Luận văn Một số tính chất của đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Một số tính chất của đa thức 0Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 14 2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 57 2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 57 2.2 Một số bài toán về khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . 72 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 82 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1Lời nói đầu Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh) khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P ′(x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm) F1(x) = x∫ x1 P (t)dt (1) có đủ k + 1 nghiệm thực? Tương tự, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một nguyên hàm cấp s (s > 1) (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng Fs(x) = x∫ xs Fs−1(x)dt (2) có đủ k + s nghiệm thực? 2Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán "nắn lại" đồ thị của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được thoả mãn. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo, tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18 1.19 ). Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có dạng đặc biệt và đưa ra cách"nắn lại" đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1, 2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tâm và nghiêm khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư - người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Đại học và Sau Đại học, các anh chị, bạn bè lớp cao học Toán K8-Đại học Quy Nhơn và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này. 3Hệ thống các ký hiệu sử dụng trong luận văn - deg f(x) là bậc của đa thức f(x). - F0(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0, tức là F0(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0. - Fc(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c, tức là Fc(x) = F0(x) + c với c ∈ R. - F0,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0, tức là F0,k(x) thoả mãn điều kiện F0,k(0) = 0. - Fc,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c, tức là Fc,k(x) = F0,k(x) + c với c ∈ R. - Hn là tập hợp đa thức với hệ số thực Pn(x) bậc n (n > 0) với hệ số tự do bằng 1 (Pn(0) = 1) và có các nghiệm đều thực. - Mk(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). - R[x] là tập hợp đa thức với hệ số thực. - sign a là dấu của số thực a, tức là sign a :=  + khi a > 0 0 khi a = 0 − khi a < 0. 4Chương 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức Định nghĩa 1.1. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng Pn(x) = anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0, trong đó các hệ số an, an−1, . . . , a0 là những số thực (hoặc phức) và an 6= 0, n ∈ N. Ta kí hiệu i. Bậc của đa thức Pn(x) là degPn(x). Do vậy degPn(x) = n. ii. an - hệ số bậc cao nhất (chính) của đa thức. Chú ý 1.1. Trong luận văn này ta chỉ xét các đa thức Pn(x) với các hệ số của nó đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Ký hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là R[x]. Định nghĩa 1.2. Cho đa thức Pn(x) = anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 (an 6= 0), số α ∈ C được gọi là nghiệm của đa thức Pn(x) nếu Pn(α) = 0. 5Nếu tồn tại k ∈ N, k > 1, sao cho Pn(x)...