Luận văn Một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ––––––––––––––––––– Nguyễn Tuấn Ngọc MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỞ ĐẦU “Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học” (SZE – TSEN – HU) Vâng, ngay sau khi được đề cập lần đầu tiên bởi S.Eilenberg và S. Maclane – năm 1944, lý thuyết phạm trù và hàm tử đã nhanh chóng tìm được sự ứng dụng ngày càng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Các hàm tử mở rộng – Extn, là một trong bốn trụ cột cơ bản của đại số đồng điều (ba hàm tử còn lại là Hom, Ä, và Torn). Luận văn này nhằm trình bày một ứng dụng lý thú của hàm tử Ext, đó là giải quyết một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh. Chẳng hạn như đi tìm các điều kiện cần và đủ để hai môđun là tương đương xạ ảnh, Do thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ nghiên cứu một số lớp các môđun tương đương xạ ảnh đặc biệt (như môđun hữu hạn sinh,) trên vành hệ tử đặc biệt. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu trên vành hệ tử R = , là vành các số nguyên – khi đó môđun trên  chính là các nhóm aben, vành hệ tử R là vành chính và nghiên cứu một số lớp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành hệ tử là vành giao hoán có đơn vị tùy ý. Việc nghiên cứu đề tài này giúp nhận biết được khi nào hai môđun là tương đương xạ ảnh thông qua các đặc điểm riêng biệt của mỗi môđun. Và qua đó giúp nghiên cứu một số vấn đề khác liên quan đến lớp các môđun tương đương xạ ảnh, chẳng hạn như số chiều xạ ảnh,Và qua đề tài này chúng tôi cũng đã mở rộng được một số kết quả đáng lưu ý như là mở rộng một số kết quả từ lí thuyết nhóm aben sang lí thuyết môđun trên vành chính. Đây là điều làm chúng tôi tâm đắc nhất. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục này chúng tôi xin nhắc lại các kiến thức cơ bản có liên quan có thể sử dụng chúng khi trình bày luận văn. Đó là một số khái niệm và kết quả về lí thuyết nhóm, lí thuyết môđun, hàm tử Ext, hàm tử Tor,Đối với các khái niệm môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp các môđun, dãy khớp, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, lí thuyết các vành giao hoán, chúng ta xem như đã biết. Những khái niệm và kết quả này có thể tìm thấy chúng trong mục “tài liệu tham khảo” được chỉ ra ở trang cuối của luận văn này. Trong luận văn này, vành R luôn được xét là vành giao hoán có đơn vị. Và môđun trên R là R – môđun trái (thật ra khi R là vành giao hoán có đơn vị thì R – môđun trái cũng có thể xem như là R – môđun phải). 1.1. Phức hợp, đồng điều và đối đồng điều: Phức hợp dây chuyền K các R – môđun là họ  ,n n nK   gồm các R – môđun Kn và các R – đồng cấu 1:n n nK K   sao cho : 1 0n n   . Đồng điều ( )H K đó là họ các môđun ( ) Kern nH K   1Im .n Phức  ,nK K  gọi là phức dương nếu Kn = 0 khi n < 0. Phức  ,nK K  gọi là phức âm nếu Kn = 0 khi n > 0. Để tiện lợi về mặt kí hiệu, các phức âm với chỉ số dưới thường dùng: 1 0 1 1 1 0: 0n nn n nK K K K K K                   được viết lại thành phức chỉ số trên theo phép đổi biến (–n) thay bởi n. Khi đó, K–n được viết là nK , còn 1:n n nK K     được viết là 1:n n nK K  . Môđun đồng điều của phức theo chỉ số trên  ,n nK K  được xác định theo công thức: n( ) KernH K  1Im .n  Cho phức  ,nK K  các R – môđun và G là một R – môđun. Tác động hàm tử phản biến Hom(–,G) lên phức K ta được phức chỉ số trên, kí hiệu là Hom(K,G), gồm các nhóm