Luận văn Khảo sát quá trình nén HONG-MANDEL của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - - - - PHẠM BÁCH KHOA KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, năm 2010 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác. Huế, tháng 9 năm 2010 Tác giả Luận văn Phạm Bách Khoa ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Trương Minh Đức, người đã giúp đỡ tôi rất nhiều về tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian thực hiện Luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy, Khoa Vật lý, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tình giúp đỡ tôi, đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Tổ Vật lý - Công nghệ và Trường THPT Sơn Mỹ đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả những người thân và bạn bè, đặc biệt là bố, mẹ, vợ, con đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện Luận văn. Huế, tháng 9 năm 2010 Tác giả Luận văn Phạm Bách Khoa iii MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN 10 1.1 Các trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Các kiểu nén bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Nén kiểu Hong-Mandel . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Nén kiểu Hillery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 Chương 2 -TÍNH CHẤTNÉN - TÍNHPHẢNKẾT CHÙM - TÍNHTHỐNGKÊ SUB-POISSON CỦATRẠNGTHÁI CHỒNGCHẤTHAI TRẠNGTHÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA 21 2.1 Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát . . . . . 21 2.1.1 Bậc k = 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Bậc k = 4n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.3 Bậc k = 4n + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.4 Bậc k = 4n + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Bậc 4n − 1 và 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Bậc 4n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Bậc 4n + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3 -KHẢO SÁT QUÁ TRÌNHNÉNHONG-MANDEL CỦATRẠNGTHÁI CHỒNGCHẤTHAI TRẠNGTHÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA 39 3.1 Khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Nén bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2 Nén bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 3.1.3 Nén bậc 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.4 Nén bậc 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 So sánh quá trình nén Hillery và quá trình nén Hong-Mandel của trạng chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1 3 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ 2.1 Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . 24 2.2 Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = 3pi/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . 26 2.4 Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = 3pi/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . 28 2.6 Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = 3pi/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . . . 32 2.8 Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.9 Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . . 33 2.10 Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.11 Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . . 35 2.12 Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 3.1 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 2 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền). . . . . . . 42 3.2 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền). . . . . . . 45 3.3 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền). . . . . . . 48 3.4 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 8 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền).. . . . . . 53 3.5 Hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) và hệ số nén SN kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) là hàm của |α|2 khi φ = 0. 54 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan trọng trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để nghiên cứu và áp dụng vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thông tin lượng tử [13] và máy tính lượng tử. Do đó, các tính chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước rất được các nhà khoa học quan tâm. Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng thái kết hợp. Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đã đưa ra khái niệm trạng thái kết hợp khi nghiên cứu tính chất của chùm sáng laser. Trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển do trong biểu diễn Glauber-Sudarshan [7], [8], [14], hàm phân bố xác suất P tương ứng với trạng thái này là hàm Delta. Trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson, là phân bố mà phương sai của một đại lượng bằng trung bình số hạt của chúng. Nếu phương sai của một đại lượng nhỏ hơn trung bình số hạt của chúng thì hàm phân bố ứng với trạng thái đó là sub-Poisson. Các trạng thái tuân theo thống kê sub-Poisson là các trạng thái phi cổ điển do hàm phân bố xác suất P ứng với trạng thái đó là âm. Một tính chất nữa thuộc tính chất phi cổ điển đó là tính chất phản kết chùm (anti-bunching). Nếu một trạng thái có tính chất phi cổ điển thì sẽ thể hiện rất rõ tính chất phản kết chùm hoặc tính thống kê sub-Poisson. Vào đầu thập niên 80 của thế kỷ 20, Hestrom [9], Hillery [10] và Mandel [12] đã đưa ra khái niệm trạng thái phi cổ điển trong đó trạng 6 thái phi cổ điển được nhắc đến đầu tiên là trạng thái nén. Trong trạng thái nén, các thăng giáng lượng tử được giảm xuống dưới mức thăng giáng mà trạng thái kết hợp cho phép. Khi trạng thái nén được khám phá nó mở ra một phương cách để vượt qua giới hạn lượng tử chuẩn suy ra từ hệ thức bất định. Năm 2007, Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã đưa ra một trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉, |Ψ〉 = N√ 2 (|α〉+ eiΦ|iα〉), trong đó N là hệ số chuẩn hóa. Ngoài ra Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 nhưng chỉ dừng lại ở bậc thấp như hiệu ứng nén bậc một, tính thống kê sub-Poisson bậc một và tính chất phản kết chùm bậc một. Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 với các bậc cao hơn như hiệu ứng nén Hillery từ bậc hai đến bậc tám, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm bậc hai đến bậc mười. Tính đến thời điểm hiện tại, trong các bài báo và các tài liệu mà chúng tôi cập nhật được, chưa có tác giả nào đề cập đến việc khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson tổng quát, tính chất phản kết chùm tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Vì vậy, trong Luận văn này tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson tổng quát, tính chất phản kết chùm tổng quát và quá trình nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp 7 vuông pha |Ψ〉, rồi sau đó chúng tôi so sánh tính chất nén Hillery và Hong-Mandel của trạng thái này. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài " Khảo sát quá trình nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha" để nghiên cứu. 2. Mục tiêu của đề tài Khảo sát các tính chất của quá trình nén Hillery tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub- Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. - Khảo sát quá trình nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8 của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. 4. Phạm vi nghiên cứu Trong Luận văn này chỉ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với các bậc N = 2, 4, 6, 8. 8 5. Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này chúng tôi sử dụng một số phương pháp cơ bản như sau: - Phân tích, tổng hợp tài liệu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Vận dụng các kiến thức đã học để tính toán đưa ra các biểu thức cụ thể, vẽ đồ thị và tính số. 6. Bố cục luận văn Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ, phương pháp và phạm vi nghiên cứu. Phần nội dung chia làm ba chương, trong đó chương 1 trình bày các kiến thức tổng quan; chương 2 khảo sát quá trình nén Hillery, tính chất phản kết chùm, tính thống kê sub-Poisson tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha; chương 3 khảo sát quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. Phần kết luận nêu lên kết quả đạt được của Luận văn. 9 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN Để đảm bảo tính logic và dễ hiểu, trước khi trình bày về trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha và tính chất phi cổ điển của chúng, chúng ta nhắc lại một cách khái quát trạng thái kết hợp. Trạng thái kết hợp, kí hiệu |α〉, được Glauber [7] và Sudarshan [14] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1963 khi dùng trạng thái này để mô tả tính chất của chùm sáng laser. Sau đó chúng ta sẽ đề cập đến trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, kí hiệu |Ψ〉 và một số tính chất phi cổ điển (như tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm) của nó nhưng chỉ ở bậc nhỏ đã được Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đưa ra năm 2007 và tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] phát triển thêm vào năm 2009. 1.1 Các trạng thái kết hợp 1.1.1 Khái niệm Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đưa ra khái niệm trạng thái kết hợp |α〉 khi khảo sát tính chất của chùm sáng laser- chùm sáng có độ đơn sắc cao và cường độ lớn. Tính chất đặc biệt của chùm laser là tính kết hợp, cường độ càng cao thì tính kết hợp càng lớn. Vì thế, trạng thái dùng để mô tả nó có tên là trạng thái kết hợp. 10 Ta có toán tử sinh hạt â+ và hủy hạt â tuân theo hệ thức giao hoán [â, â+] = 1, (1.1) [â, â] = [â+, â+] = 0, (1.2) và toán tử số hạt n̂ = â+â. Trạng thái kết hợp |α〉 được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử hủy boson â. Do đó |α〉 thỏa mãn phương trình â|α〉 = α|α〉, (1.3) trong đó α là một số phức bất kỳ trong không gian phức. Khi khai triển thông qua các trạng thái Fock |n〉 thì trạng thái kết hợp |α〉 được biểu diễn dưới dạng |α〉 = ∞∑ n=0 Cn|n〉, (1.4) trong đó |n〉 là trạng thái Fock. Thay (1.4) vào (1.3), ta được biểu thức của trạng thái kết hợp biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock |α〉 = C0 ∞∑ n=0 αn√ n! |n〉, (1.5) với C0 là hệ số chuẩn hóa. 1.1.2 Tính chất Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau Tính chất 1: Các trạng thái kết hợp đã được chuẩn hóa, nghĩa là 〈α|α〉 = 1. (1.6) Từ biểu thức (1.6), ta thu được hệ số chuẩn hóa C0 của trạng thái kết hợp |α〉 C0 = exp(−1 2 |α|2). (1.7) 11 Thay (1.7) vào (1.6), ta được biểu thức của trạng thái kết hợp đã chuẩn hóa khai triển theo hệ cơ sở của trạng thái Fock |n〉 có dạng như sau |α〉 = exp(−1 2 |α|2) ∞∑ n=0 αn√ n! |n〉. (1.8) Tính chất 2: Các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, nghĩa là 〈α|β〉 6= 0. (1.9) Tính chất 3: Phân bố số hạt ở trạng thái |α〉 tuân theo phân bố Poisson (là phân bố mà số hạt trung bình và phương sai của toán tử số hạt bằng nhau). Ta có số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α〉 〈n̂〉 = 〈α|n̂|α〉 = 〈α|â+â|α〉 = |α|2. (1.10) Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α〉 〈(4n̂)2〉 = 〈α|(4n̂)2|α〉 = 〈α|n̂2|α〉 − 〈α|n̂|α〉2 = |α|2. (1.11) Từ (1.10) và (1.11), ta thấy số hạt trung bình và phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp bằng nhau, nghĩa là 〈n̂〉 = 〈(4n̂)2〉. (1.12) Từ (1.12) chứng tỏ rằng trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson. Ta tính xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |α〉 p(n) = 〈n|α〉〈α|n〉 = exp(−|α|2) ∞∑ m=0 αm√ m! 〈n| m〉 ∞∑ m=0 (α∗)m√ m! 〈m| n〉 = exp(−|α|2)|α| 2n n! , (1.13) 12 trong đó p(n) = exp(−|α|2) |α|2n n! là hàm phân bố Poisson. Hàm phân bố Poisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Vì vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển. Tính chất 4: Hệ tất cả các trạng thái kết hợp |α〉 là một hệ đủ, nghĩa là 1 pi ∫ |α〉〈α|d2α = 1. (1.14) Tính chất 5: Trạng thái kết hợp |α〉 là trạng thái có độ bất định cực tiểu, nghĩa là (4x̂)2(4p̂)2 = 1 4 . (1.15) Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp |α〉, nó gợi cho ta nghĩ đến khả năng tồn tại của các trạng thái có độ bất định nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn. Những trạng thái này không thể là trạng thái cổ điển. Vì vậy, có thể xem chúng là một lớp các trạng thái phi cổ điển. Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu đến trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha và tính chất của nó. 1.2 Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha 1.2.1 Khái niệm Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã đưa ra một trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha vào năm 2007. Trạng thái chồng chất của hai trạng 13 thái kết hợp vuông pha có dạng như sau |Ψ〉 = N√ 2 (|α〉+ eiφ|iα〉), (1.16) trong đó trạng thái kết hợp |α〉 biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock |n〉 có dạng như sau |α〉 = exp(−1 2 |α|2) ∞∑ n=0 αn√ n! |n〉, (1.17) và trạng thái kết hợp |iα〉 biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock |n〉 có dạng như sau |iα〉 = exp(−1 2 |α|2) ∞∑ n=0 (iα)n√ n! |n〉. (1.18) Thay (1.17) và (1.18) vào (1.16) ta thu được biểu thức của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha khai triển theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock |n〉 có dạng như sau |Ψ〉 = N√ 2 exp(−1 2 |α|2) ∞∑ n=0 αn + eiφ(iα)n√ n! |n〉, (1.19) với N là hệ số chuẩn hóa. 1.2.2 Tính chất Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha có một số tính chất sau Tính chất 1: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha đã được chuẩn hóa, nghĩa là [3] 〈Ψ|Ψ〉 = 1. (1.20) 14 Từ biểu thức (1.20), ta thu được hệ số chuẩn hóa N của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha N = [1 + e−|α| 2 cos(φ + |α|2)]−12 . (1.21) Thay (1.21) vào (1.19) ta có biểu thức của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha đã chuẩn hóa khai triển theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock |n〉 có dạng như sau |Ψ〉 = [1 + e −|α|2cos(φ + |α|2)]−12√ 2 e− |α|2 2 ∞∑ n=0 αn + eiφ(iα)n√ n! |n〉. (1.22) Tính chất 2: Các trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha không trực giao với nhau, nghĩa là [3] 〈Ψ|Ψ′〉 6= 0. (1.23) Tính chất 3: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy boson â2, nghĩa là [3] â2|Ψ〉 = α2|Ψ〉. (1.24) Tính chất 4: Phân giải đơn vị của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 được viết như sau [3]∫ dµ(α)|Ψ〉〈Ψ| = 1. (1.25) với α là số phức bất kỳ trong không gian phức nên ta chọn α = |α|eiϕ và hàm µ(α) được xác định theo biểu thức [3]∫ |α0| 0 2piµ ′ (α)N2d|α|α2n+1exp(−|α|2)[1 + cos(φ+ npi 2 ) = n!. (1.26) Như vậy, nếu tồn tại hàm µ(α) sao cho nó thỏa mãn điều kiện (1.26) với mọi n thì có thể khai triển một hàm bất kỳ dưới dạng các trạng thái 15 chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, nghĩa là khi đó các trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha lập thành một hệ đủ. Tính chất 5: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 tuân theo tính thống kê sub-Poisson bậc một và tính chất phản kết chùm bậc một đến bậc chín [3], [13]. Tính chất 6: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 có hiệu ứng nén bậc một [13] và bậc hai, bậc ba, bậc năm, bậc sáu, bậc bảy [3]. 1.3 Trạng thái nén Xuất phát từ hệ thức bất định cho 2 đại lượng vật lý A,B không đo được đồng thời trong trạng thái |ϕ〉 nào đó V AV B ≥ 1 4 |〈ϕ|[Aˆ, Bˆ]|ϕ〉|2. (1.27) Nếu |ϕ〉 = |α〉 là trạng thái kết hợp của hai đại lượng A,B thì hệ thức bất định của chúng đạt đến độ bất định tối thiểu V AV B = 1 4 |〈ϕ|[Aˆ, Bˆ]|ϕ〉|2, (1.28) đồng thời có thể chứng minh được rằng phương sai của A cũng bằng phương sai của B và bằng một giá trị gọi là giới hạn lượng tử chuẩn V A = V B = 1 4 |〈ϕ|[Aˆ, Bˆ]|ϕ〉|, (1.29) Một trạng thái vật lý |ϕ〉 của trường hạt boson cho hai đại lượng A,B mà trong đó VA(hoặc VB) bé hơn giá trị giới hạn lượng tử chuẩn sao 16 cho nguyên lý bất định không bị vi phạm thì trạng thái |ϕ〉 gọi là trạng thái nén đối với đại lượng A(hoặc B). Trường hợp đặc biệt nếu trạng thái nén của A(hoặc B) còn thỏa mãn điều kiện (V A)(V B) bằng độ bất định tối thiểu thì nó được gọi là trạng thái nén lý tưởng. 1.4 Các kiểu nén bậc cao 1.4.1 Nén kiểu Hong-Mandel Các trạng thái nén đơn mode bậc cao được đưa ra bởi Hong và Mandel vào năm 1985 [11] và được gọi là kiểu nén Hong-Mandel. Cho hai toán tử biên độ trực giao có giao hoán tử [Xˆa(ϕ), Xˆa(ϕ + pi/2)] = 2iC, C : số thực bất kỳ. (1.30) Hong-Mandel đã sử dụng đồng nhất thức Campbell-Bake-Hausdorff〈 exp(∆Xˆa(ϕ)x) 〉 = 〈 : exp(∆Xˆa(ϕ)x) : 〉 exp( 1 2 x2C), (1.31) trong đó :...: ký hiệu N-tích. Khai triển các hàm mũ trong (1.31) dưới dạng chuỗi theo x và đồng nhất hai vế, ta có: V NXa(ϕ) ≡ 〈 (∆Xˆa(ϕ)) 2N〉 = N−1∑ j=0 (2N )2jCj j!2j 〈 : (∆Xˆa(ϕ)) 2(N−j) : 〉 + (2N − 1)!!CN , (1.32) trong đó N (j) ≡ N (