Luận văn Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Thu Hiền Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Văn Tiến, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent, PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, TS. Đoàn Hữu Hải và các quí thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán khóa 15. Xin chân thành cảm ơn: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giúp đỡ tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Didactic khóa 15 đã luôn động viên và chia sẻ những vui buồn và khó khăn trong suốt thời gian học tập Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và những bạn bè thân thiết đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua. Bùi Thị Thu Hiền MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Theo truyền thống, tiếp tuyến luôn là chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ thông Việt Nam, đặc biệt là trong chương trình hình học sơ cấp ở THCS và chương trình Giải tích ở THPT. Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm đạo hàm. Trong luận văn tốt nghiệp đại học của mình, nhan đề: « Tiếp tuyến và đạo hàm phải chăng là một cặp ?», hai sinh viên người Pháp N. Chaboud và D. Hedde (2000) cũng đã chỉ ra sự gắn kết của hai khái niệm này trong lịch sử giảng dạy ở Pháp từ năm 1993 đến năm 1999. Từ đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi khởi đầu sau đây: Tại sao khái niệm tiếp tuyến luôn gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nhau thế nào? Vai trò, ý nghĩa của mỗi khái niệm trong sự kết hợp đó ? Có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ cho phép chúng tôi – những giáo viên toán THPT - hiểu rõ hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình thực hành nghề nghiệp của mình. 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu Lí thuyết nhân chủng học của Didactic toán với các khái niệm mấu chốt như “mối quan hệ thể chế”, “Mối quan hệ cá nhân” sẽ là công cụ lí thuyết mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình. Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau : Q1: Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến đã được thiết lập trong những tình huống nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Có đối tượng nào khác luôn gắn liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó? Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm và tiếp tuyến, cũng như quan hệ giữa chúng hình thành ra sao ? Với những đặc trưng cơ bản nào so với quan hệ của chúng trong lịch sử ? Có những ràng buộc thể chế nào trên chúng? Q3: Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân học sinh? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2. Để đạt được điều đó, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau đây : - Phân tích, tổng hợp một số tài liệu hay công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là vai trò, chức năng của mỗi đối tượng trong sự kết hợp này. Kết quả của chương này là cơ sở tham chiếu cho phân tích mối quan hệ thể chế tiếp ngay sau đó. - Phân tích, tổng hợp một số kết quả chính trong luận văn của hai sinh viên Pháp là N. Chaboud, D. Hedde (2000) và phân tích chi tiết một SGK của Pháp nhằm mục tiêu làm tham chiếu cho phân tích CT và SGK Việt Nam. - Trên cở sở các nghiên cứu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích CT và SGK toán lớp 9 và SGK THPT hiện hành ở Vịêt Nam nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra trong Q2, mục 2. - Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế gắn liền với đạo hàm và tiếp tuyến lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh. Đặc biệt, chúng tôi sẽ đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu sau đây (kết quả rút ra từ phân tích CT và SGK Việt Nam) : Giả thuyết :”Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh”. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm 5 phần : Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung. - Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài; mục đích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn. - Chương 1 dành cho việc trình bày kết quả phân tích và tổng hợp các công trình nghiên cứu về khoa học luận và lịch sử để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong lịch sử hình thành và tiến triển của chúng. - Trong chương 2, chúng tôi phân tích CT và SGK Việt Nam để làm rõ mối quan hệ giữa hai đối tượng nêu trên. Nhưng trước đó, chúng tôi đã chọn phân tích một số tư liệu của thể chế dạy học của Pháp để làm tham chiếu cho việc phân tích SGK Việt Nam. - Chương 3 giới thiệu một thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh và kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu trong mục 3. - Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn. Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM 1.1. Mục tiêu của chương Mục đích chủ yếu của chương này là phân tích và tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử, khoa học luận về tiếp tuyến và đạo hàm để làm rõ các đặc trưng của mối liên hệ giữa hai khái niệm này. Cụ thể, dựa vào các công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem phần Tài liệu tham khảo) chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây: Đối tượng đạo hàm và tiếp tuyến xuất hiện trong những tình huống nào của lịch sử toán học? Chúng quan hệ với nhau như thế nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó? 1.2. Đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm 1.2.1. Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII  Khái niệm tiếp tuyến Trong [2], tác giả Vũ Đức đã rút ra một số đặc trưng khoa học luận sau đây của khái niệm tiếp tuyến trong giai đoạn này của lịch sử. - Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện và được nghiên cứu trước hết trong phạm vi hình học sơ cấp với các đặc trưng: tiếp tuyến là một đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đường cong. Tiếp tuyến của đường tròn còn có thêm đặc trưng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm. - Tiếp tuyến được định nghĩa hoàn toàn theo lối mô tả trực giác hình học và sử dụng một số thuật ngữ khá mơ hồ, không được giải thích như “chạm”, “đi qua phía bên kia”, “rơi”...Các định nghĩa mô tả này không cho phép đưa ra một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. - Cách xác định tiếp tuyến luôn được trình bày thông qua dựng hình và phụ thuộc nhiều vào hình vẽ và tính chất của đường cong.  Nhận xét về mối quan hệ của hai khái niệm Trong giai đoạn này tiếp tuyến chỉ xuất hiện ở phạm vi hình học sơ cấp, bài toán xác định tiếp tuyến được giải quyết dựa vào dựng hình. Khái niệm đạo hàm chưa xuất hiện (dù dưới dạng ngầm ẩn) và do đó, chưa có mối liên hệ nào giữa hai khái niệm được thiết lập. 1.2.2. Giai đoạn 2: Nửa đầu thế kỉ XVII Trong thời điểm này, việc phát minh ra hình học giải tích đồng thời và độc lập bởi Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của giải tích. Nhiều phương pháp mới xác định tiếp tuyến ra đời tạo mầm mống cho sự hình thành phép tính vi phân.  Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Fermat Phần trình bày này dựa trên tài liệu [13] và [14]. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được biết đến từ năm 1629 qua các bức thư của Fermat. Nhưng đến năm 1642 tác phẩm “Phương pháp khảo sát các số lớn nhất và nhỏ nhất” mới được xuất bản. Trong tác phẩm này, Fermat đề xuất qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất qua bài toán sau: Chia đường AC (hình 1.1) bởi điểm B sao cho vật thể, được xây dựng trên hình vuông AB và đường BC là lớn nhất(*) Fichtegôn giải thích phương pháp của Fermat như sau ([14, tr.355]): Đặt đoạn AC đã cho là B, đoạn AB phải tìm là A. Đối với thể tích lớn nhất ta được biểu thức A2(B-A) Sau khi thế A+E vào biểu thức trên thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia của lượng đang xét A).Ta cho cả hai biểu thức bằng nhau (trên thực tế là không bằng nhau): (A+E)2(B-A-E) = A2(B-A) Giản ước các vế ta được: 2A(B –A) – A2 + E(B–A–E) –2AE = 0 Bỏ những số hạng còn chứa E, kết quả ta có: 2A(B–A) –A2 = 0 hay 2AB = 3A2 Biểu thức này, theo cách diễn đạt của Fermat, là đẳng thức “đúng”, trong khi đó các đẳng thức trên chỉ là “tưởng tượng ra” hay “gần đúng”. Từ đẳng thức cuối cùng ta xác định được A = 2 3 B Nếu dùng các kí hiệu về hàm số, “qui tắc Fermat” dưới dạng tổng quát sẽ như sau: Để tìm giá trị A, mà tại đó biểu thức f(A) có giá trị lớn nhất hay bé nhất, Fermat dựa vào nguyên lý đã biết trước đó: tại thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé nhất hay lớn nhất, lượng đó hầu như dừng lại trong quá trình biến thiên.  Fermat viết các biểu thức “gần đúng”: f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = 0 với E rất nhỏ  Đơn giản những số hạng giống nhau ở hai vế, rồi chia cho E ta được: f (A E) f (A) 0 E     Bỏ đi những số hạng còn chứa E, tức là đặt E = 0 (mà điều này tương đương với việc chuyển qua giới hạn khi E0). Cuối cùng, ta được đẳng thức : (*) Giá trị lớn nhất của vật thể được hiểu là thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật có ba cạnh lần lượt là A, A và B-A. B C BA A Hình 1.1 E 0 f (A E) f (A) 0 E        . Từ đó xác định được giá trị A cần tìm. Nhận xét Trong phương pháp trên có những chỗ bất hợp lí: lúc thì cho E là một số hữu hạn khác 0 (bằng cách chia hai vế cho E) sau đó lại