Luận văn Một số vấn đề về hình học giả Euclide

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “Hình học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại số tuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chính thức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán – Tin. Đây là những môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên. Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giới thiệu hết tất cả những vấn đề về hình học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thức trọng tâm, cơ bản nhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này. Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tìm hiểu về các loại hình học, mối liên hệ cùng những điểm giống và khác nhau giữa chúng, em đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về hình học giả Euclide” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn với đề tài “Một số vấn đề về Hình học giả Euclide” nhằm làm rõ định nghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hình học giả Euclide. Đồng thời, luận văn đi vào tìm hiểu một số bất biến của Hình học giả Euclide, mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh. Ngoài ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp em có dịp củng cố những kiến thức về Đại số tuyến tính, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu các vấn đề mới của Toán học. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đọc lại và nắm vững những vấn đề trọng tâm, cơ bản của Không gian vectơ, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh. Phân tích kỹ định nghĩa và tìm hiểu một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong hình học giả Euclide. Dựa vào một số định lý, mệnh đề trong Hình học Euclide, phân tích, so sánh để rút ra các định lý, mệnh đề có liên quan đến các khái niệm trong Hình học giả Euclide. Sau đó chứng minh lại một cách đầy đủ, rõ ràng và có hệ thống. Dựa vào cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Euclide để rút ra cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide. Trên cơ sở đó, tìm hiểu mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số khái niệm cơ bản trong không gian vectơ giả Euclide, không gian giả Euclide n chiều chỉ số k thông qua tìm hiểu lý thuyết tổng quát. NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Chương I: Trình bày các định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, cơ sở trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn, các không gian con, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhằm tạo nền tảng kiến thức cho phần tiếp theo. Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide n chiều chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không gian con, khoảng cách và góc, các phép dời hình và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide; từ đó rút ra mối liên hệ giữa hình học giả Euclide và hình học xạ ảnh. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa Cho không gian vectơ n chiều Vn trên trường số thực R. Một ánh xạ: Vn ´ Vn ® R được gọi là một tích vô hướng trên Vn nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: (E1*) . (E2*) . (E3*) . (E4*) Có n vectơ sao cho: , với i ≤ k. , với i > k. , với i ≠ j. Khi đó, không gian vectơ Vn được gọi là không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, ký hiệu là Vnk. Tính chất . Thật vậy: . Thật vậy: . Thật vậy: , với . , với . Thật vậy: . Thật vậy: Nhận xét n vectơ nói trong tiên đề (E4*) là cơ sở của Vnk. Thật vậy: Từ (E4*) ta suy ra (Vì nếu $i sao cho thì ta có , mâu thuẫn với tiên đề (E4*)) Xét: Nhân vô hướng hai vế với , ta được: (Vì , với i ≠ j) (Vì ) Vậy độc lập tuyến tính trong Vnk. Do hệ n vectơ độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n chiều Vnk nên ta suy ra là cơ sở của Vnk. Không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n chính là không gian vectơ Euclide. Thật vậy: Xét