aben: 1 1 1Hom( , ) Hom( , ) Hom( , ) n n n n nK G K G K G         trong đó 1: Hom( , ) Hom( , )n n nK G K G  được xác định theo công thức: 1 * 11 1( ) ( 1) ( ) ( 1) , Hom( , ). n n n n n nf f f f K G           Đồng điều của phức Hom(K,G) được gọi là đối đồng điều của phức K với hệ số trong G. Đó là họ các nhóm aben được đánh số theo chỉ số trên: ( , ) (Hom( , )) Kern n nH K G H K G   1Im .n  1.2. Phức trên môđun và phép giải xạ ảnh (tự do) của môđun: Phức  ,X  trên môđun C là dãy các môđun Xn ( 0n  ) và các đồng cấu: 1 11 1 0 0n nn nX X X X C           (1.2.1) mà tích nối tiếp hai đồng cấu bất kì là bằng 0. Một phép giải của môđun C là dãy khớp dạng (1.2.1). Một phép giải xạ ảnh (tự do) của môđun C là dãy khớp dạng (1.2.1) và mỗi môđun Xi là môđun xạ ảnh (tự do). 1.3. Mệnh đề: Mỗi môđun đều tồn tại một phép giải tự do. Do đó tồn tại phép giải xạ ảnh. 1.4. Mở rộng môđun: Một mở rộng của môđun A nhờ môđun C là một dãy khớp ngắn E = ( , ) : A  B C. 1.5. Cấu xạ giữa các mở rộng: Cấu xạ ': E E  của các mở rộng là bộ ba ( , , )    sao cho biểu đồ sau giao hoán: ' '' ' ' ' 0 0 0 0 E A B C E A B C                   . Trong trường hợp ' ',A A C C  thì 'E trở thành mở rộng của A nhờ C. Hai mở rộng của A nhờ C được gọi là toàn đẳng, kí hiệu ',E E nếu tồn tại cấu xạ   '1 , ,1 : .A C E E  1.6. Mệnh đề: Quan hệ toàn đẳng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương. Gọi ExtR(C,A) hay đơn giản là Ext(C,A) (nếu không sợ nhầm lẫn về vành hệ tử R) là tập hợp tất cả các lớp toàn đẳng của các mở rộng của A nhờ C. Mỗi lớp như thế được kí hiệu là: clsE Ext( , ),C A với E là một mở rộng của A nhờ C. Hay kí hiệu đơn giản hơn là: Ext( , )E C A . Mở rộng 0 0A A C C     được gọi là mở rộng chẻ. 1.7. Mệnh đề: Nếu E là mở rộng của A nhờ C và ':C C  là đồng cấu thì tồn tại mở rộng 'E của A nhờ 'C và cấu xạ '(1 , , ) :A E E    . Cặp  ', E được xác định duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của 'E . Mở rộng 'E được kí hiệu là * 'Ext( , )E E C A   . 1.8. Mệnh đề: Nếu E là mở rộng của A nhờ C và ': A A  là đồng cấu thì tồn tại mở rộng 'E của 'A nhờ C và cấu xạ '( , ,1 ) :C E E    . Cặp  ', E được xác định duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của 'E . Mở rộng 'E được kí hiệu là '* Ext( , )E E C A   . 1.9. Mệnh đề: Ta có các toàn đẳng sau: ' '1 ; ( ) ( )CE E E E     với ':C C  , ' '' ':C C  . ' '1 ; ( ) ( )A E E E E     với ': A A  , ' ' '': A A  . ( ) ( )E E     với ': A A  , ':C C  .  Mọi cấu xạ mở rộng '( , , ) : E E     ta có toàn đẳng ' .E E  1.10. Phép cộng các mở rộng: Cho hai mở rộng ( , ) :i i i iE A B C    với i = 1, 2. Khi đó, tổng trực tiếp của hai mở rộng là: 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) :E E A A B B C C           . Phép cộng hai mở rộng E1 và E2 là mở rộng: 1 2 1 2( )A CE E E E    trong đó C và A lần lượt là đồng cấu chéo và đồng cấu tổng xác định bởi: : ( , ) C C C C c c c     và  1 2 1 2 : , A A A A a a a a     . 