Luận văn Mô phỏng ứng xử đỉnh vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng

CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 54 CHƢƠNG 4 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN Trong chương này trình bày kết quả xấp xỉ trong việc tính toán hệ số cường độ ứng suất, của một số bài toán tiêu biểu trong cơ học nứt đàn hồi tuyến tính. Trong những bài toán này, khảo sát sự hội tụ của hệ số cường độ ứng suất với lưới phần tử được thay đổi. 4.1. Mô hình vết nứt tĩnh Trong hầu hết những ví dụ dưới đây được khảo sát dưới giả thuyết biến dạng phẳng. Hệ số cường độ ứng suất trong các mô hình được tính thông qua hai bước, lời giải giải tích, lời giải xấp xỉ, sau đó khảo sát sự hội tụ của từng trường hợp. Trong lời giải xấp xỉ, hệ số cường độ ứng suất được xấp xỉ dựa trên phương pháp tích phân tương tác được trình bày trong chương ba. Ngoài ra, sự hội tụ của hệ số cường độ ứng suất cũng được khảo sát thông qua miền tích phân. Miền tích phân này thay đổi tùy theo lưới phần tử được chia của mô hình tính. Quan hệ giữa bán kính chu tuyến, tổng số nút và sai số tính toán cũng được trình bày theo từng mô hình tính. Bên cạnh việc tính hệ số mật độ ứng suất, từng mô hình còn khảo sát sự tương quan giữa hệ số cường độ ứng suất và tích phân J thông qua lưới nút, cũng như chu tuyến để tính tích phân. Việc tính toán tích phân J dựa trên công thức (3.15). 4.1.1. Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục Xét một tấm phẳng với các kích thước W = 0,04 m, H = 0,08 m, a = 0,015 m. Trường hợp đang xét là biến dạng phẳng. Vật liệu sử dụng là hợp kim Titanium Ti-6Al- 4V với E = 117.103 MPa, hệ số Poisson ν = 0,34 và KIC = 87 MPam 1/2 .Tính chất vật liệu là đàn hồi đẳng hướng. Ứng suất kéo σ = 1000 MPa. CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 55 Hình 4.1. Tấm phẳng với một vết nứt cạnh Kết quả giải tích hệ số cường độ ứng suất được tính như sau :  , 427,2020 IK F a W a MPa m   (4.1)   2 3 4, 1,12 0,23( / ) 10,55( / ) 21,71( / ) 30,38( / ) .9739 F a W a W a W a W a W     (4.2) Để tiện cho việc so sánh một tấm hình chữ nhật chịu kéo được chia với nhiều lưới phần tử khác nhau để tiếp cận với kết quả chính xác. σ = 1000 sigma W a H CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 56 (a) XFEM ( b) ABAQUS (c) Các nút bị chia cắt bởi vết nứt Hình 4.2 Mô hình bài toán nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 57 (a) XFEM ( b) Abaqus Hình 4.3 Chuyển vị theo phương Y của tấm với vết nứt cạnh (a) XFEM (b) ABAQUS Hình 4.4 Ứng suất theo phương Y của tấm với vết nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 58 (a) (b) (c) Hình 4.5 Ứng suất Vonmises của tấm với vết nứt cạnh (a) Theo phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng có lưới phần tử (b) Theo phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng không có lưới phần tử (c) Theo Abaqus CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 59 Bảng 4.1 Kết quả hệ số cường độ ứng suất trong mô hình nứt cạnh Lƣới Tổng số node Giải tích (KI) XFEM (KI XFEM)  % I I XFEM I K K K  20 x 20 20 x 40 40 x 40 30 x 60 40 x 60 40 x 80 400 800 1600 1800 2400 3200 427.2020 427.2020 427.2020 427.2020 427.2020 427.2020 415.1423 420.3515 413.6344 413.7891 416.4895 419.8963 2.8229 1.6036 3.1759 3.1397 2.5076 1.7101 Tông Sô Node 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 S ai s ô 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 Hình 4.6 Mối quan hệ giữa tổng số nút và sai số trong mô hình nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 60 T ừ hình (4.6) ta thấy có sự tương quan giữa yếu tố hình học của tấm với số nút được chia. Do mô hình bài toán, chiều cao và chiều rộng tấm không bằng nhau, nên việc chia lưới không chỉ phụ thuộc vào mật độ nút mà còn phụ thuộc vào số nút được