Luận văn Luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên với điều kiện khả tích đều

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này do chính bản thân tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy giáo, TS. Lê Hồng Sơn. Các kết quả trích trong luận văn này là hoàn toàn trung thực. Tác giả Lương Duy Tân 1 Lời cảm ơn Luận văn này là kết quả có được do những cố gắng của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, TS. Lê Hồng Sơn. Tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến Thầy, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi tận tình trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Trong thời gian làm luận văn này, tôi đã nhận được những tình cảm quan tâm, yêu thương và sự động viên lớn lao từ gia đình, bạn bè, đó là điều quan trọng nhất để tôi hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này. Do kiến thức và thời gian có hạn nên chắc chắc luận văn còn mắc phải nhiều thiếu sót. Vậy kính mong quý Thầy, Cô cùng các bạn quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cám ơn! Tác giả Lương Duy Tân 2 Mục lục 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 6 1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Ánh xạ đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.7 Các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Một số định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Một số đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHOMẢNGCÁC PHẦN TỬNGẪUNHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU 16 2.1 Điều kiện khả tích đều và khả tích đều theo nghĩa Cesàro . . . . . 16 2.2 Luật yếu số lớn tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Lời nói đầu Trong lý thuyết xác suất, các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò rất quan trọng. Luật số lớn được Bernoulli phát hiện đầu tiên vào năm 1713 và được Kolmogorov phát triển, hoàn thiện vào những năm 30 của thế kỉ XX. Cho đến nay, các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng vẫn đang là một vấn đề có tính thời sự và có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển của lý thuyết xác suất, thống kê toán học và các ứng dụng của chúng. Các định lý giới hạn cổ điển trong lý thuyết xác suất thường quan tâm đến các biến ngẫu nhiên độc lập. Do vậy, một câu hỏi được đặt ra là dưới những điều kiện nào thì các định lý giới hạn đã biết vẫn đúng khi điều kiện các biến ngẫu nhiên độc lập được thay thế bằng các điều kiện phụ thuộc như độc lập đôi một, martingale, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, phụ thuộc đôi một, trực giao, phụ thuộc theo khối, tựa trực giao theo khối...Luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện khả tích đều theo nghĩa cổ điển được nhiều tác giả thiết lập. Landers và Rogge đã thiết lập được luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một khả tích đều. Cũng theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên với điều kiện khả tích đều. Luận văn được chia làm 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến chương sau. Đó là các khái niệm và tính chất cơ bản về tính độc lập của các biến ngẫu nhiên, luật số lớn và các định lý giới hạn... Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra một số bất đẳng thức và bổ đề để làm công cụ 4 để chứng minh các định lý giới hạn. Chương 2 chúng tôi thiết lập luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên h-khả tích, là khái niệm khả tích yếu hơn khái niệm khả tích đều theo nghĩa Cesàro. Huế, ngày tháng năm 2015 Học viên thực hiện Lương Duy Tân 5 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Ánh xạ đo được Định nghĩa 1.1. Giả sử (Ω1,F1) và (Ω2,F2) là hai không gian đo. Ánh xạ X : Ω1 → Ω2 gọi là ánh xạ F1upslopeF2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì X−1(B) ∈F1 . Tính chất 1. Giả sử F1,G1 là hai σ− đại số các tập con của Ω1; F2,G2 là hai σ− đại số các tập con của Ω2. Khi đó, nếu F1 ⊂ G1, G2 ⊂ F2 và X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1upslopeF2 đo được thì X là ánh xạ G1upslopeG2 đo được. 2. Giả sử ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1upslopeF2 đo được, ánh xạ Y : Ω2 → Ω3 là ánh xạ F2upslopeF3 đo được. Khi đó Y ◦X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1upslopeF3 đo được. 3. Giả sử F2 = σ(C). Khi đó X : (Ω1,F1)→ (Ω2,F2) là ánh xạ F1upslopeF2 đo được khi và chỉ khi X−1(C) ∈ F1 với mọi C ∈ C. 6 1.1.