Luận văn Khảo sát tô pô trên không gian các hàm chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ LÝ THỊ LOAN THẢO KHẢO SÁT TƠ PƠ TRÊN KHƠNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành Phố Hồ Chí Minh - 2008 1 LỜI CẢM ƠN Trước tiên , tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS . Nguyễn Hà Thanh . Thầy đã tận tình hướng dẫn , giúp đỡ , trang bị nhiều tài liệu và truyền cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này . Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giảng dạy nhiệt tình quý báu của các thầy – cô trong khoa Toán trong suốt quá trình học tập . Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn . Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn , Ban Giám Hiệu trường THPT chuyên Lương Thế Vinh đã hết sức giúp đỡ , tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt khoá học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu nhà trường . Cuối cùng , tôi xin cảm ơn gia đình , bạn bè, đồng nghiệp vì đã ủng hộ, động viên , khích lệ tôi trong thời gian qua. Tp. Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2008 Tác giả Lý Thị Loan Thảo 4 MỞ ĐẦU 1. Lý dóùù chọn đề tài ï à øï à øï à ø Cấu trúc không gian vectơ tôpô H(U) , U là tập con mở của CM đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Grothendieck , G Kothe và Martineau . Tôpô mở compact lần đầu tiên được khảo sát trên không gian các hàm chỉnh hình bởi Alexander và Nachbin. Tuy nhiên , không chỉ có các tôpô thông dụng trên được khảo sát trên không gian các hàm chỉnh hình . Năm 1969 , Nachbin đã giới thiệu tôpô ωτ trên không gian các hàm chỉnh hình và cũng trong thời gian này Coeuré đã đưa vào trong không gian các hàm chỉnh hình tôpô δτ dựa trên các định nghĩa mở rộng của Nachbin. Việc nghiên cứu tính chất tôpô ωτ , δτ trên không gian các hàm chỉnh hình đã được quan tâm đặc biệt bởi rất nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây. Luận văn của chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai tôpô này : ωτ , δτ trên không gian H(U) với U là tập con mở cân của không gian Banach với cơ sở không điều kiện hoặc là một đa đĩa mở trong không gian DN hạch đầy đủ có cơ sở . Vì vậy, đề tài nghiên cứu của chúng tôi là “ khảo sát tôpô û ù â âû ù â âû ù â â ωτ , δτ trên không gian các hàm chỉnh hìnhâ â ù øâ â ù øâ â ù ø ”. 5 2. Mục đích nghiên cứu :ï â ùï â ùï â ù Trong luận văn này , chúng tôi trình bày một số tính chất của tôpô ωτ , δτ trên không gian các hàm chỉnh hình và khảo sát điều kiện để ωτ = δτ . 3. Đối tượng và nội dung nhiên cứu á ï ø ä â ùá ï ø ä â ùá ï ø ä â ù Không gian các hàm chỉnh hình . Cụ thể là không gian Banach với cơ sở không điều kiện và không gian DN hạch đầy đủ có cơ sở . 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn :Ù ï ï ãÙ ï ï ãÙ ï ï ã Khảo sát các tôpô ωτ , δτ trên một số không gian các hàm chỉnh hình cụ thể và tìm điều kiện để ωτ = δτ . 