trên toàn mặt phẳng nếu đã biết giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤ 1. Nói riêng khi z = 1 thì (1.11) có dạng Γ (1 + n) = n!. (1.12) Từ đó ta thấy rằng Γ (1 + z) là sự mở rộng trong miền phức của hàm n! đối số nguyên. Nhờ công thức (1.11) cũng có thể tìm được thặng dư của Γ (z) tại các cực điểm của nó. Dựa vào công thức này ta có Γ (z) = 1 z. (z + 1) ... (z + n) Γ (z + n+ 1) , từ đó theo công thức s Γ (−n) = lim z→−n (z + n) Γ (z) = lim z→−n 1 z (z + 1) ... (z + n− 1)Γ (z + n+ 1) = 1 −n (−n+ 1) ... (−1)Γ (1) , 15 hay cuối cùng res Γ (−n) = (−1) n n! . (1.13) Hơn nữa, từ công thức (1.7) ta có 1 Γ (z) = z Γ (1 + z) = zeCz ∞∏ k=1 ( 1 + z k ) e −z k , và 1 Γ (1− z) = e −Cz ∞∏ k=1 ( 1− z k ) e z k . Nhân các tích trên theo từng số hạng (có thể chứng minh tính đúng đắn của phép toán đó), ta nhận được 1 Γ (z) Γ (1− z) = z ∞∏ k=1 ( 1− z 2 k2 ) . Theo công thức sin z = z ∞∏ k=1 ( 1− z 2 k2pi2 ) , ta thấy rằng vế phải của đẳng thức cuối cùng bằng 1 pi sin piz. Như vậy, Γ (z) Γ (1− z) = pi sin piz . Công thức nhận được ở trên cho phép tính Γ (z) trong dải 0 < Re z ≤ 1 (nghĩa là trên toàn phẳng). Về việc tính giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤ 1 2 . Đặc biệt khi z = 1 2 từ công thức đó ta nhận được Γ2 ( 1 2 ) = pi, từ đó Γ ( 1 2 ) = √ pi. Để kết thúc ta đưa ra bảng các giá trị Γ (x) trong khoảng (1.2) của trục thực với bước nhảy của x là 0,1 cùng với đồ thị của các hàm Γ (x) và 1Γ(x) đối với x thực (bảng 1.1). x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Γ(x) 0,9514 0,918 0,897 0,887 0,886 0,893 0,908 0,931 0,961 2 5 3 2 5 6 4 8 Bảng 1.1 16 Hình 1.1 Hình ảnh chung của đồ thị hàm Γ (x) đã rõ ràng do các tính chất của nó đã nói ở trên hình 1.1. Ta chú ý rằng sự tiếp cận của các cực tiểu của Γ (x) với nửa trục âm khi x→ −∞ có liên quan đến sự giảm nhanh các thặng dư của nó, dựa vào (1.12) tại lân cận điểm z = −pi, ta có Γ (x) = (−1)n n! 1 x+ n + c0 + c1 (x + n) + ... và khi n tăng, hệ số của phần chính trong khai triển giảm đi rất nhanh. 1.3. Hàm trụ Những hàm trụ hay còn được gọi là hàm Bessel đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong phần khai triển, là phương pháp chính sử dụng trong các bài toán có liên quan tới hình tròn hoặc hình trụ. Điều này được giải thích rằng phương pháp giải các phương trình vật lý toán có chứa đựng các toán tử Laplace trong các toạ độ hình trụ , bằng phương pháp cổ điển để phân chia các biến số dẫn tới phương trình x2 d2y dx2 + x dy dx + (x2 − λ2)y = 0, (1.14) phương trình này được dùng làm phương trình phụ trợ để xác định hàm trụ. 17 Hàm trụ J0(x) được nghiên cứu đầu tiên bởi Danhil Bernull trong công trình nghiên cứu tính giao động của các chuỗi liên kết ( Peterburg, năm 1732).D. Bernull nghiên cứu từng phần của phương trình (1.14) với λ = 0, sau khi giải phương trình tìm ra biểu thức J0(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa, hơn nữa ông nhận ra rằng biểu thức J0(x) có tập hợp vô hạn những nghiệm số thực. Trong nghiên cứu tiếp theo ( Peterburg, năm 1738) được tiến hành bởi Leonard Euler người ta bắt gặp những hàm trụ. Trong nghiên cứu này Euler sau khi nghiên cứu bài toán về sự giao động của các màng tròn, đưa ra biểu thức (1.14) với giá trị λ = n nguyên. Sau khi giải phương trình này, ông ta đã tìm ra biểu thức Jλ(x) cho n nguyên dưới dạng lũy thừa x, và trong các nghiên cứu sau này ông đã phổ biến biểu thức này trong trường hợp những giá trị độc lập của chỉ số λ, bằng 0 với nửa hàm Jλ(x) được thể hiện thông qua những yếu tố cơ bản, chúng ta nhận ra một cách hiển nhiên với những giá trị λ thực thì hàm Jλ(x) có tập hợp vô số các đường trung tính thực tế và đưa ra các khái niệm tích phân đối với Jλ(x). Cuối cùng, với λ = 0 và λ = 1 trong