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất, G là σ− đại số con của σ− đại số F . Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G− đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G). Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản. Biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên. Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F - đo được thì X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên G−đo được là biến ngẫu nhiên. Mặt khác, nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ σ(X) = {X−1(B) : B ∈ B(R)} lập thành một σ−đại số con của σ−đại số F , σ- đại số này gọi là σ−đại số sinh bởi X. Đó là σ−đại số bé nhất mà X đo được. Từ đó suy ra rằng X là biến ngẫu nhiên G− đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G. Định lý 1.1. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn 1. (X < a) : = (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R. 2. (X ≤ a) : = (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R. 3. (X > a) : = (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R. 4. (X ≥ a) : = (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R. Định lý 1.2. Giả sử X1, X2, ..., Xn là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P ), f : Rn → R là hàm B(Rn)/B(R) đo được. Khi đó Y = f(X1, X2, ..., Xn) : Ω→ R xác định bởi ω 7−→ f(X1(ω), ..., f(Xn(ω)) là biến ngẫu nhiên. 7 Hệ quả 1.1. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian (Ω,F , P ), f : R→ R là hàm liên tục, a ∈ R. Khi đó aX,X±Y,XY, |X|, f(X), X+ = max(X, 0), X− = max(−X, 0), XY (Y 6= 0) đều là các biến ngẫu nhiên. Định lý 1.3. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P ). Khi đó nếu inf n Xn, sup n Xn hữu hạn thì inf n Xn, sup n Xn, limXn, limX, lim n→∞Xn (nếu tồn tại) đều là biến ngẫu nhiên. Định lý 1.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm {Xn, n ≥ 1} sao cho Xn ↗ X khi n→∞. 1.1.3 Phân phối xác suất Định nghĩa 1.3. Giả sử (Ω,F , P ) là một không gian xác suất, X : Ω→ R là biến ngẫu nhiên. Khi đó hàm tập PX : B(R) → R B 7→ PX(B) = P (X−1(B)) được gọi là phân phối xác suất của X. Tính chất 1. PX là độ đo xác suất trên B(R). 2. Nếu Q là độ đo xác suất trên B(R) thì Q là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên X nào đó. Chú ý Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của chúng không phải là tương ứng 1 − 1. Những biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất được gọi là những biến ngẫu nhiên cùng phân phối. 8 1.1.4 Hàm phân phối Định nghĩa 1.4. Giả sử (Ω,F , P ) là một không gian xác suất, X : Ω→ R là biến ngẫu nhiên. Khi đó, hàm số FX(x) = P (X < x) = P (ω : X(ω) < x) được gọi là hàm phân phối của X. Như vậy FX(x) = P (X −1(−∞, x)) = PX [(−∞, x)]. Tính chất 1. 0 ≤ F (x) ≤ 1. 2. Nếu a < b thì F (b)− F (a) = P (a ≤ X < b); do đó F (x) là hàm không giảm. 3. lim x→+∞F (x) = 1, limx→−∞F (x) = 0. 4. lim x↑a F (x) = F (a), và lim x↓a F (x) = P (X ≤ a). Do đó F (x) liên tục trái tại mọi điểm, F (x) liên tục tại a khi và chỉ khi P (a) = 0. Chú ý Để thuận tiện, người ta thường dùng ký hiệu F (+∞) = lim x→+∞F (x), F (−∞) = limx→−∞F (x). Khi đó tính chất (3) có thể viết F (+∞) = 1 và F (−∞) = 0. 