1.11. Mệnh đề: Đối với các môđun A và C cho trước, tập các lớp toàn đẳng của các mở rộng môđun A nhờ môđun C là nhóm aben với phép toán hai ngôi cho tương ứng các lớp toàn đẳng của các mở rộng E1 và E2 là lớp toàn đẳng của mở rộng: 1 2 1 2( )A CE E E E    (phép cộng Berơ). Lớp toàn đẳng của mở rộng chẻ A A C C  là phần tử không của nhóm này. Phần tử đối của lớp toàn đẳng của mở rộng E là lớp toàn đẳng của mở rộng ( 1 )A E . Và đối với các đồng cấu ': A A  , ':C C  , :i iA A  , :i iC C  , i = 1, 2 ta có:  1 2 1 2E E E E      ;  1 2 1 2E E E E     . (1.11.1)  1 2 1 2E E E       ;  1 2 1 2E E E      . Các qui tắc ở (1.11.1) chỉ ra rằng các ánh xạ sau là các đồng cấu nhóm: ' * : Ext( , ) Ext( , )C A C A cls E cls E     và * ': Ext( , ) Ext( , )C A C A cls E cls E     . Hơn nữa, Ext(–,–) là song hàm tử cộng tính. 1.12. Mệnh đề: Nếu E = ( , ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm aben sau đối với bất kì môđun G: 0 Hom( , ) Hom( , ) Hom( , ) Ext( , ) Ext( , ) Ext( , )C G B G A G C G B G A G      0 Hom( , ) Hom( , ) Hom( , ) Ext( , ) Ext( , ) Ext( , )G A G B G C G A G B G C      trong đó các đồng cấu nối *E và *E xác định bởi: * : Hom( , ) Ext( , )E A G C G cls E    và * : Hom( , ) Ext( , )E G C G A cls E    . 1.13. Mệnh đề: Môđun P là xạ ảnh  Ext(P,G) = 0 với mọi môđun G. 1.14. Dãy khớp n – dài: Dãy khớp S có độ dài n bắt đầu từ A và kết thúc tại C là dãy khớp có dạng: 1 11 0: 0 0nnS A B B C         * * * * *E    * * * * *E    Ta viết dãy khớp n – dài bất kì S như là tích của n dãy khớp ngắn: 1 1...n nS E E E    trong đó 1 1:i i i iE K B K   với Ki = Im 1( )i iB B  = Ker 1 2( )i iB B  , i = 1, , n–1 và Kn =A, Ko = C. Các dãy Ei là duy nhất chính xác tới một toàn đẳng. Dãy khớp n – dài thứ hai 'S cùng có chung hai đầu với S gọi là toàn đẳng với S nếu 'S có thể nhận được từ S bởi hữu hạn các phép biến đổi thuộc ba dạng sau: ( i ) thay bất kì nhân tử Ei bởi dãy khớp ngắn toàn đẳng với nó. ( ii ) nếu hai dãy nhân tử có dạng  '' 'E E  thì chúng có thể thay bởi  '' 'E E . ( iii ) nếu hai dãy nhân tử có dạng  '' 'E E thì chúng có thể thay bởi  '' 'E E  . Nếu S là dãy khớp n – dài bắt đầu từ A và kết thúc tại C thì ta định nghĩa tích S và S với các đồng cấu ': A A  và ':C C  nhờ các công thức:  1 1 1 1... ( ) ... .n n n nE E E E E E         1 1 1 1... ... ( ).n n n nE E E E E E        Bây giờ ta kí hiệu Ext ( , )nR C A là tập tất cả các lớp toàn đẳng cls S  các dãy khớp n – dài bắt đầu từ A và kết thúc tại C. Ta xem 0Ext ( , )C A như là Hom(C,A). 1.15. Mệnh đề: Đối với mỗi n, Ext ( , )nR C A là nhóm aben đối với phép cộng được xây dựng nhờ tổng Berơ: nếu 1 2, Ext ( , )nR C A   thì 1 2 1 2( ) .A C       1.16. Mệnh đề: Nếu P là môđun xạ ảnh thì Ext ( , ) 0,n P G  với bất kì môđun G, 0n  . 1.17. Mệnh đề: Ta có các đẳng cấu nhóm aben sau:  1 1 Ext , Ext ( , ). k k n n i ii i C A C A          1 1 Ext , Ext ( , ). k k n n i ii i C A C A         1.18. Mệnh đề: Nếu C và A là các R – môđun và : X C  là phép giải xạ ảnh của C, thì tồn tại đẳng cấu: Ext ( , ) ( , )n nC A H X A với n = 0, 1, 2, 1.19. Mệnh đề: Nếu E = ( , ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm aben sau đối với bất kì môđun G: * * * 1Ext ( , ) Ext ( , ) Ext ( , ) Ext ( , )n n n nEC G B G A G C G        * * * 1Ext ( , ) Ext ( , ) Ext ( , ) Ext ( , )n n n nEG A G B G C G A        Lần lượt các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên bên trái tương ứng là: 00 Hom( , ) Ext ( , )C G C G  và 00 Hom( , ) Ext ( , )G A G A  và kéo dài về bên phải theo tất cả các n = 0, 1, 2, Các đồng cấu trong dãy xác định như sau: Ext ( , )n C G  , Ext ( , )n B G  , Ext ( , )n A G  , ' Ext ( , )n G A  , ' Ext ( , )n G B  , ' Ext ( , )n G C  , thì: *   ; *   ; * ( 1) .nE E   ' ' *   ; ' '*   ; ' '*E E  . 