Luận văn Một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thùy Trang MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Đoàn Hữu Hải, người đã dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tôi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn những ý kiến quý báu của bà Claude Comiti, bà Annie Bessot và cô Vũ Như Thư Hương cho đề cương luận văn được hoàn chỉnh. Xin gửi lời tri ân đến Cô Lê Thị Hoài Châu và các Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Trần Lương Công Khanh, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận tâm và nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic trong những năm đại học cũng như cao học sau này. Xin cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị chuyên viên phòng Khoa học và công nghệ sau đại học đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học và thời gian thực hiện luận văn. Cảm ơn các bạn, các anh chị trong khóa Didactic 18, đã giúp đỡ, cùng nhau chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong thời gian học ở trường. Luận văn không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ, góp ý kiến của Thầy Đậu Văn Duy trường Trưng Vương, Thầy Bùi Đức Tước Hoàn trường Lê Qúi Đôn thành phố Hồ Chí Minh và các em học sinh lớp 11A1, 11A2, 11A3 của hai trường trong phần thực nghiệm luận văn. Cuối cùng, xin dành trọn tấm lòng của người con đối với ba mẹ, những người thân trong gia đình và anh Trần Anh Tuấn, người đã luôn bên cạnh động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập ở thành phố. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HHKG : Hình học không gian HHP : Hình học phẳng HS : Học sinh SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập VTTĐ : Vị trí tương đối MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Kinh nghiệm giảng dạy của tôi và đồng nghiệp thường gặp một số nhận định sai lầm của học sinh khi học HHKG lớp 11: - Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung - Hai đư ờng thẳng không song song ho ặc có điểm chung trên hình vẽ thì cắt nhau - Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại - Hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng phẳng - Hai m ặt phẳng song song thì các đường thẳng chứa trong nó cũng song song Cuốn phương pháp dạy học môn toán có nhận định: “Do đã có một giai đoạn dài học hình học phẳng nên việc quen tư duy theo kiểu hình học phẳng cũng là trở ngại, gây bỡ ngỡ khi học hình học không gian. Hình học không gian gắn liền với hình biểu diễn, nhưng các nguyên tắc vẽ phối cảnh không dễ nắm được ngay và hình biểu diễn không hoàn toàn trực quan như hình học phẳng ” [10, tr.115] Cũng với tinh thần này, Sách Giáo viên hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 viết: “Ở lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn” [17, tr. 42] Những quan sát có được đã gợi ra cho chúng tôi những câu các hỏi sau: - Nguồn gốc những nhận định trên của học sinh cũng như khó khăn mà hai cuốn sách nói đến là gì? - Liệu chúng ta có thể giải thích được những hiện tượng đó không? - Và nếu có thì giải quyết bằng công cụ nào? Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ dám dừng lại ở việc nghiên cứu đối tượng là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong dạy học HHKG ở trường phổ thông bằng phương pháp tổng hợp. Chọn đường thẳng để nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng, xuất phát từ những lý do sau: - Đây là một đối tượng HS đã nghiên cứu kỹ trong HHP và được ti ếp xúc nhiều trong thực tế. Trong HHKG, mối quan hệ hai đường thẳng lại phức tạp hơn nhiều. - Thêm nữa, việc xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng liên quan đến một loạt các kiểu nhiệm vụ khác như: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên bằng việc nghiên cứu chương trình HHKG mà giới hạn là VTTĐ giữa hai đường thẳng. Cụ thể hơn những câu hỏi đó là: 1. VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được các sách và chương trình toán phổ thông xây dựng như thế nào? Các thuộc tính đặc trưng của chúng là gì? Yêu cầu của nó đối với HS? 2. Việc dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông đã xuất hiện những kiểu nhiệm vụ nào? Đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm? 3. Những khó khăn của HS khi tiếp xúc với đối tượng trên là gì? Có thể tìm ra nguyên nhân và giải thích sai lầm được không? 