1.1.5 Kỳ vọng Một số tính chất cuả biến ngẫu nhiên được xác định qua các số đặc trưng của nó. Kỳ vọng là số đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên và có thể được nghiên cứu thuận lợi khi dựa vào các kết quả về tích phân Lebesgue. Định nghĩa 1.5. Giả sử X : (Ω,F , P ) → (R,B(R)) là biến ngẫu nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P ( nếu tồn tại ) được gọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là EX. Vậy 9 EX = ˆ Ω XdP. Nếu tồn tại E|X|p 0) thì ta nói X khả tích bậc p. Đặc biệt, nếu E|X| <∞ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích. Tính chất 1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0. 2. Nếu X = C thì EX = C. 3. Nếu tồn tại EX thì với mọi CR, ta có E(CX) = CEX. 4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY. 5. Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0. 6. ( Định lý B.Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↗ X (tương ứng Xn ↘ X) và tồn tại n để EX−n < ∞ ( tương ứng EX+n < ∞) thì EXn ↑ EX ( tương ứng EXn ↓ EX). 7. ( Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y với mọi n ≥ 1 và EY > −∞ thì ElimXn ≤ limEXn. Nếu Xn ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < +∞ thì ElimXn ≥ limEXn. Nếu |Xn| ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY <∞ thì ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn. 8. ( Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y với mọi n ≥ 1, EY <∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn −X| → 0 và EXn → EX khi n→∞. 10 1.1.6 Phương sai Định nghĩa 1.6. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, số DX = E(X − EX)2 ( nếu tồn tại ) được gọi là phương sai của X. Phương sai của biến ngẫu nhiên X còn được ký hiệu là V ar(X). Nhận xét: Từ định nghĩa trên và từ tính chất của kỳ vọng, suy ra rằng phương sai của biến ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại và nếu tồn tại thì có thể được tính theo công thức DX =  ∑ (xi − EX)2pi nếu Xrời rạc và P (X = xi) = pi; +∞´ −∞ (x− EX)2p(x)dx nếu Xliên tục có hàm mật độ là p(x). Phương sai có những tính chất cơ bản sau đây: 1. DX = EX2 − (EX)2. 2. DX ≥ 0. 3. DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = C ( hằng số) hầu chắc chắn. 4. D(CX) = C2DX. 1.1.7 Các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 1.7. Họ hữu hạn {F i,1≤ i ≤ n} các σ- đại số con của σ− đại số F được gọi là độc lập nếu P ( n∩ i=1 Ai) = n Π i=1 P (Ai) với mọi Ai ∈ Fi (1≤ i ≤ n) bất kỳ. Họ vô hạn {F i,i ∈ I} các σ- đại số con của σ− đại sốF được gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập. 11 Họ các biến ngẫu nhiên {X i,i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ- đại số sinh bởi chúng {σ(X i),i ∈ I} độc lập. Họ các biến cố {Ai,i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {IAi,i ∈ I} độc lập. Tính chất 1. Giả sử {Xi, i ∈ I} là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R→ R(i ∈ I) là các hàm đo được. Khi đó họ {fi(Xi), i ∈ I} là họ các biến ngẫu nhiên độc lập. 2. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} độc lập khi và chỉ khi với mọi n ≥ 1, các σ− đại số σ(Xk, 1 ≤ k ≤ n) và σ(Xk, k ≥ n+ 1) độc lập. 3. Giả sử X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên, ta định nghĩa FX1,X2,...Xn = P(X1 < x1, X2 < x2, ..., Xn < xn) với (xi ∈ R, i = 1, ..., n). Khi đó, X1, X2, ...Xn độc lập khi và chỉ khi FX1,X2,...,Xn(x1, x2, ..., xn) = FX1(x1)FX2(x2)...FXn(xn). 4. Nếu X1, X2, ..., Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập thì E(X1X2...Xn) = EX1EX2...EXn. 5. Nếu X1, X2, ..., Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì D(X1 +X2 + ...+Xn) = DX1 +DX2 + ...+DXn. 1.2 Một số định lý giới hạn 1.2.1 Các dạng hội tụ Giả sử {Xn,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P ). 