(x − α)k nhưng Pn(x) không chia hết cho (x− α)k+1 thì α được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x). Đặc biệt, khi k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là nghiệm kép. Chú ý 1.2. Nghiệm của đa thức thực còn được gọi là không điểm của đa thức đó. Định lý 1.1 (Gauss). Mọi đa thức bậc n > 1 trên trường C đều có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó. Bổ đề 1.1. Các nghiệm phức thực sự (khác thực) của đa thức thực Pn(x) xuất hiện theo từng cặp nghiệm liên hợp. Chứng minh. Thật vậy, nếu a ∈ C là nghiệm của phương trình Pn(x) = 0 thì Pn(a) = 0. Khi đó ta có 0 = Pn(a) = Pn(a). Suy ra a cũng là nghiệm của phương trình Pn(x) = 0.  Định lý 1.2. Mọi đa thức f(x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số chính an 6= 0, đều có thể phân tích thành nhân tử dạng f(x) = an m∏ j=1 (x− di) s∏ k=1 (x2 + bkx + ck) với di, bk, ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0,m, n ∈ N∗. Hệ quả 1.1. (1) Số nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực (nếu có) luôn luôn là số chẵn. (2) Nếu đa thức f(x) với hệ số thực chỉ có nghiệm phức thì f(x) là một đa thức bậc chẵn. (3) Nếu đa thức bậc n có k nghiệm thực k 6 n thì n và k cùng tính chẵn lẻ. (4) Đa thức bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực. Định lý 1.3. Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực. Định lý 1.4 (Tính chất hàm của đa thức). Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] đều xác định và liên tục trên R. 6Ngoài ra, khi Pn(x) = anx n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, an 6= 0, và x → +∞ thì P (x) → sign (an)∞. Khi x →−∞ thì P (x) → (−1)n sign (an)∞. Tiếp theo, ta nhắc lại định lý Rolle quen biết trong chương trình toán bậc phổ thông. Định lý 1.5 (Định lý Rolle). Giả sử hàm số f : [a, b] → R liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = 0. Khi f(x) là hàm đa thức, trong trường hợp đặc biệt, nếu a = b, ta phát biểu định lý Rolle dưới dạng bổ đề sau đây. Bổ đề 1.2. Nếu x0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N, s > 1) của đa thức P (x) ∈ R[x] thì x0 cũng là nghiệm bội bậc s− 1 của đa thức P ′(x). Chứng minh. Thật vậy, x0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N, s > 1) của đa thức P (x) thì P (x) viết được dưới dạng P (x) = (x− x0)sQ(x), Q(x0) 6= 0. Suy ra P ′(x) = s(x− x0)s−1Q(x) + (x− x0)sQ′(x) = (x− x0)s−1 [ sQ(x) + (x− x0)Q′(x) ] . Vì Q(x0) 6= 0 nên x0 không là nghiệm của đa thức sQ(x) + (x− x0)Q′(x). Vậy x0 là nghiệm bội bậc s− 1 của đa thức P ′(x).  Từ định lý Rolle, ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau đối với đa thức. Định lý 1.6. Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P ′(x) có ít nhất k − 1 nghiệm thực. Hệ quả 1.2. Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực thì đa thức P ′(x) cũng có các nghiệm đều thực. 7Từ bổ đề 1.2, ta có phát biểu bài toán ngược dưới dạng định lý sau đây. Định lý 1.7. Nếu x0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N, s > 1) của đa thức f(x) ∈ R[x] và x0 cũng là nghiệm của nguyên hàm F (x) của f(x) thì x0 là nghiệm bội bậc s+ 1 của đa thức nguyên hàm F (x). Chứng minh. Vì x0 là nghiệm bội bậc s của f(x) nên f(x) có dạng f(x) = (x− x0)sg(x), g(x0) 6= 0. Giả sử F (x) = (x− x0)kh(x), h(x0) 6= 0. Khi đó F ′(x) = (x− x0)k−1[k.h(x) + (x− x0)h′(x)]. Tại x = x0 thì k.h(x) + (x − x0)h′(x) 