Luận văn Luận văn Khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông: sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Văn Ngọc Thảo Quyên KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Văn Ngọc Thảo Quyên KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập dưới sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014 TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên LỜI CẢM ƠN Người đầu tiên Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đó là Thầy Khanh. Tôi xin phép được gọi Thầy là Thầy Khanh thay vì TS. Trần Lương Công Khanh nhằm bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Thầy là người đã hướng dẫn tận tình và giúp đỡ tôi rất nhiều, luôn theo sát để Tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu cùng các em học sinh trường THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi thực hiện thực nghiệm trong luận văn. Cuối cùng, Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học. TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014 TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP ......................................................... 4 1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor .................................... 4 1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn ............................................................................. 5 1.1.2. Giả thuyết continuum ................................................................................... 7 1.1.3. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor ........................................ 8 1.2. Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell .................................................. 12 1.2.1. Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel .................................................. 12 1.2.2. Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp ......................... 13 1.2.3. Lý thuyết kiểu ............................................................................................. 14 1.3. Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ......................................................... 15 1.3.1. Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki ................................... 15 1.3.2. Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ................................ 16 Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 17 Chương 2. VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .............................................................................................. 18 2.1. Phân tích sách Đại số 10 cơ bản ......................................................................... 18 2.1.1. Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa ............................... 18 2.1.2. Tập hợp - đối tượng dạy học trong chương trình Toán THPT ................... 19 2.2. Khảo sát chương trình Toán THPT ban cơ bản hiện hành ................................. 29 2.2.1. Hàm số và đồ thị ......................................................................................... 30 2.2.2. Phương trình và bất phương trình_hệ phương trình và hệ bất phương trình ............................................................................................................ 33 2.2.3. Đại số tổ hợp ............................................................................................... 34 2.2.4. Xác suất và thống kê ................................................................................... 36 2.2.5. Hình học ...................................................................................................... 39 Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 41 Chương 3. ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG ........................ 43 3.1. Độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp. ........................... 43 3.1.1. Kết quả chương 1. ....................................................................................... 43 3.1.2. Kết quả chương 2. ....................................................................................... 44 3.1.3. Chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. ............................................ 44 3.2. Nghiên cứu thực nghiệm .................................................................................... 46 3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................... 46 3.2.