chia trên từng cạnh tương ứng. Điều này lí giải cho sự lựa chọn lưới trong mô hình nứt hỗn hợp được đề cập trong phần sau. Lưới (20 x 40) Lưới (20 x 20) Hình 4.7 Miền tích phân với mô hình nứt cạnh Hình 4.8 Chu tuyến tích phân của mô hình nứt cạnh trong ABAQUS CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 61 Bảng 4.2 Quan hệ giữa bán kính chu tuyến và tổng số nút trong mô hình nứt cạnh Tổng số node Bán kính chu tuyến  % I I XFEM I K K K  400 800 1600 1800 2400 3200 10.4 x10 -3 7.3x10 -3 5.1 x10 -3 4.8 x10 -3 4.1 x10 -3 3.6 x10 -3 2.8229 1.6036 3.1759 3.1397 2.5076 1.7101 Tông sô Node 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 B an k in h 0.003 0.004 0.0 5 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.011 Hình 4.9 Mối quan hệ giữa tổng số nút và bán kính chu tuyến trong mô hình nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 62 Bảng 4.3 Kết quả KI theo chu tuyến trong mô hình nứt cạnh Chu tuyến KI Tich phân J Abaqus Giải tích Abaqus Giải tích 1 2 3 4 5 410.4 421.8 422.8 421.9 420.3 427.2020 427.2020 427.2020 427.2020 427.2020 1.439 1.520 1.528 1.522 1.511 1.3796 1.3796 1.3796 1.3796 1.3796 Bảng 4.4 Kế quả tích phân J trong mô hình nứt cạnh Tổng số node Tich phân J Giải tích XFEM Sai số(%) 400 800 1600 1800 2400 3200 1.380 1.380 1.380 1.380 1.380 1.380 1.303 1.336 1.293 1.294 1.311 1.333 5.580 3.188 6.304 6.232 5.000 3.406 CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 63 4.1.2. Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục Xét một tấm phẳng với các kích thước W = 0,07 m, H = 0,12 m, a = 0,015 m. Trường hợp đang xét là biến dạng phẳng. Vật liệu sử dụng là thép AISI 4340 với E = 207.10 3 MPa, hệ số Poisson ν = 0,3 và KIC = 110 MPam 1/2 . Tính chất vật liệu là đàn hồi đẳng hướng. Ứng suất kéo σ = 750 MPa. Độ tăng trưởng vết nứt Δa = 0,002 m. Hình 4.10 Tấm phẳng với hai vết nứt cạnh Kết quả giải tích hệ số cường độ ứng suất được tính như sau    , 224.3395 IK F a W a MPa m   (4.3)   2 3, 1,12 0,41( / ) 4,78( / ) 15,44( / ) 1.1321 F a W a W a W a W     (4.4) So sánh kết quả hệ số tập trung ứng suất KI (MPam 1/2 ) σ = 1000 sigma W H a a CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 64 (a) XFEM (b) ABAQUS (c) Các nút bị chia cắt bởi vết nứt Hình 4.11 Mô hình bài toán với hai nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 65 (a) XFEM (b) ABAQUS Hình 4.12 Chuyển vị theo phương Y của tấm với hai vết nứt cạnh a) XFEM b) ABAQUS Hình 4.13 Ứng suất theo phương Y của tấm với hai vết nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 66 (a) (b) (c) Hình 4.14 Ứng suất Vonmises của tấm với hai vết nứt cạnh (a) Theo phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng có lưới phần tử (b) Theo phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng không có lưới phần tử (c) Theo Abaqus CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 67 Bảng 4.5 Kết quả hệ số cường độ ứng suất trong mô hình hai vết nứt cạnh TỔNG SỐ NODE GIẢI TÍCH XFEM Đỉnh Trái (Tip 1) Đỉnh Phải (Tip 2) KI Sai số KI Sai số 400 800 1600 1800 2400 3200 224.3395 224.3395 224.3395 224.3395 224.3395 224.3395 218.5989 221.0139 219.3457 220.8603 219.9030 221.4207 2.5589 1.4824 2.2242 1.5509 1.9775 1.3010 218.5989 221.0139 219.3497 220.8603 219.9030 221.4207 2.5589 1.4824 2.2242 1.5509 1.9775 1.3010 Tông Sô Node 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 S ai s ô 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 KI (Trai) KI (Phai) Hình 4.15 Mối quan hệ giữa tổng số nút và sai số trong mô hình hai nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 68 Hình 4.16 Miền tích phân với mô hình hai nứt cạnh Hình 4.17 Chu tuyến tích phân của mô hình hai vết nứt cạnh trong ABAQUS CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 69 Bảng 4.6 Kết quả