Luận văn Hệ phương trình hàm cho miền nhiều chiều

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN XUÂN MỸ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHO MIỀN NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 1. 01. 01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 1-1999 Các Thầy Hướng Dẫn: PTS Nguyễn Thành Long Ban Toán _ Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh PTS Nguyễn Hội Nghĩa Ban Đào Tạo Sau Đại Học Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh Thầy Nhận Xét 1: GS-PTS Dương Minh Đức Khoa Toán Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh Thầy Nhận Xét 2: PTS Đậu Thế Cấp Khoa Toán Trường Sĩ Quan Vihempich Người Thực Hiện: Nguyễn Xuân Mỹ Ban Toán _ Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Hội Nghĩa đã cùng Thầy Nguyễn Thành Long giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian thực hiện luận văn . Xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Minh Đức và Thầy Đậu Thế Cấp đã đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích đối với luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn Thầy Trần Hữu Bổng đã dành cho tôi thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn. Xin cảm ơn Thầy Đỗ Công Khanh và Thầy Võ Đăng Thảo đã giúp tôi về thời gian và một số điều kiện để hoàn tất sớm chương trình học. Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc khoa Toán, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết trong suốt thời gian học tập. Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học. Cảm ơn Các Bạn học viên lớp Cao học khóa 6 đã hỗ trợ rất nhiều cho tôi về mọi mặt trong thời gian qua. Nguyễn Xuân Mỹ MỤC LỤC trang Chương 1: Phần mở đầu 1 Chương 2: Các ký hiệu và kết quả chuẩn bị 4 Chương 3: Sự tồn tại duy nhất và ổn định lời giải 8 Chương 4: Khai triển Maclaurin của lời giải hệ phương trình hàm tuyến tính 16 Chương 5: Thuật giải lặp cấp hai và áp dụng 35 Phần kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 Phần mở đầu 1 Chương 1 PHẦN MỞ ĐẦU Chúng tôi xét hệ phương trình hàm sau đây: (1.1) f x a x f S x g xi ijk j ijk k m i j n ( ) [ , ( ( ))] ( )= + == ∑∑ 11 , với i n= ∈1, , x iΩ trong đó Ω i pR⊂ là tập compact hoặc không, g Ri i:Ω → , Sijk i j:Ω Ω→ , a R Rijk i:Ω × → , 1 1≤ ≤ ≤ ≤i j n , k m, , là các hàm liên tục cho trước, f Ri i:Ω → là các ẩn hàm. Trong [1], các tác giả Wu, Xuan, Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) với Ω i b b x= −[ , ] ( ), p = 1 , m = n = 2 , Sijk là các nhị thức bậc nhất và (1.2) a x y a yijk ijk( , ) ~= , trong đó ~aijk là các hằng số thực. Trong trường hợp này lời giải của hệ (1.1), (1.2) được xấp xỉ bằng một dãy qui nạp hội tụ đều và nó cũng ổn định đối với các hàm gi . Trường hợp m n p= = =1, các tác giả Kostrzewski [2],[3], Lupa [4] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất lời giải của phương trình hàm sau Phần mở đầu 2 (1.3) ( )f x a x f S x( ) , ( ( ))= , x a b∈[ , ] , trong không gian hàm BC[a,b]. Một trường hợp riêng với phương trình hàm Golab-Schinzel (1.4) f x f x x ( ) ( )= + 2 1 , các tác giả Knop, Kostrzewski, Lupa, Wrobel trong [6] đã xây dựng tường minh lời giải không tầm thường f(x) thỏa các điều kiện (1.5) tồn tại lim ( ) ( ) x f x f→− = −− − 1 1 và lim ( ) ( ) x f x f→ =+ + 0 0 như sau (1.6) f x f x( ) ( )( )= − ≠ −− ⎧⎨⎩ +0 1 , x 1, c , x = 1, trong đó c là một hằng số tùy ý. Trong trường hợp p R ,= = ⊂1 , i = 1,niΩ Ω , là khoảng đóng bị chận hay không bị chận, các tác giả Long, Nghĩa, Khôi, Ruy [5], bằng định lý điểm bất động Banach đã thu được kết quả về sự tồn tại và duy nhất lời giải của hệ (1.1) và lời giải cũng ổn định đối với các hàm gi . Trong trường hợp aijk giống như (1.2) và S xijk ( ) là các nhị thức bậc nhất, ( ) [ ]g C Ri r∈ Ω Ω, , = -b,b , trong [5] thu được khai triển Maclaurin của lời giải hệ (1.1) đến cấp r. Hơn nữa, nếu g xi ( ) là các đa thức bậc r thì lời giải hệ (1.1) cũng vậy. Luận văn được sắp xếp theo 5 chương Phần mở đầu 3 _ Chương mở đầu là phần giới thiệu hệ phương trình hàm và điểm qua sơ nét các kết quả đã có trước đó, tiếp theo là giới thiệu các phần trình bày trong luận văn. _ Chương 2 là phần giới thiệu một số ký hiệu, các không gian hàm sử dụng trong luận văn và một số kết quả sẽ dùng cho các chương sau. _ Chương 3 trình bày một số kết quả tồn tại và duy nhất lời giải của hệ phương trình hàm (1.1), sự ổn định của lời giải đối với các hàm gi . Một số kết quả trong chương này cũng đã tổng quát hóa các kết quả trong [1], [5] mà chứa trường hợp p = 1 như là một trường hợp riêng. _ Chương 4 là phần khảo sát khai triển Maclaurin của lời giải của hệ (1.1) với trường hợp S x B x cijk ijk ijk( ) = + , với Bijk là ma trận cấp p, vectơ c Rijk p∈ thỏa một số điều kiện nào đó . Kết quả thu được trong phần này cho một công thức biểu diễn lời giải của hệ phương trình hàm (1.1) và nếu gi là đa thức thì lời giải thu được cũng là đa thức đồng bậc với gi . Hơn nữa nếu gi liên tục, lời giải sẽ được xấp xỉ bởi dãy các đa thức hội tụ đều. Kết quả thu đượcđã mở rộng thực sự các kết quả trong [1], [5]. _ Chương 5 là phần khảo sát thuật giải lặp cấp 2 của hệ (1.1). Cũng trong chương này, chúng tôi xét một dạng khác của hệ phương trình hàm tuyến tính mà có thể đưa về và áp dụng các kết quả của hệ (1.1). Cuối cùng là phần kết luận và các tài liệu tham khảo. Chương2 4 Chương 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 2.1 Định lý điểm bất động Banach Chúng ta thường xuyên sử dụng định lý điểm bất động Banach sau: Định lý 2.1 Cho X là không gian Banach với chuẩn . , K X⊂ là tập đóng. Cho T : K K → là ánh xạ thỏa mãn Tồn tại số thực σ σ, 0 1≤ < sao cho (2.1) T x T y x y( ) ( )− ≤ − ∀ ∈σ , x, y K . Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất x K∗ ∈ sao cho x T x∗ ∗= ( ) . (ii) Với mỗi x K 0 ∈ , xét dãy { }xν cho bởi x T xν ν ν= −( )1 , = 1,2, . . . ta có (j) lim v x x→∞ ∗− =ν 0 , (jj) x x x T xν νσ σ− ≤ − − ∀ν =∗ 0 0 1 12( ) , , . . . , Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về nhập môn giải tích. Chương2 5 2.2 Các đa chỉ số Nếu α α α α= ( , ,..., )1 2 p là bộ p-thứ tự các số nguyên không âm α j , ta gọi α là p-đa chỉ số. Một điểm x Rp∈ được ký hiệu x x x xp= ( , ,..., )1 2 , ta ký hiệu xα là đơn thức bậc α α α= + +1 ... p sau (2.2) x x x xp pα α α α= 1 21 2 . . . Tương tự nếu D x j pj j = ≤ ≤∂∂ , 1 , ký hiệu toán tử đạo hàm riêng cấp 1 theo biến thứ j thì D D D D x x xp p p p α α α α α α α α ∂ ∂ ∂ ∂= =1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... chỉ một toán tử đạo hàm riêng cấp α . Ta cũng ký hiệu D f f( , ,..., )0 0 0 = . 2.3 Các không gian hàm Giả sử Ω i pR n⊂ ≤ ≤ , 1 i , ta đặt ( )X C Ri b i= Ω ; là không gian Banach các hàm số liên tục bị chận f : RiΩ → với chuẩn (2.3) f f x XX x ii i = ∈ ∈ sup ( ) Ω , f . Nếu Ω i là tập compact, ta đặt ( )X C Ri i= Ω ; là không gian Banach các hàm số liên tục f : R iΩ → với chuẩn như (2.3). Chương2 6 Ta cũng lưu ý rằng nếu Ω i là tập mở thì ( )C RiΩ ; cũng ký hiệu là không gian vector các hàm số f : RiΩ → liên tục. Hơn nữa các hàm trong ( )C RiΩ ; không nhất thiết bị chặn trong Ω i . Nếu ( )f C Ri∈ Ω ; bị chận và liên tục đều trên Ω i thì nó có duy nhất một nới rộng liên tục trên bao đóng Ω i của Ω i . Do đó, ta định nghĩa ( )C RiΩ ; là không gian vector xác định bởi ( )C RiΩ ; = { ( )f C Ri∈ Ω ; : f bị chận và liên tục đều trên Ω i }. Mặt khác ( )C RiΩ ; cũng là một không gian Banach đối với chuẩn (2.3). Với chú ý tương tự trong trường hợp Ω i pR⊂ là tập mở thì ta cũng ký hiệu ( )C Rm iΩ ; là không gian vectơ các hàm f : RiΩ → sao cho tất cả các đạo hàm riêng của f đến cấp m đều thuộc ( )C RiΩ ; , nghĩa là ( ) ( ) ( ){ }C R f R f R mm iΩ Ω Ω; ; ; ,= ∈ ∈ ≤ C : D Ci iα α và ( ) ( ) ( ){ }C R f R f R mm iΩ Ω Ω; ; ; ,= ∈ ∈ ≤ C : D Cm i iα α . Mặt khác ( )C Rm iΩ ; cũng là không gian Banach với chuẩn f D f xC R m x m i ( ; ) max sup ( )Ω Ω = ≤ ∈α α . Không gian tích Descartes X X X Xn= × × ⋅ ⋅ ⋅ ×1 2 trang bị một chuẩn (2.4) ( )f f f f XX i X i n n i = ∈ = ∑ 1 2 , f = f1, , . . . , . Chương2 7 là một không gian Banach. Ta viết hệ phương trình hàm (1.1) dưới dạng phương trình toán tử trong X như sau (2.5) f = Tf , trong đó ( )f = f1, ,...,f fn2 , ( )Tf = (Tf)1,( ) ,...,( )Tf Tf n2 . với (2.6) ( )( ) ( ) , ( ( )) ( )Tf x a x f S x g xi ijk j ijk k m j n i i= + ∈== ∑∑ 11 , x , i = 1, nΩ . Chương 3 8 Chương 3 SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH LỜI GIẢI Chúng ta thành lập các giả thiết sau ( )H j1 S ijk i: Ω Ω→ là các hàm liên tục, ( )H2 g X∈ , ( )H R R3 a ijk i: Ω × → liên tục và thỏa điều kiện: tồn tại ijk i ~ :α Ω → R bị chặn và không âm sao cho (3.1) a a , x , y, y Rijk ijk i( , ) ( , ~) ~ ( ) ~ ~x y x y x y yijk− ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈α Ω ; (3.2) σ α= ≤ ≤ ∈== ∑∑ < 1max sup ~ ( ) 111 j n x ijk k m i n i x Ω ; (3.3) a Xijk i(., )0 ∈ . (điều kiện này bỏ qua nếu Ω i là compact) Khi đó ta có kết quả sau Định lý 3.1 Dưới giả thiết ( ) ( )H H1 3− , tồn tại duy nhất một hàm f X∈ sao cho f Tf= . Hơn nữa, lời giải f ổn định đối với g trong X. Chứng minh Hiển nhiên ta có Tf X∈ với mọi f X∈ . Xét f f X,~ ∈ , ta có với mọi i n= 1, , ∀ ∈x iΩ Chương 3 9 (3.4) ( ) ( ) ( ) ( ){ }Tf x Tf x a x f S x a x f S xi i ijk j ijk ijk j ijk k m j n ( ) ~ ( ) , ( ( )) , ~ ( ( ))− = − == ∑∑ 11 . Sử dụng giả thiết ( ) ( )H H1 3, ta có ( ) ( )Tf x Tf x x f S x f S xi i ijk j ijk j ijk k m j n ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ( )) ~ ( ( ))− ≤ − == ∑∑ α 11 ≤ − ∈== ∑∑ sup ~ ( ) ~ x ijk k m j n j j X i j x f f Ω α 11 . Lấy sup trên Ω i rồi sau đó lấy tổng theo i n= 1, ta được (3.5) ( ) ( )Tf Tf Tf TfX i i X i n i − = − = ∑~ ~ 1 ≤ − ∈== ∑∑∑ i =1 n sup ~ ( ) ~ x ijk k m j n j j X i j x f f Ω α 11 ≤ − = − ≤ ≤ ∈= ∑∑ i=1 n max sup ~ ( ) ~ ~ . 11 j n x ijk k m X X i x f f f f Ω α σ Theo định lý điểm bất động Banach, có duy nhất một f X∈ sao cho f Tf= . Giả sử f f X,~∈ là hai lời giải của hệ (1.1) lần lượt ứng với g g X,~∈ ta có với mọi i n= 1, , với mọi x i∈Ω (3.6) ( ) ( ){ } ( ) f x f x a x f S x a x f S x g x g x i i ijk j ijk ijk j ijk k m j n i i ( ) ~ ( ) , ( ( )) , ~ ( ( )) ( ) ~ ( ) − = − + − == ∑∑ 11 Chương 3 10 Lập lại quá trình trên ta có f f f f g gX X X− ≤ − + −~ ~ ~ σ hay (3.7) f f g gX X− ≤ −~ ~ 11- σ . Vậy lời giải f ổn định đối với g trong X. Chú thích 3.1 Trong định lý 3.1 , với p i= = ∀ =1 , i 1,n, Ω Ω , là khoảng đóng bị chận hay không bị chận và điều kiện (3.2) được thay bởi (3.8) < 1sup ~ ( ) , x ijk k m i j n x ∈== ∑∑ Ω α 11 , chúng tôi tìm lại kết quả như trong [5]. Mặt khác, điều kiện (3.2) yếu hơn điều kiện (3.8) vì (3.9) σ α < 1≤ ∈== ∑∑ sup ~ ( ) , x ijk k m i j n x Ω11 . Chú thích 3.2 Định lý 3.1 cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.10) f Tf( ) ( )ν ν ν= = ∈−1 , 1,2,... , f X(0) cho trước. Khi đó dãy { }f ( )ν hội tụ trong X về lời giải f của (2.5) và ta có một đánh giá sai số (3.11) f f f Tf X X− ≤ −− ∀ν = ( ) ( ) ( ) , ,...ν νσ σ 0 0 1 12 , Chương 3 11 Nếu ta giả sử rằng Ω i pR n⊂ = , i 1, thỏa mãn điều kiện (3.12) Tồn tại song ánh τ i i n : , iΩ Ω→ = 1, sao cho τ τi i, −1 liên tục. Khi đó hệ (1.1) tương đương với hệ sau (3.13) ( )$ ( ) $ , $ ($ ( )) $ ,f t a t f S t g i n ti ijk j ijk j i= + ∀ = ∀ ∈∑∑= (x) , , k=1 mn 1 1 Ω , trong đó $ $f f gi i i i i i= =o oτ τ , g $S Sijk j ijk i= −τ τ1 o o (3.14) ( )$ ( , ) ( ),a t z a t zijk ijk i= τ , t z R∈ ∈Ω, . Như vậy ta có thể giả sử rằng tất cả các ẩn hàm fi của hệ (1.1) có cùng miền xác định, tức là Ω Ωi = ∀ = , i 1,n . Khi