5. Cấu trúc luận văn :á ù ä êá ù ä êá ù ä ê Nội dung của luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu , bốn chương nội dung và phần kết luận . Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài . Phần nội dung : Chương 1 : Trong chương này tôi trình bày các kiến thức cơ bản về không gian tôpô , không gian lồi địa phương và tôpô lồi địa phương trên không gian các hàm chỉnh hình để chuẩn bị cho các chương sau. Chương 2 : Tôpô trên không gian đa thức . Trong chương này chúng tôi định nghĩa các tôpô trên không gian ánh xạ tuyến tính và các tôpô trên không gian đa thức. 6 Chương 3 : Hàm chỉnh hình trên không gian Banach với cơ sở không điều kiện . Trong chương này kết quả chính là định lý sau : ‘‘ Nếu U là một tập con mở cân của không gian Banach E với cơ sở không điều kiện thì ω δτ τ= trên H(U)’’. Chương 4 : Hàm chỉnh hình trên không gian DN có cơ sở . Trong chương này kết quả chính là định lý sau : ‘‘ Nếu U là một đa đĩa mở trong không gian DN hạch đầy đủ có cơ sở E thì 0 δτ τ= trên H(U)’’. Phần kết luận : Đưa ra những nhận xét khi khảo sát các tôpô ωτ , δτ trên không gian các hàm chỉnh hình cụ thể . 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Một số lý thuyết tôpôä á ù á â âä á ù á â âä á ù á â â 1.1 . Không gian vectơ tôpôâ â ââ â ââ â â 1.1.1. Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ trên trường K , τ là một tôpô trên E . Khi đó,(E,τ ) được gọi là không gian vectơ tôpô nếu : (i). (E,τ ) là không gian tôpô tách . (ii). Các ánh xạ sau liên tục : ( , ) E E E x y x y × → +֏ ; ( , ) K E E x xα α × → ֏ . 1.1.2. Không gian tôpô compac â â ââ â ââ â â Một họ S những tập con không rỗng của một tập E gọi là một lọc trên E nếu : (i). ,A B S A B S∈ ⇒ ∩ ∈ , (ii). ,A S A B B S∈ ⊂ ⇒ ∈ Cho không gian tôpô E . Ta nói một lọc S trên E hội tụ tới x nếu mỗi lân cận của E đều bao hàm một tập thuộc S. Khi đó x gọi là giới hạn của S. Ta nói một lọc S mạnh hơn một lọc T nếu ⊂T S . Một không gian tôpô E gọi là compac nếu mỗi lọc S trên E đều có một lọc mạnh hơn hội tụ. 8 1.1.3. Định lý1ùùù Một tập con M của một không gian tôpô E là compac khi và chỉ khi nó có một trong hai điều kiện dưới đây : (i). Mọi phủ mở của M đều chứa một phủ con hữu hạn . (ii). Bất kỳ họ tập đóng nào trong E mà có giao không cắt M thì phải chứa một họ con hữu hạn vẫn có giao không cắt M. 1.2. Không gian lồi địa phương â àâ àâ à 1.2.1. Tập lồi ä àä àä à – hấp thụ á ïá ïá ï - cânâââ Cho E là một không gian vectơ trên trường K và một tập U chứa trong E. • Tập U được gọi là lồi ( convex) nếu : , , [0;1]x y U λ∀ ∈ ∀ ∈ ta có (1 )x y Uλ λ+ − ∈ . • Tập U được gọi là hấp thụ ( absobent) nếu : 0, 0λ∀ ∈ ∃ >x E sao cho 0,λ λ λ λ∀ ∈ ≥ ⇒ ∈K x U . • Tập U được gọi là cân (balance) nếu : , 1K U Uαα α∀ ∈ ≥ ⇒ ⊂ . 