Luận văn Mô đun biểu diễn được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ------------------------------ ĐỖ TRẦN MINH VŨ Mễ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chớ Minh-2009 LỜI MỞ ĐẦU Cho R là vành giao hoỏn cú đơn vị và M là R-mụ đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xỏc định bởi phộp nhõn phần tử x với M. Mụ đun M được gọi là coprimary nếu M 6= 0 và với mọi x thuộc R thỡ ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đú, <(M) = ρ là iđờan nguyờn tố của R và M được gọi là M là ρ-coprimary. Mụ đun con N của M được gọi là mụ đun con ρ-nguyờn sơ nếu mụ đun thương M/N là ρ-coprimary. Một sự phõn tớch nguyờn sơ của N trong M là sự biểu diễn của N như là giao hữu hạn cỏc mụ đun con nguyờn sơ của M: N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qn. Sự phõn tớch nguyờn sơ được gọi là tối tiểu nếu cỏc mụ đun con nguyờn sơ Q1, Q2, ..., Qn thỏa cỏc điều kiện : (1) Cỏc iđờan nguyờn tố < ( M/Qi ) phõn biệt. (2) Khụng cú Qi nào nằm trong giao cỏc mụ đun con cũn lại. Từ đú, cỏc nhà toỏn học đó nờu khỏi niệm về mụ đun thứ cấp và mụ đun biểu diễn được. Một R-mụ đun M được gọi là thứ cấp nếuM 6= 0 và với mọi x thuộc R thỡ ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Khi đú, < (M) = ρ là iđờan nguyờn tố của R và M được gọi là R-mụ đun ρ-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn cỏc mụ đun con thứ cấp: M = N1 +N2 + ...+Nn. Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu cỏc mụ đun con thứ cấp N1, N2, ..., Nn thỏa cỏc điều kiện : (1) Cỏc iđờan nguyờn tố < (Ni) phõn biệt. (2) Khụng cú Ni nào nằm trong tổng cỏc mụ đun con cũn lại. Nếu M cú một biểu diễn thứ cấp, ta núi M là mụ đun biểu diễn được. Luận văn này viết về mụ đun biểu diễn được và cỏc tớnh chất của nú, được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tụi trỡnh bày một số kiến thức cần thiết cho chương sau bao gồm cỏc khỏi niệm về vành, mụ đun, vành Nơ te, vành Artin, iđờan nguyờn tố liờn kết, iđờan nguyờn tố liờn kết yếu, dóy khớp. Hầu hết cỏc chứng minh trong chương này đều được bỏ qua. Chương 2: Mụ đun biểu diễn được Chương này trỡnh bày cỏc vấn đề về mụ đun biểu diễn được: định nghĩa mụ đun thứ cấp và mụ đun biểu biễn được, tớnh chất của mụ đun thứ cấp và mụ đun biểu diễn được, mụ đun con của mụ đun biểu diễn được, tớnh biểu diễn được của mụ đun Artin, tớnh biểu diễn được của Hom(M,E) trong một số tỡnh huống cụ thể của R-mụ đun M và E. Tụi xin gửi đến TS. Trần Tuấn Nam, TS. Nguyễn Đỡnh Lõn lũng biết ơn chõn thành nhất. Thầy là người hướng dẫn và giỳp đỡ tụi trong suốt quỏ trỡnh học tập và làm luận văn. Xin chõn thành cảm ơn đến cỏc thầy cụ trong Khoa Toỏn trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chớ Minh và cỏc thầy cụ đó tham gia giảng dạy, quản lý khúa học, truyền đạt kiến thức cho tụi trong suốt quỏ trỡnh học tập. Cuối cựng, tụi xin cảm ơn cỏc đồng nghiệp, bạn học cựng khúa đó giỳp đỡ tụi trong quỏ trỡnh học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dự đó cú nhiều cố gắng nhưng luận văn cú thể cú những thiếu sút, kớnh mong thầy cụ và cỏc bạn gúp ý và thụng cảm. TP. Hồ Chớ Minh 12-2009 Đỗ Trần Minh Vũ Mục lục 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Mụ đun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Iđờan nguyờn tố liờn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Iđờan nguyờn tố liờn kết yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Iđờan nguyờn sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Mụ đun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Vành Nơ te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Dóy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Mễ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 12 2.1 Mụ đun biểu biễn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Cỏc định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Tớnh chất của mụ đun biểu diễn được . . . . . . . 16 2.1.3 Iđờan nguyờn tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Mụ đun con của mụ đun biểu diễn được . . . . . . . . . 33 2.3 Tớnh biểu diễn được của mụ đun Artin . . . . . . . . . . 41 2.4 Tớnh biểu diễn được của Hom(M;E) . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mụ đun Trong luận văn này, ta hiểu vành là một vành giao hoỏn cú đơn vị khỏc khụng. Cho M là R-mụ đun, A và B là hai tập con của M, 0 6= K ⊂ R. Ta định nghĩa: A+B = {a+ b|a ∈ A, b ∈ B} KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K} Tập con A khỏc rỗng của M được gọi là mụ đu con của M nếu A+A ⊂ A và RA ⊂ A. Với A và B là hai mụ đun con của M thỡ A+B và A ∩ B cũng là mụ đun con của M. Hơn nữa, Giao của một họ bất kỡ cỏc mụ đun con của M cũng là mụ đun con của M. Cho S là tập con khỏc rỗng của M. Giao của tất cả cỏc mụ đun con của M chứa S được gọi là mụ đun con sinh bởi tập S, ký hiệu là . Cho A là mụ đun con của M, tập thương M/A = {m+ A|m ∈M} là R- mụ đun với cỏc phộp toỏn (m1 + A) + (m1 + A) = (m1 +m2) + A r. (m+ A) = rm+ A R-mụ đun M/A được gọi là mụ đun thương của M theo mụ đun A. 2Giả sử M là R-mụ đun và f : S → R là đồng cấu vành. Khi đú, M cú thể xem như S-mụ đun với phộp nhõn ngoài s.m = f(s).m. Tập con S của M được gọi là hệ sinh của M nếu M=. Tập con S được gọi là độc lập tuyến tớnh nếu từ mỗi đẳng thức n∑ i=1 risi = 0 với ri ∈ R, si ∈ S, ta cú r1 = r2 = ... = rn = 0. Mụ đun M được gọi là mụ đun tự do nếu M cú một hệ sinh độc lập tuyến tớnh. Giả sử {Mi}i∈I là họ cỏc R-mụ đun. Trong tập tớch Đề cỏc ∏ i∈I Mi, ta định nghĩa cỏc phộp toỏn: (xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi + yi)i∈I r.