Luận văn Lí thuyết nevanlinna p adic và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ______________________ Lục Văn Hào LÍ THUYẾT NEVANLINNA p- ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ______________________ Lục Văn Hào LÍ THUYẾT NEVANLINNA p- ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số và Lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM ---------------------------------------------------------------------------- LỤC VĂN HÀO LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành : ĐẠI SỐ và LÍ THUYẾT SO Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin gửi đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Lê Hoàn Hoá, thầy Đậu Thế Cấp và tất cả các thầy cô khác đã trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này. TP. Hồ Chí Minh, 08/2009 Lục Văn Hào MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC ............................ 4 1.1. Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean ........................................... 4 1.2. Trường các số p-adic p và vành p ......................................................... 7 1.3. Trường các số phức p-adic p ...................................................................... 9 Chương 2. HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC .... 10 2.1. Các hàm đặc trưng ........................................................................................ 10 2.2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic ...................................... 15 2.3. Nhận xét và một số định lí mở rộng ............................................................. 23 Chương 3. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC ....... 29 3.1. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết giả thuyết abc cho trường hàm p-adic .................................................................................................... 29 3.2. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết bài toán Waring cho trường hàm p-adic ......................................................................................... 50 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 62 PHỤ LỤC 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích p-adic là một chuyên ngành toán học mới đang được phát triển và ứng dụng trong lĩnh vực lí thuyết số hiện đại, góp công lớn vào hai thành tựu nổi bật trong thế kỉ 20 của lí thuyết số hiện đại là chứng minh được định lí lớn Fermat (Andrews Wiles, 1994) và chứng minh được giả thuyết Taniyama – Shimura (1999). Là một nội dung thuộc chuyên ngành giải tích p-adic, lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được xây dựng, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát tính chất của các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic. Vì lí do đó, chúng tôi chọn đề tài : “Lí thuyết Nevanlinna p-adic và các ứng dụng” nhằm mục đích tiếp cận một lí thuyết toán học mới đang phát triển. 2. Lịch sử vấn đề Lí thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỉ cuối của thế kỉ trước (xem [2], [5]) và ngay sau đó lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt. Giả thuyết abc và bài toán Waring là hai vấn đề rất mới của Lí thuyết số hiện đại và hiện vẫn đang được các nhà toán học trên thế giới tìm tòi hướng giải quyết trong tập hợp các số nguyên. Một thành tựu nổi bật trong việc nghiên cứu hai vấn đề trên trong tập hợp các số nguyên là đã góp phần giúp chứng minh được định lí cuối cùng của Fermat một cách đầy đủ và toàn diện. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề liên quan đến giả thuyết abc và bài toán Waring cho các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic. 3. Mục đích nghiên cứu 2 Ứng dụng hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài toán Waring trong trường các hàm p-adic. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp cơ bản của Đại số và Lí thuyết số hiện đại, đặc biệt là căn cứ vào hai định lí cơ bản trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề được đặt ra. 5. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài Luận văn đã trình bày được nội dung của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chứng minh được các định lí để giải quyết được giả thuyết abc cho trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài toán Waring trong trường các hàm p-adic. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn được phân bố trong ba chương với nội dung cụ thể như sau : Chương 1. Một số vấn đề cơ bản của giải tích p-adic Chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm : chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic p và vành các số nguyên p-adic , xây dựng trường các số phức p-adic p p . Hầu hết nội dung các phần chứng minh định lí trong chương này được bỏ qua. Các nội dung chứng minh chi tiết đều được trình bày trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối sách. 3 Chương 2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic Chương này trình bày các hàm đặc trưng và hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic. Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp các định lí mở rộng trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để vận dụng trong chương cuối cùng của luận văn. Chương 3. Những ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna p-adic Đây là chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch sử phát triển cũng như các kết quả nghiên cứu đã đạt được đối với giả thuyết abc và bài toán Waring trong tập hợp các số nguyên, bên cạnh đó ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và bài toán Waring trong trường các hàm p-adic. Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các chương sau bao gồm : chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic , vành các số nguyên p-adic , xây dựng trường các số phức p-adic p p p . Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua và có thể tìm thấy trong những tài liệu tham khảo. 1.1. Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean 1.1.1. Chuẩn trên trường Định nghĩa 1.1. Cho F là một trường, ánh xạ : F  được gọi là chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thoả các điều kiện sau : i) , 0x F x   và 0 0x x   ; ii) , , .x y F xy x y   ; iii) , ,x y F x y x y     . Nếu trường F là một trong các trường , , thì hàm giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F . Định nghĩa 1.2. Với trường F bất kì, hàm được định nghĩa như sau : : F  x  1 0 0 0 neáu neáu x x x    là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường. Chuẩn trên F có các tính chất cơ bản như sau : i) ,x F x x    ; ii) 1 1 với 1 là đơn vị của F ; iii) 1 1, 0,x F x x x     . Định lí 1.3. Nếu F là trường hữu hạn thì F có chuẩn duy nhất là chuẩn tầm thường. Định nghĩa 1.4. Cho F là trường và là chuẩn trên F . Khi đó :d F F     , ,x y d x y y x  là một mêtric trên F và được gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn . 1.1.2. Chuẩn tương đương Định nghĩa 1.5. Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Chuẩn 1 tương đương với chuẩn 2 (kí hiệu 1 2 ) nếu tôpô cảm sinh bởi 1 và 2 trùng nhau. Định lí 1.6. (Các điều kiện tương đương của chuẩn) Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Các phát biểu dưới đây là tương đương. i) 1 2~ ; ii) 1 2, 1x F x x    1 ; iii) 1 2, 1x F x x    1 ; iv) Tồn tại c  sao cho 2 1cx x , x F ; v)  nx là dãy Cauchy đối với 1   nx là dãy Cauchy đối với 2 . 1.1.3. Chuẩn phi Archimedean Định nghĩa 1.7. Chuẩn trên trường F được gọi là chuẩn phi Archimedean nếu thoả điều kiện sau : iii’)  , , max ,x y F x y x y    . Một chuẩn không phải phi Archimedean được gọi là chuẩn Archimedean. Ví dụ 1.8. Xây dựng một chuẩn phi Archimedean trên trường . Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới dạng với  1m p m  1, 1m p  ,   . Khi đó  được gọi là số mũ của p trong m, kí hiệu ( )mpord  . Với *, mr r n   , ta định nghĩa = – . ( )pord r ( )pord m ( )pord n Nếu biểu diễn 1 1 . mr p n  với 1 1( , ) 1 ( , ) 1, , n p m p    thì ( )pord r  . Quy ước : . (0)pord   Ta có các tính chất sau : i) ; ( ) ( ) ( )p pord rs ord r ord s  p ii)    ( ) min , ,p p pord r s ord r ord s r s    . Với 0 1  cố định, ta xây dựng chuẩn p trên như sau : :p  0 0 0. khi khi pord xp x x x x     Chuẩn p như trên là một chuẩn phi Archimedean trên . Định lí 1.9. (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimedean) Cho