Vnn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n. Vì tích vô hướng trên Vnn thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide. Do đó ta chỉ cần chứng minh tích vô hướng trên Vnn thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide, tức là chứng minh Î Vnn thì và . Theo câu a) ta có hệ nêu trong tiên đề (E4*) là cơ sở của Vnn thỏa và Từ đó: Î Vnn thì có dạng: , với ki Î R . Dấu “=” xảy ra Vậy tích vô hướng trên Vnn thỏa tiên đề (E4) nên Vnn là không gian vectơ Euclide n chiều. Ví dụ Trường các số phức C là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với tích vô hướng: , trong đó , . Không gian R4 là một không gian vectơ giả Euclide 4 chiều chỉ số 3 với tích vô hướng: , trong đó , . Khi đó R4 được gọi là không gian Minkowski hay không gian Không gian – Thời gian. Người ta thường dùng mô hình không gian này khi nghiên cứu về hình học vũ trụ. Không gian Rn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k với tích vô hướng: , trong đó , . Module của vectơ Ta định nghĩa module của vectơ là số sao cho: , nếu , nếu , trong đó là đơn vị ảo. Trong cả hai trường hợp, ta đều ký hiệu . Như vậy module của một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một số thuần ảo. Nhận xét: ÎVnk, ÎR thì: . Vectơ được gọi là vectơ đơn vị nếu hoặc . Góc giữa hai vectơ trong không gian vectơ giả Euclide Định nghĩa Cho hai vectơ và thỏa , . Số phức xác định bởi công thức: (1) được gọi là số đo góc của hai vectơ và . Ký hiệu: . Từ công thức (1), ta suy ra có thể là số thực hoặc là số thuần ảo. Ta có các trường hợp: Trường hợp 1: là số thực. Ta xét: : Khi đó là số thực và ta quy ước chọn Î [0,p]. : Khi đó ta đặt: . Nhận thấy: hàm chx là một hàm số thực liên tục trên R và nhận giá trị trên [1;+¥) nên với thì tồn tại số thực sao cho: . Mà nên suy ra: . Do đó ta chọn và nhận thấy trong trường hợp này là số thuần ảo. : Khi đó Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực sao cho: . Ta chọn và nhận thấy trong trường hợp này là số phức. Trường hợp 2: là số thuần ảo. Lúc này ta có thể viết: , với ÎR. Nhận thấy: hàm shx là một hàm số thực liên tục và nhận giá trị trên R nên với ÎR thì tồn tại số thực sao cho: . Do đó ta chọn và nhận thấy trong trường hợp này là số phức. Vậy: Trong không gian vectơ giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có các góc có số đo thuần ảo hay phức với phần thực là hoặc . Tính chất . Thật vậy: . Với p, q Î R thì: Thật vậy: Do đó: + Nếu pq > 0 thì: + Nếu pq < 0 thì: . cùng phương với Thật vậy: cùng phương với , với pÎR. . Thật vậy: . 1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN Định nghĩa Hai vectơ , Î Vnk được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau nếu . Ký hiệu: . Ta thấy rằng có những vectơ khác mà lại vuông góc với chính nó, những vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Ví dụ: vectơ (trong đó , là các vectơ nói trong tiên đề (E4*)) là một vectơ đẳng hướng. Hệ vectơ gồm các vectơ thuộc Vnk được gọi là hệ trực giao nếu và (tức là chúng từng đôi một trực giao với nhau). Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn. Nhận xét: Theo định nghĩa, hệ nói trong tiên đề (E4*) là một cơ sở trực giao của Vnk. Định lý Mọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh: Giả sử hệ là hệ trực giao. Xét: Nhân vô hướng hai vế với , ta được: (Vì , với i ≠ j) (Vì ) Vậy độc lập tuyến tính trong Vnk. Định lý Trong Vnk, nếu ta có n vectơ sao cho và thì ta sẽ có đúng k vectơ sao cho và (n – k) vectơ sao cho . Chứng minh: Theo đề bài ta suy ra hệ là cơ sở trực giao của Vnk, do đó độc lập tuyến tính trong Vnk. Không mất tổng quát giả sử và . Ta sẽ chứng minh l = k. Nếu l > k: Dễ thấy rằng l vectơ , , ..., độc lập tuyến tính trong Vnk (Vì độc lập tuyến tính). Vì vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con l chiều Vl. Tương tự, gọi Vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính , , ..., nói trong tiên đề (E4*). Vì l > k nên Vl