Luận văn Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Nguyễn Thiện Chí KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔTHÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Tiến, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS.Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Toán. Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS.Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS.Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết cho chúng tôi. Tôi cũng xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường. - Ban Giám hiệu Trường THCS Võ Việt Tân và các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Toán đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM. Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 18 đã cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học. Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt. NGUYỄN THIỆN CHÍ DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách bài tập SGV: Sách giáo viên PT: Phương trình QT: Quy tắc BP: Bình phương XD: Xét dấu TL: Trả lời d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 M6: Sách giáo khoa toán 6 tập 1 E6: Sách bài tập toán 6 tập 1 G6: Sách giáo viên toán 6 tập 1 M7: Sách giáo khoa toán 7 tập 1 E7: Sách bài tập toán 7 tập 1 G7: Sách giáo viên toán 7 tập 1 M8: Sách giáo khoa toán 8 tập 2 E8: Sách bài tập toán 8 tập 2 G8: Sách giáo viên toán 8 tập 2 M9: Sách giáo khoa toán 9 tập 1 E9: Sách bài tập toán 9 tập 1 G9: Sách giáo viên toán 9 tập 1 M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban cơ bản ) E10: Sách bài tập đại số lớp 10 ( Ban cơ bản ) G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban cơ bản) 1  MỞ ĐẦU  Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu  Khung lý thuyết tham chiếu  Mục đích nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu. 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu Giá trị tuyệt đối là một đối tượng xuất hiện trong chương trình toán phổ thông xuyên suốt từ bậc trung học cơ sở đến trung học phổ thông, với một vị trí khá quan trọng. Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, chúng tôi thường nhận thấy hiện tượng sau: Hầu hết học sinh cho câu trả lời đúng với bài toán tính giá trị tuyệt đối của một số cụ thể (chẳng hạn 7 = 7), nhưng lại sai lầm khi cho kết quả a = a, hoặc chẳng hạn ( 5) 5x x    . Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm này không ? Chắc chắn những sai lầm trên xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau, nhưng có hai yếu tố cần nêu lên trong các nhận xét trên: - Có một sự khác biệt khi chuyển từ giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang giá trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ, hay của một biểu thức. - Dấu “ - ” dường như cũng đóng một vai trò quan trọng tạo nên khó khăn và sai lầm ở học sinh khi tiếp cận với các tình huống có giá trị tuyệt đối. Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình. Cụ thể hơn, mục tiêu của luận văn này là trả lời cho các câu hỏi khởi đầu đặt ra sau đây: - Khái niệm giá trị tuyệt đối được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa ra sao? Những dạng toán nào liên quan 2  đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng được phát triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học? - Học sinh thường gặp những lầm nào khi giải quyết các tình huống gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm này sinh ra từ đâu? - Các đối tượng “Số âm”, bản thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” có vai trò gì đối với khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng có phải là yếu tố gắn liền với những khó khăn và sai lầm trên của học sinh ? - Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối trong chương trình và sách giáo khoa hiện nay (kết quả lựa chọn của hệ thống dạy học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm giá trị tuyệt đối và việc giải quyết các dạng toán liên quan đến khái niệm này? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây: 2.1. Lý thuyết nhân chủng học Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “ quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”. Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần   ,,,  , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lý thuyết giải thích cho công nghệ . 2.2. Chướng ngại 2.2.1. Chướng ngại và sai lầm (Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4]) Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và Brousseau. Kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với 3  tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó. Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác. Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: “Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được , và chúng tạo nên những chướng ngại. Trong hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi chủ thể này” (Brousseau, 1983). Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung. Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập. 2.2.2. Đặc trưng của chướng ngại (Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4-5]) Trước tiên, cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được xem là chướng ngại. Về việc này, Duroux đã nêu lên những đặc trưng của khái niệm chướng ngại mà theo đó thì chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm. Kiến thức, quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở ngoài những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm. Sự phân biệt giữa khó khăn và chướng ngại cũng đã được nói rõ bởi El Bouazzauori, bằng một sự tiếp cận song song các quan điểm lịch sử và quan điểm nhận thức. 4  “Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đó, trong một lý thuyết toán học nào đó đã được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang nói đến, thì người ta nói rằng một khó khăn đã được vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một khó khăn là toán học ở thời kỳ đó đã bị bế tắc, cho dù những phương tiện để giải quyết vấn đề có thể đã có sẵn []. Người ta cũng có thể nói như vậy về những khó khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán học [] Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã có một sự xây dựng lại kiến thức và một sự thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nói rằng một chướng ngại đã vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của thời đại đó đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết vấn đề được đặt ra. Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng có thể nói về những chướng ngại trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán học” (El Bouazzauori, 1988) Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn gốc của chúng: - Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh. - Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống giáo dục. - Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó. - Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại. Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta có 5  thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái niệm đang được nói đến. Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó. 2.3. Quan niệm và quy tắc hành động (Theo Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến [4]) 2.3.1. Quan niệm Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học. Mô hình này cho phép: - Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào đó các bài toán; - Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế được học sinh xây dựng. G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”. Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau): - Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh; - Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau. 2.3.2. Quy tắc hành động Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. 6  Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó. 3. Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: Q1: Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận và sư phạm? Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này? Q2: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế nào? Nghĩa của chúng là gì? Khái niệm này được tiến triển ra sao? Q3: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học đó tiến triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và ở bậc phổ thông? Q4: Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học sinh vận dụng góp phần tạo ra sai lầm a a  (với mọi số nguyên a) hoặc ( 5) 5x x    (với mọi số thực x)? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối không? 7  4. Phương pháp nghiên cứu Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết phù hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3, Q4. Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tham khảo một số luận văn trong didactic đã được công bố về vai trò của chữ và bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Mặt khác, chúng tôi phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng sẽ có tác dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu thể chế và một nghiên cứu điều tra khoa học luận của khái niệm số âm. Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm. Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể chế. Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn mà học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm. Các kết quả thu được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: “Một số đặc trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm ”. Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tôi tiến hành phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối với mục đích tìm ra sự tiến triển cũng như nghĩa của khái niệm này trong lịch sử. Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình toán ở bậc đại học. Kết quả thu được cho phép trả lời câu hỏi Q2 và được trình bày trong chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học”. Để trả lời các câu hỏi Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học. 8  Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời các câu hỏi Q3 và đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong chương 3: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối”. Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q4 và được trình bày trong chương 4: “Nghiên cứu thực nghiệm”. 9  Chương 1. MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ SƯ PHẠM CỦA KHÁI NIỆM CHỮ VÀ SỐ ÂM  Khái niệm chữ  Khái niệm số âm. Mục tiêu của chương Mục tiêu chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử và nghiên cứu thể chế về hai đối tượng “chữ” và “số âm” nhằm làm rõ các đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của chúng. Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây: 1. Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận và sư phạm? 2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này? 1.1. Về khái niệm chữ Liên quan đến lịch sử của khái niệm chữ, vai trò của chữ và bước chuyển từ việc thao tác trên các số cụ thể sang kí hiệu chữ, chúng tôi tìm được các tài liệu sau: 1. Phan Thị Hằng (2002), Vai trò và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số học ở lớp 6 chương trình cải cách giáo dục trường hợp phép chia Euclide, Luận văn Thạc sĩ. [19] 2. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ. [21] 3. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1. [22] 4. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2. [23] 10  Vì thế trong phần này chúng tôi sẽ tham khảo các tài liệu trên và tóm tắt những kết quả mà các tác giả đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình. 1.1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn: Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả. Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên hơn. Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử dụng để chỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” [21, tr.5]. Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số,  v  chỉ bình phương của ẩn số, x v  chỉ lập phương của ẩn số. Bên phải ẩn số hay lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x5 được viết là x v   (trong đó  =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch ngang trên đầu, chẳng hạn  =1, =2,Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần thành x. 11  Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ thứ 7) có dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương). Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L. Pac