1.2.2. Định nghĩa Không gian vectơ tôpô được gọi là lồi địa phương nếu nó có một cơ sở lân cận của gốc O gồm các tập lồi. 1.2.3. Mệnh đề ä àä àä à 1 Trong mỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương có một cơ sở lân cận lồi , cân đối , hấp thụ và đóng. 9 1.3. Không gian Frechet âââ 1.3.1. Chuẩn ååå –nửa chuẩn û åû åû å Cho E là một không gian vectơ trên trường R. Aùnh xạ : →p E R được gọi là một nửa chuẩn nếu : (i). ( ) ( ) ( ), ,+ ≤ + ∀ ∈p x y p x p y x y E . (ii). ( ) . ( ), ,α α α= ∀ ∈ ∀ ∈p x p x R x E . Aùnh xạ : →p E R được gọi là một chuẩn nếu : (i). ( ) 0 0,= ⇔ = ∀ ∈p x x x E . (ii). ( ) ( ) ( ), ,+ ≤ + ∀ ∈p x y p x p y x y E . (iii). ( ) . ( ), ,α α α= ∀ ∈ ∀ ∈p x p x R x E . 1.3.2. Không gian đếm được chuẩnâ á ï åâ á ï åâ á ï å Một không gian vectơ tôpô lồi địa phương mà tôpô được xác định bởi môït họ nửa chuẩn { } Apα α ∈ hữu hạn hoặc đếm được và thoả điều kiện tách sau đây thì được gọi là không gian đếm được chuẩn . 0, : ( ) 0αα∀ ≠ ∃ ∈ >x A p x 1.3.3 Định lýùùù 2 Các mệnh đề sau là tương đương : (i). E là không gian đếm được chuẩn. (ii). E là không gian lồi địa phương có một cơ sở lân cận đếm được. (iii). E là không gian lồi địa phương mê–tríc hoá được. 10 1.3.4. Định nghĩa Một không gian đếm được chuẩn và đầy đủ gọi là không gian Frechet. 1.3.5. Định lýùùù 3 Trong không gian Frechet, mỗi tập V lồi, cân đối, hấp thụ, đóng là một lân cận của gốc. 1.4. Không gian Banacâââ h 1.4.1. Định nghĩa Cặp (E , p ) , trong đó E làmột không gian tuyến tính và p là một chuẩn trên E, gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó hàm số thực ρ xác định trên E×E bởi công thức ( , ) ( )ρ = −x y p x y là một mêtric. Nếu {xn} là một dãy phần tử của E và x0∈ E thì 0lim n n x x →∞ = có nghĩa là ( )0lim 0 →∞ − =n n p x x . Không gian tuyến tính định chuẩn (E, p ) đầy đủ đối với mêtric xác định như trên gọi là một không gian Banach. 1.4.2. Định lý Hahn ùùù – Banach Cho E là một không gian lồi địa phương , p là một nửa chuẩn liên tục trên E và F là không gian con của E . Khi đó: (i). Với mỗi '∈y F , tồn tại '∈Y E sao cho =EY y . (ii). Với mỗi ∈z E ,tồn tại '∈y E sao cho ( ) ( ), ( ) ( ),= ≤ ∀ ∈y z p z y x p x x E . (iii). Với mỗi ,∈ ≠ Ex E x O , tồn tại '∈y E sao cho ( ) 0≠y x . 11 1.5.Tôpô â ââ ââ â lồi địa phươngààà 1.5.1. Tôpô hội tụ đều â â ä ï àâ â ä ï àâ â ä ï à Cho E là không gian vectơ tôpô , gọi E* là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên E và E’ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E . Ta gọi E’ là không gian đối ngẫu (tôpô) của E. Cho M là họ con (bất kỳ) của họ các tập bị chặn trong E . Với mỗi M ta có một họ sơ chuẩn { }( ), ' :∈ ∈Mp f f E M M , họ này xác định một tôpô lồi địa phương trên E’ , nhận làm cơ sở lân cận các tập có dạng { }1: ( ) ,ε =< ∀ ∈ ni if f x x U M với n là số tự nhiên bất kỳ , ε là số nguyên dương bất kỳ và Mi là những tập bất kỳ trong họ M . Ta gọi những tôpô này là M- tôpô trên E’ hay tôpô hội tụ đều trên các tập thuộc họ M . 