1.20. Nhóm aben 1.20.1. Mệnh đề: Nếu G là nhóm aben và H là nhóm con của G sao cho G H là nhóm aben tự do thì G H K  trong đó K là nhóm aben tự do nào đó. 1.20.2. Cấu trúc nhóm aben hữu hạn: Một nhóm aben là hữu hạn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố. 1.20.3. Cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh: Một nhóm aben là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các nhóm cyclic có cấp vô hạn hoặc có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố. 1.20.4. Mệnh đề: Nhóm aben hữu hạn sinh và xoắn là nhóm aben hữu hạn. 1.20.5. Hệ quả: Nếu G là nhóm aben hữu hạn sinh thì ( )G G F  trong đó ( )G là nhóm con xoắn của G và F là nhóm aben tự do. 1.20.6. Hệ quả: Nhóm con xoắn của nhóm aben hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn. 1.21. Môđun trên vành chính Trong mục này ta nêu một số khái niệm và kết quả trong lí thuyết môđun trên vành chính R như sau: 1.21.1. Môđun con xoắn của một môđun: Cho R là miền nguyên và X là R – môđun. Phần tử x  X gọi là phần tử xoắn nếu \{0} : 0r R rx   . Đặt ( )X là tập tất cả các phần tử xoắn của X. Khi đó, ( )X là môđun con của X. Nếu ( )X = {0} thì X gọi là môđun không xoắn. Nếu ( )X = X thì X gọi là môđun xoắn. Ta có ( ) X X là môđun không xoắn. 1.21.2. Mệnh đề: Môđun con của môđun tự do trên vành chính là môđun tự do. 1.21.3. Mệnh đề: Cho M là môđun tự do trên vành chính R, có hạng 1n  và N là môđun con của M. Khi đó tồn tại một cơ sở  1 2, ,..., ny y y của M và các phần tử khác không  1 2, ,..., qa a a của R sao cho q n và  1 1 2 2, ,..., q qa y a y a y là một cơ sở của N. 1.21.4. Mệnh đề: Trên vành chính, môđun con của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh. 1.21.5. Mệnh đề: Trên vành chính, P là môđun tự do  P là môđun xạ ảnh. 1.21.6. Mệnh đề: Đối với các môđun A và C trên vành chính R, Ext ( , ) 0, 1nR C A n   . CHƯƠNG 2: CẤU TRÚC MÔĐUN CHO EXT 2.1. Mệnh đề: Ta biết rằng với hai môđun A và C cho trước thì Ext ( , )R C A là nhóm aben đối với phép cộng được xây dựng nhờ tổng Berơ. Hơn nữa, khi R là vành giao hoán có đơn vị thì Ext ( , )R C A có thể xem là R – môđun với phép nhân ngoài được định nghĩa như sau: ,r R cls E   Ext ( , )R C A , .( ) ( )Ar cls E cls r E (*) trong đó : :Ar A A là đồng cấu R – môđun xác định bởi: a ra Chứng minh: Trước tiên ta kiểm tra định nghĩa trên là hợp lí: Thật vậy, ta kiểm tra :Ar A A là đồng cấu R – môđun:  s  R, a, a1, a2  A ta có:  1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ).A A Ar a a r a a ra ra r a r a         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .A Ar sa r sa rs a sr a s ra s r a     (rs = sr do R là vành giao hoán) Hơn nữa, nếu 'E E thì 'A Ar E r E (do tính duy nhất của mở rộng E ) hay .( )r cls E = '.( )r cls E .  Ta có nhận xét một số tính chất của đồng cấu Ar : 2.1.1. Nhận xét:  r, s  R , ( ) .A A Ars r s và ( )A A Ar s r s   . Thật vậy, a  A ta có :  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . )( ).A A A A A Ars a rs a r sa r sa r s a r s a     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ).A A A A Ar s a r s a ra sa r a s a r s a          2.1.2. Nhận xét: Với mọi đồng cấu R – môđun  : A  B,  r  R , ta có: .A Br r  Thật vậy,a  A ta có:    ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ).A A B Br a r a ra r a r a r a           Trở lại mệnh đề 2.1, ta kiểm tra 4 tiên đề của Môđun: ', , , Ext( , )r s R cls E cls E C A    ta có:  M1: 1.cls E (1 ) .Acls E cls E   M2:   ( ). (( ) ) .A A Ars cls E cls rs E cls r s E  (theo nhận xét 2.1.1)       . . . .A A Acls r s E r cls s E r s clsE    M3: ' ' ' '.