12 • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn,n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi n→∞ nếu ∀ε > 0 ta có lim n→∞P (|Xn −X| > ε) = 0. Ký hiệu Xn P→ n→∞ X. • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn,n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n→∞ nếu P{ω : lim n→∞Xn(ω) = X(ω)}=1. hoặc ∀ε > 0, lim n→∞P (supk≥n |Xk −X| > ε) = 0. Ký hiệu Xn h.c.c→ n→∞ X hay limn→∞Xn =X h.c.c. • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn,n ≥ 1} được gọi là hội tụ đầy đủ đến biến ngẫu nhiên X khi n→∞ nếu ∀ε > 0 ta có ∞∑ n=1 P (|Xn −X| > ε) <∞ Ký hiệu Xn c→ X. • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn,n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo trung bình cấp p, (p > 0) đến biến ngẫu nhiên X khi n→∞ nếu lim n→∞E|Xn −X| p = 0 Ký hiệu Xn Lp→ X. • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn,n ≥ 1} được gọi là hội tụ yếu (theo phân phối) đến biến ngẫu nhiên X khi n→∞ nếu ∀x ∈ C(F ) thì lim n→∞Fn(x) = F (x) 13 trong đó Fn(x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên Xn và X; C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó F (x) liên tục. Ký hiệu Xn D→ X. 1.2.2 Một số đẳng thức cơ bản • Bất đẳng thức Markov Định lý 1.5. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó với mọi ε > 0, ta có P (|X| ≥ ε) ≤ E(|X|) ε . • Bất đẳng thức Chebyshev Định lý 1.6. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó nếu tồn tại DX thì với mọi ε > 0, ta có P (|X − EX| ≥ ε) ≤ DX ε2 . • Bất đẳng thức Kolmogorov Định lý 1.7. Giả sử X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập; EXi = 0, DXi = σ2i , ∀i = 1, 2, ..., n. Đặt Sk = X1 +X2 + ...+Xk = k∑ i=1 Xi(1 ≤ k ≤ n). Khi đó, với mọi ε>0, ta có (i) P ( max 1≤k≤n |Sk| ≥ ε) ≤ 1ε2 n∑ i=1 σ2i . (ii) Nếu P ( max 1≤k≤n |Xk| ≤ c) = 1 thì P ( max 1≤k≤n |Sk| ≥ ε) ≥ 1− (ε+ c) 2 n∑ i=1 σ2i . • Bất đẳng thức Jensen 14 Định lý 1.8. Giả sử ϕ: E −→ R là hàm lồi, X và ϕ (X)là các biến ngẫu nhiên khả tích với E ‖X‖<∞, Khi đó Eϕ (X) ≥ ϕ (EX) . 1.2.3 Luật số lớn Giả sử {Xn,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P ). Khi đó Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn,n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an), (bn), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an bn P→ 0 khi n→∞. • Luật yếu số lớn Markov Định lý 1.9. Nếu {Xn,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một và thỏa mãn điều kiện 1 n2 ∞∑ i=1 DXi n→∞→ 0 thì {Xn,n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn. 15 Chương 2 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU Trong chương này trình bày khái niệm về tính khả tích đều, khả tích đều Cesàro với mũ r và luật yếu số lớn dưới điều kiện khả tích đều. 2.1 Điều kiện khả tích đều và khả tích đều theo nghĩa Cesàro Trong mục này, ta giả sử rằng {un, n ≥ 1} và {vn, n ≥ 1} là hai dãy số nguyên dương, {vn ≥ n, ∀n ≥ 1} , {kn, n ≥ 1} là một dãy số nguyên dương và kn →∞ khi n→∞. Định nghĩa 2.1. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là khả tích đều nếu: lim a→∞supn≥1 (E |Xn| I (|Xn| > a)) = 0. 16 Định nghĩa 2.2. Dãy biến ngẫu nhiên khả tích {Xn, n ≥ 1} được gọi là có tính khả tích theo nghĩa Cesàro nếu: lim a→∞sup 1 kn kn∑ i=1 (E |Xi| I (|Xi| > a)) = 0. với {kn, n ≥ 1} là một dãy số nguyên dương và kn −→∞ khi n→∞. Định nghĩa 2.3. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên và ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các số thực, vn∑ i=un |ani| ≤ C, ∀n ∈ N và C > 0. Mảng Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 được gọi là {ani}−khả tích đều nếu lim a→∞supn≥1 vn∑ i=un |ani| (E |Xni| I (|Xni| > a)) = 0. Dưới điều kiện ani- khả tích đều, Ordonez Cabrera đã thiết lập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một. Định nghĩa 2.4. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên và r > 0. Dãy Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 được gọi là khả tich đều theo nghĩa c với số mũ r nếu: sup n≥1 1 kn vn∑ i=un E |Xni|r <∞. và lim a→∞supn≥1 1 kn vn∑ i=un (E |Xni|r I (|Xni|r > a)) = 0. Định nghĩa 2.5. Giả sử a > 0. Dãy {Xn, n ≥ 1} các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1 được gọi là Cesàro α−khả tích nếu: sup n≥1 1 n n∑ i=1 E |Xi| <∞. 17 và lim n→∞supn≥1 1 n n∑ i=1 (E |Xi| I (|Xni| > iα)) = 0. Với điều kiện Cesàro α−khả tích với α > 12 . Chandra và Goswami [2] đã thiết lập luật yếu số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một. Định nghĩa 2.6. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên và Cesàro α−khả tích , ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các số thực, vn∑ i=un |ani| ≤ C, ∀n ∈ N và C > 0. Giả sử h (n) , n ≥ 1 là dãy sao cho h (n)↗∞ khi n→∞. Dãy Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 được gọi là h−khả tích đối với dãy số {ani} nếu sup n≥1 vn∑ i=un |ani|E |Xi| <∞. và lim n→∞ vn∑ i=un |ani|E |Xni| I (|Xni| > h (n)) = 0. Định nghĩa 2.7. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên và r > 0. Giả sử h (n) , n ≥ 1 là một dãy tăng với 0 < h (n) ↗ ∞ khi n → ∞. Mảng Xni được gọi là h−khả tích với số mũ r nếu sup n≥1 1 kn vn∑ i=un E |Xni|r <∞. và lim n→∞ 1 kn vn∑ i=un (E |Xni|r I (|Xni|r > h (n))) = 0. Chú ý rằng khái niệm h−khả tích với số mũ r yếu hơn khái niệm khả tích đều với số mũ r theo nghĩa Cesàro. Khái niệm khả tích liên quan đến luật yếu số lớn tổng quát của Gut. Bổ đề 2.1. Nếu mảng Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên 18 và r > 0 thỏa mãn điều kiện khả tích đều Cesàro với số mũ r, thì cũng thỏa mãn điều kiện h- khả tích đều với số mũ r. Chứng minh. Chú ý rằng điều kiện đầu tiên của khả tích đều Cesàro với số mũ r và điều kiện đầu tiên của h−khả tích với số mũ r là giống nhau. Do đó, ta chỉ cần chứng minh điều kiện thứ hai của h−khả tích với số mũ r. Nếu Xni thỏa mãn điều kiện thứ hai của khả tích c thì tồn tại A > 0 để sup n≥1 1 kn vn∑ i=un (E |Xni|r I (|Xni|r > a)) A . Do h (m) ↗ ∞ khi m → ∞ nên tồn tại M để h (m) > A khi m > M . Với m > M ta có 1 km vm∑ i=um E |Xmi|r I (|Xmi|r > h (m)) ≤ sup n≥1 1 kn vn∑ i=un E |Xni|r I (|Xni|r > h (n)) < ε Do đó điều kiện thứ hai của h- khả tích với số mũ r được thỏa mãn. Lưu ý 2.1. Khái niệm của h- khả tích với số mũ r là yếu hơn hoàn toàn khái niệm của khả tích đều Cesàro với số mũ r, nghĩa là tồn tại dãy Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là h−khả tích với số mũ r, nhưng không phải khả tích h−khả tích với số mũ r. Bổ đề 2.2. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên h−khả tích với số mũ r với r>0, kn → ∞, h (n) ↗ ∞ và h(n)kn → 0 thì các mệnh đề sau đây thỏa mãn: (i) vn∑ i=un E |Xni|α I (|Xni|α > kn) = o ( k α/r n ) nếu 0 < α ≤ r, (ii) vn∑ i=un E |Xni|β I (|Xni|α > kn) = o ( k β/r n ) nếu r ≤ β. 19 Chứng minh. Từ điều kiện h(n)kn → 0 khi n → ∞, tồn tại số nguyên dương N để h (n) N . Khi đó nếu 0 N thì 1( k α/r n ) vm∑ i=um E |Xni|α I (|Xni|r > kn) ≤ 1 kn vn∑ i=un E |Xni|r I (|Xni|r > kn) ≤ 1 kn vn∑ i=un E |Xni|r I (|Xni|r > h (n)) . Do đó (i)được chứng minh do điều kiện của h- khả tích với số mũ r. Bây giờ ta chứng minh (ii) . Từ kết quả Bổ dề 1 của Sung [13], ta có: 1( k β/r n ) vm∑ i=um E |Xni|β I (|Xni|r > kn) ≤ 1( k β/r n ) vm∑ i=um E |Xni|r I (|Xni|r > 0) + 1( k β/r n ) vn∑ i=un kn−1∑ j=1 ( (j + 1) (β/r)−1 − j(β/r)−1 ) E |Xni|β I (|Xni|r > j) = An +Bn, trong đó An ≤ 1( k β/r−1 n )sup n≥1 { 1 kn vn∑ i=un E |Xni|r } → 0. Do β/r > 1 và điều kiện đầu tiên của h−khả tích với số mũ r. Mặt khác: ∀n > N , ta có: 20 Bn = 1( k β/r n ) vn∑ i=un [h(n)]∑ j=1 ( (j + 1) (β/r)−1 − j(β/r)−1 ) E |Xni|β I (|Xni|r > j) + 1( k β/r n ) vn∑ i=un kn−1∑ j=[h(n)+1] ( (j + 1) (β/r)−1 − j(β/r)−1 ) E |Xni|β I (|Xni|r > j) ≤ 1( k β/r n ) vn∑ i=un E |Xni|r I (|Xni|r > 1) ( ([h (n)] + 1) (β/r)−1 − 1 ) + 1( k β/r n ) vn∑ i=un E |Xni|r I (|Xni|r > [h (n)] + 1) ( k(β/r−1)n − ( ([h (n)] + 1) (β/r)−1)) ≤ (( [h (n)] + 1 kn ))(β/α)−1 sup n≥1 1 kn vn∑ i=un E |Xni|r + ε. Với [a] là phần nguyên của a và a-1 < [a]< a . Do lim sup n→∞ Bn ≤ ε, h (n) /kn → 0 . Kết hợp với điều kiện đầu tiên của h- khả tích với số mũ r. Với ε > 0, Bn −→ 0 khi n→∞ thì ta thấy rằng mỗi hàng trong mảng Xni − ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một hiệu martingale. Định nghĩa 2.8. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc âm (NQD) hay trường hợp phụ thuộc âm thấp hơn (LCND) nếu P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x)P (Y ≤ y) , ∀x, y