1.5.2. Giới hạn xạ ảnhù ï ï ûù ï ï ûù ï ï û Giả sử cho trước : (i). Một không gian tuyến tính E. (ii). Một họ không gian lồi địa phương Ei , i∈I . (iii). Với mỗi i∈I , cho một ánh xa ïtuyến tính fi : E → Ei . Khi đó tôpô lồi địa phương yếu nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ fi liên tục gọi là tôpô lồi địa phương khởi đầu của họ các tôpô của các Ei và không gian E với tôpô đó được gọi là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi địa phương Ei đối với các ánh xạ fi . 1.5.3. Giới hạn quy nạp ù ï ïù ï ïù ï ï Giả sử cho trước : (i). Một không gian tuyến tính E. (ii). Một họ không gian lồi địa phương Ei , i∈I . 12 (iii). Với mỗi i∈I, cho một ánh xa ïtuyến tính gi : Ei → E . Khi đó tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ gi liên tục gọi là tôpô lồi địa phương tận cùng của họ các tôpô của các Ei và không gian E với tôpô đó được gọi là giới hạn quy nạp của các không gian lồi địa phương Ei đối với các ánh xạ gi . 2. Không gian ánh xạ tuyến tính và không gian đa thức thuần nhấtâ ù ï á ø â ù à áâ ù ï á ø â ù à áâ ù ï á ø â ù à á 2.1. Không gian âââ ( , )na E FL , ( , )a s n E FL Cho E ,F là các không gian vectơ trên trường số phức. Với mỗi ∈n N , ta ký hiệu ( , )n a E FL là không gian ánh xạ n-tuyến tính từ E vào F . Khi F = C ta viết ( )na EL . Một ánh xạ n-tuyến tính L từ E vào F được gọi là đối xứng nếu 1 (1) ( )( , ..., ) ( , ..., )σ σ=n nL x x L x x với mọi 1( ,..., )∈nx x E và mọi hoán vị σ của n số tự nhiên đầu tiên . Ta ký hiệu ( , ) a s n E FL là không gian vectơ các ánh xạ n- tuyến tính đối xứng từ E vào F. 2.2. Không gian âââ ( , )na E FP , ( , )a E FP Một ánh xạ từ không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F là sự hợp thành của ánh xạ đường chéo từ E vào En và ánh xạ n- tuyến tính từ E vào F được gọi là một đa thức n-thuần nhất . Ta ký hiệu ( , )na E FP là không gian vectơ các đa thức n -thuần nhất từ E vào F . 13 Như vậy một ánh xạ : →p E F là một đa thức n- thuần nhất khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ n- tuyến tính L từ E vào F sao cho tam giác sau giao hoán: Trong đó ( ) , ∆ = ∀ ∈nx x x E . Một đa thức từ E vào F là tổng hữu hạn của các đa thức thuần nhất từ E vào F . Ta ký hiệu ( , ) a E FP là không gian vectơ các đa thức từ E vào F. 2.3. Không gian âââ ( , )n E FP , ( , )n E FL , ( , )s n E FL Cho E , F là các không gian tôpô và cũng là không gian vectơ trên trường số phức . Khi đó ta ký hiệu ( , )n E FP , ( , )n E FL , ( , )s n E FL lần lượt là không gian đa thức n - thuần nhất liên tục từ E vào F ; không gian ánh xạ n - tuyến tính liên tục từ E vào F và không gian ánh xạ n - tuyến tính đối xứng liên tục từ E vào F. Khi E , F là các không gian lồi địa phương , ta ký hiệu cs(E) là tập hợp các nửa chuẩn liên tục trên E. 2.4. Không gian âââ ( , )nHY E FP , ( , )nM E FP Phần tử P của ( , )na E FP được gọi là nội liên tục nếu nó liên tục trên các tập con compac của E . Ta ký hiệu ( , )nHY E FP là không gian vectơ các đa thức n- thuần nhất nội liên tục từ E vào F. E En ( , )n a E FP ∆ F L p 14 Phần tử P của ( , )a E FP được gọi là liên tục Mackey (hoặc Silva) nếu nó là ánh xạ từ tập con bị chặn của E vào tập con bị chặn của F . Ta ký hiệu ( , )nM E FP là không gian vectơ các đa thức n- thuần nhất liên tục Mackey từ E vào F. 2.5. Không gianâââ nửa ûûû – Montel , không gian âââ bonrnological Một không gian lồi địa phương là không gian nửa – Montel nếu mọi tập bị chặn đóng của nó đều là tập compac. Một không gian lồi địa phương E được gọi là bonrnological khi và chỉ khi ( , ) ( , )=M E F E FL L . 2.6. Không gian âââ N ( , )n E FL , N ( , )n E FP Cho E , F là các không gian lồi địa phương . (i). ( , )∈ nL E FL được gọi là ánh xạ n-tuyến tính hạch từ E vào F nếu tồn tại một lân cận U lồi ,bị chặn của 0 trong E , một tập con bị chặn B của E , ( ) 11 λ ∞= ∈k k e và dãy ( ), 1 , 1,...,φ ∞= =i k k i n và ( ) 1γ ∞=k k trong đó 0 , , ,φ ∈ ∀i k U i k và ,γ ∈ ∀k B k sao cho : 1 1, 1 , 11 ( , ..., ) ( )... ( ) , ( , ..., )λ φ φ γ∞ = = ∀ ∈∑ nn k k n k n k nkL x x x x x x E . Ta ký hiệu N ( , )n E FL là không gian các ánh xạ n-tuyến tính hạch từ E vào F. (ii). ( , )∈ nP E FP được gọi là một đa thức n-thuần nhất hạch từ E vào F nếu tồn tại một lân cận U lồi ,bị chặn của 0 trong E , một tập con bị chặn B của E , ( ) 11 λ ∞= ∈k k e và dãy ( ) 01φ ∞= ⊆k k U và ( ) 1γ ∞= ⊆k k B sao cho: 1 ( ) ( ) ,λ φ γ∞ = = ∀ ∈∑ k k kkP x x x E . 15 Ta ký hiệu N ( , )n E FP là không gian các đa thức n-thuần nhất hạch từ E vào F. 2.7 Không gian hạch â ïâ ïâ ï 2.7.1. Định nghĩa Với n =1 trong 2.6 (i) ta có định nghĩa ánh xạ tuyến tính hạch từ E vào F. Một không gian lồi địa phương E được gọi là không gian hạch nếu với mỗi ( )α ∈ cs E đều tồn tại ( ),β β α∈ ≥cs E sao cho ánh xạ chính tắc từ βE vào αE là ánh xạ hạch. Một không gian lồi địa phương E được gọi là không gian hạch đối ngẫu nếu 'βE là không gian hạch . 2.7.2. Định lý ùùù 4 Nếu E là một không gian lồi địa phương hạch và ∈n N thì N ( ) ( )=n nE EL L và N ( ) ( )=n nE EP P . 3. Các tôpô lồi địa phương trên không gian các hàm chỉnh hình ù â â à â â ù øù â â à â â ù øù â â à â â ù ø 3.1. Hàm chỉnh hìnhøøø 3.1.1.Tập mở hữu hạn ä û õ ïä û õ ïä û õ ï Tập con U của không gian vectơ E được gọi là mở hữu hạn nếu U F∩ là một tập con mở hữu hạn của không gian Euclide F với mọi không gian con hữu hạn chiều F của E. 3.1.2. Hàm G øøø - chỉnh hình : Một hàm f xác định trên một tập con mở hữu hạn U của không gian vectơ E ,lấy giá trị trên không gian lồi địa phương F được gọi là G -chỉnh hình (chỉnh hình Gâteaux) nếu với mỗi a∈ U , b∈ E và F∅ ∈ , hàm giá trị 16 phức của một biến phức ( )f a bλ λ→ Φ + là chỉnh hình trong một vài lân cận của 0. Ký hiệu HG(U,F) là tập các ánh xạ G – chỉnh hình từ U vào F. 3.1.3. Bổ đềå àå àå à Nếu E là một không gian vectơ , U là một tập con mở hữu hạn chiều của E , F là một không gian lồi địa phương