(xi)i∈I = (rxi)i∈I Khi đú, ∏ i∈I Mi trở thành R-mụ đun và được gọi là tớch trực tiếp của họ R-mụ đun {Mi}i∈I . Mụ đun con ∑ i∈I Mi = { (xi)i∈I ∈ ∏ i∈I Mi| hữu hạn xi 6= 0 } của ∏ i∈I Mi được gọi là tổng trực tiếp của của họ cỏc mụ đun {Mi}i∈I . Tổng trực tiếp của cỏc mụ đun tự do là một mụ đun tự do. R-mụ đun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đú cỏc bản sao của vành R. Mỗi mụ đun M bất kỡ đều đẳng cấu với mụ đun thương của một mụ đun tự do nào đú. Cho M là R- mụ đun, L và N là cỏc mụ đun con của M. Ta kớ hiệu (L : N) = {x ∈ R|x.N ⊂ L} Đõy là một iđờan của R. Trong trường hợp đặc biệt khi L=0 và N=M thỡ (0 : M) được gọi là cỏi linh húa của mụ đun M, và được kớ hiệu là Ann(M). Với m ∈ M , Ann(m) là cỏi linh húa của R-mụ đun sinh bởi phần tử m ∈M . Mệnh đề 1.1.1 . Cho L và N là hai R-mụ đun. Khi đú, 1. Ann (L+N) = Ann (L) ∩ Ann (N) 32. (N : L) = Ann ( (N + L)/N ) Mệnh đề 1.1.2 . Cho cỏc R-mụ đun L,M,N thỏa N ⊂ M ⊂ L . Khi đú: ( L/N )/( M/N ) ∼= L/M Mệnh đề 1.1.3 . Cho L và N là cỏc mụ đun con của M. Khi đú: (L+N)/N ∼= L/(N ∩ L) Mệnh đề 1.1.4 . Cho M là R-mụ đun. Khi đú: M là hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với mụ đun thương của một mụ đun tự do hữu hạn sinh nào đú. 1.2 Iđờan nguyờn tố liờn kết Giả sử R là vành Nơ te giao hoỏn cú đơn vị khỏc khụng. Iđờan nguyờn tố P của R được gọi là iđờan nguyờn tố liờn kết của R-mụ đun M nếu tồn tại phần tử x ∈M để Ann(x)=P. AssR (M) là tập tất cả cỏc iđờan nguyờn tố liờn kết của R-mụ đun M. Khi khụng sợ lầm lẫn vành R, ta kớ hiệu Ass(M). Mệnh đề 1.2.1 .Cho P là phần tử tối đại của tập cỏc iđờan{ Ann (x) |x ∈M và x 6= 0} Khi đú, P ∈ Ass (M). Hệ quả 1.2.2 .Cho M là R-mụ đun. (1) Ass (M) = 0⇔M = 0 (2) Tập cỏc ước của 0 của R-mụ đun M là hợp cỏc iđờan nguyờn tố liờn kết của M. Ta đặt: SuppM = {P ∈ Spec (R) |MP 6= ∅} Định lý 1.2.3 .Cho M là R-mụ đun. Khi đú, Ass (M) ⊂ Supp (M). 4Định lý 1.2.4 . Cho M là R-mụ đun hữu hạn sinh khỏc 0. Khi đú, tồn tại dóy cỏc mụ đun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mn = M sao cho Mi/Mi−1 ∼= R/Pi với Pi ∈ Spec (R) , (1 ≤ i ≤ n) Bổ đề 1.2.5 .Cho 0→M ′ →M →M ′′ là một dóy khớp cỏc R-mụ đun thỡ Ass (M) ⊂ Ass (M ′) ∪ Ass (M ′′) Từ bổ đề trờn, ta thấy, nếu M = M1 ⊕M2 thỡ ta cú dóy khớp 0 → M1 →M →M2 và do đú, Ass (M) ⊂ Ass (M1) ∪ Ass (M2) Mệnh đề 1.2.6 . Cho M là R-mụ đun hữu hạn sinh . Khi đú, Ass (M) là tập hữu hạn. Định lý 1.2.7 .Cho R là vành Nơ te, cỏc điều sau tương đương với M là R-mụ đun: (1) M là coprimary (2) M chỉ cú một iđờan nguyờn tố liờn kết. 1.3 Iđờan nguyờn tố liờn kết yếu Cho vành giao hoỏn cú đơn vị R. Một iđờan nguyờn tố P của R được gọi là iđờan nguyờn tố liờn kết yếu của M nếu tồn tại phần tử x ∈M để P là tối tiểu trờn Ann(x). Tập tất cả cỏc iđờan nguyờn tố liờn kết yếu của M kớ hiệu là W.Ass(M). Mệnh đề 1.3.1 . Cho M là một R-mụ đun. Khi đú, ta cú: (1) Ass (M) ⊂ W.Ass (M) (2) Ass (M) = W.Ass (M)nếu R là vành Nơ te. (3) W.Ass 6= ∅ nếu M 6= 0 (4) Nếu 0→M → N → L→ 0 là dóy khớp thỡ W.Ass (M) ⊂ W.Ass (N) ⊂ W.Ass (M) ∪W.Ass (L) 5Mệnh đề 1.3.2 . Cho M là R-mụ đun thỏa điều kiện mụ đun khụng của M cú phõn tớch nguyờn sơ. Gọi 0 = N1∩N2∩ ...