Luận văn Một số tính chất của nón phân thớ

iBỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HÀ THỊ YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NÓN PHÂN THỚ Chuyên ngành: Đại số - lý thuyết số Mã số: 60. 46. 05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ TUẤN HOA Hà nội, năm 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của GS.TSKH. Lê Tuấn Hoa. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến với thầy Lê Tuấn Hoa. Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH. Ngô Việt Trung và GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã tạo điều kiện cho tác giả tham gia sinh hoạt khoa học tại Viện Toán học, Viện khoa học và công nghệ Việt Nam. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của ban giám hiệu trường Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học cao học. Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn của mình đến ban chủ nhiệm Khoa Khoa học tự nhiên và các đồng nghiệp trong tổ Đại số đã tạo điều kiện về thời gian giúp tác giả ra Hà Nội học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, động viên của các nghiên cứu sinh Lê Xuân Dũng, Đỗ Trọng Hoàng và một số cử nhân khác. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ, Chồng và những người thân của mình luôn yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu đáo để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu. Tác giả Hà Thị Yến. ii Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 SỐ BỘI HILBERT-SAMUEL VÀ SỐ BỘI TRỘN 4 1.1 Số bội Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Số bội trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Số bội trộn tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 CHUỖI HILBERT CỦA NÓN PHÂN THỚ 29 2.1 Chuỗi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Chuỗi Hilbert của nón phân thớ . . . . . . . . . . . . . . 34 3 ĐẶC TRƯNGCOHEN-MACAULAY CỦANÓN PHÂN THỚ 40 3.1 Các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen- Macaulay của nón phân thớ . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Đặc trưng trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu 49 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 1 MỞ ĐẦU Trong nhiều thập kỉ gần đây, đại số Rees, vành phân bậc liên kết và nón phân thớ của một iđêan đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Trong các đối tượng đó, nón phân thớ F (a) := ⊕ n≥0 an/man thường là khó nghiên cứu nhất. Gần đây, nhờ một khái niệm mới là số bội trộn, một số tác giả đã nhận được kết quả mới về nón phân thớ. Cho (A,m) là một vành địa phương, a và b là hai iđêan m-nguyên sơ của A. Hàm số Bhattacharya của a và b là hàm Ba,b(−) : N∗ × N∗ → N được xác định bởi Ba,b(r, s) = `(A/arbs) < ∞, với mọi r, s ∈ N∗. Bhattacharya chứng minh rằng tồn tại một đa thức pa,b(x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d sao cho Ba,b(r, s) = pa,b(r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có bậc tổng là d với hai biến r, s trong pa,b(r, s) có dạng 1 d! e0(a|b)rd + · · ·+ d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd  với e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b) là các số nguyên dương. Các số e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b) được gọi là các số bội trộn của a và b. Khái niệm này được đưa ra bởi Teissier trong [14]. Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu một số tính chất của nón phân thớ thông qua số bội trộn ed−1(m|a) với cách tiếp cận theo hướng khai thác mối quan hệ giữa đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ và chuỗi Hilbert của nó. Trong luận văn cũng đưa ra nhiều ví dụ 2 được tính toán cụ thể để minh họa cho các kết quả được phát biểu. Bây giờ, chúng tôi xin giới thiệu cấu trúc của luận văn. Ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương. Chương 1 chia làm ba phần. Mục 1.1 trình bày khái niệm và tính chất của số bội Hilbert-Samuel và một số đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay. Mục 1.2 trình bày khái niệm và một số tính chất của số bội trộn, mối quan hệ giữa số bội trộn và số bội Hilbert-Samuel. Mục 1.3 nêu khái niệm và đặc trưng của iđêan có số bội trộn tối tiểu. Chương 2 chia làm hai phần. Mục 2.1 trình bày khái niệm và một số tính chất của chuỗi Hilbert. Mục 2.2 giới thiệu khái niệm nón phân thớ, chuỗi Hilbert của nón phân thớ và trình bày công thức tính chuỗi Hilbert của nón phân thớ trong trường hợp đêan có số bội trộn tối tiểu. Chương 3 chia làm hai phần. Mục 3.1 nêu các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ. Ở đây chúng tôi trình bày một đặc trưng của Cruz-Raghavan-Verma về tính Cohen-Macaulay thông qua chuỗi Hilbert. Sử dụng kết quả tổng quát đó và công thức tính chuỗi Hilbert ở Mục 2.2, trong Mục 3.2 chúng tôi trình bày một đặc trưng tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ thông qua số mũ rút gọn trong trường hợp đêan có số bội trộn tối tiểu. 3 Chương 1 SỐ BỘI HILBERT-SAMUEL VÀ SỐ BỘI TRỘN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về số bội Hilbert-Samuel, số bội trộn, số bội trộn tối tiểu và các tính chất cần thiết cho chứng minh các định lý chính ở Chương 2 và Chương 3. 1.1 Số bội Hilbert-Samuel Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn trên vành Artin A0 và E là Z-môđun phân bậc hữu hạn sinh trên A. Khi đó `A0(En) < ∞ và hàm số HE(−) : Z → N được xác định bởi HE(n) = `A0(En), với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert của E. Định lý 1.1.1. (Hilbert-Serre) Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn trên vành Artin A0 và E là A-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d. Khi đó, tồn tại một đa thức pE(x) ∈ Q[X] có bậc d− 1 gọi là đa thức Hilbert của E sao cho HE(n) = pE(n), với mọi n đủ lớn. Hơn nữa, pE(x) luôn 4 viết được duy nhất dưới dạng pE(x) = d−1∑ i=0 (−1)iei(E)  x+ d− i− 1 d− i− 1  với e0(E), ..., ed−1(E) là các số nguyên và e0(E) > 0. Khi đó số bội của môđun E được định nghĩa là e(E) :=  e0(E) nếu d > 0, `(E) nếu d = 0. Từ đây cho đến hết Mục 1.1, nếu không nói gì ta luôn giả thiết (A,m) là vành địa phương Noether chiều d, E là A-môđun hữu hạn sinh và a là iđêan m-nguyên sơ của A. Định nghĩa 1.1.2. Hàm Ha,E(−) : Z→ N được xác định bởi Ha,E(n) = `(E/an+1E) <∞, với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert-Samuel của E đối với a. Định nghĩa 1.1.3. Cho (A,m) là vành địa phương Noether, E là A- môđun hữu hạn sinh và a là một iđêan của A. Khi đó, Ga(E) := ⊕ n≥0 anE/an+1E được gọi là môđun phân bậc liên kết của E đối với a. Trong trường hợp E = A, ta kí hiệu Ga(A) bởi G(a) và được gọi là vành phân bậc liên kết của A đối với a. Bây giờ giả sử a là iđêan m-nguyên sơ. Khi đó G(a) là vành phân bậc chuẩn có G0 = A/a là vành Artin. Hơn nữa, Ga(E) là môđun phân 5 bậc hữu hạn sinh trên G(a). Theo Định lý