F là một trường và là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là tương đương : i) là chuẩn phi-Archimedean ; ii) 2 1 ; iii) 1,n n   ; iv) Tập các số tự nhiên bị chặn ( 0 : ,A n n A     ) . Nhận xét 1.10. Một vài tính chất đặc biệt của chuẩn phi Archimedean . i)  max ,x y x  y nếu x y . ii) Mọi tam giác đều là tam giác cân. iii) Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn. iv)  ( , ) / pB a r x F x a r    - vừa đóng vừa mở. v)  ( , ) / pB a r x F x a r    - vừa đóng vừa mở. Định lí 1.11. (Định lí Ostrowsky) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỉ hoặc tương đương với chuẩn p ( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên . 1.2. Trường các số p-adic p và vành p 1.2.1. Xây dựng trường các số p-adic p và vành p Theo định lí Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean p . Mặt khác, làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường, ta nhận được trường các số thực , làm đầy đủ theo p ta được trường các số p-adic (tương tự p-adic của trường số thực ). Ta sẽ mô tả chi tiết hơn về cách xây dựng p p trong mục này. Kí hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỉ theo p . Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau :     lim 0n n n n pnx y x y   . Ta gọi là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên : p     p n nS x x S   . Trang bị cho hai phép toán cộng và nhân như sau : p            ; . . n n n n n n n n .x y x y x y x y    Rõ ràng là một trường, trường này gọi là trường các số p-adic ( , ,.p  ) p . Chuẩn p trong được mở rộng trong p như sau : Với  n px  ( nx là dãy Cauchy trong ), x =  nx thì lim np pnx x . Rõ ràng p là chuẩn phi-Archimedean. Một phần tử x trong với p mpx p có biểu diễn p-adic là : 1 1 0 1... ... ... m m n m m nx b p b p b b p b p              với  , 0, 0,m im b b p 1    . Tập hợp  1p p px x   cùng với phép toán cộng và phép toán nhân trong lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic. p 1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành p , p Định lí 1.12. (Các tính chất cơ bản của vành p , p ) i) là vành chính, mọi ideal của p p có dạng là . (m )m pp  ii) p là tập compact đối với chuẩn p . iii) p là tập compact địa phương. 1.3. Trường các số phức p-adic p Ta đã biết, theo định lí Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean p . Làm đầy đủ theo chuẩn thông thường, ta được trường . Trường số thực không đóng đại số, bao đóng đại số của là trường số phức . Làm đầy đủ theo p , ta được trường các số p-adic . Trường đầy đủ nhưng không đóng đại số. Ta kí hiệu bao đóng đại số của trường p p p là p . Chuẩn trên p được xây dựng như sau : Với thì p   là phần tử đại số trên p . Do đó tồn tại một đa thức 1 1 1 0... ( )n ix a a x a      an nx Irr( , , x) = p p bất khả quy nhận  làm nghiệm. trên p như sau : Ta định nghĩa 0: .np p pax x  p p là một chuẩn trên p và p  p trên p . Trường p đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo chuẩn p vừa xây dựng. Nếu ta tiếp tục làm đầy đủ p theo p thì sẽ nhận được trường các số phức p- adic, được kí hiệu là pp   . Trường số phức p-adic có các tính chất cơ bản sau : p p đóng đại số, đầy đủ và có vai trò tương tự như trường số phức trong giải tích phức. Chương 2 HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số hàm đặc trưng, hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic và một số hệ quả, nhận xét kèm theo nhằm phục vụ cho chương 3. 2.1. Các hàm đặc trưng 2.1.1. Chuẩn trên trường Kí hiệu   0 ( ) np n n z f z a z a             n p  là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức. Với , đặt 0r    0 ( ) , 0nn nr p n n p n p n A f z a z a a r             . Nhận xét 2.1. là vành con của vành (r pA )  p z   . Với 0 ( ) ( )nn r n f z a z A     f hội tụ và p thì f là hàm giải tích p-adic trên    0,r p p pD r z  z r  ) . Với và (r pf A 0f  , ta đặt ( , ) max nn pn r f a r   . Định lí 2.2.  ,.r là chuẩn phi Archimedean trên vành A , nghĩa là (r p ) i)  ,r f 0  khi và chỉ khi 0f  ; ii)      , . , . ,r f g r f r g   ; iii)  (r, f + g)     max , , ,r f r g  . Cho D là tập mở trong p , kí hiệu  DH là tập các hàm giải tích trên D,  M D là trường các thương của  DH . Định nghĩa 2.3. Hàm f thuộc  M D được gọi là hàm phân hình trên D . Kí hiệu  ( ) , , 0p pgM g h A hh       . Với (( )pf M  0    ), tồn tại , ( pg h A ) sao cho gf h . Ta đặt   ( , ), ( , ) r gr f r h   ( 0 r   ). Nhận xét 2.4. 1 1, ( , ) r f r f        . Ta cũng có một định lí tương tự như định lí 2.2. như sau : Định lí 2.5. Với 0r   , hàm  (r,.) là chuẩn phi Archimedean trên  pM  , nghĩa là i)  ,r f 0  khi và chỉ khi 0f  ; ii)      1 2 1 2, ,r f f r f r f,   ; iii)       1 2 1 2, max , , ,r f f r f r f    . Định lí 2.6. (Định lí Weierstrass) Cho    0r pf A  với . Tồn tại đa thức 0r     p z0 1 ... vvg z b b z b z     cấp  ,v v r f và một chuỗi luỹ thừa với hệ số trong 1 1 nn n h c z     p , thoả mãn : i)      f z g z h z ; ii)  , vvr g b r  ; iii)  r ph A ; iv)  , 1r h 1   ; v)    , ,r f g r f   . Đặc biệt, không có nghiệm trong h  0,p r và f chỉ có v nghiệm trong .  0,p r 2.1.2. Các hàm đặc trưng Cho ( ) ( )nn p n m f z a z A     (0 , 0, 0)a mm     và pa . Ta định nghĩa các đại lượng sau  1,n r f a   là số các nghiệm (tính cả nghiệm bội) của    f a trên  0,p r ;  1,n r f a   là số các nghiệm phân biệt của    f a trên  0,p r . Với 00 r  , ta định nghĩa các đại lượng sau  0 1, 1, r n t f aN r dt ; f a t           0 1, 1, r n t f aN r dt . f a t          Cho ( )p và f M   pa   , 0 r     , tồn tại )r p0 1, (f f A , không có nhân tử chung trong vành ( )r pA sao cho 1 0 ff f  . Với hàm f như trên, ta định nghĩa các đại lượng sau    0 1 0 1, , 1, 1, khi khi n r f n r a f n r f a n r a f af                       ;    0 1 0 1, , 1, 1, khi khi N r f N r a f N r f a N r a f af                       ;        , log , max 0,log ,m r f r f r f   ;       , , ,T r f m r f N r f  . Các hàm n và N cũng được định nghĩa tương tự như trường hợp trên. Định lí 2.7. Cho ( )i pf M   1,2,...,i k , với 0 r     , ta có i)   1 1 , , k k i i i i N r f N r f          ,  11, , k k i i ii N r f N r f         ; ii) , ;   1 1 , max k i ii k i m r f m r f         ,  11, , k k i i ii m r f m r f         iii) , và   1 1 , , k k i i i i T r f T r f          11, k k i i ii T r f T r f          , ,T r f là một hàm tăng theo . r Ví dụ 2.8. Cho đa thức   0 k j j j A z a   z  0ka  . Ta sẽ tìm  ,T r A . Đặt   1 1 0 1max , k k jj j k k kp a r A a a                     . Nếu  r r A , ta được k j k jp p a r a r  0 j k  và do đó  , 1kk pr A a r   . Suy ra :      , , log , log log kT r A m r A r A k r a    . Cho  , j pf a M , 1,2,..., 0vaø kj k a  . Với đa thức  A z được xác định như trong ví dụ 2.8., ta định nghĩa :        0 , k j j j A f z A z f z a z f    . Định lí 2.9. Nếu  pf M khác hàm hằng thì ta có : i)       0 1, , , , k j jj N r A f kN r f O N r a N r a                 ; ii)       0 1, , , k j kj m r A f km r f O m r a m r a             , , ) ; iii) .       0 , , k j j T r A f kT r f O T r a          2.1.3. Công thức Jensen Cho và ( pf A 00 r      , ta có công thức Jensen như sau :    01, log , log ,N r r ff          f ) . Cho và ( pf M  00 r      , áp dụng công thức Jensen trong trường hợp này, ta có :      01, , log , log ,N r N r f r f ff           và có thể biểu diễn lại như sau :    01, , logT r T r f ff         , với lưu ý rằng :         1 1log , log , log , , . , r f r f m r f m r r f f              2.2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic 2.2.1. Định lí cơ bản thứ nhất Định lí 2.10. Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên  0,p  với 0    . Khi đó, với mọi pa , ta có :   1 1, , ,m r N r T r f O f a f a             1 khi r  . Chứng minh Áp dụng công thức Jensen, ta có :      0 1 1 1, , , , log , m r N r T r f a f a f a T r f a f a                         1 Mặt khác :               ( , ) ( , ) ( , ) , , , , log , , log p T r f a T r f T r a T r f m r a N r a T r f r a T r f a             2 Chứng minh tương tự, ta cũng có :  ( , ) ( , ) log 3pT r f T r f a a   Từ (1), (2) và (3), ta có được điều phải chứng minh.  2.2.2. Định lí cơ bản thứ hai Trước khi vào nội dung chính của định lí cơ bản thứ hai của lí thuyết Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau : Bổ đề 2.11. Cho chuỗi luỹ thừa     0 n n p n f z a z z        có bán kính hội tụ 0  và phần tử pz . Nế