Luận văn Khái niệm hàm số logarit trong trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình hướng dẫn, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Trưởng phòng Thanh tra đào tạo, các đồng nghiệp trong phòng Thanh tra đào tạo đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng thầy cô trong tổ Toán trường THPT Nguyễn Hiền, trường THPT Nguyễn Văn Côn đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị và những người thân yêu trong gia đình tôi luôn động viên, nâng đỡ tôi về mọi mặt. Phạm Trần Hoàng Hùng TABLE DES MATIÈRES Page de titre Remerciements Table des matières.......................................................................................................1 Liste des abréviations..................................................................................................3 Liste des tableaux........................................................................................................4 INTRODUCTION.....................................................................................................5 Chapitre 1. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR SAVANT ...........12 1.1. Historique ........................................................................................................12 1.2. Caractéristiques du concept du Logarithme et de la Fonction logarithmique dans quelque manuels universitaires.........................................14 1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] ...................15 1.2.2 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [b] ...................20 Chapitre 2. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR À ENSEIGNER........................................................................................25 2.1. Manuel scolaire publié en 1991........................................................................25 2.2. Manuel scolaire (selon le programme de modification fusionnée) publié en 2000 .............................................................................................................37 2.3. Manuel scolaire publié en 2008........................................................................41 Chapitre 3. EXPÉRIMENTATIONS ....................................................................48 Expérimentation A ....................................................................................................49 3.1. Finalité de l’expérimentation ...........................................................................49 3.2. Contenu de l’expérimentation ..........................................................................49 3.3. Analyse des résultats ........................................................................................50 3.4. Conclusion........................................................................................................53 Expérimentation B ....................................................................................................53 3.5. Finalité de l’expérimentation............................................................................53 3.6. Organisation de l’expérimentation ...................................................................53 3.7. Analyse a priori des questions expérimentales ................................................54 3.7.1 Construction des questions expérimentales ...........................................54 3.7.2 Système des questions expérimentales .................................................54 3.7.3 Stratégie et Influence des variables observables ...................................56 3.8. Analyse de la scénario ......................................................................................62 3.9. Analyse a posteriori..........................................................................................62 3.9.1 Fiche 1....................................................................................................63 3.9.2 Fiche 2....................................................................................................64 3.10. Conclusion .......................................................................................................65 CONCLUSION........................................................................................................66 BIBLIOGRAPHIES ANNEXES LISTE DES ABRÉVIATIONS THPT Lycée THCS Collège SGK Manuel scolaire SGV Livre du professeur SBT Livre d’Exercices CLHN Modification fusionnée TCTH Organisation mathématiques [a] Mathématiques avancées, No. 2, Calcul différentiel – Des fonctions usuelles, Guy Lefort [b] Les Logarithmes Et Leurs Applications Par André Delachet Presses Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960 [V1] Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [P1] Livre du professeur Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E1] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [V2] Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [P2] Guide pédagogique Mathématiques 11e, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E2] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [V3] Analytique 12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [P3] Livre du professeur Analytique12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E3] Livre d’Exercices Analytique12e, Vũ Tuấn (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation LISTE DES TABLEAUX Tableau 2.1 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V1] et le livre d’Exercices [E1] 36 Tableau 2.2 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V2] et le livre d’Exercices [E2] 40 Tableau 2.3 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V3] et le livre d’Exercices [E3] 47 Tableau 3.1 Statistique des problèmes dans l’Exercice 1 du professeur 50 Tableau 3.2 Statistique des évaluations des solutions de l’Exercice 2 du professeur 51 Tableau 3.3 Statisque des solutions attendues de l’Exercice 3 du professeur 52 Tableau 3.4 Statisque des évaluations du professeur de l’Exercice 4 52 Tableau 3.5 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 1 (Fiche 1) 63 Tableau 3.6 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 2 (Fiche 1) 64 Tableau 3.7 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 3 (Fiche 1) 64 Tableau 3.8 Statisque des évaluations des élèves (Fiche 2) 65 5 INTRODUCTION 1. Premiers constats et questions de départ Fonction demeure un objet qui joue toujours un rôle important dans le programme des Mathématiques aux lycées. Parmi des types de fonction, nous nous intéressons particulièrement au logarithme pour les raisons ci-dessous : - Le concept du logarithme qui se ramène à la fonction logarithme n’est pas seulement mentionné dans les Mathématiques mais encore dans différents domaines comme : physique, chimie, etc. Ce fait enmène à poser plusieures questions comme suit : + Quelles sont des ressemblances et des différences entre la définition du logarithme dans les mathématiques et celle dans autres sciences ? + + + + + Au lycée, les définitions du logarithme et de la fonction logarithme se présentent – elles dans les autres disciplines? Existe-il une liaison entre les définitions du logarithme, de la fonction logarithme avec ces disciplines?  Le sujet du logarithme se présente toujours dans le contenu du baccalauréat. Cependant, par rapport aux manuels des mathématiques actuels aux lycées, son rôle a reconnu des changements après les renouvellements des programmes et des manuels : Algèbre et Analyse 11 publié en 1991 (avant la partie de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Logarithme de base a -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10, e. Algèbre et Analyse 11 ( avec ajustements) publié en 2000 (avant la partie de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Fonction réciproque -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10,e. Analyse 12 publié en 2008 ( après la partie de la dérivée, avant la partie de l’intégrale) : Fonction puissance -> Logarithme de base a -> Lgarithme de base 10,e  Fonction exponentielle -> Fonction logarithme 6 Comment paraissent –elles donc les notions du logarithme et de la fonction logarithme au programme mathématique aux lycées. Quel est le rôle de ces objets? Et comment s’évoluent – ils? De manière systématique, nous trouvons la nécessité de poser ces questions comme suit :  Au niveau du savoir savant, comment sont-ils mentionnés, le concept du logarithme et celui de la fonction logarithme? Quels sont leurs caractéristiques?  Au niveau du savoir à enseigner au lycée, pourquoi présente –il le contenu de ces notions en suivant cet ordre mais pas un autre?  Révèle-t-il des ressemblances et des différences entre l’oragnisation des savoirs reliées au logarithme et à la fonction logarithme chez l’université et celle du lycée? Les raisons expliquent ces différences?  Comment explique -t-elle, institution cet ordre du choix?  Quelles sont les conséquences proviennent du choix des types de tâche et des techniques chez les objets de l’institution (élèves et enseignant) ?  Demeure -t- il des différences ou des liaisons entre le concept du logarithme et de la fonction logarithme dans les mathématiques et celui chez les autres disciplines? 2. Objectifs de recherche et cadre théorique Ce mémoire vise à trouver les réponses pour les questions ci –dessus. Pour déterminer les éléments clés de ces questions, nous posons notre étude dans le cadre théorique du didactique des mathématiques, dont les détails sont :  Théorie anthropologique : le rapport institutionnel et le rapport individuel en face d’un savoir, d’une organisation mathématique;  Théorie des situations : contrat didactique.  Théorie anthropologique En ce cas, nous faisons seulement des brièves descriptions de deux notions qui ont besoin d’une référence de la théorie anthropologique pour déterminer les réponses des questions posées. 7 Rapport institutionnel, rapport individuel en face d’un savoir Rapport institutionnel : Le raport R(I,O) de l’institution I avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’institution I et le savoir O. Il révèle où, par quel moyen O apparaît, comment O existe et son rôle pour I ? Rapport individuel: La relation R(X,O) de l’individu X avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’individu X et le savoir O. Il révèle ce que X pense et comprend de O, comment il manipule O? L’apprentissage de l’individu X envers le savoir O est le processus d’établir ou d’ajuster la relation (X,O). Évidemment, pour un savoir O, le rapport de l’institution I dans laquelle l’individu X est une part laisse toujours une marque dans le raport (X, O). Pour étudier R(X,O), il nous faut le mettre dans R(I,O). . Organisations mathématiques Activités mathématiques se présentent une partie des activités sociales; la réalité mathémathique est une type de la réalité sociale; il faut donc construire un modèle qui favorit la description et les études de cette réalité. En basant sur ce point de vue, Yves Chevallaerd (1998) a présenté la notion praxéologie. D’après Chevallard, chaque praxéologie est un ensemble de 4 éléments [T,,,], dans lequel T est une type de tâche,  est la technique qui permet à résoudre T;  est la technologie expliquant la technique , et  est la théorie qui explique la technologie . Une praxéologie dont les éléments contiennent des natures mathématiques s’appelle une organisation mathématique. Bosch M. et Y. Chevallard (1999) ont clarifié: “Pour une place institutionnelle définie, le rapport institutionnel envers un sujet est déterminé et transformé par un ensemble des tâches occupées et réalisé par l’individu obtenant cette place, sous l’aide des techniques indiquées. Le fait de réalisation de différentes tâches que l’individu doit faire tout au long de sa vie dans différentes institutions, où l’individu est considéré comme le sujet (alternatiement ou simultanément), produit le rapport entre lui même et le sujet mentionné. » 8 Donc, la recherche des organisations mathématiques qui relient étroitement au savoir O nous aide à clarifier le raport entre R(I,O) de l’institution I envers le savoir O; de ce point, la relation maintenue entre l’individu X et le savoir O devient alors éclaircie. Identifier des organisations mathématiques relatives au savoir O nous aide ainsi à définir des règles du contrat didactique : par exemple chaque individu a le droit de faire telles choses, ne doit pas faire telles choses et comment utilise-il le savoir O.  