Hilbert-Serre tồn tại đa thức pGa(E)(x) và số s sao cho `(Ga(E)n) = `(a nE/an+1E) = pGa(E)(n),∀n ≥ s. Do đó với mọi n ≥ s, ta có Ha,E(n) = `(E/a n+1E) = s−1∑ j=0 `(ajE/aj+1E) + n∑ j=s `(ajE/aj+1E) = α + n∑ j=s pGa(E)(j), trong đó α là hằng số. Từ đó suy ra Ha,E(n) bằng một đa thức có bậc bằng dimE với mọi n đủ lớn. Do đó ta có hệ quả sau Hệ quả 1.1.4. Tồn tại một đa thức Pa,E(x) ∈ Q[X] có bậc bằng dimE gọi là đa thức Hilbert-Samuel sao cho Ha,E(n) = Pa,E(n), với mọi n đủ lớn. Vì dimE ≤ d nên ta luôn viết được Pa,E(n) duy nhất dưới dạng Pa,E(n) = e.nd d! + g(n), trong đó g(n) có bậc nhỏ hơn d, e ∈ Z và e > 0. Định nghĩa 1.1.5. e(a, E) := e được gọi là số bội Hilbert-Samuel của E đối với a. Trong trường hợp E = A, khi đó ta đặt e(a, A) = e(a) và định nghĩa là số bội của a. Nói riêng e(m) := e(A). 6 Từ nhận xét trước Hệ quả 1.1.4 ta có e(a, E) = e0(Ga(E)). Tiếp theo chúng ta nêu một số tính chất cơ bản của số bội Hilbert- Samuel. Những tính chất này được trích từ [10], từ trang 107 đến trang 112. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra bổ đề sau Bổ đề 1.1.6. Với a và E như trên ta có (i) e(a, E) = lim n→∞ d!`(E/an+1E) nd . Nói riêng nếu d = 0 thì e(a, E) = `(E). (ii) e(as, E) = sde(a, E),∀s ≥ 1. (iii) e(a, E) > 0 nếu dimE = d và e(a, E) = 0 nếu dimE < d. (iv) Nếu a và a ′ là hai iđêan m-nguyên sơ của A và a ⊆ a′ thì e(a, E) ≥ e(a ′ , E) . Tiếp theo chúng tôi nêu một số tính chất được dùng trong tính toán số bội Hilbert-Samuel Bổ đề 1.1.7. Cho 0 −→ E ′ −→ E −→ E ′′ −→ 0 là dãy khớp các A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, e(a, E) = e(a, E ′ ) + e(a, E ′′ ). Định lý 1.1.8. (Công thức bội liên kết) Cho {p1, · · · , pr} là tất cả các iđêan nguyên tố tối tiểu của A mà dimA/pi = d. Khi đó e(a, E) = r∑ i=1 e(ai, A/pi)` (Epi), trong đó ai là ảnh của a trong A/pi và ` (Epi) là độ dài của Epi như Api−môđun. 7 Ví dụ 1.1.9. Cho A = k[[X1, · · · , Xn]] với k là một trường. a = (Xn)∩ (X21 , X23)∩ (X2, X33) là phân tích nguyên sơ tối tiểu của a. B = A/a = k[[X1, · · · , Xn]]/(Xn) ∩ (X21 , X23) ∩ (X2, X33). Ta có Ass(A/a) = {(Xn), (X1, X3), (X2, X3)} = {p1, p2, p3}, trong đó p1 = (Xn), p2 = (X1, X3), p3 = (X2, X3). Đặt p ′ 1 = (xn), p ′ 2 = (x1, x3), p ′ 3 = (x2, x3) lần lượt là ảnh của p1, p2, p3 trong B. Khi đó p ′ 1, p ′ 2, p ′ 3 là các iđêan nguyên tố tối tiểu của B. Mặt khác dimB = max { dimA/p1, dimA/p2, dimA/p3} = dimA/p1 = n− 1. Áp dụng Định lý 1.1.8 trong vành B = A/a ta được, e(B) = e(A/p1)`(Bp1) = 1. Định nghĩa 1.1.10. Iđêan b ⊆ a của A được gọi là một rút gọn của a nếu có một số nguyên không âm r sao cho ar+1 = bar. Một rút gọn của a được gọi là tối tiểu của a nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào khác của a. Northcott và Rees đã chứng minh rằng rút gọn tối tiểu của một iđêan luôn tồn tại. Nếu b là một rút gọn của a và ar+1 = bar thì với mọi n > r ta có an = ban−1. 8 Định nghĩa 1.1.11. Nếu b là một rút gọn của a thì số mũ rút gọn của a đối với b được định nghĩa là rb(a) = min { n ≥ 0|an+1 = ban} . Số mũ rút gọn r(a) của a được định nghĩa là r(a) = min{ rb(a) | b là rút gọn tối tiểu của a }. Bổ đề 1.1.12. Giả sử b là một rút gọn của a. Khi đó b cũng là m-nguyên sơ và với bất kì A-môđun hữu hạn sinh E ta có e(b, E) = e(a, E). Hệ quả 1.1.13. Giả sử trường thặng dư của A vô hạn. Khi đó tồn tại một hệ tham số x của A mà (x) là một rút gọn tối tiểu của a và e(a, E) = e((x), E). Từ bổ đề trên suy ra nếu A/m vô hạn thì mọi iđêan rút gọn tối tiểu của a đều là iđêan tham số. Bổ đề 1.1.14. Cho (A,m) là vành địa phương Noether chiều d, a là iđêan m-nguyên sơ của A và x1, · · · , xd là một hệ tham số của A được chứa trong a. Giả sử xi ∈ ari,∀i = 1, · · · , d. Khi đó với mọi s = 1, · · · , d ta có e(a/(x1, · · · , xs), E/(x1, · · · , xs)E) ≥ r1 · · · rse(a, E). Nói riêng, nếu s = d chúng ta có `(E/(x1, · · · , xd)E) ≥ r1 · · · rde(a, E). Hệ quả 1.1.15. Cho (A,m) là một vành địa phương Noether chiều d và E là A-môđun hữu hạn sinh. Giả sử x1, · · · , xd là một hệ tham số của 9 E. Đặt q = (x1, · · · , xd). Khi đó, `(E/qE) ≥ e(q, E). Định nghĩa 1.1.16. Cho (A,m) là vành địa phương Noether. Một A- môđun hữu hạn sinh E được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu E = 0 hoặc nếu E 6= 0 và `(E/qE) = e(q, E), trong đó q là một iđêan tham số của E. Nếu bản thân A là môđun Cohen-Macaulay như A-môđun thì ta gọi A là vành Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.1.17. (i) k là một trường. Khi đó k là vành Cohen-Macaulay. (ii) k[[X1, · · · , Xn]], với k là một trường, là vành Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.1.18. Cho vành A = k[[t4, t5, t6, t7]] với t là phần tử bất định và m = (t4, t5, t6, t7). Ta có m = {∑ n≥4 αnt n|αn ∈ k } , suy ra mp = { ∑ n≥4p αnt n|αn ∈ k } . Do đó ` (A/mp) = 4p− 3. Vậy e(A) = e(m) = 4. Ta có m2 = (t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14), (t4)m = (t8, t9, t10, t11). Suy ra m2 = (t4)m. Do đó (t4) là rút gọn tối tiểu của m. Theo nhận xét ở Hệ quả 1.1.13 ta được q = (t4) là iđêan tham số của A. 10 Theo Hệ quả 1.1.13, e(q) = e(m) = 4. Mặt khác, q = { t4 + ∑ n≥8 αnt n|αn ∈ k } , suy ra ` (A/q) = 4. Từ đó nhận được e(q) = ` (A/q). Vậy A là vành Cohen-Macaulay. Sau đây là một vài tính chất đặc biệt của vành và môđun Cohen- Macaulay. Bổ đề 1.1.19. E là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi `(E/qE) = e(q, E) với mọi hệ tham số q của E. Bổ đề 1.1.20. [7, Lemma 1.7] Giả sử q là iđêan tham số của E và n là số nguyên không âm. Khi đó, `(E/qn+1E) ≤ ( n+ d d ) `(E/qE). Dấu đẳng thức với mọi n xảy ra khi và chỉ khi E là Cohen-Macaulay. Tiếp theo ta nêu một số ví dụ tính toán cụ thể số bội Hilbert-Samuel. Ví dụ 1.1.21. Cho (A,m, k) là vành địa phương chính quy chiều d. Khi đó, Gm(A) ∼= A′ = k[X1, · · · , Xd]. Vì HA′(n) = ( n+ d− 1 d− 1 ) , nên e(A) = e0(Gm(A)) = e0(A ′ ) = 1. Vì A là chính quy nên m được sinh bởi một hệ tham số của A, tức m = (x1, · · · , xd). 11 Kí hiệu (x) := (x1, · · · , xd), ta có ` (A/ (x)) = `(A/m) = 1. Mặt khác, e((x)) = e(m) = e(A) = 1. Từ đó suy ra e((x)) = ` (A/ (x)). Vậy A là vành Cohen-Macaulay. Từ đó suy ra một vành địa phương chính quy là vành Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.1.22. Cho A = k[X1, · · · , Xd], với d ≥ 2 và B = A/(f), f là đa thức thuần nhất bậc s. Xét B như vành phân bậc, tính e0(B) (xem Định lý 1.1.1). Ta có dãy khớp 0 −→ A(−s) ·f−→ A −→ A/fA −→ 0. Từ đó suy ra dãy khớp 0 −→ A(−s)n ·f−→ An −→ (A/fA)n −→ 0. Vì A(−s)n = An−s nên HB(n) = ` ((A/fA)n) = ` (An)− ` (An−s) = ( n+ d− 1 d− 1 ) − ( n− s+ d− 1 d− 1 ) Từ đó ta được pB(x) = ( x+ d− 1 d− 1 ) − ( x− s+ d− 1 d− 1 ) = s (d− 2)!x d−2 + g(x), trong đó g(x) có bậc nhỏ hơn d− 2. 12 Vậy e0(B) = s. Từ đó suy ra nếu C = k[[X1, · · · , Xd]]/(f) thì e(C) = s. 1.2 Số bội trộn Cho (A,m) là vành địa phương chiều d, a là iđêan m-nguyên sơ. Theo Hệ quả 1.1.4, `(A/an) là một đa thức bậc d ẩn r, với mọi r đủ lớn. Giả sử b là một iđêan m-nguyên sơ khác. Khi đó `(A/arbs) < ∞. Một câu hỏi tự nhiên là có gì tương tự khi xét hàm số `(A/arbs), với r và s là các số nguyên dương. Câu hỏi này đã được Bhattacharya trong [2] trả lời. Định nghĩa 1.2.1. Cho a và b là hai iđêan m-nguyên sơ. Hàm số Bhat- tacharya của a và b là hàm Ba,b(−) : N∗ × N∗ → N được xác định bởi Ba,b(r, s) = `(A/a rbs) <∞, với mọi r, s ∈ N∗. Bhattacharya đã chứng minh được trong [2] định lý sau. Định lý 1.2.2. Tồn tại một đa thức pa,b(x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d sao cho Ba,b(r, s) = pa,b(r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có bậc tổng là d với hai biến r, s trong pa,b(r, s) có dạng 1 d! e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd  , với e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b) là các số nguyên dương. Các số e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b) được gọi là các số bội trộn của a và b. Khái niệm này được đưa ra bởi Teissier trong [14]. 13 Bhattacharya cũng nghiên cứu về hàm số B ′ a,b(−) : N∗×N∗ → N được xác định bởi: B ′ a,b(r, s) = `(a rbs/ar+1bs) <∞, (1.1) với mọi r, s ∈ N∗. Bhattacharya đã chứng minh trong [2] tồn tại một đa thức p ′ a,b(x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d− 1 sao cho B ′ a,b(r, s) = p ′ a,b(r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có bậc tổng là d − 1 với hai biến r, s trong p ′ a,b(r, s) có dạng 1 (d− 1)! { e0(a|b)rd−1 + · · ·+ ( d− 1 i ) ei(a|b)rd−1−isi + · · ·+ ed−1(a|b)sd−1 } . Từ đó dễ dàng xác định được mối liên hệ giữa số bội Hilbert-Samuel e(arbs) và các số bội trộn e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b). Bổ đề 1.2.3. Với mọi r, s nguyên dương ta có e(arbs) = e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd. (1.2) Chứng minh. Xét hàm số, `(A/(arbs)n) = `(A/arnbsn). Nếu xem đây là hàm Bhattacharya của a và b thì với mọi rn và sn đủ lớn các thành phần có bậc tổng là d với hai biến rn, sn trong đa thức tương ứng là 1 d! e0(a|b)(rn)d + · · ·+  d i  ei(a|b)(rn)d−i(sn)i + · · ·+ ed(a|b)(sn)d  hay nd d! e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd  . 14 Cố định r và s, n thay đổi thì với mọi n đủ lớn ta có thể xem hệ số của nd trong đa thức trên là 1 d! e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd  . Nếu xem `(A/(arbs)n), với r, s cố định, n thay đổi là hàm Hilbert- Samuel của iđêan arbs thì với mọi n đủ lớn hệ số của nd trong đa thức tương ứng là e(arbs) d! . Từ đó suy ra đẳng thức sau với mọi r, s nguyên dương e(arbs) = e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd. Trong một số trường hợp đặc biệt, Rees trong [11] đưa ra mối liên hệ sau. Bổ đề 1.2.4. ([11]) Cho (A,m) là vành địa phương Noether chiều d, a, b là hai iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó, (i) ei(a|a) = e(a),∀i = 1, · · · , d, (ii) e0(a|b) = e(a), (iii) ed(a|b) = e(b). Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Giả sử B ′ a,b(r, s) = p ′ a,b(r, s), với mọi r ≥ r0 và s ≥ s0. Ta xem bs như một A-môđun và coi e(a, bs) như số bội của a trên A-môđun bs. Cố 15 định một s ≥ s0. Khi đó ta có e(a, bs) = lim r→∞ (d− 1)!`(arbs/ar+1bs) rd−1 = lim r→∞ (d− 1)!B ′a,b(r, s) rd−1 = e0(a|b) Vì b là m-nguyên sơ nên iđêan (0 : bs) = {r ∈ A/rbs = (0)} là lũy linh. Vì vậy dim bs = dimA/(0 : bs) = d và dimA/bs < d. Suy ra e(a, A/bs) = 0. Ta có dãy khớp 0 −→ bs −→ A −→ A/bs −→ 0. Theo Bổ đề 1.1.7, e(a, bs) = e(a, A)− e(a, A/bs). Vậy e(a, bs) = e(a, A) = e(a). (iii) Tương tự (ii) ta được ed(a|b) = e(b). Rees trong [12] đã giới thiệu về rút gọn chung của một tập các iđêan và từ đó chứng minh được công thức tính các số bội trộn ei(a|b), với i = 0, ..., d thông qua số bội Hilbert-Samuel của một hệ tham số. Định nghĩa 1.2.5. [12, Section 1] Cho U = (a1, · · · , at) là một tập các iđêan của A, không cần thiết phải khác nhau. Kí hiệu R = (r1, · · · , rt) là tập các số nguyên dương nào đó, Ri = (r1, · · · , ri− 1, · · · , rt). Khi đó ta nói một tập các phần tử xi, i = 1, · · · , t là một rút gọn chung của a1, · · · , at nếu xi ∈ ai, với mỗi i = 1, · · · , t và ta có UR = t∑ i=1 xiU Ri, trong đó UR = a1 r1 · · · atrt. 16 Một cách phát biểu tương đương là, nếu c = t∑ i=1 xia1 · · · ai−1ai+1 · · · at thì c là rút gọn của a1 · · · at. Trong trường hợp các iđêan a1, · · · , at có thể lặp lại, ta kí hiệu tập gồm k1 iđêan a1,· · · , kt iđêan at là (a1, · · · , a1, · · · , at, · · · , at) := (a1[k1]| · · · |at[kt]) và được gọi là tập bội của k1 iđêan a1,· · · , kt iđêan at. Rees chứng minh được rằng nếu A/m vô hạn thì rút gọn chung luôn tồn tại. Khi đó ta có thể tính được các số bội trộn theo số bội Hilbert- Samuel như sau. Bổ đề 1.2.6. [12, Theorem 2.4] Cho (A,m) là vành địa phương Noether chiều d và s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti là một rút gọn chung của (a[d−i]|b[i]), với mọi i = 0, · · · , d. Kí hiệu qi = (s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti). Khi đó, với mọi i = 0, · · · , d ta có ei(a|b) = e(qi). Chú ý rằng, kết hợp bổ đề này với Hệ quả 1.1.13 ta cũng nhận được Bổ đề 1.2.4 ở trên. Nhận xét 1.2.7. Giả thiết và kí hiệu như ở Bổ đề 1.2.6. Vì s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti là một rút gọn chung của (a[d−i]|b[i]) nên qi là iđêan tham số của A, với mọi i = 0, · · · , d. Do đó, từ Bổ đề 1.2.6 ta có bổ đề sau nêu công thức tính các số bội trộn ei(a|b), với i = 0, · · · , d đối với vành địa phương Cohen-Macaulay. Bổ đề 1.2.8. Cho (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d và s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti là một rút gọn chung của (a[d−i]|b[i]). Kí hiệu qi = (s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti). Khi đó,với mọi i = 0, · · · , d ta có ei(a|b) = ` ( A qi ) . 17 Dựa vào kết quả của Bổ đề 1.2.8 ta có thể tính được các số bội trộn của m và a trong vành địa phương (A,m) Cohen-Macaulay chiều d , với a là iđêan m-nguyên sơ. Ví dụ 1.2.9. [5, Example 3.11] Cho vành A = k[[x, y, z]] với k là một trường, m = (x, y, z) và a = (x3, y3, z3, xy, xz, yz). Ta nhận thấy yz ∈ a, xy + xz ∈ a và x+ y + z ∈ m thỏa mãn ma = yzm+ (xy + xz)m+ (x+ y + z)a. Suy ra ma2 = yzma+ (xy + xz)ma+ (x+ y + z)a2. Do đó, (x+ y + z)a+ (yz, xy + xz)m là một rút gọn của ma. Vì vậy (x+ y + z, yz, xy + xz) là một rút gọn chung của (m|a[2]). Mặt khác dimA = 3 nên theo Bổ đề 1.2.8 ta được e2(m|a) = ` ( A (x+ y + z, yz, xy + xz) ) = 4. Ta có yz ∈ a, y + z ∈ m và x ∈ m thỏa mãn m2a = yzm2 + (y + z)ma+ xma. Do đó (y + z, x, yz) là rút gọn chung của (m[2]|a). Theo Bổ đề 1.2.8 ta được e1(m|a) = ` ( A (y + z, x, yz) ) = 2. Vậy e2(m|a) = 4; e1(m|a) = 2. Ngoài ra, xét trường hợp (A,m) là vành đ