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................... 46 3.2.3. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm ........................................................................................................ 46 Kết luận chương 3 ..................................................................................................... 66 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 69 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông KNV : Kiểu nhiệm vụ Tr. : Trang Nxb : Nhà xuất bản PT : Phương trình HPT : Hệ phương trình BPT : Bất phương trình HBPT : Hệ bất phương trình DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1. ................................................... 27 Bảng 2.2. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 .................................. 28 Bảng 2.3. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T8 và T9 .................................. 36 Bảng 2.4. Ngôn ngữ biến cố ..................................................................................... 37 Bảng 3.1. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 1 ............................................. 51 Bảng 3.2. Kết quả về số lượng học sinh chọn chiến lược giải ................................. 52 Bảng 3.3. Bảng lựa chọn các giá trị của các biến dạy học trong bài 2. ................... 54 Bảng 3.4. Số lượng học sinh chọn theo 2 bạn và các giải thích thường gặp ........... 56 Bảng 3.5. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 3 ............................................. 60 Bảng 3.6. Thống kê số lượng học sinh chọn các chiến lược giải. ............................ 62 1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận và câu hỏi ban đầu Tập hợp được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông ngay từ lớp 10. Hơn thế nữa, tập hợp lại được giới thiệu ngay ở chương I của sách giáo khoa Đại số 10. Bên cạnh đó, tập hợp được sử dụng để định nghĩa nhiều khái niệm trong chương trình như: Đồ thị hàm số; Phương trình tương đương; Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị; Quỹ tích Các phép toán tập hợp lại được vận dụng triệt để trong việc giải bất phương trình, hệ bất phương trình “ Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm” [5, tr.10]. Từ những ghi nhận trên đã dẫn chúng tôi đến câu hỏi sau: Sự nối khớp giữa vai trò đối tượng và vai trò công cụ của tập hợp được thể hiện như thế nào trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở trung học phổ thông? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong phạm vi của Didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học và hợp đồng Didactic. Trong đó, thuyết nhân học giúp chúng tôi hình thành các mối quan hệ của thể chế đối với tri thức tập hợp, các bước chuyển hóa sư phạm trong việc dạy học tập hợp và các tổ chức toán học (praxéologie) được trình bày trong chương trình toán trung học phổ thông. Qua phân tích thể chế, chúng tôi có thể tìm ra những ràng buộc cũng như qui tắc hợp đồng tồn tại trong chương trình. 3. Mục đích nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu luận văn này nhằm mục đích là: chỉ ra sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở bậc trung học phổ thông. Dựa vào khung lý thuyết tham chiếu chúng tôi đặt ra hai câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau như thế nào? Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa? 2 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: Mở đầu Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán THPT. Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng. Kết luận. 5. Phương pháp nghiên cứu Toàn bộ nghiên cứu của chúng tôi thực hiện theo sơ đồ sau: Giải thích sơ đồ: Chúng tôi thực hiện khảo sát khoa học luận đối chiếu song song với phân tích thể chế chương trình toán trung học phổ thông. Từ việc phân tích đối chiếu này giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra và phát biểu giả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng thực nghiệm giúp chúng tôi bổ sung trả lời các câu hỏi, cũng như việc khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nghiên cứu ban đầu. 6. Phương hướng thực hiện Dựa vào phương pháp nghiên cứu, chúng tôi định hướng nội dung của từng chương như sau: Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp - Lịch sử hình thành lý thuyết tập hợp của Cantor và sự xuất hiện và ảnh hưởng Khảo sát khoa học luận Thực nghiệm Phân tích thể chế Trả lời câu hỏi Phát biểu giả thuyết 3 của các nghịch lý đến lý thuyết này. - Việc giải quyết các nghịch lý để hoàn thiện lý thuyết tập hợp. - Những lĩnh vực toán học có sự hiện diện của lý thuyết tập hợp. Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán THPT. - Mục đích đưa vào khái niệm tập hợp. - Việc xây dựng khái niệm tập hợp trong sách giáo khoa, những qui ước để tránh các nghịch lý. - Những khái niệm được xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp. - Những kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ khái niệm tập hợp. Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng. - Trả lời các câu hỏi: Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau như thế nào? Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa? - Thực nghiệm. PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 4 Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP Chương này trình bày kết quả khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp dựa trên các tài liệu lịch sử toán học và các chuyên luận toán học. Kết quả thu được trong chương này và chương 2 sẽ được đối chiếu trong chương 3 để xác định độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. Nghiên cứu trong chương này được định hướng bằng hai nhóm câu hỏi dưới đây: Lý thuyết tập hợp ra đời nhằm giải quyết vấn đề gì? Quá trình hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp đã gặp những chướng ngại khoa học luận nào? Các nhà toán học đã giải quyết những chướng ngại đó bằng cách nào? Ngày nay, lý thuyết tập hợp được sử dụng trong những lĩnh vực toán học nào ? Vai trò của lý thuyết tập hợp trong mỗi lĩnh vực toán học đó? Các tài liệu tham chiếu chính của chương này là: - Bourbaki N. (1970), Éléments de mathématiques, Livre I, Théorie des ensembles, Éditions Hermann, nouvelle édition, Paris. - Dahan-Dalmendico A., Peiffer J. (1986), Une histoire des mathématiques, routes et dédales, Éditions du Seuil. - Phan Đình Diệu (2006), Logich toán & cơ sở toán học, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội. - Trần Lương Công Khanh (2013), Lịch sử lý thuyết tập hợp, bài giảng dành cho học viên cao học Trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu lưu hành nội bộ. 1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor Theo mục từ Set and set theory của trang web Earliest Known Uses of Some of 5 the Words of Mathematics1, tên gọi naive set theory ra đời từ những năm 1940 và được dùng phổ biến trong các nước nói tiếng Anh. Tên gọi tương đương trong tiếng Pháp (théorie naïve des ensembles) xuất hiện sớm nhất ở lời nói đầu quyển Théorie axiomatique des ensembles của Jean-Louis Krivine, xuất bản năm 1972. Một số nhà nghiên cứu xem lý thuyết tập hợp ngây thơ là lý thuyết tập hợp được xây dựng và phát triển bởi Cantor, không sử dụng các tiên đề tường minh. Một số khác, chẳng hạn Paul Hamos (1916-2006) trong Naive Set Theory xuất bản năm 1960, xem lý thuyết tập hợp có trang bị hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel là ngây thơ. Trong luận văn này, chúng tôi tránh dùng thuật ngữ lý thuyết tập hợp ngây thơ vì nội hàm của nó chưa được các nhà toán học thống nhất. 1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn: động lực ra đời lý thuyết tập hợp Trước Cantor, tập hợp là một quan niệm cơ bản, được sử dụng ngầm ẩn từ thời Aristote (384-322 trước Thiên Chúa2). Trong Cơ bản, quyển 9, mệnh đề 20, Euclide từng phát biểu và chứng minh mệnh đề về sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Tuy nhiên, nếu các tập hữu hạn được các nhà khoa học cổ đại chấp nhận dễ dàng thì các tập vô hạn lại là đề tài của nhiều tranh luận triết học. Mặc dù là thành quả của nhiều thế hệ nhà nghiên cứu, lịch sử toán học xem Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor3 (1845-1918) là người đặt nền móng cho lý thuyết tập hợp từ năm 1874. Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác vào thập niên 1870 đưa Cantor đến khái niệm tập dẫn xuất của một tập số. Cho X là tập các số thực nào đó. Tập dẫn xuất X’ của X là tập có được từ X sau khi đã loại đi các điểm cô lập. Chẳng hạn, nếu X = {1/n, n ∈ N*} ∪ {0} thì các điểm 1/n là cô lập trong X nên X’ = {0}. Ta cũng có thể xét tập dẫn xuất của X’ - ký hiệu X” - và thu được X” = ∅. 1 Địa chỉ truy cập ngày 31/3/2014. 2 Chúng tôi dùng trước Thiên Chúa, sau Thiên Chúa mà không dùng trước Công nguyên, sau Công nguyên vì chúng ta đang sống trong Công nguyên. 