6= 0. Suy ra F ′(x) chứa nhân tử (x − x0) bậc k − 1 nhưng f(x) ≡ F ′(x) nên k − 1 = s hay k = s + 1. Vậy F (x) nhận x0 là nghiệm bội bậc s + 1. Tiếp theo, ta chuyển sang xét quy tắc dấu Descartes. Xét dãy số thực a0, a1, a2, . . .. Định nghĩa 1.3. Chỉ số m (m ∈ N,m > 1) được gọi là vị trí (chỗ) đổi dấu của dãy nếu có am−1am < 0 hoặc là am−1 = am−2 = · · · = am−(k−1) = 0 trong đó am−kam k > 2). Trong trường hợp thứ nhất thì am−1 và am, còn trong trường hợp thứ 2 thì am−k và am lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) của một dãy nào đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại vẫn bảo toàn vị trí tương đối của chúng. Định nghĩa 1.4. Ta coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức P (x) = anx n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hệ số tuỳ ý an, an−1, . . . , a1, a0. 8Ta có các tính chất sau đây. Tính chất 1.1. Các dãy a0, a1, a2, . . . , an và an, an−1, . . . , a0 có cùng một số lần đổi dấu. Tính chất 1.2. Khi gạch bỏ các số hạng của dãy, số lần đổi dấu không tăng lên. Tính chất 1.3. Khi đặt vào giữa các số hạng của dãy một số lượng tuỳ ý các số hạng bằng 0, số vị trí đổi dấu của dãy cũng không thay đổi. Tính chất 1.4. Số vị trí đổi dấu sẽ không thay đổi nếu bên cạnh một số hạng nào đó của dãy ta đặt một số hạng mới có cùng dấu với số hạng đó. Tính chất 1.5. Nếu p0 > 0, p1 > 0, p2 > 0, . . . thì các dãy a0, a1, a2, . . . và a0p0, a1p1, a2p2, . . . có cùng những vị trí đổi dấu. Tính chất 1.6. Dãy a0, a1 + a0, a2 + a1, . . . , an + an−1, an có số vị trí đổi dấu không lớn hơn so với số vị trí đổi dấu của dãy a0, a1, a2, . . . , an. Tính chất 1.7 (Quy tắc dấu Descartes). Giả sử N là số không điểm dương của đa thức f(x) = a0 + a1x+ a2x 2 + · · ·+ anxn và W là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số của nó. Ta có W > N và W −N là một số chẵn. Tính chất 1.8. Cho đa thức f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anxn (an 6= 0) có các nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số a0, a1, . . . , an và N là số không điểm dương của đa thức f(x) thì W = N. 1.2 Các định lý dạng Viète Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các đa thức có các nghiệm đều thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm. Ta đã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong chương trình toán của bậc phổ thông. 9Định lý 1.8 (Định lý Viète ). Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0, có các nghiệm thực x1, x2 thì  x1 + x2 = − b a x1x2 = c a Tương tự, ta có định lý Viète trong trường hợp tổng quát đối với đa thức thực bậc n. Định lý 1.9 (Định lý Viète ). Nếu đa thức f(x) = a0x n − a1xn−1 + · · ·+ (−1)nan ∈ R[x], a0 6= 0 có các nghiệm thực là x1, x2, . . . , xn thì a1 a0 = x1 + · · ·+ xn = E1(x¯) a2 a0 = x1x2 + x1x3 + · · ·+ xn−1xn = E2(x¯) . . . an a0 = x1x2 · · · xn = En(x¯) Khi đó, các hàm E1(x¯), E2(x¯), . . . , En(x¯) được gọi là hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp Viète bậc 1, 2, . . . , n, tương ứng của bộ gồm n số thực x¯ = {x1, x2, . . . , xn} (n ∈ N∗). Đặc biệt, nếu đa thức f(x) có hệ số cao nhất là 1 (hay a0 = 1) thì a1 = x1 + · · ·+ xn a2 = x1x2 + x1x3 + · · ·+ xn−1xn . . . an = x1x2 · · · xn Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm của đa thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó. Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa thức. Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực. Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp. 10 Bổ đề 1.3 (Định lý dạng Viète đối với tam thức bậc hai). Tam thức bậc hai với hệ số thực f(x) = 3x2 − 2bx + c có nghiệm thực khi và chỉ khi các hệ số b, c có dạng b = α + β + γc = αβ + βγ + γα. (1.1) trong đó α, β, γ ∈ R. Chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử tam thức bậc hai f(x) = 3x2 − 2bx + c có các hệ số b, c thoả mãn điều kiện (1.1), ta có ∆′ = (−b)2 − 3c = (α + β + γ)2 − 3(αβ + βγ + γα) = α2 + β2 + γ2 − (αβ + βγ + γα) = 1 2 (α− β)2 + 1 2 (β − γ)2 + 1 2 (γ − α)2 > 0. Suy ra tam thức bậc hai f(x) = 3x2 − 2bx + c có hai nghiệm thực. Điều kiện cần. Giả sử tam thức bậc hai f(x) = 3x2− 2bx+ c có hai nghiệm thực. Ta xét các trường hợp sau đây. (i). Nếu đa thức f(x) có nghiệm kép là x = x0 thì f(x) = 3(x− x0)2. Khi đó nguyên hàm F (x) = (x− x0)3 nhận x = x0 là nghiệm bội bậc 3. (ii). Nếu đa thức f(x) có hai nghiệm phân biệt là x = x1, x = x2 (x1 < x2) hay f(x) = 3(x− x1)(x− x2) thì ta chọn nguyên hàm F (x) thoả mãn điều kiện F (x1 + x2 2 ) = 0. Khi đó, hàm F (x) đạt cực đại và cực tiểu lần lượt tại x1 và x2 và điểm uốn của đồ thị tương ứng là U (x1 + x2 2 , 0 ) . Suy ra nguyên hàm F (x) đã chọn có 3 nghiệm thực. Vậy mọi tam thức bậc hai có nghiệm thực đều có nguyên hàm là đa thức bậc ba có ba nghiệm thực. Vì thế luôn tồn tại nguyên hàm của f(x) = 3x2− 2bx+ c có dạng F (x) = (x− α)(x− β)(x− γ) hay F (x) = x3 − (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x− αβγ 11 → F ′(x) = 3x2 − 2(α + β + γ)x + (αβ + βγ + γα). Đồng nhất hệ số của F ′(x) và f(x) = 3x2 − 2bx + c ta suy ra điều phải chứng minh.  Bổ đề 1.4 (Định lý dạng Viète đối với đa thức bậc 3). Đa thức bậc 3 với hệ số thực f(x) = −4x3 + 3ax2 − 2bx + c có các nghiệm đều thực khi và chỉ khi các hệ số a, b, c có dạng a = α + β + γ + δ b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ (1.2) trong đó α, β, γ, δ ∈ R. Chứng minh. (i). Điều kiện đủ. Ta xét F (x) = x∫ 0 f(t)dt−m = −x4 + ax3 − bx2 + cx−m, trong đó m là hằng số thực. Thay a, b, c từ công thức (1.2) vào biểu thức F (x), ta thu được F (x) =− x4 + (α + β + γ + δ)x3 − (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ)x2 + (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ)x−m. Ta chọn m = αβγδ. Khi đó, F (x) =− [x4 − (α + β + γ + δ)x3 + (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ)x2 − (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ)x+ αβγδ] =− (x− α)(x− β)(x− γ)(x− δ). Suy ra F (x) có bốn nghiệm thực là α, β, γ, δ. Theo định lý Rolle thì f(x) = F ′(x) có ba nghiệm thực. (ii). Điều kiện cần. Giả sử đa thức bậc ba f(x) có ba nghiệm thực. Ta chứng minh rằng tồn tại đa thức bậc 4 có bốn nghiệm thực là nguyên hàm của f(x), tức là F (x) = −(x− α)(x− β)(x− γ)(x− δ), F ′(x) = f(x). 