∩Nn là phõn tớch nguyờn sơ tối tiểu của 0, trong đú Ni là mụ đun con Pi-nguyờn sơ của M. Khi đú, W.Ass (M) = {P1, P2, ..., Pn} Hệ quả 1.3.3 . Cho R là vành Nơ te, M là R-mụ đun hữu hạn sinh thỡ mọi mụ đun con của M đều cú một phõn tớch nguyờn sơ. 1.4 Iđờan nguyờn sơ Mệnh đề 1.4.1 . (1) Cho Q1, ..., Qn là cỏc iđờan nguyến tố của vành R và P là một iđờan của R nằm trong n⋃ i=1 Qi . Khi đú, tồn tại một chỉ số i0 để P ⊂ Qi0. (2) Cho P1, ..., Pn là cỏc iđờan của vành R và Q là một iđờan nguyờn tố của R chứa n⋂ i=1 Pi . Khi đú, tồn tại một chỉ số i để Pi ⊂ Q. Đặc biệt, nếu Q = n⋂ i=1 Pi thỡ cú i để Q = Pi. Cho P và Q là hai iđờan của vành R thỡ Q ∪ P cũng là một iđờan của R. Ta cũn định nghĩa iđờan (Q : P ) = {x ∈ R|x.P ⊂ Q} gọi là iđờan thương của Q cho P. Cho P là iđờan của vành R. Căn của P, kớ hiệu r (P ), là iđờan xỏc định như sau: r (P ) = {x ∈ R | ∃n > 0 : xn ∈ P} Mệnh đề 1.4.2 . Cho P là một iđờan của vành R. Khi đú: (1) P ⊂ r (P ) (2) Nếu P là iđờan nguyờn tố thỡ r (P n) = P với mọi số n>0. Nếu f : A → B là một đồng cấu vành và Q là iđờan của B thỡ P = f−1(Q) cũng là một iđờan của A và ta sẽ kớ hiệu P = Qc. iđờan P của R được gọi là nguyờn sơ nếu P khỏc R và nếu x.y ∈ P thỡ x ∈ P hoặc yn ∈ P với một số nguyờn dương n nào đú. Một iđờan nguyờn tố 6đương nhiờn là iđờan nguyờn sơ nhưng điều ngược lại khụng đỳng. iđờan P được gọi là Q-nguyờn sơ nếu P là iđờan nguyờn sơ và r(P)=Q. Mệnh đề 1.4.3 . Nếu Q là iđờan nguyờn sơ thỡ r(Q) là iđờan nguyờn tố tối tiểu của R chứa Q. Mệnh đề 1.4.4 . Nếu r(P) là iđờan tối đại thỡ P là iđờan nguyờn sơ. Đặc biệt, nếu P là iđờan tối đại của R thỡ với mọi n>0, P n là iđờan P-nguyờn sơ. Một sự phõn tớch nguyờn sơ của iđờan P trong vành R là sự biểu diễn P như là giao của một số hữu hạn cỏc iđờan nguyờn sơ của R. Sự phõn tớch nguyờn sơ P = n⋂ i=1 Qi của iđờan P trong vành R được gọi là tối tiểu nếu với mọi i, n⋂ j=1 j 6=i Qj 6⊂ Qi. Từ một sự phõn tớch nguyờn sơ bất kỡ, ta luụn cú được một phõn tớch nguyờn sơ tối tiểu. iđờan P của R được gọi là phõn tớch được nếu P cú một sự phõn tớch nguyờn sơ trong R. Mệnh đề 1.4.5 . Cho P là iđờan phõn tớch được của vành R và P = n⋂ i=1 Qi là phõn tớch nguyờn sơ tối tiểu của P. Khi đú, với mỗi i, đặt Pi = r (Qi). Khi đú, cỏc Pi khụng phụ thuộc vào phõn tớch nguyờn sơ của P. 1.5 Mụ đun con Một mụ đun con thực sự N của M được gọi là mụ đun con nguyờn tố của M nếu, với mọi r ∈ R và m ∈ M thỏa rm ∈ N thỡ hoặc là m ∈ N ,hoặc là r ∈ (N : M). Ta thấy, nếu N là mụ đun con nguyờn tố của M thỡ P = (N : M) là iđờan nguyờn tố của R. Do đú, ta cũn gọi N là P-mụ đun con nguyờn tố. Cho R là vành và M là R-mụ đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xỏc định bởi phộp nhõn phần tử x với 7M. Khi đú, nilradical của M, kớ hiệu <(M), là tập tất cả cỏc phần tử x thuộc R sao cho ϕx,M lũy linh. Nú là một iđờan của R, được gọi là căn lũy linh của M. Định lý 1.5.1 . N là mụ đun con nguyờn tố của M khi và chỉ khi với mỗi r thuộc R, đồng cấu ϕ r,M/N : M/N → M/N hoặc là đơn cấu, hoặc là bằng 0. Ta núi mụ đun M là nguyờn tố nếu mụ đun con 0 của M là mụ đun con nguyờn tố. Do đú, Mụ đun con N là mụ đun con nguyờn tố khi và chỉ khi M/N là mụ đun nguyờn tố. Một R-mụ đun M được gọi là coprimary nếu M khỏc khụng và với mọi x thuộc R thỡ ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đú, <(M) = P là iđờan nguyờn tố của R. Do đú, ta núi M là P-coprimary. Cho M là R-mụ đun và P là iđờan nguyờn tố của R. Mụ đun con N của M được gọi là mụ đun con P-nguyờn sơ nếu mụ đun thương M/N là P-đối nguyờn sơ. Một sự phõn tớch nguyờn sơ của N trong M là sự biểu diễn của N như là giao hữu hạn cỏc mụ đun con nguyờn sơ của M: N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qn. Sự phõn tớch nguyờn sơ được gọi là tối tiểu nếu cỏc mụ đun con nguyờn sơ Q1, Q2, ..., Qn thỏa cỏc điều kiện : (1) Cỏc iđờan nguyờn tố Pi = < ( M/Qi ) phõn biệt. (2) Khụng cú Qi nào nằm trong giao cỏc mụ đun con cũn lại. Cho M là R-mụ đun cú mụ đun 0 cú sự phõn tớch nguyờn tối tiểu 0 = Q1 ∩ ... ∩Qn . Khi đú: Mệnh đề 1.5.2 . Tập cỏc iđờan nguyờn tố Pi = < ( M/Qi ) khụng phụ thuộc vào sự phõn tớch của mụ đun 0. Hơn nữa, nếu P là một iđờan nguyờn tố của R thỡ cỏc điều sau tương đương : (1) P là một trong cỏc Pi. (2) M cú một mụ đun con P-đối nguyờn sơ. (3) M cú một mụ đun con mà nilradical của nú là P. 8Tập cỏc iđờan Pi = < ( M/Qi ) được kớ hiệu Ass(M). Một tập con B của Ass(M) được gọi là cụ lập nếu với mỗi P thuộc B và mọi Q thuộc Ass(M), nếu Q ⊂ P thỡ Q ∈ B Mệnh đề 1.5.3 . Nếu {Pi1, ..., Pir} là tập con cụ lập của Ass(M) thỡ mụ đun con Qii ∩ ... ∩Qir khụng phụ thuộc sự phõn tớch đó chọn. . Mệnh đề 1.5.4 . Tập cỏc phần tử x ∈ R để ϕx,M khụng đơn cấu là hợp của tấp cả cỏc Pi thuộc Ass(M). Mệnh đề 1.5.5 . Tập cỏc phần tử x ∈ R để ϕx,M lũy linh là giao của tất cả cỏc Pi thuộc Ass(M). 1.6 Vành Nơ te Một vành R được gọi là vành Nơ te nếu mọi tập khỏc rỗng cỏc iđờan của R đều cú phần tử tối đại. Mệnh đề 1.6.1 . Cỏc điều sau là tương đương đối với một vành R: (1) R là vành Nơ te. (2) Mọi iđờan của R đều hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.6.2 . Cho R là vành Nơ te. Khi đú, (1) Nếu φ : R→ S là một toàn cấu thỡ S là vành Nơ te. (2) Nếu S là tập con đúng nhõn của R thỡ S−1R là vành Nơ te. (3) Nếu P là một iđờan nguyờn tố của R thỡ RP là vành Nơ te. Mệnh đề 1.6.3 . Cho S là một vành con của vành R. Nếu S là vành Nơ te và R là hữu hạn sinh, xột như S-mụ đun. Khi đú, R là vành Nơ te. Định lý 1.6.4 . Trong vành Nơ te, mọi