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Những vấn đề gợi ra ở trên liên quan đến việc dạy học hình học không gian ở trường phổ thông Việt nam. Do đó, chúng tôi chọn công cụ là lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân) để tham chiếu. Tìm và giải thích những khó khăn bằng công cụ lý thuyết tình huống với khái niệm sai lầm và chướng ngại. Cuối cùng, để thấy được những ứng xử của học sinh với một dạng bài tập nào đó, chúng tôi sử dụng công cụ hợp đồng didactic. Cụ thể: 3.1. Thuyết nhân học Công cụ cho chúng tôi biết đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày như thế nào trong chương trình. Mối quan hệ của nó với các đối tượng khác (điểm, mặt phẳng) và với việc tiếp thu kiến thức của HS. Khi xuất hiện quan hệ hai chéo nhau giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng song song đã thay đổi, buộc HS phải điều chỉnh mối quan hệ của mình với các đối tượng cho phù hợp. Hơn nữa, đường thẳng có thể sống trong hai thể chế khác nhau (dạy học hình học phẳng và hình học không gian) và do đó nó phải tuân theo sự ràng buộc của thể chế, phải biến đổi phù hợp với yêu cầu của thể chế. Việc tiếp cận các hoạt động toán học theo mô hình tổ chức [ ], , ,T τ θ Θ đã hình thành một hệ thống các kiểu nhiệm vụ xác định. Và chúng tôi muốn tìm hiểu có bao nhiêu kiểu nhiệm vụ liên quan, kiểu nhiệm vụ nào thường gặp, 3.2. Sai lầm và chướng ngại Ngoài những sai lầm mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức thì có những sai lầm của HS khiến chúng ta phải quan tâm vì nó không phải ngẫu nhiên được sinh ra. Những sai lầm này thuộc về kiến thức và là biểu hiện của kiến thức. Nghiên cứu lý thuyết tình huống đã cung cấp cho chúng tôi một công cụ để nghiên cứu sai lầm, khó khăn của HS khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, biết đâu là chướng ngại tránh được và không tránh được. 3.3. Hợp đồng didactic Tìm và giải thích những quy tắc hợp đồng đã hình thành trong SGK. Ứng với một tình huống mới lạ về đường thẳng, HS có tìm cách phá vỡ hợp đồng đã hình thành trước hay không? Phản ứng của các em như thế nào? Trên khung lý thuyết này, các câu hỏi ban đầu được trình bày lại là: ' 1Q : Khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được xây dựng như thế nào trong các tài liệu trước đây? ' 2Q : Trong chương tr ình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm trên được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học có liên quan? ' 3Q : Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng đã ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Những qui tắc hợp đồng nào được hình thành từ cách trình bày này? 4. Phương pháp nghiên cứu Với luận văn này, chúng tôi thực hiện đồng thời các nghiên cứu sau: Để trả lời cho '1Q , chúng tôi nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng, các vấn đề về hình vẽ và qui tắc vẽ hình trong dạy học HHKG. Nghiên cứu thể chế dạy học HHKG ở Việt nam qua việc phân tích chương trình, bộ sách giảng dạy hiện hành gồm SGK, SGV, SBT lớp 8 và lớp 11 để trả lời cho '2Q . Việc nghiên cứu này thực hiện trên khung l ý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu được trình bày ở phần trước. Trên cơ sở đó hình thành gi ả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng, giả thuyết được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm xây dựng ở chương 3. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Nghiên cứu những khó khăn, sai lầm của học sinh khi tiếp thu nội dung dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian là một đề tài thiết yếu. Nó không chỉ cho phép chúng tôi hiểu một cách sâu sắc nội dung chương trình, giải thích cho các khái niệm didactic mà còn mang lại những kinh nghiệm bổ ích cho việc dạy học về sau. 6. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm những phần sau: Mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn và ý nghĩa khoa học của đề tài. Chương 1: Trình bày tóm t ắt những công trình nghiên cứu, các tài liệu liên quan Chương 2: Phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông Việt nam. Cụ thể: VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGK, SGV được trình bày ra sao, hệ thống ký hiệu, quy ước, khái niệm, định nghĩa, các tính chất,Phân tích các tổ chức toán học được xây dựng, tổ chức nào chiếm vị trí quan trọng Trên cơ sở này, chúng tôi sẽ tìm ra những khó khăn, sai lầm của HS có thể mắc phải. Những sai lầm nào có thể giải thích bằng công cụ didactic. Cuối cùng hình thành giả thuyết nghiên cứu. Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệ m trên đối tượng là HS. P hân tích tiên nghiệm các tình huống đã nêu, phân tích hậu nghiệm từ kết quả thu được nhằm kiểm chứng giả thuyết. Kết luận: Tóm tắt, đánh giá các kết quả thu được, hướng nghiên cứu mở ra Tài liệu tham khảo. Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN 1.1. Mục đích của chương Mục đích của chương là tổng hợp các công trình nghiên cứu như: cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng, phép chiếu song song và hình biểu diễn của chúng trong một số giáo trình. Từ đó tạo cơ sở lý luận cho việc phân tích chương 2. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng là: - Giáo trình hình học họa hình (1988), V. O. GÔCĐÔN, M, A. XEMEXNÔP- OGHIEPXKI, NXB Mir Maxcova (Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch) - Elementary mathematics (1978), Translated from Russian by George Yankoisky, Mir publishers Moscow - Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Lê Thị Hoài Châu (2004), Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh. - Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA - Các phép bi ến hình trong mặt phẳng (2004), Nguyễn Mộng Hy, Nxb giáo dục 1.2. Một nghiên cứu về cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian Trong cuốn Elementary mathematics thì: Hai đường thẳng trong không gian có các vị trí tương đối khác nhau. Chúng có thể có một điểm chung. Vì thế chúng hoàn toàn nằm trên cùng một mặt phẳng, để tạo thành một mặt phẳng, có thể vẽ qua ba điểm: điểm A, giao điểm của hai đường thẳng, điểm B và C được lấy tương ứng trên hai đường thẳng n, m. Mặt phẳng sẽ chứa cả hai đường thẳng vì nó có hai điểm chung với mỗi đường. Bây giờ giả sử các đường thẳng không có bất kỳ điểm chung nào. Điều này không có nghĩa là chúng song song, bởi vì sự xác định tính song song qui định rằng các đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng. Để giải quyết câu hỏi các đường thẳng xác định vị trí như thế nào, vẽ mặt phẳngλ qua một trong hai đường, m chẳng hạn, và qua một điểm A tùy ý trên đường thẳng còn lại. Hai trường hợp có thể xảy ra: (1) Mặt phẳngλ tạo thành chứa toàn bộ đường thẳng thứ hai (hình 324). Khi ấy, các đường thẳng m và n thuộc cùng một mặt phẳng và không giao nhau, vì vậy chúng song song (2) Mặt phẳngλ cắt đường thẳng tại điểm A. Khi ấy, hai đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng. Những đường thẳng như vậy gọi là những đường thẳng chéo nhau (hình 325) Tóm lại: có ba trường hợp có thể có về VTTĐ của hai đường thẳng: 1. Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau 2. Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song 3. Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng Như vậy, khái niệm được trình bày thông qua tình huống xây dựng mặt phẳng chứa đường thẳng để khái quát các VTTĐ giữa hai đường thẳng mà không nêu định nghĩa của chúng. Liệu chương trình, SGK phổ thông Việt Nam có đi theo con đường này hay chỉ nêu định nghĩa bằng cách chỉ ra đặc trưng của khái niệm. 1.3. Phép chiếu song song và vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Phần này được viết theo Giáo trình hình học họa hình (1988) Lấy một mặt phẳng (P) làm mặt phẳng hình chiếu. Nếu các đường thẳng chiếu là những đường thẳng song song thì phép chiếu được gọi là phép chiếu song song. Có thể vẽ hình chiếu của một đường bằng cách vẽ hình chiếu của một số điểm của nó. Các đường thẳng chiếu vẽ qua các điểm này sẽ tạo thành một mặt gọi là mặt chiếu. Giao của mặt chiếu với mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu cần vẽ. Để xác định phép chiếu song song trước hết phải chỉ rõ hướng chiếu. Hình chiếu song song của một điểm là giao điểm của đường thẳng chiếu, vẽ song song với hướng đã cho, với mặt phẳng hình chiếu. Muốn có hình chiếu song song của một đường nào đó, ta vẽ hình chiếu của một số điểm của nó rồi nối chúng lại thành một đường. 1.3.1. Những tính chất của phép chiếu song song 1. Mặt chiếu của một đường thẳng trong trường hợp chung là một mặt phẳng 2. Mỗi điểm và mỗi đường trong không gian có một hình chiếu duy nhất 3. Mỗi điểm trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi điểm của đường thẳng chiếu đi qua nó 4. Mỗi đường trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi đường của mặt chiếu đi qua nó HÌNH 78 5. Muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta chỉ cần vẽ hình chiếu hai điểm của nó 6. Nếu một điểm thuộc đường thẳng thì hình chiếu của điểm thuộc hình chiếu của đường thẳng đó 7. Nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của nó là một điểm 8. Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu sẽ được chiếu thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó Từ hình chiếu song song của các điểm và đường ta suy ra cách vẽ hình chiếu song song của các mặt và các vật thể 1.3.2. VTTĐ giữa hai đường thẳng qua phép chiếu song song Đường thẳng song song: “hình chiếu của hai đường thẳng song song thì song song. Nếu các đường thẳng AB và CD song song nhau (hình 78) thì các mặt phẳng chiếu Q và R song song và giao của chúng với mặt phẳng hình chiếu P là các hình chiếu ,p p p pa b c d song song nhau. Nhưng, giả sử //p p p pa b c d (hình 78) thì những đường thẳng nhận chúng làm hình chiếu có thể là không song song nhau: ví dụ đường thẳng AB không song song với 1 1C D ” [26, tr. 46] Đường thẳng cắt nhau: “nếu những đường thẳng cắt nhau thì thì các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại điểm là hình chiếu của giao điểm của những đường thẳng ấy. Thực vậy (hình 82), nếu điểm K thuộc cả hai đường thẳng AB và CD thì hình chiếu của K phải là giao điểm của hình chiếu của AB và CD”. Điều kiện ắt và đủ để khẳng định các đường thẳng cắt nhau là: “giao điểm của các hình chiếu cùng tên cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu tương ứng (hình 83), hay trên đồ thức không có trục chiếu (hình 84), cùng nằm trên một đường gióng”. [26, tr. 47] Đường thẳng chéo nhau: “là những đường thẳng không cắt nhau và không song song nhau. Hình 86 biểu diễn hai đường thẳng chéo nhau mặc dù các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau nhưng các giao điểm không thể nối được bằng một đường song song với các đường gióng l’l và m’m tức là những đường thẳng ấy không cắt nhau”. [26, tr. 48] 1.4. Những vấn đề đặt ra về hình vẽ Phần này đươc viết theo bài báo: Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA 1.4.1. Vấn đề biểu thị đối tượng không gian Xét hình vẽ là mô hình của một đối tượng HHKG. Mô hình này gồm tập hợp các tính chất hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ (lĩnh vực hoạt động) và tập hợp các tính chất