12 Thật vậy, ta xét ba trường hợp sau đây. (ii.1) Nếu f(x) có nghiệm bội ba là x0 thì f(x) có dạng f(x) = −4(x− x0)3. Chọn F (x) = −(x− x0)4 thì ta có α = β = γ = δ = x0. (ii.2) Nếu f(x) có hai nghiệm phân biệt thì phải có một nghiệm là nghiệm kép. Giả sử nghiệm kép đó là x0, nghiệm còn lại là x1. Không giảm tính tổng quát, ta giả sử x0 = 0, khi đó f(x) có dạng f(x) = −4x2(x− x1) = −(4x3 − 4x1x2). Suy ra F (x) = −x4 + 4 3 x1x 3 + c, c ∈ R. Chọn c = 0 thì đa thức F (x) = −x3 ( x − 4 3 x1 ) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó x = 0 là nghiệm bội bậc ba, nghiệm còn lại là x = 4 3 x1. Khi đó chọn α = β = γ = 0, δ = 4 3 x1. Trong trường hợp tổng quát, nếu f(x) có nghiệm kép (bội bậc hai) là x0, nghiệm còn lại là x1 thì ta thu được α = β = γ = x0, δ = x0 + 4 3 x1 ta thu được (1.2). (ii.3) Xét trường hợp f(x) có 3 nghiệm phân biệt. Không giảm tính tổng quát, ta có thể coi f(x) có dạng f(x) = −4(x + a)x(x− b) với a > 0, b > 0 hay f(x) = −4x3 − 4(a− b)x2 + 4abx, (a > 0, b > 0). Khi đó F (x) = −x4 − 4 3 (a− b)x3 + 2abx2 + c, c ∈ R. Chọn c = 0 thì F (x) = −x4 − 4 3 (a− b)x3 + 2abx2 = −x2[x2 + 4 3 (a− b)x− 2ab]. Suy ra F (x) = 0 khi và chỉ khi x2[x2 + 4 3 (a− b)x− 2ab] = 0. Khi x2 = 0 thì x1 = x2 = 0. Xét phương trình x2 + 4 3 (a− b)x− 2ab = 0, ta có ∆′ = 4(a− b)2 + 2ab 9 > 0 (vì a > 0, b > 0). 13 Do đó phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm là x3, x4. Vậy F (x) có 4 nghiệm là x1 = x2 = 0 (α = β = 0), x3 = γ, x4 = δ.  Ví dụ 1.1. Cho α = 1, β = −1, γ = 2, δ = 4 thay vào công thức (1.2) ta thu được a = −5, b = 5, c = −5. Khi đó đa thức f(x) = −4x3 + 15x2 − 10x− 5 có 3 nghiệm thực là x1 ≈ −0, 33; x2 ≈ 1, 47; x3 ≈ 2, 61. Nhận xét rằng, nếu ta chọn m = −6(= αβγδ) thì đa thức nguyên hàm F (x) = −x4 + 5x3 − 5x2 − 5x + 6 có bốn nghiệm thực (x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3). Đối với các nhị thức bậc nhất ta luôn chọn được nguyên hàm là các tam thức bậc hai có nghiệm thực, kết hợp với bổ đề 1.3 và bổ đề 1.4, ta có hệ quả sau đây. Hệ quả 1.3. Mọi đa thức bậc nhỏ hơn 4 có các nghiệm đều thực luôn tồn tại nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực. Đối với các đa thức có bậc n (n > 4) thì điều kiện cần để ứng với một đa thức có các nghiệm đều thực cho ta ít nhất một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực sẽ được trình bày ở mục sau. Tuy nhiên, từ hệ quả 1.2, ta có ngay điều kiện đủ cho các đa thức có bậc tuỳ ý. Định lý 1.10 (Định lý dạng Viète tổng quát). Đa thức f(x) = (n + 1)xn + (−1)na1xn−1 + (−1)2(n− 1)a2xn−2 + · · ·+ (−1)nan với các hệ số a1, a2, . . . , an có dạng a1 = E1(x¯) a2 = E2(x¯) . . . an = En(x¯) (1.3) luôn luôn có các nghiệm đều thực, trong đó Ek(x¯) là các hàm đối xứng Viète bậc k theo các biến thực x1, x2, . . . , xn+1, 14 Chứng minh. Xét đa thức F (x) = xn+1 + (−1)a1xn + (−1)2a2xn−1 + · · ·+ (−1)nanx + (−1)n+1an+1, trong đó các a1, a2, . . . , an xác định theo (1.3) và an+1 = x1x2 · · ·xn+1. Theo định lý Viète, ta có F (x) = (x− x1)(x− x2) · · · (x− xn+1) hay đa thức F (x) có n + 1 nghiệm thực. Mặt khác, F ′(x) = f(x) nên theo định lý Rolle, ta có ngay điều cần chứng minh.  1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm Nhận xét rằng, ứng với mỗi đa thức f(x) ∈ R[x] cho trước luôn tồn tại vô số nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số thực. Vì vậy, tuy đa thức đã cho có các nghiệm đều thực nhưng nhìn chung các nguyên hàm của nó không có tính chất đó. Về sau, để ngắn gọn trong cách trình bày, ta gọi mỗi nguyên hàm của một đa thức là đa thức nguyên hàm. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Với những điều kiện nào thì đa thức f(x) = m∏ k=1 (x− xk)rk , x1 6 x2 6 · · · 6 xm, r1 + · · ·+ rm = n sẽ có ít nhất một nguyên hàm (đa thức nguyên hàm) của nó có các nghiệm đều thực? Đối với đa thứ