cho E = 0. Fichtegôn cũng nhận xét: “phương pháp của Fermat không có cơ sở nào”. Rõ ràng, Fermat đã gặp khó khăn với phép lấy giới hạn và khái niệm vô cùng bé. Tuy nhiên, trong phương pháp trên đã hiện diện tư tưởng của giới hạn và khái niệm đạo hàm: E 0 f (A E) f (A) 0 E        (tương đương với các với cách viết hiện nay là E 0 f (A E) f (A)lim E   = 0 hay f’(A) = 0) Theo ngôn ngữ hiện nay, phương pháp trên dựa trên tính chất: « Hàm số f(x) có đạo hàm tại a và đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm đó thì f’(a) =0. Về mặt hình học, tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đạt cực đại hay cực tiểu thì song song với trục hoành » Tuy nhiên, trong phương pháp trên, Fermat cũng chưa biết rằng f’(a) = 0 chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải là điểu kiện đủ để có cực trị Còn lời giải có thể mô tả như sau: Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật nêu trên, x là độ dài đoạn AB và a là độ dài đoạn AC, ta có: 2 3 2( )V x a x x ax     và 2 2' 3 2 0 3 aV x ax x      (vì x > 0). Từ đó, ta có bảng biến thiên sau: x 0 2a/3 a V(x) 0 V đạt giá trị lớn nhất khi 2 3 ax  hay AB = 2 3 AC Trong cùng tác phẩm trên, Fermat cũng đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến của đường cong, được mô tả như sau đây (theo [13]). Xác định tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M. Gọi M’ là điểm khác M nằm trên đường cong (C). X, X’ lần lượt là hình chiếu của M, M’ xuống trục hoành Giả sử tiếp tuyến tại điểm M mà ta cần xác định cắt trục hòanh tại T. X’M’ cắt tiếp tuyến MT tại N (Hình 1.2). Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat tìm tiếp ảnh TX. Do TXM và TX’N đồng dạng và thay X’N bằng xấp xỉ, ta có: A: XM = E: (X’M’-XM) EA T X’ X N M’ M Hình 1.2 Theo cách kí hiệu thông thường hiện nay, nếu kí hiệu đường cong (C) bằng công thức y = F(x) thì đẳng thức trên trở thành: A : F(x) = E : (F(x+E)-F(x))  A = F(x).E F(x E) F(x)  Chia biểu thức trên cho E ta được: F(x)A F(x E) F(x) E    Cho E bằng 0, tìm được A Nhận xét Cách dựng tiếp tuyến của Fermat thể hiện một quan điểm rất khác về tiếp tuyến so với các quan điểm trước đó. Trong phương pháp trên, khi điểm M’ dần đến vị trí của M thì cát tuyến M’M dần đến vị trí của tiếp tuyến MT. Như vậy, Fermat đã xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của cát tuyến. Có thể thấy cả hai bài toán trên của Fermat cùng thống nhất trong một phương pháp giải, trong đó đã xuất hiện ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ông không tiến xa hơn được vì khó khăn trong việc hiểu “giới hạn” và “vô cùng bé”. Tóm lại, quan niệm rất mới về tiếp tuyến như là “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn tới một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến mặc dù phương pháp đó còn nhiều chỗ “bất hợp lí” như đã phân tích ở trên. Đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn và đóng vai trò công cụ cho phép giải quyết bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được thiết lập: « Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm » (Phương pháp trên tương đương với cách viết hiện nay: F(x)A F'(x)  hay F’(x) = F(x) A )  Phương pháp xác định tiếp tuyến của Roberval (1602-1675) và Torricelli (1608-1674) Theo [14], một cách độc lập và gần như đồng thời, cả hai nhà bác học này đã đưa ra phương pháp tìm tiếp tuyến của đường cong bằng cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu của họ được công bố lần đầu tiên năm 1644). Roberval quan niệm: “Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí điểm của nó” Cụ thể nếu đường cong biểu diễn được như là quĩ đạo chuyển động của điểm, chuyển động đó gồm hai chuyển động đơn giản hơn mà đối với chúng vận tốc (theo giá trị và hướng) được cho một cách trực tiếp, thì hướng của vận tốc của chuyển động hợp (và cùng với nó cả hướng của tiếp tuyến với quĩ đạo) đựơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, như sau: Giả sử tại thời điểm ban đầu chất điểm nằm ở O (hình 1.3) và rơi tự do theo gia tốc g (có nghĩa là với vận tốc gt, t là thời gian) dọc theo đường thẳng đứng, mà chất điểm đó lại dời chỗ theo chiều ngang với vận tốc u không đổi. Khi đó, theo kí hiệu trong hình vẽ, tại thời điểm t ta có : x = 21 gt 2 ; y = ut Từ đó, sau khi khử t ta tìm được 22 uy 2 x g  . Như vậy quĩ đạo của chất điểm nhận được là một parabol ( mà dựa theo cách chọn u có thể đồng nhất với parabol tùy ý 2y 2px ). Tỉ số giữa vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng 2gt gt 2x u ut y   . Do đó- chú ý đến sự đồng dạng của các tam giác, ta chứng minh được rằng tiếp tuyến cắt trục parabol về phía sau đỉnh của nó một đoạn là x. Nhận xét : Phương pháp của Roberval và Torricelli không đựơc xem là phương pháp tổng quát vì những khó khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. Quan niệm về tiếp tuyến của Roberval theo quan điểm động học có ý nghĩa về mặt lịch sử vì đề cập đến phương tức thời của chuyển động, là ý tưởng liên quan đến giới hạn, đánh dấu sự phát triển của giải tích. Cách làm này cho thấy ông đã thấy được mối liên hệ mật thiết giữa vận tốc (đạo hàm của khoảng cách còn ngầm ẩn) với tiếp tuyến : Tỉ số giữa vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng 2x y . Theo ngôn ngữ hiện nay thì mối liên hệ đó là : «hệ số góc của tiếp tuyến bằng dy dx » (với Ox là trục hoành, Oy là trục tung).  Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow Phần trình bày này dựa theo [19]. Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được trình bày trong « bài giảng về quang học và hình học » (1660-1670). Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp của Fermat nhưng có những bước hoàn thiện hơn và có thể diễn tả như sau : Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4). Đường thẳng nằm ngang AP cắt đường cong tại A, đường thẳng thẳng đứng PM cắt đường cong tại M. Giả sử MT là tiếp tuyến cần xác định của đường cong tại M, cắt AP tại T. Xét cung MN vô cùng nhỏ là phần trùng nhau của đường thẳng MT và đường cong s. Vẽ NQ // MP, NR //AP. Hình 1.4 t A T Q P m R M a N c T x x O y p M x Hình 1.3 Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e Để xác định tiếp tuyến MT ta sẽ tính lượng PT = t Vì M, N cùng nằm trên đường cong nên cùng nghiệm đúng tính chất đặc trưng của đường cong đó. Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, e và m qua một đẳng thức I nào đó. Trong đẳng thức này, ta sẽ bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e (các số hạng này được xem như:có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính) Dựa vào định lý Thales ta có a e e t m t a m    . Thay vào I, ta sẽ tính được t. Như vậy tiếp tuyến MT hòan tòan được xác định Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm đó. Phương pháp của ông, theo ngôn ngữ hiện đại, trong lân cận của tiếp điểm có thể “xấp xỉ” đường cong bởi tiếp tuyến tại điểm đó. Trong phương pháp trên, nguyên lí bỏ qua những số hạng vô cùng bé (a,e) có bậc cao hơn 1 được nêu ra: “bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e vì các số hạng này được xem như có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính” (ở Fermat thì nguyên lí này chỉ có thể ngầm hiểu). Việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến m t được thay bằng tỉ số a e mà e, a là các vô cùng bé đã ngầm ẩn khái niệm ”vi phân”. Theo cách làm hiện nay, nếu chọn A làm gốc tọa độ và trục hòanh là AP, trục tung là đường thẳng qua A và song song với PM thì a e chính là dy dx và m t chính là hệ số góc của tiếp tuyến. Như vậy, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân (còn ngầm ẩn) đã được thiết lập: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân dy dx ”. Tuy nhiên, cũng như Fermat, phương pháp của Barrow cũng chưa có cơ sở lí thuyết rõ ràng.  Những đặc trưng khoa học luận cơ bản của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai đoạn này có thể tóm lược như sau : - Quan niệm rất mới về tiếp tuyến : “vị trí giới hạn của cát tuyến” và “đường thẳng trùng với phần vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm” đã dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. Tiếp tuyến bắt đầu xuất hiện trong phạm vi giải tích và mở đường cho việc hình thành các ý tưởng liên quan đến đạo hàm và vi phân. Đạo hàm và vi phân xuất hiện như công cụ ngầm ẩn để giải bài toán xác định tiếp tuyến. Việc xuất hiện đạo hàm và vi phân trong tư tưởng xấp xỉ. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân cũng xuất hiện ngầm ẩn: «Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm » «Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số của hai vi phân dy dx » Nói cách khác, nhờ việc tìm lời giải cho bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong mà nhiều nhà toán học trong giai đoạn này đã tiến đến hiểu biết rất gần với khái niệm đạo hàm, vi phân. Tuy nhiên, việc giải các bài toán tiếp tuyến chưa có cơ sở rõ ràng và được giải quyết vẫn dựa vào hình vẽ. 1.2.3.Giai đoạn 3: Nửa cuối thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII Phân tích trong phần này dựa vào [14], [15] và . Sự phát triển của giải tích được tạo ra bởi Newton(1642-1727) và Leibniz (1646-1716) - cả hai hoạt động độc lập với nhau từ những năm 1660- do việc phát minh ra phép tính vi tích phân. 1.2.3.1.Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương p