Luận văn Một lớp các phương pháp giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ****** LÊ VĂN HIỆP MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ****** LÊ VĂN HIỆP MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu và hệ thống Mã số: 60 46 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Thị Huệ Nương THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009 LỜI CÁM ƠN Lời trước tiên trong luận văn này tôi muốn gửi lời cám ơn chân thành nhất đến PGS.TS Trần Thị Huệ Nương - người đã tận tình giúp đỡ và chỉ dẫn tôi rất nhiều để hoàn tất luận văn này. Tôi xin cám ơn Th.S Nguyễn Thành Ngọc Bảo đã hỗ trợ tôi hoàn thiện luận văn này. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành nhất của tôi đến với ba má và anh chị trong gia đình đã đôn đốc và hỗ trợ về mặt tinh thần cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này. Cuối cùng tôi xin cám ơn các bạn khoa Toán Tin và các bạn cao học khóa 16 chuyên ngành lý thuyết tối ưu trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, chia sẻ và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành tốt luận văn này. TP.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009 Lê Văn Hiệp Trang 1 MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu 3 Mở đầu 5 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian 7 1.2 Các định nghĩa 7 1.3. Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu 12 1.4. Các khái niệm tối ưu 13 1.4.1 Tối ưu Pareto 13 1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu 15 1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường 17 CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU 2.1 Phương pháp ràng buộc 24 2.2 Phương pháp tổng trọng số 25 2.3 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu 26 2.3.1 Khái niệm cơ sở 26 2.3.2 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được dành cho bài toán 2 mục tiêu 28 2.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 30 2.4.1 Giới thiệu phương tổng trọng số chấp nhận được 30 2.4.2 Các khái niệm cơ sở 32 2.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu 34 2.5 Thuật toán di truyền tối ưu nhiều mục tiêu 40 2.5.1 Giới thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm) 40 2.5.2 Thuật toán di truyền 40 2.6 Thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu 46 2.6.1 Thuật toán MOGA (Multi-Objective Genetic Algorithm) 46 2.6.2 Nghiệm ưu việt ( Elite) 48 Trang 2 2.6.3 Tập lưu trữ nghiệm ưu việt (External) 49 2.6.3.1 Thuật toán SPEA 49 2.6.3.2 Thuật toán SPEA2 50 2.6.3.3 Thuật toán NSGA (Nondominated Sorting Genetic Algorithm ) 53 2.6.3.4 Thuật toán NSGA-II 55 2.6.4 Khoảng cách quy tụ 56 2.6.5 Thuật toán tính khoảng cách quy tụ 58 2.7 So sánh ưu điểm và khuyết điểm của các thuật toán di truyền đa mục tiêu 59 2.8. Giải bài toán với thuật toán SPEA2 60 2.9 Tính toán số 63 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU GIẢI BÀI TOÁN QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ 3.1 Mô hình quản lý danh mục đầu tư 66 3.1.1 Giới thiệu danh mục đầu tư 66 3.1.2 Mô hình toán học 67 3.2 Quản lý tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch cố định 77 3.2.1 Giới thiệu mô hình 77 3.2.2 Mô hình toán học 78 3.2.3 Thuật toán di truyền dựa trên thuật toán NSGA-II 80 3.2.4 Thuật toán GA dựa trên NSGA-II và Genocop 82 3.3 Quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi 86 3.3.1 Giới thiệu quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi 86 3.3.2 Quản lý danh mục đầu tư nhiều mục tiêu 87 3.3.3 Áp dụng thuật toán di truyền vào bài toán quản lý danh mục đầu tư 90 3.3.4 Chiến lược tiến hóa 92 Kết luận 96 Tài liệu tham khảo 98 Trang 3 Danh mục các ký hiệu f = (f1(x),f2(x)) : Vector hàm mục tiêu. x = (x1,…,xn) : Vector biến quyết định ni : Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i li : Chiều dài của đoạn thứ i. ݈௔௩௚ : Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước C : Hệ số nhân. P1, P2 : Điểm cuối của đoạn. ߜ௜ : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón ܴ ା ொ ∆xଵ, ∆xଶ : Kích thước của lưới f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p p : Vector các tham số cố định g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p ߣ,ݓ : Vector trọng số ݂௜̅ : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa ݂௎ : Điểm utopia ݂ே : Điểm nadir ݂௜∗ : Điểm anchor thứ i NE : Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội. NP : Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P. k : Tham số của mật độ tính toán: ݇ = ඥ ாܰ + ௉ܰ nu : Số nghiệm trội hơn nghiệm u Su : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u P0, Pt : Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t Qt : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong Pt Trang 4 Fj : Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=1,…,R ݎ௜ : Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i, ݅ ∈ ܵ. ߤ௜ = ܴ௜ = ܧ(ݎ௜) : Kỳ vọng của ݎ௜. ߪ௜ : Phương sai của ݎ௜ ߪ௜௝ : Hiệp phương sai giữa ݎ௜ ݒà ݎ௝ . ߤ ߳ ܴ : Vector giá trị kỳ vọng của ݎ௜ Γ ∈ ܴ௡୶௡ : Ma trận hiệp phương sai của ߪ௜௝. ܵ,ܹ : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C. ௝ܰ : Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j. ௝݀ : Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j ݌௝ : Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch. ௝ܿ : Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j. ܧ(ݎௐ), ܧ(ܹ) : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư. ܸ(ܹ) : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai . Trang 3 Danh mục các ký hiệu f = (f1(x),f2(x)) : Vector hàm mục tiêu. x = (x1,…,xn) : Vector biến quyết định ni : Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i li : Chiều dài của đoạn thứ i. ݈௔௩௚ : Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước C : Hệ số nhân. P1, P2 : Điểm cuối của đoạn. ߜ௜ : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón ܴ ା ொ ∆xଵ, ∆xଶ : Kích thước của lưới f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p p : Vector các tham số cố định g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p ߣ,ݓ : Vector trọng số ݂௜̅ : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa ݂௎ : Điểm utopia ݂ே : Điểm nadir ݂௜∗ : Điểm anchor thứ i NE : Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội. NP : Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P. k : Tham số của mật độ tính toán: ݇ = ඥ ாܰ + ௉ܰ nu : Số nghiệm trội hơn nghiệm u Su : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u P0, Pt : Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t Qt : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong Pt Trang 4 Fj : Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=1,…,R ݎ௜ : Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i, ݅ ∈ ܵ. ߤ௜ = ܴ௜ = ܧ(ݎ௜) : Kỳ vọng của ݎ௜. ߪ௜ : Phương sai của ݎ௜ ߪ௜௝ : Hiệp phương sai giữa ݎ௜ ݒà ݎ௝ . ߤ ߳ ܴ : Vector giá trị kỳ vọng của ݎ௜ Γ ∈ ܴ௡୶௡ : Ma trận hiệp phương sai của ߪ௜௝. ܵ,ܹ : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C. ௝ܰ : Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j. ௝݀ : Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j ݌௝ : Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch. ௝ܿ : Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j. ܧ(ݎௐ), ܧ(ܹ) : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư. ܸ(ܹ) : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai . Trang 5 MỞ ĐẦU Trong cuộc sống, một cá nhân, hay một tổ chức thường bị đặt vào tình huống phải lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết một vấn đề nào đó. Khi ấy chúng ta phải tiến hành thu thập, phân tích và chọn lựa thông tin nhằm tìm ra một giải pháp tốt nhất để hành động. Các phương án đề xuất ấy có thể giải quyết một hay nhiều vấn đề cùng một lúc tùy thuộc vào tình huống và yêu cầu đặt ra của chúng ta. Trong toán học có rất nhiều lý thuyết cơ sở làm nền tảng giúp tìm ra một phương án tối ưu để giải quyết vấn đề như: lý thuyết thống kê, lý thuyết quyết định, lý thuyết tối ưu, vận trù học,… Do tính ưu việt và hiệu quả, tối ưu hóa nhiều mục tiêu là một trong những lý thuyết toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực như: kỹ thuật công nghệ, hàng không, thiết kế, tài chính,… Tối ưu hóa nhiều mục tiêu có nghĩa là tìm phương án tốt nhất theo một nghĩa nhất định nào đó để đạt được (cực đại hay cực tiểu) nhiều mục tiêu cùng một lúc và một phương án như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng. Trong một bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu xung đột với nhau nên việc cố gắng làm “tăng” giá trị cực đại hay cực tiểu một mục tiêu có thể sẽ làm “giảm” gía trị cực đại hay cực tiểu của các mục tiêu khác nên việc tồn tại phương án lý tưởng là rất hiếm. Vì vậy cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn tất cả các yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi là phương án thỏa hiệp của các hàm mục tiêu. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau đề cập đến phương án/nghiệm tối ưu như: Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker,…Các định nghĩa này thường có sự tương quan với nhau và chúng được biểu hiện cụ thể thông qua các định lý, mệnh đề và tính chất. Như chúng ta đã biết một trong những cơ sở để định nghĩa về nghiệm tối ưu là quan hệ thứ tự trong không gian nhất là quan hệ hai ngôi. Chương I trong luận văn này sẽ trình bày những khái niệm và các vấn đề liên quan đến quan hệ thứ tự hai ngôi trong không gian, tập hợp. Đồng thời phát biểu các dạng của bài toán tối ưu nhiều mục tiêu và giới thiệu một số khái niệm về nghiệm tối ưu, nghiệm tối ưu chặt, yếu, nghiệm tối ưu chính thường theo định nghĩa Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker và một số định lý để cho thấy mối liên hệ giữa chúng. Trang 6 Chương II là chương giới thiệu các phương pháp mới để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bên cạnh các phương pháp thông dụng như phương pháp ràng buộc, phương pháp tổng trọng số chúng tôi sẽ trình bày một lớp các phương pháp và thuật giải chính như sau: Một là: Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán hai và nhiều mục tiêu. Mục đích chính của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trên biên Pareto bằng cách thay đổi một cách hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vào việc lựa chọn các trọng số và chỉ định các ràng buộc bất đẳng thức bổ sung. Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm được nghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non-Pareto. Hai là: Dùng ý tưởng từ thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bao gồm cách thuật toán chính yếu: MOGA, SPEA2, NSGA-II. Cách thức tìm nghiệm của các thuật toán này là từ các nghiệm được khởi tạo một cách ngẫu nhiên ban đầu qua đó thuật toán sẽ tìm nghiệm tối ưu Pareto thông qua việc tìm biên Pareto xấp xỉ của bài toán. Ngoài ra chương II cũng minh họa thêm hình ảnh và tính toán số trong Matlab để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bằng hai thuật toán SPEA2, NSGA-II. Chương III sẽ trình bày nội dung ứng dụng thực tế của các thuật giải di truyền nhằm giải quyết một dạng bài toán thực tiễn đó là bài toán lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu nhiều mục tiêu với hai mô hình: Mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí cố định và mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí biến đổi. Trang 7 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian. Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết hợp hai phần tử bất kỳ trong cùng một tập hợp hoặc với các phần tử của tập hợp khác. Quan hệ hai ngôi được sử dụng trong nhiều nhánh khác nhau của toán học như trong số học ta có các quan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng… Trong hình học ta có các quan hệ: đồng dạng, đối xứng, song song,… Trong lý thuyết đồ thị ta có các quan hệ: kề nhau, liên thông,...Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học máy tính, nhất là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ: một – nhiều, nhiều – nhiều. Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý nghĩa rất quan trọng trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu. Thông qua các khái niệm này ta lựa chọn nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài toán. 1.2 Các định nghĩa Xuất phát từ khái niệm tích Đề-cát của hai tập hợp là một tập hợp các cặp có thứ tự của hai tập hợp A, B bất kỳ. ܣݔܤ = { (ܽ,ܾ)| ܽ ∈ ܣ ; ܾ ∈ ܤ } Một cách tổng quát, một quan hệ n ngôi là một tập hợp bất kỳ của các bộ n-thứ tự từ n tập hợp. Chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất là quan hệ hai ngôi trên một tập hợp. Điều này có nghĩa là tập hợp của các cặp có thứ tự, ứng với các phần tử của mỗi cặp là thuộc cùng một tập hợp A. Định nghĩa 1: Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập hợp con R của ܣ ݔ ܣ. Ta gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi. Ký hiệu: aRb hoặc R(a,b) hoặc (a,b) ∈ R gọi là "a R-quan hệ b" Ví dụ 1.2: xét tập hợp S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} thì quan hệ “ < ” tập hợp của các cặp có thứ tự: {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (6, 8), (7, 8)} Trang 8 Quan hệ hai ngôi R tương ứng với hàm đặc trưng ோܲ:ܣ × ܤ → {ࢀ࢛࢘ࢋ,ࡲࢇ࢒࢙ࢋ} Định nghĩa 2: Quan hệ ngược là một quan hệ 2 ngôi R:AxB được xác định bởi: ܴିଵ ∶≡ {(ܾ,ܽ)|(ܽ,ܾ) ܴ}. Ví dụ 1: ܽ} = >. Ví dụ 2: Nếu xét quan hệ R: “Người” x “ăn” được định nghĩa bởi: a R b  a ăn b, b R−1 a  b thì được ăn bởi a Định nghĩa 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là: i. Phản xạ nếu (a, a) ∈ R, ∀ܽ ∈ ܣ ( hoặc là ܽ  ܣ (ܴܽܽ) ) Ví dụ 3: Các quan hệ =, `có cùng tính chất toán học’,  =,,, … là phản xạ ii. Phi phản xạ nếu (ܽ,ܽ) ∉ ܴ, ∀ܽ ∈ ܣ hoặc là ܽܣ ( ܴܽܽ ) Ví dụ 4: Quan hệ , ‘có tính chất toán học khác nhau’,  là phi phản xạ. iii. Đối xứng nếu ∀ܽ,ܾ ∈ ܣ sao cho (ܽ, ܾ) ∈ ܴ ⟹ (ܾ,ܽ) ∈ ܴ Ví dụ 5: Quan hệ “ = ” là đối xứng. iv. Phản xứng nếu ∀ܽ,ܾ ∈ ܣ sao cho (ܽ,ܾ) ∈ ܴ ⟹ (ܾ,ܽ) ∉ ܴ Ví dụ 6: Quan hệ “ < ” là phản xứng. v. Phi đối xứng nếu ∀ܽ,ܾ ∈ ܣ sao cho (ܽ,ܾ) ∈ ܴ ݒà (ܾ, ܽ) ∈ ܴ ⟹ ܽ = ܾ Ví dụ 7: các quan hệ , ,  là Phi đối xứng vi. Bắc cầu nếu ∀ܽ,ܾ, ܿ ∈ ܣ sao cho (ܽ, ܾ) ∈ ܴ ݒà (ܾ, ܿ) ∈ ܴ ⟹ (ܽ, ܿ) ∈ ܴ Ví dụ 8: Quan hệ “ ≥, , = “ là bắc cầu. vii. Phủ định bắc cầu nếu ∀ܽ, ܾ, ܿ ∈ ܣ sao cho (ܽ,ܾ) ∉ ܴ ݒà (ܾ, ܿ) ∉ ܴ ⟹ (ܽ, ܿ) ∉ ܴ Ví dụ 9: Nếu “ chó sói ăn cừu ” và “ cừu ăn cỏ ” nhưng “ sói không ăn cỏ ” thì quan hệ “ ăn ” là phủ định và bắc cầu viii. Phản bắc cầu nếu: ∀ܽ, ܾ, ܿ ∶ ܴܾܽ ⋀ܾܴܿ ⟹ ¬ܴܽܿ Trang 9 Ví dụ 10: Nếu “ A quen B “ và “ B quen C “ nhưng “ A chưa chắc quen C “ thì quan hệ “quen” là phản bắc cầu ix. Liên hợp nếu ∀ܽ, ܾ ∈ ܣ sao cho ܽ ≠ ܾ ⟹ (ܽ, ܾ) ∈ ܴ hoặc (ܾ, ܽ) ∈ ܴ Ví dụ 11: cho A = là tập các số chẳn. thì quan hệ chia hết là liên hợp. x. Liên hợp mạnh nếu ∀ܽ, ܾ ∈ ܣ ⟹ (ܽ,ܾ) ∈ ܴ hoặc (ܾ,ܽ) ∈ ܴ Ví dụ 12 : Cho A = N. Thì quan hệ >, <,…là liên hợp mạnh. Định lý 4: R là đối xứng khi và chỉ khi R = R−1, Chứng minh:  Giả sử R là đối xứng. Thì: (x,y)  R  (y,x)  R  (x,y)  R−1  Giả sử R = R−1 Thì: (x,y)  R  (x,y)  R−1  (y,x)  R Định nghĩa 5: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó: i. R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. ii. R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu. Ví dụ 13: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod… Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập tiền thứ tự. Để tiện ta thay đổi quan hệ R là ≼ . Do đó ta quy ước viết: ܽ ≼ ܾ thay cho (a, b) ∈ ≼ ܽ ⋠ ܾ thay cho (a, b) ∉ ≼ với bất kỳ một quan hệ ≼ là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ khác mà ta định nghĩa chúng như sau: ݔ ≺ ݕ ⟺ ݔ ≺ ݕ ݒà ݕ ≰ ݔ (1.9) ݔ ~ ݕ ⟺ ݔ ≼ ݕ ݒà ݕ ≼ ݔ (1.10) Mệnh đề 6: Cho ≼ là một tiền thứ tự trên tập A. Khi đó:  Quan hệ ≺ định nghĩa trong (1.9) là phi phản xạ và bắc cầu.  Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.10) là quan hệ tương đương. Trang 10 Mệnh đề 7:  Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ.  Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng. Định nghĩa 8: Một quan hệ hai ngôi ≼ trên A là:  Tiền thứ tự tổng quát nếu ≼ là phản xạ, bắc cầu và liên hợp.  Thứ tự tổng quát nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng. Như quan hệ ≤ đối với số nguyên là thứ tự tổng quát.  Thứ tự yếu chặt nếu ≼ là phản xứng và phủ định bắc cầu. Mệnh đề 9: Nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ ≺là thứ tự yếu chặt. Nếu ≺ là thứ tự yếu chặt trên A, khi đó ≼ định nghĩa bởi: ݔ ≼ ݕ ⟺ ݔ ≺ ݕ hoặc (ݔ ⊀ ݕ và ݕ ⊀ ݔ ) (1.11) là tiền thứ tự tổng. Định nghĩa 10: Quan hệ hai ngôi ≼ được gọi là thứ tự từng phần nếu là phản xạ, bắc cầu và phi đối xứng. Định nghĩa 11: Quan hệ hai ngôi ≼ được gọi là thứ tự từng phần chặt nếu ≼ là phản xứng và bắc cầu ( hoặc ≼ là phi phản xạ và bắc cầu ) Trong luận văn này chúng ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian Euclid_Rn. Khi đó ta có một số thứ tự trên Rn. Kí hiệu Định nghĩa Tên gọi ݔ ≤ ݕ ݔ < ݕ ݔ ≪ ݕ ݔ ≤௅௘௫ ݕ ݔ ≤ெ௢ ݕ Nếu ݔ௜ ≤ ݕ௜ với i= 1,..,n Nếu ݔ௜ ≤ ݕ௜ với i= 1,..,n; ݔ ≠ ݕ Nếu ݔ௜ < ݕ௜ với i= 1,..,n Nếu ݔ௞ < ݕ௞ hoặc x = y Nếu max௜ୀଵ,…,௡{ݔ௜} ≤ max௜ୀଵ,…,௡{ݕ௜} Thứ tự từng phần yếu Thứ tự từng phần Thứ tự từng phần chặt Thứ tự tự điển Max_thứ tự. Trang 11 Định nghĩa 12: Một tập con ܭ ⊆ ܴ௡ được gọi là nón nếu: ߣݔ ∈ ܭ với mọi ݔ ∈ ܭ và ߣ ∈ ܴ, ߣ > 0 Ví dụ 14: K = ܴାଶ = {ݔ ∈ ܴଶ | ݔ௜ ≥ 0, ݅ = 1,2} là nón. Định nghĩa 13: Nón k trong Rn gọi là:  Không tầm thường nếu ܭ ≠ ∅ và ܭ ≠ ܴ௡  Lồi nếu ߙݔଵ + (1− ߙݔଶ) ∈ ܭ với mọi ݔଵ,ݔଶ ∈ ܭ và 0 < ߙ < 1  Nhọn nếu ܭ ∩ (−݇) ⊂ {0} Mệnh đề 14: Cho một quan hệ thứ tự ≼ trên ܴ௡, ta định nghĩa tập: ܭ≼ = { ݕ − ݔ | ݔ ≼ ݕ} Khi đó ܭ≼ là nón. Chứng minh: Cho ݑ ∈ ܭ≼ khi đó: u = y – x với ݔ,ݕ ∈ ܴ௡ ⟹ ݔ ≼ ݕ ⟹ ߣݔ ≼ ߣݕ với ߣ > 0 Do đó: ߣݑ = ߣ(ݔ − ݕ) = ߣݔ − ߣݕ ∈ ܭ≼ với ߣ > 0 Định lý 15: Cho ≼ một quan hệ 2 ngôi trên ܴ௡ là phép nhân vô hướng. Khi đó: i. 0 ∈ ܭ≼ nếu ≼ là Phản xạ ii. ܭ≼ lồi nếu ≼ là Bắc cầu iii. ܭ≼ nhọn nếu ≼ là Phi đối xứng Chứng minh: (i): Giả sử quan hệ: ≼ là Phản xạ Khi đó: ݔ ≼ ݕ với ݔ ∈ ܴ௡ ⟹ ݔ − ݔ = 0 ∈ ܭ≼ (ii): Giả sử quan hệ ≼ là Bắc cầu và Cho ݑ, ݒ ∈ ܭ≼ Nên: ݑ − 0 ∈ ܭ≼ và 0 − ݒ ∈ −ܭ≼ Điều này có nghĩa là: 0 ≼ ݑ và −ݒ ≼ 0 .Mà ≼ là Bắc cầu ⟹−ݒ ≼ ݑ Do đó: ݑ − ݒ = ݑ + ݒ ∈ ܭ tức là K lồi (iii): Giả sử ta có 0 ≠ ݑ ∈ ܭ≼ . Thì ݑ = ݕ − ݔ ∈ ܭ≼ và –ݑ = ݔ − ݕ ∈ ܭ≼ với ݔ,ݕ ∈ ܴ௡ Do 0 ≠ ݑ nên ݔ ≼ ݕ và ݕ ≼ ݔ nhưng ݔ ≠ ݕ. Điều này vô lý. Trang 12 Định nghĩa 16: Cho K là nón. Ta định nghĩa thứ tự theo nón ≼௄ là: ݔ ≼௄ ݕ ⟺ ݕ − ݔ ∈ ܭ (1.12) Mệnh đề 17: Cho K là nón và thứ tự theo nón ≼௄ trong (1.12) là phép nhân vô hướng và cộng trong Rn. Hơn nữa: 1. ≼௄ là phản xạ nếu 0 ∈ ܭ 2. ≼௄ là bắc cầu nếu K lồi 3. ≼௄ là phi đối xứng nếu K nhọn Chứng minh: Cho ݔ, ݕ, ݖ ∈ ܴ௡ và 0 < ߣ ∈ ܴ với ݔ ≼௄ ݕ Ta có: ݕ − ݔ ∈ ܭ Do K là nón nên: ߣ(ݔ − ݕ) ∈ ܭ ஽௘௙ሳልሰ ߣݔ ≼௄ ߣݕ Và ݔ ≼௄ ݕ nghĩa là: ݕ − ݔ = (ݖ + ݕ)− (ݔ + ݖ) Do đó: (ݖ+ ݕ) ≼௄ (ݔ + ݖ) (1). Cho ݔ ∈ ܴ௡ . Khi đó ݔ − ݔ = 0 ∈ ܭ ⟺ ݔ ≼௄ ݔ (2). Cho ݔ ≼௄ ݕ và ݕ ≼௄ ݖ khi đó : ݕ − ݔ ∈ ܭ và ݖ − ݕ ∈ ܭ Do K lồi nên: ݕ − ݔ + ݖ − ݕ = ݖ − ݔ ∈ ܭ ஽௘௙ሳልሰ ݔ ≼௄ ݖ (3). Cho ݔ, ݕ ∈ ܴ௡ với ݔ ≼௄ ݕ và ݕ ≼௄ ݔ . Khi đó ta có: ݕ − ݔ ∈ ܭ và ݔ − ݕ ∈ ܭ. ݕ − ݔ ∈ ܭ(−ܭ) = {0}. Do đó: y = x 1.3 Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu: Có rất nhiều lớp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu nhiều mục tiêu. Trong phạm vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dưới dạng sau: ܯ݅݊{ ଵ݂(ݔ), … , ௞݂(ݔ) } (Pଵ) Sao cho: ݔ ∈ ܺ Trong đó:  x là