Luận văn Khái niệm số thập phân đối với học sinh trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hoàng Đức Huy KHÁI NIỆM SỐ THẬP PHÂN ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠN PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số: 60.10.40 Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT PHẦN MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Ở Pháp, kể từ sau cuộc chống cải cách Toán học Hiện đại (1968/1978) số thập phân đóng vai trò cơ sở trong việc nghiên cứu hệ thống số (theo Bronner, 1997). Sự chọn lựa didactic này chịu ảnh hưởng từ ý kiến sư phạm của những nhà toán học lớn của Pháp, chẳng hạn theo Lebesgue : Nếu ta chọn hệ đếm thập phân cho giảng dạy ở phổ thông là vì những lý do sư phạm : để tiết kiệm thời gian, và bởi vì số được biểu diễn trong hệ thập phân sẽ cụ thể và phù hợp với tư duy của trẻ. (Lebesgue,1931, tr 8) Trong đời sống và trong các ngành khoa học, nhất là các ngành khoa học thực nghiệm như vật lý, hóa học, người ta thường sử dụng số thập phân khi tính toán và chấp nhận các kết quả thập phân gần đúng. Trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất, theo Luận án tiến sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) khái niệm số thập phân chỉ chính thức được nghiên cứu ở tiểu học. Đến trung học cơ sở, số thập phân được nhận dạng như những số hữu tỷ đặc biệt. Thể chế dạy học trung học cở sở và trung học phổ thông không xem số thập phân là đối tượng nghiên cứu.Tuy nhiên chúng vẫn xuất hiện trong định nghĩa số thực và tính toán gần đúng, nhất là trong tính toán với máy tính bỏ túi hiện rất được khuyến khích tại Việt Nam. Vì vậy, chúng tôi cho rằng vai trò và vị trí của đối tượng số thập phân trong dạy học toán bậc phổ thông Việt Nam không được xem trọng như trong thể chế dạy học của Pháp. Mặt khác, các nghiên cứu về việc giảng dạy số thập phân trong thể chế dạy học Việt Nam cũng rất hiếm. Điều này giải thích cho tính thích đáng của nghiên cứu mà chúng tôi dự định thực hiện. Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi sau: Khái niệm số thập phân đã được đưa vào chương trình hiện hành và sách giáo khoa phổ thông Việt Nam như thế nào? Có sự tiến triển nào về chương trình và sách giáo Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT khoa đối với việc dạy học khái niệm số thập phân qua hai chương trình hiện hành và trước năm 2001 ? Những khó khăn nào mà học sinh Việt Nam gặp phải khi học khái niệm này? Lý do của những khó khăn trên là gì ? Trong những khó khăn này, cái nào giống và khác với những gì mà các nhà Didactic Toán của Pháp đã phát hiện khi nghiên cứu thể chế dạy học của Pháp ? Quan niệm về khái niệm số thập phân của học sinh có được sau khi học khái niệm này là gì? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu của chúng tôi sử dụng chủ yếu các công cụ của lý thuyết nhân chủng học của Chevallard (1991). Đặc biệt hai định đề mà chúng tôi tích lại dưới đây của Chevallard đóng vai trò giả thuyết công việc cho nghiên cứu của chúng tôi. + Mọi thực tế thể chế đều có thế phân tích được, theo những quan điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau, thành một hệ thống các nhiệm vụ xác định. + Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một kĩ thuật. - Trong khuông khổ của nghiên cứu này, chúng tôi sẽ đặc biệt nghiên cứu những sai lầm của học sinh khi học số thập phân. Điều rút ra từ việc từ việc nghiên cứu sai lầm đã được Brousseau nhận định: “Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra (..), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nũa. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được. Chúng tạo thành chướng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được.” (G.Brousseau, 1976). “Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên hệ với nhau trong một nguồn chung : một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng, nhất quán - nếu không muốn nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó.” (G.Brousseau, 1976). Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi giới hạn đề tài của mình vào các câu hỏi nghiên cứu sau: Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Q1: Những đặc trưng khoa học luận của khái niệm số thập phân là gì? Đâu là những chướng ngại khoa học luận gắn với khái niệm này? Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chương trình hiện hành? Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp những khó khăn gì khi học khái niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc khoa học luận? Những khó khăn nào gây ra do sự lựa chọn Didactic của thể chế dạy học? 3. Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp lại một số kết quả của những nghiên cứu trước đó (Pháp: Brousseau 1987, Margolinas 1985, Neyret 1995; Việt Nam: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) để trả lời cho câu hỏi Q1. - Phân tích chương trình và sách SGK hiện hành từ tiểu học đến trung học phổ thông để tìm một số yếu tổ trả lời câu hỏi Q2. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận. + Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. + Trong chương 1, chúng tôi tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận và toán học của số thập phân từ công trình của Brousseau (1998), cấu trúc đại số và thứ tự của số thập phân từ quan điểm của toán học cao cấp. Đặc biệt chúng tôi sẽ nhấn mạnh sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân. + Trong chương 2, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học ở trường tiểu học, trung học cơ sở, trung học phổ thông ở Việt Nam liên quan đến đối tương số thập phân. + Trong chương 3, chúng tôi trình bày một thực nghiệm nhằm tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh với số thập phân. + Phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn. Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Chương 1: MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ TOÁN HỌC CỦA SỐ THẬP PHÂN 1.1. Một số kết quả khoa học luận của Brousseau (1998) Từ các nghiên cứu khoa học luận và việc trình bày số thập phân Brousseau (1998) đã kết luận rằng: Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng số thập phân. Những định nghĩa và cách xây dựng này khác nhau do sự lựa chọn những kiến thức khởi đầu khác nhau. Ngoài ra việc xây dựng khái niệm số thập phân bằng tiên đề là kiểu định nghĩa cuối cùng của khái niệm số thập phân nói riêng và của những khái niệm toán học khác nói chung. Brousseau cũng nhấn mạnh rằng cách xây dựng bằng phương pháp tiên đề cần phải được bổ sung thêm các lý thuyết để có thể hiểu được định nghĩa. Il existe bien des mainières de définir mathématiquement ou de cons-truire les décimaux. Elles diffèrent par le choix de ce que l’on considère connu comme objets mathématiques et comme méthode de démonstration, mais leur résultat est le même, en ce sens qu’il existe un moyen de montrer l’équivalence, l’isomorphisme des structures obtenues. Chacune de ces constructions axiomatiques est dans le champ des mathématiques ; par contre, l’étude de ce qui fait leurs différences, les raisons des choix, de ce qui est admis ou non, de ce qui est important ou non, facile ou non ... ne relève pas des mathématiques. Une constructions axiomatique est chargée implicitement d’option épistémologiques, de présupposés didactiques qu’il faut se garder de croire nécessaires au même titre que les conclusions mathématiques, mais par lesquels il faut bien passer pour obtenir un discours qui permet de communiquer la notion. Deux méthodes diffèrent par le choix des axiomes et des règles de production des théorèmes1. ( Brousseau. 1998, trang 201) Brousseau tóm tắt một số cách xây dựng số thập phân theo hai cách mở rộng hay thu hẹp một tập số cho trước. 1 Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng khái niệm số thập phân. Chúng phân biệt với nhau thông qua sự lựa chọn các đối tượng được xem như đã biết và phương pháp chứng minh. Tuy nhiên tập hợp số thập phân là duy nhất theo nghĩa sai khác một đẳng cấu. Mỗi sự tiên đề hóa trong cách xây dựng số thập phân đều nằm trong phạm vi toán học. Tuy nhiên việc nghiên cứu sự khác nhau giữa các cách xây dựng này, các lý do lựa chọn những gì đã biết hay chưa biết, cái gì quan trọng hay không quan trọng, cái gì dẽ hiểu hay khó hiểu thì không dựa vào toán học. Sự xây dựng bằng tiên đề ngầm ẩn dựa trên quan điểm tri thức luận và dựa vào việc chọn lựa những kết luận toán học cần thiết mà chúng ta chấp nhận rằng đúng, nhưng thông qua các kết luận này cần phải lĩnh hội được lý thuyết cho phép vận dụng khái niệm [] (Được chúng tôi dịch) Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT - Xây dựng số thập phân bằng cách mở rộng Z hay N. Prenons, par exemple, une construction directe des décimaux D : . Considéron, dans ZxN, la relation d’équivalence ~ ( , , , )D x  , la classe de (a,n) étant notée 10n a . D = Z x N/ est muni d’opérations stables par pasage au quotient: ( , ) ( , ) ( .10 .10 , ) ( , ) ( , ) ( . , ) p pa n b p a b n p a n x b p a b n p       Qui prolongent les opérations dans N, identifié à ( ,0)N D . Dest ordonné par ( , ) ( , ) .10 .10n pa n b p a b   . Alors ( , , , )D x  est un anneau commutatif unitaire intègre et totalement ordonné. ( Brousseau, 1998, trang 203) - Xây dựng số thập phân từ việc thu hẹp tập số hữu tỉ. Exemple : les descimaux sont les rationnels exprimables par une fraction descimale. (C’est la construction qui sera retenue plus loin)  / ( .10 pD x D p x Z    Dans le processus exposé plus loin nous retiendrons d’abord une extension de N pour construire directement Q  l’ neseble des nombres rationnels, púi une réduction de Q  à D  . ( Brousseau, 1998, trang 201) • Chướng ngại khoa học luận liên quan đến số thập phân: Bằng cách tổng hợp các nghiên cứu khoa học và nghiên cứu thể chế dạy học Toán của Pháp mà nhất là Brousseau (1998), Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã nhấn mạnh về một chướng ngại khoa học luận liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân : - Tập hợp các số tự nhiên với cấu trúc cộng và cấu trúc thứ tự rời rạc của chúng là một chướng ngại khi lĩnh hội cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự của tập hợp số thập phân. Đặc biệt, thứ tự rời rạc của tập hợp số tự nhiên sẽ ngăn cản việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc của tập hợp số thập phân. Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT - Những lựa chọn Didactic liên quan đến việc xây dựng số thập phân trong thể chế dạy học Pháp càng làm gia tăng chướng ngại này. Nghĩa là chướng ngại khoa học luận kể trên cũng là chướng ngại có nguồn gốc didactic2 (đối với thể chế dạy học của Pháp). 1.2. Cấu trúc đại số của số thập phân. 1.2.1. Số thập phân có cấu trúc vành Trong lý thuyết toán học: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1. X cùng với phép cộng là một nhóm aben 2. X cùng với phép nhân là nửa nhóm 3. Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử , ,x y z X ta có: x( y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx Từ đó, khi gọi D là tập các số thập phân, có thể thấy tập số thập phân D có cấu trúc vành và có các đặc trưng sau : 1.2.2. Số thập phân là một vành giao hoán có đơn vi. Thật vậy : 1. D cùng với phép cộng là một nhóm aben + , , : ( ) ( )a b c D a b c a b c       + , :a b D a b b a     + 0 , : 0D a D a a      + : ( ) : ( ) 0a D a D a a        2. D cùng với phép nhân là nửa nhóm , , : ( ) ( )a b c D ab c a bc   3. Phép nhân trong D phân phối đối với phép cộng: với các phần tử , ,a b c D ta có: ( )a b c ab ac   2 Theo Cornu (1983): Là những chướng ngại gây ra bởi phương pháp giảng dạy. Đó là những chướng ngại hoặc do giáo viên gây ra hoặc do hệ thống dạy học (bao gồm chương trình, chỉ dẫn của chương trình, thói quen, lựa chọn các ví dụ , ) gây ra. Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT ( )b c a ba bc   4. Phép nhân trong D có phần tử đơn vị: a D  : Ta có .1a a 1.2.3. Số thập phân không có cấu trúc trường Thật vậy, vì một số số thập phân không có phần tử nghịch đảo nên số thập phân không có cấu trúc trường. Ví dụ: 0,3 D ; nhưng 1 0,3 D . 1.2.4. Số thập phân là tập con của các trường Q và R Thật vậy, như ta đã biết: mỗi số thập phân là số hữu tỉ, như vậy tập số thập phân là tập con của các trường Q và R. 1.3. Sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân 1.3.1. Số thập phân có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng viết. Các dạng viết này có thể xuất hiện như là nghiệm của phương trình hay kết quả khai căn bậc hai của một số thực, kết quả của tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm. Vậy mỗi dạng viết khác nhau của số thập phân liên hệ với những vấn đề toán học sinh ra số thập phân này. Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau: - Dạng viết thập phân là 2,5. - Dạng viết phân số là 5 2 (ví dụ khi giải phương trình 2x = 5). - Dạng viết a là 6,25 (Ví dụ khi giải phương trình x2 = 6,25). - Dạng viết 2 + sin30o (Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình lượng giác). - Dạng viết 1 11 1! 2!   (Dạng viết này có thể xuất hiện khi tính gần đúng số e từ khai triển Mac Laurin 1 1 11 ... 1! 2! ! xe n      ) Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT 1.3.2. Tất cả các số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân. Như vậy, người ta có thể phân biệt các kiểu số dựa vào dạng viết thập phân của chúng. - Số thập phân có dạng viết thập phân hữu hạn hoặc vô hạn với chu kỳ 0. - Số hữu tỉ có thể viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn (kể cả số thập phân). Khi đó ta xem số thập phân là số có dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ 0 hoặc chu kỳ 9. Xét các số hữu tỉ 1 3 , 1 4 ta có thể viết các số đó dưới dạng thập phân 1 3 = 0,333 ... 1 4 = 0,25 Và ta nói rằng số hữu tỉ 1 4 được biểu diễn dưới dạng thập phân hữu hạn và số hữu tỉ 1 3 được biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn. Nói rằng 1 4 là thập phân hữu hạn vì khi biểu diễn 1 4 = 0,25 ta có thể kết thúc ngay ở số 5; trong khi 1 3 là một số thập phân vô hạn tuần hoàn vì khi biểu diễn 1 3 = 0,333 ... ta có thể viết thể viết thêm bao nhiêu chữ số 3 nữa vẫn chưa biểu diễn đúng hẳn được số 1 3 , nhưng nếu muốn kéo dài con số 3 đến bao nhiêu cũng viết được. Cũng như thế, có thể viết 1 7 = 0,1428571 ... Ở đây, con số 1 (số sau dấu phẩy thứ 7) ta viết dấu” ...” vì nếu muốn viết thêm bao nhiêu số sau dấu phẩy cũng được, chẳng hạn có thể viết: 1 7 = 0,14285714285714 ...

ư thế trong biểu diễn dạng thập phân của 1 7 , các số 142857 được lặp lại theo thứ tự đó bao nhiêu lần tùy ý và ta muốn dừng lại ở số mấy cũng được miễn là đã biểu diễn đầy đủ 6 con số này tức là quy tắc tuần hoàn của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,1428571 ... = 1 7 (Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 9). Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Như vậy chúng ta cần chú ý rằng, chẳng hạn dạng viết 0,333 không phải là số thập phân. Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số thập phân vô hạn tuần hoàn”, điều này có thể gây hiểu lầm rằng đây là số thập phân. Trong khi đó chỉ là dạng viết thập phân của số hữu tỉ. - Số vô tỷ được chứng minh là có dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn (cách chứng minh dựa vào tính đếm được và không đếm được trong tập hợp các số) Người ta chứng minh rằng bất kì một số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. Nhưng, với số vô tỉ thì không như thế, người ta cũng chứng minh được rằng bất kì một số vô tỉ nào cũng biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn. Chẳng hạn khi viết: 2 = 1,41 ... Ta không thể từ biểu diễn thập phân này mà có thể viết thêm các số sau dấy phẩy một cách tùy tiện vì không có quy tắc tuần hoàn. Nếu viết: 2 = 1,4142 ... Tương tự như trên, ta chỉ có thể biễu diễn xấp xỉ 2 với 5 con số sau dấu phẩy và từ năm con số đó không thể suy diễn để viết tiếp những con số thập phân khác vì 2 là số vô tỉ, có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ngoài ra như định nghĩa trên tập các số hữu tỉ và số vô tỉ, ta có bao hàm thức: N Z Q R   ( Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 10) Như vậy chúng ta cũng chú ý 2 không phải là số thập phân nhưng có thể biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn. Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số TP vô hạn không tuần hoàn”, điều này có thể gây hiểu lầm rằng số ấy là số TP. Trong khi đó chỉ là dạng viết TP của số vô tỉ. Tóm lại, ta cần phân biệt giữa dạng viết thập phân của một số thực với số thực này. Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể biểu diễn số thực dưới dạng liên phân số thông qua số hữu tỉ (nghĩa là có thể nói liên phân số là dạng viết hữu tỉ của số thực). 1.4. Thứ tự không rời rạc của tập số thập phân và tính trù mật của nó trong Q và R Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT - Quan hệ thứ tự: Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của X x X . Thế thì S được gọi là một quan hệ thứ tự trong X, nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: 1. (Phản xạ): Với mọi :a X aSa 2. (Phản đối xứng): Với mọi ,a b X nếu aSa và bSa thì a = b. 3. (Bắc cầu): Với mọi , ,a b c X nếu aSb và bSc thì aSc Ta nói một tập X sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự. Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là một tập được sắp. Nếu với mọi ,a b X đều có a b hoặc b a thì X gọi là được sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần). Trong trường hợp khác thì X gọi là được sắp bộ phận. Tập con A của một không gian Mêtric X gọi là trù mật trong X nếu A X . Từ các định nghĩa và các cách xây dựng tập số thập phân (D) hoặc bằng cách mở rộng tập N hoặc bằng cách thu hẹp Q hay tập R (Brossseau 1987) đã chỉ rõ các tính chất đặc trưng liên quan đến thứ tự của tập D so với N, Q và R. Tập D phân biệt so với tập N bởi thứ tự không rời rạc. Chẳng hạn “n là số liền sau của 17” có lời giải trong N, nhưng không có lời giải trong D (Brossseau 1987, trang 449) - Tập D là trù mật trong Q hay R D trù mật trong Q và trù mật trong R vì với một sai số mong muốn cho trước, luôn tồn tại một số thập phân mà khoảng cách từ số thập phân này đến số thực nhỏ hơn sai số đã chọn (Brousseau, 1987, trang 450). Nghĩa là D R 1.5. Kết luận • Các tính chất đặc trưng của số thập phân : - Tập hợp số thập phân là một vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân. Tập hợp số thập phân không phải là trường vì tồn tại những số thập phân không có phần tử khả nghịch là số thập phân. - Thứ tự trên tập hợp số thập phân là thứ tự không rời rạc (nghĩa là không có khái niệm hai số thập phân kề nhau). Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT - Tập hợp số thập phân là trù mật trong Q và trù mật trong R : với mọi số thực cho trước, luôn tồn tại 1 dãy các số thập phân hội tụ về số thực này. • Số thập phân có thể viết dưới nhiều dạng viết. Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau: - Dạng viết thập phân là 2,5. - Dạng viết phân số là 5 2 (ví dụ khi giải phương trình 2x = 5). - Dạng viết a là 6,25 (Ví dụ khi giải phương trình x2 = 6,25). - Dạng viết 2 + sin30o (Dạng viết này có thể x