Théorie des situations Dans cette partie, nous n’aborde que la notion qui a besoin de la référence : le contrat didactique. Contrat didactique Le contrat didactique concerne quelques savoirs qui sont modélisation des droits et des devoirs de l’enseignant et même des élèves envers ces objets. Il est compris comme un ensemble des règles (souvent implicites) qui divisent et limitent les responsabilités de chaque membre (l’élève et l’enseignant) envers un savoir mathématique enseigné. La définition du contrat didactique permet d’expliquer les comportements de l’enseignement et de l’élève, de trouver le sens des activités qu’ils mènent ; de ce point, nous pouvons expliquer exactement les événements observés dans la classe. D’après Annie BESSOT et Claude COMITI (2000), pour reconnaître des effets du contrat didactique, nous pouvons suivre les étapes suivantes:  Créer un bouleversement dans le système éducatif pour mettre les membres principaux (l’enseignant et l’élève) dans une étrange situation appelée situation cassant le contrat : + En changeant les conditions d’utilisation des savoirs, + + + En profitant la maîtrise prématurée de l’élève pour des tels savoirs En se mettant hors du domaine des savoirs examinés ou utilisant les situations que les savoirs examinés sont incapables de résoudre. En posant l’enseignant face aux comportements qui n’accordent pas à leur souhait chez les élèves. 9  Analyser les composantes du système éducatif en vigeur : + + + En étudiant les réponses de l’élève au cours, En analysant des évaluations mathématiques des élèves dans l’utilisation des savoirs, En analysant des exercices resolus ou favoris dans le manuel. En particulier, nous pouvons reconnaître certains éléments représentatifs pour le savoir du contrat didactique en étudiant les critères de validation de l’utilisation des savoirs qui est fixée pas seulement par des textes ou par la définition du savoir, mais encore par des situations d’application, par des conventions tirées de l’enseignement. Les critères décidant la validation du savoir en ce cas ne dépendent plus au\ savoir lui-même mais aux contraintes du système didactique. Le fait d’enseigner un nouveau savoir produit toujours des situations cassant le contrat pour les anciens savoirs et demande de négocier de nouveaux contrats : l’apprentissage est le processus d’habituation des élèves vers ces bouleversements à travers de la négociation avec l’enseignant. D’après Brousseau, cette négociation conduit à une type de jeu dont les règles sont provisoirement stables ; ce jeu permet aux membres principaux, surtout aux élèves de donner leur décision dans la marge de garantie qui est nécessaire pour assurer leur indépendance tout au long de l’acquisition. L’étude des règles du contrat didactique demeure indispensable parce que pour bien préparer le furur, l’enseignant doit examiner le passé dont la forme réelle est le contrat en vigeur. Le contrat sur lequel l’enseignant agit s’évolue discontinuellement, est formé d’une serie des événements venant l’un après l’autre, représetatifs pour les ruptures du contrat. Casser le contrat révèle le principe essentiel pour l’évolution attendue. 3. Reformulation des questions et des buts du recherche Au sein du cadre théorique mentionné, nous reformulons nos questions : Q1. Quels sont les caractéristiques de l’épismologie du logarithme et de la fonction logarithme dans la formation et l’évolution ? 10 Q2. À l’université, quels sont des caractéristiques du rapport entre l’institution avec la notion du logarithme et de la fonction logarithme ? Quel est son rôle ? sa nature ? Q3. Comment se forme t-il et s’évolue-t-il le rapport entre l’institution et la notion du logarithme et de la fonction logarithme chez les lycées aux Vietnam? Quels sont des caractéristiques des oraganisations mathématiques qui renvoient à ces notions ? Comment s’évoluent – elles à l’étape de renouvellement du programme et du manuel ? Quelles sont des conditions et des contraintes de l’institution sur ces notions et les notions relatives ? Quels sont des règles de contrat construits par l’enseignement-l’apprentissage du sujet logarithmique ? Q4. Quelles sont des ressemblances et des différences tirées du rapport entre l’institution et la notion du logarithme, de la fonction logarithme aux universités par rapport aux lycées résidés au Vietnam? Q5. Comment influence -t-il le rapport institutionnel de l’enseignement du logarithme, de la fonction logarirthme chez le lycée sur le rapport l’enseignant - l’élève ? 4. Méthode de recherche En fin d’atteindre des buts de recherche, nous avons déterminé la méthode qui est systématisée comme suit : ÉTUDIER LES SAVOIRS : Mathématiques ÉTUDIER LES SAVOIRS À ENSEIGNER: Institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées vietnamiens EXPÉRIEMENTER: Relation individuelle entre l’enseignant et l’élève Nous pouvons paraphraser le plan de la méthode de recherche comme suit : 11  Premièrement, nous allons étud