KI theo chu tuyến trong mô hình hai vết nứt cạnh Tổng số node Bán kính chu tuyến  % I I XFEM I K K K  400 800 1600 1800 2400 3200 0.0145 0.0101 0.0071 0.0066 0.0057 0.0050 2.5589 1.4824 2.2242 1.5509 1.9775 1.3010 Tong so node 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 B an k in h ch u tu ye n 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 Hình 4.18 Mối quan hệ giữa tổng số nút và bán kính chu tuyến trong mô hình hai vết nứt cạnh CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 70 4.1.3. Tấm phẳng với vết nứt nằm trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục Xét một tấm phẳng với các kích thước W = 0,1 m, H = 0,16 m, a = 0,03 m. Trường hợp đang xét là biến dạng phẳng. Vật liệu sử dụng là thép AISI 4147 với E = 207.103 MPa, hệ số Poisson ν = 0,3 và KIC = 120 MPam 1/2 . Tính chất vật liệu là đàn hồi đẳng hướng. Ứng suất kéo σ = 820 MPa. Độ tăng trưởng vết nứt Δa = 0,002 m. Hình 4.19 Tấm phẳng với vết nứt nằm trong. Kết quả giải tích hệ số cường độ ứng suất được tính như sau:    , 186.9935 IK F a W a MPa m   (4.5)   2 4 6, 1 0,5( / ) 20,46( / ) 81,72( / ) 1,0537 F a W a W a W a W     (4.6) σ = 820 W H a CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 71 (a) XFEM (b) ABAQUS (c) Các nút bị chia cắt bởi vết nứt Hình 4.20 Mô hình bài toán với vết nứt chính giữa CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 72 ( a) XFEM (b) ABAQUS Hình 4.21 Chuyển vị theo phương Y của tấm với vết nứt chính giữa a) XFEM b) Abaqus Hình 4.22 Ứng suất theo phương Y của tấm với vết nứt chính giữa CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 73 (a) (b) (c) Hình 4.23 Ứng suất Vonmises của tấm với với vết nứt chính giữa (a) Theo phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng có lưới phần tử (b) Theo phương pháp phần tử hửu hạn mở rộng không có lưới phần tử (c) Theo Abaqus CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 74 Bảng 4.7 Kết quả hệ số cường độ ứng suất trong mô hình vết nứt chính giữa TỔNG SỐ NODE GIẢI TÍCH XFEM Đỉnh 1(Tip 1) Đỉnh 2 (Tip 2) KI Sai số KI Sai số 400 800 1600 1800 2400 3200 186.9935 186.9935 186.9935 186.9935 186.9935 186.9935 186.6053 186.7561 187.4803 187.7670 187.8686 187.4561 0.2076 0.1270 0.2604 0.4136 0.4680 0.2474 186.6052 186.7562 187.4804 187.7644 187.8614 187.3321 0.2077 0.1269 0.2604 0.4123 0.4642 0.1811 Tông Sô Node 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 S ai S ô 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 KI (Tip 1) KI (Tip 2) Hình 4.24 Mối quan hệ giữa tổng số nút và sai số trong mô hình vết nứt chính giữa CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 75 Hình 4.25 Miền tích phân với mô hình vết nứt chính giữa Hình 4.26 Chu tuyến tích phân của mô hình vết nứt chính giữa trong ABAQUS CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 76 Bảng 4.8 Kết quả theo chu tuyến trong mô hình nứt chính giữa Chu tuyến Đỉnh 1 KI Tich phân J Abaqus Giải tích Abaqus Giải tích 1 2 3 4 5 180.9 186.6 187.5 187.8 187.9 186.9935 186.9935 186.9935 186.9935 186.9935 0.1537 0.1537 0.1537 0.1537 0.1537 0.1581 0.1682 0.1699 0.1704 0.1706 Chu tuyến Đỉnh 2 KI Tich phân J Abaqus Giải tích Abaqus Giải tích 1 2 3 4 5 180.9 186.6 187.5 187.8 187.9 186.9935 186.9935 186.9935 186.9935 186.9935 0.1537 0.1537 0.1537 0.1537 0.1537 0.1581 0.1682 0.1699 0.1704 0.1706 CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 77 Bảng 4.9 Quan hệ giữa bán kính chu tuyến và tổng số nút trong mô hình vết nứt chính giữa Tổng số node Bán kính chu tuyến  %I I XFEM I K K K  Đỉnh 1 Đỉnh 2 400 800 1600 1800 2400 3200 0.0233 0.0163 0.0114 0.0107 0.0092 0.0008 0.2076 0.1270 0.2604 0.4136 0.4680 0.2474 0.2077 0.1269 0.2604 0.4123 0.4642 0.1811 Tong so node 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 B an k in h ch