iđờan đều cú một sự phõn tớch nguyờn sơ. 9Mệnh đề 1.6.5 . Cho R là vành Nơ te. Khi đú, (1) Mọi iđờan đều chứa một lũy thừa nào đú căn radical của nú. (2) Nếu Q là iđờan tối đại của R và P là một iđờan bất bỡ khỏc của R thỡ cỏc điều sau tương đương: (a) P là Q-nguyờn sơ. (b) r (P ) = Q (c) tồn tại số n để Qn ⊂ P ⊂ Q 1.7 Vành Artin Một vành R được gọi là vành Artin nếu mọi tập khụng rỗng cỏc iđờan của R đều cú phần tử tối tiểu. Mệnh đề 1.7.1 . Trong một vành Artin, ta cú: (1) Mọi iđờan nguyờn tố đều là iđờan tối đại. (2) Tập cỏc iđờan tối đại là tập hữu hạn. Định lý 1.7.2 . Cho vành R cú iđờan khụng là tớch của cỏc iđờan tối đại P1, ..., Pn ( khụng nhất thiết cỏc iđờan tối đại khỏc nhau). Khi đú, R là vành Nơ te khi và chỉ khi R là vành Artin. Ta xột dóy hữu hạn cỏc iđờan nguyờn tố của R như sau: P0 P1 P2 .... Pn Một dóy như trờn được gọi là cú độ dài n. Ta định nghĩa chiều của vành R là sup của tập cỏc độ dài cỏc dóy iđờan nguyờn tố của R. Kớ hiệu là dimR. Hiển nhiờn vành Artin cú số chiều là 0. Định lý 1.7.3 . Cho vành R. R là vành Artin khi và chỉ khi R là vành Nơ te và dimR=0. Một vành được gọi là vành địa phương nếu nú cú duy nhất một iđờan tối đại. Định lý 1.7.4 . Một vành Artin R bất kỡ luụn đẳng cấu với tớch trực tiếp của hữu hạn cỏc vành Artin địa phương. 10 1.8 Dóy khớp Cho M và E là hai R-mụ đun, ỏnh xạ f : M → E được gọi là R-đồng cấu nếu với mọi m1,m2 ∈M và r ∈ R thỡ f (m1 +m2) = f (m1) + f (m2) f (r.m1) = r.f (m1) Ta đặt Hom(M,E) là tập tất cả cỏc R-đồng cấu từ M vào E. Cho f : M → N là R-đồng cấu cỏc R-mụ đun và E là một R-mụ đun, ta kớ hiệu f∗ : Hom (N,E)→ Hom (M,E) là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(N,E) thành đồng cấu gf trong Hom(M,E). Tương tự, f ∗ : Hom (E,M)→ Hom (E,N) là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(E,M) thành đồng cấu fg trong Hom(E,N). Một dóy cỏc R-mụ đun và R-đồng cấu ... −→Mn−1 fn−−→Mn fn+1−−−→Mn+1 −→ ... được gọi là khớp tại Mn nếu Im fn = Ker fn+1. Một dóy được gọi là khớp nếu nú khớp tại mọi Mn. Đặc biệt: (1) Dóy 0 −→M f−→ N khớp khi và chỉ khi f đơn cấu. (2) Dóy M f−→ N −→ 0 khớp khi và chỉ khi f toàn cấu. (3) Dóy 0 −→ L g−→ M f−→ N −→ 0 khớp khi và chỉ khi g đơn cấu, f toàn cấu và Im g = Ker f . Mệnh đề 1.8.1 . Cho L g−→ M f−→ N −→ 0 là một dóy cỏc R-mụ đun và R-đồng cấu. Dóy trờn khớp khi và chỉ khi với mọi R-mụ đun E, dóy sau khớp: 0 −→ Hom (N,E) f−→ Hom (M,E) g−→ Hom (L,E) Mệnh đề 1.8.2 . Cho 0 −→ L g−→ M f−→ N là một dóy cỏc R-mụ đun và R-đồng cấu. Dóy trờn khớp khi và chỉ khi với mọi R-mụ đun E, dóy sau khớp: 0 −→ Hom (E,L) g−→ Hom (E,M) f−→ Hom (E,N) 11 Định nghĩa: Cho E là R-mụ đun. E được gọi là R-mụ đun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu χ : A→ B, mỗi đồng cấu f : A→ E, tồn tại đồng cấu f : B → E sao cho f = fχ. Định lý 1.8.3 . Mọi mụ đun đều cú thể nhỳng