đó ta sử dụng không gian hàm X như sau: _ Nếu Ω là tập compact, ta đặt ( )X C Rn= Ω, là không gian Banach các hàm f : Rn Ω→ liên tục với chuẩn (3.15) ( )f f x f f f XX x i i n n= = ∈∈ =∑sup ( ) , , . . . ,Ω 1 1 2 , f . _ Nếu Ω là tập không compact, ta đặt ( )X C Rb n= Ω, là không gian Banach các hàm f : Rn Ω→ liên tục bị chận với chuẩn như (3.15). Ta thành lập các giả thiết sau đây ( )′ →H1 S ijk : Ω Ω liên tục, ( )′ ∈H2 g X , Chương 3 12 ( )′ × →H R R3 a ijk : Ω liên tục và thỏa điều kiện: tồn tại ijk ~ :α Ω → R bị chặn và không âm sao cho (3.16) a a , x , y, y Rijk ijk( , ) ( , ~) ~ ( ) ~ ~x y x y x y yijk− ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈α Ω ; (3.17) σ α= ≤ ≤ ∈== ∑∑ < 1max sup ~ ( ) 111 j n x ijk k m i n x Ω ; (3.18) a Xijk i(. , )0 ∈ (điều kiện này bỏ qua nếu Ω là compact). Khi đó ta có định lý Định lý 3.2 Giả sử các giả thiết ( ) ( )′ − ′H H1 3 đúng. Khi đó tồn tại duy nhất ( )f f f f Xn= ∈1 2, , . . . , là lời giải cho hệ phương trình hàm sau (3.19) ( )f x a x f S x g x i ni ijk j ijk j i( ) , ( ( )) ,= + ∀ ∈ ∀ =∑∑= (x) , ,k=1 mn 1 1Ω . Hơn nữa, lời giải f của hệ (3.19) ổn định đối với g trong X. Chứng minh Vẫn sử dụng các ký hiệu như (2.5), (2.6). Hiển nhiên ta có T : XX → . Coi f f X, ~ ∈ , tương tự như (3.4) ta có: với mọi x ∈ Ω ( ) ( ) Tf x Tf xi i i n ( ) ~ ( )− = ∑ 1 ≤ − == ∑∑∑ i=1 n ~ ( ) ( ( )) ~ ( ( ))α ijk k m j n j ijk j ijkx f S x f S x 11 ≤ −≤ ≤= =∑ ∑∑ i=1 n max ~ ( ) ( ( )) ~ ( ( )) 11 1j n ijk k m j ijk j ijk j n x f S x f S xα Chương 3 13 ≤ − = − ≤ ≤ ∈= ∑∑ i=1 n max sup ~ ( ) ~ ~ 11 j n x ijk k m X X x f f f f Ω α σ Do đó Tf Tf f fX X− ≤ −~ ~σ . Phần còn lại chứng minh tương tự. Chú thích 3.3 Như nhận xét trong chú thích 3.1, kết quả trong [5] là trường hợp đặc biệt của định lý 3.2 với p = 1. Trường hợp riêng sau đây chúng tôi xét hệ (3.19) với aijk như (1.2). (3.20) f x a f S x g x i ni ijk j ijk j i( ) ~ ( ( )) ,= + ∀ ∈ ∀ =∑∑ = (x) , , k=1 mn 1 1Ω , trong đó S xijk ( ) là hàm affine nghĩa là (3.21) S x B x cijk ijk ijk( ) = + , với B b b b b b b b b b ijk ijk ijk p ijk ijk ijk p ijk p ijk p ijk pp ijk = ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥ 11 12 1 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , c c c c ijk ijk ijk p ijk = ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥ 1 2 M . (3.22) Ω = = ∈ = ≤⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭=∑B x R x x rr p i i p ( )0 1 1 : . Ta xét không gian hàm X = C Rn( , )Ω và thành lập các giả thiết cho hệ (3.20) như sau ( )′′ ∈H X2 g , Chương 3 14 ( )′′ = <≤ ≤== ∑∑H aj n ijkk m i n 3 111 1 σ max ~ . Ta đưa thêm giảthiết cho Bijk và cijk trong (3.21) để Sijk thỏa ( )′H1 . Nhận xét rằng (3.23) B x B x x Rijk ijk p 1 1 1 , ≤ ∀ ∈ , trong đó (3.24) B bijk p ijk p 1 1 1 = ≤ ≤ =∑maxν μνμ . Ta có (3.25) S x B r c xijk ijk ijk( ) 1 1 1 , ≤ + ∀ ∈Ω . Từ đây ta giả sử ma trận Bijk và vectơ cijk thỏa ( )′′H1 ( )i Bijk 1 1< , ( ) max , ii c B r i j n k m ijk ijk 1 1 1 1 1≤ ≤≤ ≤ − ≤ . Vậy nếu Bijk , cijk thỏa ( )′′H1 thì S xijk ( ) trong (3.21) thỏa ( )′H1 . Khi đó ta có định lý Định lý 3.3 Giả sử ( )′′H1 ( )− ′′H3 đúng. Khi đó hệ (3.20)−(3.22) có duy nhất một lời giải f X∈ . Hơn nữa, lời giải f ổn định đối với g trong X. Chú thích 3.4 Chương 3 15 Trường hợp Ω = Rp , ta lấy ( )X C R Rb p n= , không gian Banach các hàm liên tục, bị chận f : Rp nR → đối với chuẩn (3.26) ( )f f x f f f XX x R i i n np = = ∈ ∈ = ∑sup ( ) , , . . . , 1 1 2 , f , trong đó Bijk và cijk không cần thỏa điều kiện ( )′′H1 . Khi đó ta có kết quả sau Định lý 3.4 Với Ω = Rp , ( )X C R Rb p n= , . Giả sử ( ) ( )′′ ′′H H2 3, đúng. Khi đó tồn tại duy nhất f X∈ là lời giải của hệ (3.20), (3.21). Hơn nữa, lời giải f ổn định đối với g trong X. Chương 4 16 Chương 4 KHAI TRIỂN MACLAURIN CỦA LỜI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM TUYẾN TÍNH Ta xét trong chương này với hệ (3.20)−(3.22), trong đó ~aijk , Bijk , cijk thỏa các giả thiết ( )′′H1 và ( )′′H3 . Giả sử ( )f C Rn∈ 1 Ω; là lời giải của hệ (3.20)−(3.22) ứng với ( )g C Rn∈ 1 Ω; . Đạo hàm hai vế của (3.20) theo biến x pμ μ, 1 ≤ ≤ , ta thu được (4.1) [ ]D f x f xx a x f S x D g xi i ijkk m j n j ijk iμ μ μ μ ∂ ∂ ∂ ∂( ) ( ) ~ ( ( ) ( )= = + == ∑∑ 11 . Mặt khác, theo (3.21) [ ] [ ]( )S x S x S xijk ijk ijk p T( ) ( ) , . . . , ( )= 1 (4.2) [ ]S x b c pijk ijkp ijk( ) ν νη ηη ν ν= + ≤ ≤=∑ x , 1 1 , Ta có (4.3) [ ] [ ]∂∂ ∂∂μ νν μ νx f S x D f S x x S xj ijk p j ijk ijk( ( )) ( ( )) ( )= =∑1 = b f S xijk j ijk p νμ νν D ( ( )) = ∑ 1 . Vậy từ (4.1)−(4.3) ta có Chương 4 17 (4.4) D f x a b f S x D g xi ijk k m j n ijk j ijk p iμ νμ νν μ ( ) ~ ( ( )) ( )= + == = ∑∑ ∑ D 11 1 , i n= ∈1, , = 1, p , xμ Ω Ta đặt (4.5) F D f n pi i μ μ μ= = = , i , , 1 1, . Ta xếp thứ tự Fi μ như sau (4.6) ( )F F F F F F Fp p n np= 11 1 21 2 1, . . . , , , . . . , , . . . , , . . . , , Khi đó ( )( )F C R Xnp∈ ≡Ω; ( )1 là lời giải của hệ phương trình hàm (4.7) F x a b S x D g xi ijk k m j n ijk ijk p i μ νμ ν ν μ ( ) ~ ( ( )) ( )= + == = ∑∑ ∑ Fj 11 1 , i n= ∈1, , = 1, p , xμ Ω . Ta viết hệ (4.7) dưới dạng phương trình toán tử trong X( )1 như sau (4.8) F TF= trong X( )1 , trong đó (4.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )TF TF TF TF TF TF TFp p n np= 11 1 21 2 1, . . . , , , . . . , , . . . , , . . . , , với (4.10) ( )TF x a b S x D g xi ijk k m j n ijk ijk p i μ νμ ν ν μ ( ) ~ ( ( )) ( )= + == = ∑∑ ∑ Fj 11 1 , i n= ∈1, , = 1, p , xμ Ω Ta cũng chú ý rằng X( )1 là không gian Banach đối với chuẩn Chương 4 18 (4.11) F F xX p x jj n ( ) max sup ( )1 1 1 = ≤ ≤ ∈=∑μ μ Ω , với ( )F F F F F F F Xp p n np= ∈11 1 21 2 1 1, . . . , , , . . . , , . . . , , . . . , ( ) . Ta sẽ chứng minh rằng T : XX( ) ( )1 1→ là ánh xạ co. Xét F F X, ~ ( )∈ 1 , ta có (4.12