và f ∈ HG(U,F) thì f liên tục khi U được cho bởi tôpô mở hữu hạn . Chứng minh : Dễ thấy fτ là tôpô giới hạn quy nạp được cho bởi các ánh xạ G E→ trong đó G là khoảng trên các không gian con hữu hạn chiều của E. Do đó hàm f xác định trên một tôpô fτ tập con mở U của E là liên tục khi và chỉ khi hạn chế của nó lên các nhát cắt hữu hạn chiều của U là liên tục. Khi đó một hàm giải tích biến phức là liên tục và bổ đề được chứng minh.
3.1.4.Định nghĩa (hàm øøø chỉnh hình ) Cho E và F là các không gian lồi địa phương và U là một tập con mở của E. Một hàm f :U→ F được gọi là chỉnh hình nếu nó là G -chỉnh hình và với mỗi Uξ ∈ , hàm 0 ( ) ( ) ! ξγ γ∞ = → ∑ m m d f m hôïi tụ và xác định một hàm liên tục trên lân cận của 0. Ta ký hiệu H(U,F) là không gian vectơ các hàm chỉnh hình từ U vào F. 17 3.1.5. Bổ đề å àå àå à 1 Nếu U là một tập con mở của không gian lồi địa phương E , F là một không gian lồi địa phương và f ∈ HG(U,F) thì f ∈ H(U,F) khi và chỉ khi ( , )n f H U Fα α∈ với mọi α trong cs(F) . 3.1.6. Bổ đề 2å àå àå à Nếu U là một tập con mở của không gian lồi địa phương E , F là một không gian tuyến tính định chuẩn và f ∈ HG(U,F) thì f ∈ H(U,F) khi và chỉ khi f bị chặn địa phương. 3.2. Các tôpô lồi địa phương ù â â àù â â àù â â à 3.2.1. Tôpô mở compacâ â ûâ â ûâ â û oτ Cho U là một tập con mở của không gian lồi địa phương E và F là một không gian lồi địa phương . Tôpô mở compac ( hay tôpô của dạng hội tụ trên các tập con compac của U ) trên H(U,E) là tôpô lồi địa phương sinh bởi nửa chuẩn : , ,( ) sup ( ( )B K B K x K f f B f xρ ∈ = = . Trong đó K biến thiên trên các tâïp con compac của U và B biến thiên trên nửa chuẩn liên tục trên F . Ta ký hiệu tôpô này là oτ . 3.2.2. Tôpô â ââ ââ â ωτ 3.2.2.1. Định nghĩa 1 Cho U là một tập con mở của không gian lồi địa phương E và F là một không gian tuyến tính chuẩn tắc . Một nửa chuẩn ρ trên H(U,F) được coi là tựa trên tập con compac K của U nếu với mỗi tập mở V , K V U⊂ ⊂ tồn tại ( ) 0V >c sao cho ( ) ( ) V f V fρ ≤ c với mọi f thuộc H(U,F). 18 Tôpô ωτ trên H(U,F) là tôpô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửa chuẩn tựa trên các tập con compac của U. 3.2.2.2. Định nghĩa 2 Cho U là một tập con mở của một không gian lồi địa phương và F là một không gian lồi địa phương. Ta định nghĩa ωτ trên H(U,F) bởi : ( ) ( )( )( ; ) , l im ( ; ) ,BB c s FH U F H U Fω ωτ τ∈= . 3.2.3. Tôpô â ââ ââ â δτ 3.2.3.1. Định nghĩa 1 Cho U là một tập con mở của không gian lồi địa phương E và F là một không gian tuyến tính chuẩn tắc . Một nửa chuẩn ρ trên Há(U,F) được coi là δτ liên tục nếu với mỗi phủ mở đếm được tăng của U, ( ) 1n nV ∞= , tồn tại một số nguyên dương n0 và c>0 sao cho 0 ( ) nV f fρ ≤ c với mọi f trong H(U,F). Tôpô δτ trên H(U,F) là tôpô lồi địa phương sinh bởi tôpô δτ nửa chuẩn liên tục. 3.2.3.2. Định nghĩa 2 Cho U là tập con mở của không gian lồi địa phương E và F là một không gian lồi