vào một mụ đun nội xạ nào đú, xem như là mụ đun con của mụ đun nội xạ đú. Nếu R-mụ đun E là nội xạ thỡ với mọi dóy khớp ngắn 0 −→ L g−→M f−→ N −→ 0 ta cú dóy khớp sau: 0 −→ Hom (N,E) f−→ Hom (M,E) g−→ Hom (L,E) −→ 0. Định nghĩa: Cho E là R-mụ đun. E được gọi là R-mụ đun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu σ : B → C, mỗi đồng cấu f : E → C, tồn tại đồng cấu f : E → B sao cho f = σf . Nếu R-mụ đun E là xạ ảnh thỡ với mọi dóy khớp ngắn 0 −→ L g−→M f−→ N −→ 0 ta cú dóy khớp sau: 0 −→ Hom (E,L) g−→ Hom (E,M) f−→ Hom (E,N) −→ 0 12 Chương 2 Mễ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2.1 Mụ đun biểu biễn được 2.1.1 Cỏc định nghĩa Cho R là vành giao hoỏn cú đơn vị. Một R-mụ đun M được gọi là thứ cấp nếu M khỏc khụng và với mọi x thuộc R thỡ ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Mệnh đề 2.1.1 Cho M là R-mụ đun thứ cấp. Ta cú < (M) = ρ là iđờan nguyờn tố của R. Chứng minh: Giả sử xy ∈ ρ và y /∈ ρ. Khi đú, với mọi n, ynM 6= 0 và tồn tại số m để (xy)mM = 0. Do đú, ϕy,M khụng lũy linh nờn nú là toàn cấu. Do đú, yM = M . Vỡ thế nờn 0 = (xy)mM = xmymM = xmM . Suy ra, x ∈ ρ. Vậy, ρ là iđờan nguyờn tố của R. Do mệnh đề trờn, khi M là R-mụ đun thứ cấp cú < (M) = ρ, ta gọi M là ρ-thứ cấp. Cho M là R-mụ đun. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn cỏc mụ đun con thứ cấp: M = N1 +N2 + ...+Nn. Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu cỏc mụ đun con thứ cấp N1, N2, ..., Nn thỏa cỏc điều kiện : 13 (1) Cỏc iđờan nguyờn tố < (Ni) phõn biệt. (2) Khụng cú Ni nào nằm trong tổng cỏc mụ đun con cũn lại. Nếu M cú một biểu diễn thứ cấp, ta núi M là mụ đun biểu diễn được. Mệnh đề 2.1.2 . Tổng trực tiếp hữu hạn cỏc mụ đun ρ-thứ cấp là một mụ đun ρ-thứ cấp. Chứng minh: Giả sử M = m⊕ i=1 Mi là tổng trực tiếp cỏc R-mụ đun ρ-thứ cấp. Nếu r ∈ ρ thỡ với mọi i, Mi r.−→ Mi là lũy linh. Do đú, cú số ni để rniMi = 0. Đặt n = n1n2...nm. Khi đú, r nMi = 0 với mọi i . Do đú, rnM = 0, tức là M r.−→M lũy linh. Nếu r /∈ ρ thỡ với mọi i, Mi r.−→Mi là toàn cấu. Do đú, M r.−→M cũng là toàn cấu. Vậy, M là R-mụ đun ρ-thứ cấp. Mệnh đề 2.1.3 . Mụ đun thương khỏc khụng của mụ đun ρ-thứ cấp là mụ đun ρ-thứ cấp. Chứng minh: Giả sử M là R-mụ đun ρ-thứ cấp vàM/N là một mụ đun thương khỏc 0 bất kỡ của M. Nếu r ∈ ρ thỡ đồng cấu M r.−→ M là lũy linh. Khi đú, tồn tại số n để rnM = 0 . Do đú, rn ( M/N ) = r nM/N = 0 nờn M/N r.−→M/N lũy linh. Nếu r /∈ ρ thỡ đồng cấu M r.−→ M là toàn cấu. Do đú, r ( M/N ) = rM/N = M/N nờn M/N r.−→M/N toàn cấu. Vậy,M/N là R-mụ đun ρ-thứ cấp. Giả sử M1,M2, ...,Mr là cỏc R- mụ đun con của M. Ta thấy Mi cú thể coi như là mụ đun thương của R-mụ đun M = m⊕ i=1 Mi. Do đú, nếu M = m⊕ i=1 Mi là R-mụ đun ρ-thứ cấp thỡ do mệnh đề trờn, Mi cũng là 14 R-mụ đun biểu diễn được. Do đú, ta cú:M1,M2, ...,Mr là cỏc R- mụ đun ρ-thứ cấp khi và chỉ k