u tu ye n 0.006 0.008 .010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022 0.024 0.026 Hình 4.27 Mối quan hệ giữa tổng số nút và bán kính chu tuyến trong mô hình hai vết nứt cạnh 4.1.4. Tấm phẳng với vết nứt nghiêng nằm trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 78 Để minh họa cho sự hiệu quả của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng hệ số cường độ ứng suất được tính trong trường hợp tấm phẳng chịu héo với vết nứt nghiêng như trong hình (4.28) Trong trường hợp này KI và KII là hàm của góc nghiêng α. Xét một tấm phẳng với các kích thước a = 0,02 m, W = 0,12 m, H = 0,2 m. Trường hợp đang xét là biến dạng phẳng. Vật liệu sử dụng là hợp kim nhôm 7075-T6 với E = 72.103 MPa, hệ số Poisson ν = 0,334 và KIC = 24 MPam 1/2 . Tính chất vật liệu là đàn hồi đẳng hướng. Ứng suất kéo σ = 270 MPa. Độ tăng trưởng vết nứt Δa = 0,002 m. Hình 4.28 Tấm phẳng với vết nứt nghiêng nằm trong Kết quả giải tích hệ số cường độ ứng suất được tính như sau:  2cosIK a   (4.7)    sin cosIIK a    (4.8) So sánh kết quả hệ số tập trung ứng suất (SIF) KI và KII (MPam 1/2 σ = 270 W α 2a H CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 79 (a) (b) Hình 4.29 Mô hình vết nứt với α=45o, (a) trong ABAQUS, (b) trong XFEM Hình 4.30 Các nút bị chia cắt bởi vết nứt với α=30o CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 80 α=15o α=30o Hình 4.31 Chuyển vị theo phương Y của tấm với vết nứt nghiêng α=45o α=60o Hình 4.32 Ứng suất theo phương Y của tấm với vết nứt nghiêng CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 81 Hình 4.33 Ứng suất Vonmises của tấm với với vết nứt chính giữa α=75o (a) (b) Hình 4.34 Miền tích phân với mô hình vết nứt nghiêng α=45o (a) Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (b) Abaqus CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 82 Bảng 4.10 So sánh kết quả KI và KII giữa giải tích và XFEM α GIẢI TÍCH XFEM Đỉnh 1 Đỉnh 2 KI KII KI Sai Số KII Sai Số KI Sai Số KII Sai Số 15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 67.38 54.17 36.11 18.06 4.84 18.06 31.27 36.11 31.27 18.06 65.22 54.68 34.83 18.59 4.55 3.21 0.94 3.54 2.93 5.99 11.29 24.94 30.08 26.75 15.81 37.49 20.24 16.70 14.45 12.46 65.27 54.77 34.87 18.59 4.55 3.13 1.11 3.43 2.93 5.99 11.19 24.94 30.13 26.81 15.82 38.04 20.24 13.79 14.26 12.40  10 20 30 40 50 60 70 80 K I , K II 0 10 20 30 40 50 60 70 80 KI (Giai tich) KI (Tip 1) KI (Tip 2) KII (Giai tich) KII (Tip 1) KII (Tip 2) Hình 4.35 Đồ thị KI và KII giữa giải tích và XFEM CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 83 Bảng 4.11 So sánh kết quả KI và KII giữa giải tích và ABAQUS α GIẢI TÍCH ABAQUS Đỉnh 1 Đỉnh 2 KI KII KI Sai Số KII Sai Số KI Sai Số KII Sai Số 15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 67.38 54.17 36.11 18.06 4.84 18.06 31.27 36.11 31.27 18.06 68.33 55.38 37.19 18.68 5.01 1.41 2.23 2.99 3.43 3.51 17.60 30.10 35.13 30.91 17.84 2.55 3.74 2.71 1.15 1.22 67.85 55.22 37.11 18.71 5.01 0.70 1.94 2.77 3.60 3.51 17.18 29.65 35.04 31.09 17.84 4.87 5.18 2.96 0.58 1.22  10 20 30 40 50 60 70 80 K I, K II 0 10 20 30 40 50 60 70 80 KI (Giai tich) KI (Tip 1) KI (Tip 2) KII (Giai tich) KII (Tip 1) KII (Tip 2) Hình 4.36 Đồ thị KI và KII giữa giải tích và ABAQUS CHƯƠNG 4: MÔ HÌNH TÍNH TOÁN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 84 Bảng 4.12 So sánh kết quả tích phân J α Giải Tích (JGIAITICH) XFEM ABAQUS J1 J2 J1 J2 15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 0.0600 0.0483 0.0322 0.0161 0.0043 0.0614 0.0490 0.0323 0.0161 0.0042 0.0604 0.0485 0.0321 0.0162 0.0042 0.06915 0.05518 0.03635 0.01811 0.00477 0.06803 0.05456 0.03618 0.01829 0.00477  10 20 30 40 50 60 70 80 J 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 Giai Tich Xfem Abaqus Hình 4.37 Đồ thị tích phân J