3 Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor sinh ngày 3-3-1845 tại Saint-Péterbourg (Nga), mất ngày 6-1-1918 tại Halle (Đức), quốc tịch Đức. 6 Lặp lại tiến trình này, ta có thể xây dựng một tập X các số thực có thể lấy dẫn xuất vô hạn lần. Nếu ký hiệu X(n) là tập dẫn xuất cấp n của X thì các X(n) tạo thành một dãy các tập giảm (theo quan hệ bao hàm). Tập dẫn xuất cấp vô hạn của X - ký hiệu X(∞) - là giao của tất cả các X(n). Cantor phát hiện sự tồn tại của các tập số thực X mà X(∞) còn chứa các điểm cô lập, do đó còn lấy dẫn xuất được. Có những tập có thể lấy dẫn xuất cấp ∞ + 1, ∞ + 2, ..., cấp ∞ + ∞. Dường như tồn tại những phép tính số học trên các vô hạn. Dựa vào điều này, Cantor xây dựng và phát triển lý thuyết tập hợp. [] các bản số vô hạn được ký hiệu bằng chữ cái Hébreu ℵ (alep) có chỉ số. Bản số vô hạn nhỏ nhất - bản số của tập N các số tự nhiên - được ký hiệu là ℵ0 (alep không). Bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ0 được ký hiệu là ℵ1. Một cách tổng quát, một bản số bất kỳ có thể viết dưới dạng ℵα với α là một số thứ tự. Năm 1874, Cantor chứng minh được card N = ℵ0 < 02ℵ = card R [10, tr.2]. Việc Cantor chứng minh tập các số thực có “nhiều” phần tử hơn tập các số tự nhiên cho thấy “số phần tử” (tức bản số) của các tập vô hạn không hoàn toàn giống nhau. Điều này đưa Cantor đến việc xây dựng khái niệm tương ứng một-một để định nghĩa tập hữu hạn, tập vô hạn4. Riêng tập vô hạn lại được ông chia thành tập đếm được và tập không đếm được5. Ông còn chứng minh tập các bản số vô hạn là một tập vô hạn, nghĩa là có vô hạn tập vô hạn. Kết quả trên giúp chúng tôi rút ra những nhận xét sau: - Quan niệm về tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn đã xuất hiện ngầm ẩn từ thời cổ đại. Khi ấy, tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn là những đối tượng cận toán học (objets paramathématiques) vì có tên gọi nhưng chưa có định nghĩa. - Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor. 4 Theo Cantor, tập E gọi là hữu hạn nếu tồn tại một số tự nhiên n và một song ánh từ E đến tập các số tự nhiên nhỏ hơn n. Đặc biệt, khi n = 0, E là tập rỗng. Số n gọi là bản số của E, ký hiệu n = E (ký hiệu của chính Cantor) hoặc n = |E| hoặc n = card E. Tập không hữu hạn gọi là tập vô hạn. 5 Cantor định nghĩa tập đếm được là tập có cùng lực lượng với N, tập không đếm được là tập vô hạn không cùng lực lượng với N. 7 - Năm 1821, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) xuất bản Cours d'Analyse trong đó ông định nghĩa khái niệm giới hạn và dãy Cauchy - hai khái niệm chính cho phép định nghĩa số thực như giới hạn của dãy các số hữu tỷ. Năm 1872, Richard Dedekind (1831-1916) công bố bài báo Vorlesungen über Zahlentheorie (Tính liên tục và các số vô tỷ) liên quan đến việc định nghĩa số vô tỷ bằng nhát cắt. Năm 1874, Cantor bắt đầu nghiên cứu lực lượng của các tập vô hạn dựa trên các tính chất của số thực và giới hạn. Như vậy, quá trình xây dựng lý thuyết tập hợp của Cantor gắn bó mật thiết với những kiến thức về lý thuyết số và giải tích. 1.1.2. Giả thuyết continuum Cantor đã thu được kết quả card N = ℵ0 < card R. Vì ℵ1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ0 nên ông có ngay hệ thức ℵ0 < ℵ1 ≤ card R. Hệ thức này dần dần đưa ông đến những suy xét và câu hỏi dưới đây: - Lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng continuum. - Giữa ℵ0 và ℵ1 không có bản số nào khác vì ℵ1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ0. - Giữa ℵ0 và card R có ℵ1 nhưng vấn đề là ℵ1 < card R hay ℵ1 = card R? Nếu ℵ1 < card R, ta có ℵ0 < ℵ1 < card R, nghĩa là tồn tại lực lượng ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng continuum. Nếu ℵ1 = card R, ta có ℵ0 < ℵ1 = card R, nghĩa là không có lực lượng nào ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng continuum. Để trả lời câu hỏi đã đặt, Cantor đưa ra giả thuyết continuum nhưng không chứng minh hay bác bỏ được. Giả thuyết continuum khẳng định rằng ℵ1 = 02ℵ , nghĩa là không có tập hợp nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập N và nhỏ hơn lực lượng của tập R. Nói cách khác, có thể chuyển từ tập rời rạc (tập đếm được) sang tập liên tục chỉ bằng một bước nhảy. Đây cũng là nguồn gốc của tên gọi continuum. [...] Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ 2 tổ chức tại Paris năm 1900, Hilbert liệt kê 23 bài toán lớn mà thế kỷ 19 để lại cho thế kỷ 20, trong đó giả thuyết continuum đứng đầu danh sách. 8 Mãi đến năm 1938, Kurt Gödel6 (19