và Vn-k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất là l – k. Gọi và thì: . Do đó: (1) và (2) (1) và (2) mâu thuẫn nhau nên l > k là không thể được. Nếu l < k: Gọi Vn-l là không gian vectơ con sinh bởi (n – l) vectơ độc lập tuyến tính , , ..., . Gọi Vk là không gian vectơ con sinh bởi k vectơ độc lập tuyến tính , , ..., nói trong tiên đề (E4*). Chứng minh tương tự như trường hợp l > k, ta nhận thấy trường hợp l < k là không thể được. Vậy l = k và ta có điều phải chứng minh. Định lý Trong không gian Vnk luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn. Chứng minh: Gọi là hệ vectơ nói trong tiên đề (E4*). Khi đó, là cơ sở trực giao của Vnk. Ta chọn các vectơ sao cho: Khi đó ta có: , với i ≤ k. , với i > k. ; với i ≠ j và . Do đó là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ sao cho và (n – k) vectơ sao cho . Điều này cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn khác (vì suy ra từ định lý ở trên). Từ đây, khi nhắc đến cơ sở trực chuẩn bất kỳ của Vnk, nếu không nói rõ thì ta quy ước cơ sở trực chuẩn đó phải thỏa , với i≤k, , với j>k và , với i ≠ j và . Tọa độ trực chuẩn Tọa độ của vectơ Î Vnk đối với một cơ sở trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn của trong Vnk. Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk thỏa , với i ≤ k. Khi đó: với , Î Vnk thì: Suy ra: Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk. Với ÎVnk thì: Nhận thấy: , với i ≤ k. , với j > k. Vậy: nếu thì: , với i ≤ k. , với j > k. Nhận xét: Từ trên ta có: nếu ÎVnk thỏa mãn , ÎVnk thì . Thật vậy: Vì ÎVnk nên , với là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk. Mà , ÎVnk nên: , với i ≤ k. , với j > k Do đó: Công thức đổi cơ sở trực chuẩn Gọi , là các cơ sở trực chuẩn trong Vnk. Dựa vào công thức đổi cơ sở trong không gian vectơ, ta có công thức đổi cơ sở trực chuẩn trong Vnk là: hoặc Trong đó: A là ma trận chuyển cơ sở từ sang [x], [x’] lần lượt là ma trận cột tọa độ của vectơ ÎVnk đối với cơ sở , . 1.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE Định nghĩa Định nghĩa 1: Giả sử P là không gian vectơ con của Vnk. Khi đó trong P xác định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép toán cộng và nhân trong Vnk. Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong Vnk áp dụng cho P, khi đó trên P ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (E1*), (E2*), (E3*). Nếu ánh xạ * thỏa thêm tiên đề (E4*) thì trên P xác định được một tích vô hướng, do đó P sẽ là một không gian vectơ giả Euclide. Khi đó ta gọi P là không gian con của Vnk. Nhận xét: Từ định nghĩa, ta nhận thấy không phải mọi không gian vectơ con của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Ví dụ: không gian vectơ con một chiều của Vnk sinh bởi vectơ đẳng hướng (với là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk) không thỏa tiên đề (E4*) nên không là không gian vectơ giả Euclide. Định nghĩa 2: Cho P là không gian vectơ con của Vnk. Khi đó P được gọi là xác định dương (không âm, đẳng hướng, không dương, âm) nếu (, , , ), với mọi vectơ ÎP, . Định nghĩa 3: Cho P là không gian vectơ con của Vnk. Khi đó P được gọi là không suy biến nếu có ÎP và , ÎP thì ta suy ra được . Ngược lại thì P được gọi là suy biến. Định nghĩa 4: Cho P là không gian vectơ con của Vnk và vectơ ÎVnk. Ta nói rằng trực giao với P nếu như trực giao với mọi vectơ của P. Định nghĩa 5: Cho P, Q là các không gian vectơ con của Vnk. Ta nói rằng P và Q trực giao với nhau nếu như mọi vectơ của P trực giao với mọi vectơ của Q. Ký hiệu: Q ^ P hay P ^ Q. Định nghĩa 6: Cho P là không gian vectơ con của Vnk. Đặt: Ta dễ dàng chứng minh được Q là một không gian vectơ con của Vnk và Q trực giao với P. Khi đó Q được gọi là phần bù trực giao của P. Ký hiệu: Q = P^. Nhận xét 1: Từ định nghĩa ta nhận thấy có duy nhất một không gian vectơ con Q bù trực giao với không gian vectơ con P đã cho. Nhận xét 2: Nếu P ^ R thì R Í P^. Tính chất Mọi không gian vectơ con dương của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Thật vậy: Gọi P là không gian vectơ con dương của Vnk. Vì trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide. Mặt khác, do P dương nên: ÎP thì và . Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide. Vậy P là một không gian vectơ Euclide. Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide. Nhận xét: Nếu P dương thì P thỏa tất cả các tính chất của không gian vectơ Euclide. Mọi không gian vectơ con âm của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Thật vậy: Gọi P là không gian vectơ con âm của Vnk. Khi đó trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide. Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide. Gọi m là số chiều của P và là một cơ sở tùy ý của P. Vì P âm nên ÎP, thì . Đặt: . Đặt: Dễ thấy do là hệ độc lập tuyến tính. Ta kiểm tra bằng quy nạp rằng trực giao với các vectơ , , ..., . Thấy: Giả sử mệnh đề trên đúng tới h-1, ta chứng minh rằng mệnh đề trên cũng đúng với h. Với 1 ≤ i ≤ h - 1, ta có: Nhưng theo giả thiết quy nạp thì nên hệ thức trên trở thành: Vậy là một cơ sở trực giao của P thỏa . Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide. Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide chỉ số 0. Nếu P là không gian vectơ con âm của Vnk thì P thỏa bất đẳng thức Schwarz: , ,ÎP. Chứng minh: Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu hoặc thì hiển nhiên bất đẳng thức được thỏa. Trường hợp 2: Nếu và thì: - Nếu phụ thuộc tuyến tính thì $p¹0 sao cho: Khi đó: - Nếu độc lập tuyến tính thì : Khi đó do P âm nên: Chọn , ta có: (Vì ) Vậy trong cả hai trường hợp ta luôn có: , ,ÎP. Nhận xét: Bất đẳng thức Schwartz vẫn đúng cho trường hợp P là không gian vectơ con không dương hoặc không âm. Ta có thể chứng minh điều này dựa vào câu a của định lý bên dưới và cách chứng minh bất đẳng thức Schwartz dành cho không gian vectơ con âm ở trên. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con dương của Vnk là k. Thật vậy: Gọi P là không gian vectơ con dương của Vnk. Giả sử dimP > k. Gọi Vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính , , ..., nói trong tiên đề (E4*). Khi đó dễ thấy Vn-k là không gian vectơ con âm của Vnk. Mà dimP + dimVn-k > n nên PÇVn-k là không gian vectơ con khác không của Vnk. (1) Mặt khác P dương và Vn-k âm nên PÇVn-k = . (2) Từ (1) và (2) suy ra vô lý. Vậy ta có số chiều lớn nhất có thể có của P là k. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con âm của Vnk là n-k. (Chứng minh tương tự tính chất 1.3.2.4.) trực giao với mọi không gian vectơ con của Vnk. (Tính chất này dễ thấy) Nếu P ^ Q thì PÇQ là không gian vectơ con đẳng hướng của Vnk hoặc không gian không. Thật vậy: Î PÇQ thì do P ^ Q nên ta có: Suy ra là vectơ đẳng hướng hoặc vectơ không. Do đó ta có điều cần chứng minh. (P^)^ = P và dimP + dim P^ = n. (Tính chất này ta công nhận, không chứng minh) Cho P, Q là các không gian vectơ con của Vnk. Khi đó: (PÇQ)^ = P^ + Q^ và (P + Q)^ = P^ÇQ^ Nếu P Ì Q thì P^ É Q^ (Tính chất này ta dễ dàng chứng minh) PÇP^ = và PÅP^ = Vnk khi và chỉ khi P không suy biến. * Chứng minh: (Þ): Cho P là không gian vectơ con của Vnk thỏa mãn PÇP^ = và PÅP^ = Vnk. Khi đó, nếu có ÎP và , ÎP thì suy ra: ÎP^. Þ ÎPÇP^ = Do đó P không suy biến. (Ü): Cho P là không gian vectơ con không suy biến của Vnk. Khi đó, với ÎPÇP^ thì do ÎP^ nên , ÎP. Vì P không suy biến nên suy ra: Vậy PÇP^ = Mặt khác: dimP + dim P^ = n (theo tính chất 1.3.2.8.) và PÅP^ Ì Vnk. Do đó PÅP^ = Vnk. Nếu P là không gian con của Vnk thì P không suy biến. Thật vậy: Vì P là không gian con của Vnk nên P là một không gian vectơ giả Euclide. Xét ÎP và , ÎP thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra: Do đó P không suy biến. Nếu P là không gian con của Vnk thì P^ không suy biến. Thật vậy: Vì P là không gian con của Vnk nên P không suy biến (theo tính chất 1.3.2.11.). Do đó theo tính chất 1.3.2.10 ta có: PÇP^ = và PÅP^ = Vnk Mặt khác theo tính chất 1.3.2.8 thì: (P^)^ = P Suy ra: (P^)^ ÇP^ = và (P^)^ ÅP^ = Vnk Từ đó ta có P^ không suy biến. Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con) Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P = P0ÅP1, trong đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng, P1 là không gian vectơ con không suy biến và P0 ^ P1 (trường hợp P không suy biến thì ta xem P0 = , trường hợp P đẳng hướng thì ta xem P1 = ). Mọi không gian vectơ con không suy biến P của Vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P = P+ÅP- , trong đó P+ là không gian vectơ con dương, P- là không gian vectơ con âm và P+ ^ P- (trường hợp P dương (hoặc âm) thì ta xem P- = (hoặc P+ = )). Chứng minh: a) Đặt P0 = PÇP^. Khi đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng. Vì P0 là không gian vectơ con của Vnk nên tồn tại không gian vectơ con N của Vnk sao cho: P0ÅN = Vnk Vì vậy: P0Å(NÇP) = P Đặt P1 = NÇP. Suy ra: P1 ^ P0 (Vì P0 Ì P^ và P1Ì P) Ta sẽ chứng minh P1 không suy biến. Xét vectơ ÎP1 sao cho , ÎP1 Nhận thấy: , ÎP0 (Do P1 ^ P0) Vì P0ÅP1 = P nên ta suy ra: , ÎP Do đó : ÎP^ ÞÎ NÇPÇP^ = P0Ç P1 = Nên: Vậy P1 không suy biến và ta có điều phải chứng minh. b) Gọi P+ là không gian vectơ con dương có số chiều lớn nhất của P. Khi đó P+ không suy biến và P+Å(P+)^ = Vnk. Vì vậy: P+Å(PÇ(P+)^) = P Đặt P- = PÇ(P+)^. Suy ra: P+ ^ P- và P+ÅP- = P Ta sẽ chứng minh P- âm. Giả sử tồn tại ÎP- , sao cho . Khi đó ÎP+ thì: và dương (trái điều kiện P+ là không gian con dương có số chiều lớn nhất của P) Vậy P- không dương. Do đó ta có bất đẳng thức Schwarz: , ,ÎP- . Ta xét vectơ ÎP- sao cho Khi đó, ÎP- ta luôn có: Suy ra: , ÎP- Mặt khác ta có: , ÎP+ (Vì P+ ^ P-) Do P+ÅP- = P nên ta suy ra: , ÎP Vì P không suy biến nên ta được: Vậy P- âm và ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 1: Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn được dưới dạng P = P+ÅP-ÅP0, trong đó P+ là không gian vectơ con dương, P- là không gian vectơ con âm và P0 là không gian vectơ con đẳng hướng. Hệ quả 2: Mọi không gian vectơ con không suy biến P của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Từ đó P là không gian con của Vnk khi và chỉ khi P không suy biến. Hệ quả 3: Nếu P là không gian con của Vnk thì P^ cũng là không gian con của Vnk. Từ đó, nếu P ^ Q và P (hoặc Q) là không gian con của Vnk thì P Ç Q = . Định lý Cho P, Q là các không gian con của Vnk. Khi đó, điều kiện cần và đủ để P ^ Q là trong P tìm được cơ sở trực chuẩn và trong Q tìm được cơ sở trực chuẩn sao cho là hệ trực chuẩn của Vnk. Chứng minh: (Þ): Vì P ^ Q và P, Q là các không gian con của Vnk nên P Ç Q = . Do đó, nếu ta lấy lần lượt trong P và Q các cơ sở trực chuẩn và thì hệ sẽ là hệ trực chuẩn trong Vnk. (Ü): Nếu trong Vnk có một hệ trực chuẩn sao cho , lần lượt là cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với Î P, Î Q, ta có: , Vậy . Do đó P ^ Q. 1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP Dạng song tuyến tính Định nghĩa Cho không gian vectơ V trên trường số thực R. Khi đó ánh xạ: được gọi là một dạng song tuyến tính nếu thì: (i) (ii) Biểu thức tọa độ Trong Vn cho cơ sở và S là một dạng song tuyến tính. Đặt . Với ,ÎVn thì , có dạng: , Khi đó: (1) Gọi , lần lượt là ma trận cột tọa độ của , và thì từ (1) ta có: (2) Dạng (2) được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính S. Ma trận C được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính S đối với cơ sở . Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính Cho phép biến đổi tuyến tính . Xét ánh xạ Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính duy nhất của và tích vô hướng xác định trên Vnk). Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk, A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính đối với cơ sở trực chuẩn đó. Ta tìm ma trận C của dạng song tuyến tính l