nghiên cứu của mình năm 1769, Euler đã đưa ra biểu thức dưới dạng luỹ thừa cách giải phương trình bậc hai (1.14), phụ thuộc một cách tuyến tính với Jλ(x). Vì thế Euler nhận được các kết quả cơ bản có liên quan tới hàm trụ và những phụ lục của môn vật lý toán học. Nhà thiên văn học người Đức P. Bessel mà tên tuổi của ông luôn gắn liền với hàm trụ trong mối tương quan nghiên cứu chuyển động của trái đất xung quanh mặt trời, trong công trình nghiên cứu năm 1824 đã đưa ra các phương trình truy toán đối với hàm ,Jλ(x) những phương trình vẫn mang những đặc trưng cơ bản mặc cho tính quan trọng của chúng, ông đã thu được khái niệm tích phân mới Jn(x) cho số nguyên n, ông cũng đã chứng minh tập hợp vô số các đường trung tính J0(x) và lập ra những bản đầu tiên cho J0(x), J1(x) và J2(x). 18 1.3.1. Hàm trụ loại 1 1) Những khái niệm tích phân của Sonhin. Chúng ta cùng nghiên cứu biểu thức vi phân của hàm trụ t2x′′ + tx′ + (t2 + λ2)x = 0 (1.15) ở đó t là biến số độc lập, x− hàm ẩn và λ là tham số, chỉ số của biểu thức (1.15) chúng ta sẽ tính bằng số thực. Chúng ta sẽ giải biểu thức này bằng phương pháp mở. Nếu như đặt X(p) là phương trình của hàm ẩn, thì theo định lý về gốc vi phân chúng ta sẽ có t2x′′ = (p2X − px0 − x1)′′ = p2X ′′ + 4pX ′ + 2pX, tx′ = −(pX − x0)′ = −pX ′ −X, t2x = X ′′, ở đó x0 = x(0), x1 = x′(0), là những dữ liệu có sẵn (những dữ liệu ban đầu không tham gia vào biểu thức tử số (1.16), hoặc t = 0 được coi là điểm đặc biệt của biểu thức (1.15)), vì thế những phương trình toán tử tương ứng với biểu thức (1.15) sẽ có dạng (p2 + 1)X ′′ + 3pX ′ + (1− λ2) = 0. (1.16) Để giải biểu thức này chúng ta tiến hành thay thế những biến số độc lập và những hàm ẩn, sau khi đặt p = shp, X(p) = 1 ch q Y (q). Khi đó ta có X ′ = dX dq : dp dq = 1 ch2q Y ′ − sh q ch3q Y,X ′′ = = dX ′ dq : dp dq = 1 ch3q Y ′′ − 3 sh q ch4q Y ′ + 3sh2q − ch2q ch5q Y, ta đưa chúng vào (1.16), sẽ dẫn tới một phương trình đơn giản Y ′′ = λ2Y = 0. 19 Quay trở lại giải từng phần Y = e−λq của biểu thức này với các biến số cũ ρ và x, ta được X = 1√ p2 + 1 e−λarsh p = 1√ p2 + 1(p+ √ p2 + 1)λ . (1.17) Hàm √ p2 + 1 bỏ qua sự phân chia những nhánh cùng giá trị trên mặt phẳng p = s + jσ với các tia hình quạt vô nghiệm s = 0, |σ| > 1. Bên cạnh đó λ > 0 và chúng ta đặt điều kiện nghiên cứu từng phần √ p2 + 1 mà trên trục tâm s nhận các giá trị dương. Khi đó hàm X(p) sẽ tiến gần tới 0 với |ρ| → ∞, Reρ > 0, tương đương với argρ và vì thế sẽ được coi là sự thể hiện. Chúng ta có thể gọi các hàm trụ loại 1 hay là những hàm Bessel bậc λ và đặt biểu tượng Jλ(x) (cho λ = n nguyên). Ta tìm ra hàm Jλ(x) như sau Jλ(t) = 1 2pii ∫ L eptdp√ p2 + 1(p+ √ p2 + 1)λ , (1.18) trong đó L là đuờng thẳng tự do Re ρ = a > 0. Tiếp tục tới một biến số mới ω = p+ √ p2 + 1, (1.19) khi đó p = 1 2 (ω − 1 ω ), dp√ p2 + 1 = dω ω , và đường tích phân sẽ là đuờng cong C của mặt phẳng ω = ξ + iη là mẫu đường thẳng L theo hình thức của (1.19). Vì thế trên trục tâm σ dịch chuyển dần tới thể hiện của (1.19) trong tập hợp của các tia ξ = 0, |η| > 1 và một nửa vùng lân cận |ω| = 1, ξ > 0, còn số α càng nhỏ, thì C càng có dạng thể hiện trên hình 1.2 là đường đứt quãng. Tích phân (1.18) theo đó tiến theo đường này tới tích phân (N. Ya. Sonhin năm 1870) Jλ(t) = 1 2pii ∫ C e t 2 ( ω− 1 ω ) ωλ+1 dω. (1.20) 20 Hình 1.2 Không thay đổi giá trị tích phân, khi đường cong C có thể được thay thế bởi bất cứ một đường thẳng đứng nào Imω = α > 0. Vì thế trên vùng lân cận |ω| = R thì hàm e − t 2ω ωλ+1 tiến dần tới 0 với R→∞, khi đó t > 0 theo bổ đề của Giordan thì tích phân (1.20) dọc theo đuờng vòng cung C có thể thay thế bởi đường chu tuyến C∗ đã được chỉ trong hình 1.2, đuợc vẽ từ các điểm −∞ theo giới hạn dưới của bán trục âm ξ , chạy vòng quanh