không gian của hình vẽ không thể giải thích được cũng như phản ánh vào các tính chất của đối tượng (lĩnh vực giải thích). Các đối tượng hình học không gian vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy hai chiều thông qua một hay nhiều phép chiếu. Trong trường hợp chỉ có một phép chiếu thì thông tin sẽ bị thất thoát. Do đó, cần phải vận dụng một số qui tắc để đọc-hiểu và viết ra các sự thể hiện đó, như Bkouche đã nói: “Một tình huống không gian xuất hiện qua sự thể hiện, và sự thể hiện này biến tình huống đó thành một hình phẳng, do vậy cần có qui tắc để giải thích, qui tắc viết và qui tắc đọcTrong điều kiện này, việc tiếp cận tình huống không gian thông qua trung gian sự thể hiện phẳng không còn dựa vào sự hiển nhiên nữa như trong trường hợp hình học phẳng... Vì thế cần hoàn chỉnh phương pháp suy luận phức tạp hơn”. Do vậy, vấn đề hình vẽ trong hình học không gian, trong quá trình dạy học bị lệ thuộc vào sự lựa chọn phương thức thể hiện đối tượng không gian. Giữa nhiều cách thể hiện phẳng đối tượng không gian thì phối cảnh song song cho phép “giữ lại” các tính chất (song song, trung điểm, quan hệ đo đạc các đoạn thẳng song song) nhiều nhất. Trong hoạt động liên hệ giữa một đối tượng hình học không gian và hình vẽ thể hiện nó có sự can thiệp của một đối tượng khác: đó là đối tượng hình học phẳng chiếu trên một mặt phẳng của đối tượng hình học không gian. Sơ đồ sau cho thấy tính chất phức tạp của các quan hệ được thiết lập trong việc mô hình hóa Hình vẽ Mô hình đối tượng hình học Đối tượng hình học phẳng Đối tượng hình học không gian Không gian vật lý Mô hình hình học Kết hợp một đối tượng HHP với một đối tượng HHKG nhờ một phép chiếu lên mặt phẳng và hình vẽ như là sự biểu diễn vật liệu của phép chiếu này. 1.4.2. Đường thẳng qua bước chuyển từ đối tượng hình học sang hình vẽ Bước chuyển từ đối tượng hình học không gian sang hình vẽ thể hiện nó được thực hiện thông qua việc thể hiện một số tính chất hình học của đối tượng thành các quan hệ không gian trên hình vẽ. Chức năng này tương đương với giai đoạn chủ thể thực hiện một hình vẽ nhằm thể hiện dữ kiện bài toán, tùy thuộc vào lĩnh vực vận hành của hình vẽ - mô hình đối tượng hình học. Tính chất hình học của hình không gian Phép chiếu Tính chất hình học của hình phẳng Tính chất không gian của hình vẽ Hai đường thẳng song song, hoặc cắt nhau của hình không gian qua phép chiếu trở thành hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau và trong không gian của hình vẽ, chúng là hai đoạn thẳng song song hoặc cắt nhau. Như vậy, nếu dừng lại ở phối cảnh ước lệ thì lĩnh vực vận hành của hình vẽ sẽ rất hạn chế. 1.4.3. Đường thẳng qua bước chuyển từ hình vẽ sang đối tượng hình học Chúng ta biết rằng hình vẽ không thể bao quát hết tình huống. Tuy nhiên, nếu sử dụng hình vẽ như mảnh đất thực nghiệm khi giải bài toán thì vấn đề giải thích các tính chất không gian như là các tính chất hình học sẽ được đặt ra. Hình không gian Đối tượng vật chất Hình vẽ Các hình phẳng Trong HHKG, phạm vi giải thích của một hình vẽ là rất hẹp và nó hoạt động theo một logic khác với logic được dùng để giải thích một hình vẽ của hình học phẳng. Thật vậy, khi xem xét các qui tắc của phép phối cảnh, chúng tôi ghi nhận: - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt nhau thì các đường thẳng không song song - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà song song thì các đường thẳng có thể không song song. - Nếu ba điểm biểu diễn ba điểm A, B và C của không gian không thẳng hàng trên hình vẽ thì các điểm A, B và C không thẳng hàng 1.5. Một số khái niệm liên quan Đồ thức: Bản vẽ có được bằng cách gập mặt phẳng hình chiếu bằng H vào mặt phẳng hình chiếu đứng V như từ hình 10 sang 12 gọi là đồ thức hay là bản vẽ trong hệ thống V, H . Khi đó, các hình chiếu 'a và a sẽ cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đ