( ) . ( ) ( ) ( )A A Ar cls E cls E r cls E E cls r E E cls r E r E       = ' '( ) ( ) . . .A Acls r E cls r E r cls E r cls E    M4:     ( ). ( )A A Ar s cls E cls r s E cls r s E     (theo nhận xét 2.1.1)       . . .A A A Acls r E s E cls r E cls s E r cls E s cls E      Như vậy Ext ( , )R C A là R – môđun.  Ở đây xin nhắc lại rằng, khi R là vành giao hoán có đơn vị thì ta có thể biến Hom( X,Y ) thành R – môđun, trong đó X, Y là hai R – môđun, với phép nhân ngoài được xác định như sau:  r  R,  f  Hom( X,Y ), ( rf ) : X  Y (**) x  rf(x) 2.1.3. Nhận xét: Với định nghĩa phép nhân ngoài trên thì ta có:  r  R, f  Hom( X,Y ), Y Xrf r f fr  . Thật vậy, x  X, ta có:  ( )( ) ( ) ( ) ( )( ).Y Yrf x rf x r f x r f x    ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ).X Xrf x rf x f rx f r x fr x     2.1.4. Nhận xét: Cho dãy khớp ngắn E = ( , ) : A  B C. Khi đó, r R, ta có toàn đẳng: A Cr E Er . Hay ( ) ( )A Ccls r E cls Er . Thật vậy, theo nhận xét 2.1.2 ta có: A Br r  và B Cr r  . Do đó, ta có sơ đồ giao hoán: 0 0 0 0 CBA E A B C r E A B C rr               Do đó, theo mệnh đề 1.9 ta có toàn đẳng: A Cr E Er .  2.2. Mệnh đề: Ta biết rằng với đồng cấu R – môđun  : A  B, X là R – môđun tùy ý, thì ta có các đồng cấu nhóm cảm sinh sau đây: + * : Hom( , ) Hom( , )X A X B  xác định bởi *( ) , Hom( , ).f f f X A    + * : Hom( , ) Hom( , )B X A X  xác định bởi *( ) , Hom( , ).g g g B X    + * : Ext( , ) Ext( , )X A X B  với *( ) , Ext( , ).clsE cls E clsE X A    + * : Ext( , ) Ext( , )B X A X  với *( ) ( ), Ext( , ).clsE cls E clsE B X    Hơn nữa, khi xem Hom(–,–), Ext(–,–) là các R – môđun với phép nhân ngoài định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cấu * và * trên còn là các đồng cấu R – môđun. Chứng minh:  Kiểm tra * : Hom( , ) Hom( , )X A X B  là đồng cấu R – môđun. x  X,  r  R,  f  Hom( X,A ), ta có:            *( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )rf x rf x rf x rf x r f x r f x             * *( )( ) ( ) ( ).r f x r f x   Hay * *( ) ( )rf r f  .  Kiểm tra * : Hom( , ) Hom( , )B X A X  là đồng cấu R – môđun. x  X,  r  R,  f  Hom( B,X ), ta có:         *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )rf x rf x rf x r f x r f x           * *( )( ) ( ) ( ).r f x r f x         Hay * *( ) ( )rf r f  .  Kiểm tra * : Ext( , ) Ext( , )X A X B  là đồng cấu R – môđun. , Ext( , )r R clsE X A    ta có:  * *( . ) ( ) ( )A Ar clsE cls r E cls r E    ( ) ( )A Bcls r E cls r E   (theo nhận xét 2.1.2) *( ) .( ) . ( ).Bcls r E r cls E r cls E      Kiểm tra * : Ext( , ) Ext( , )B X A X  là đồng cấu R – môđun. , Ext( , )r R clsE B X    ta có:  * * *( . ) ( ) ( ) ( ) .( ) . ( ).X X Xr clsE cls r E cls r E cls r E r cls E r cls E           2.3. Mệnh đề: Ta biết rằng nếu E = ( , ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có các đồng cấu nối *E và *E là các đồng cấu nhóm xác định bởi: * : Hom( , ) Ext( , )E A G C G cls E    và * : Hom( , ) Ext( , )E G C G A cls E    trong đó G là môđun bất kì. Hơn nữa, khi xem Hom(–,–), Ext(–,–) là các R – môđun với phép nhân ngoài định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cấu nhóm *E và *E trên còn là các đồng cấu R – môđun. Chứng minh:  Kiểm tra * : Hom( , ) Ext( , )E A G C G là đồng cấu R – môđun.   Hom(A,G),  r  R, ta có: *( ) ( ) ( )GE r cls r E cls r E    (theo nhận xét 2.1.3) *( ) . ( ) . ( ).Gcls r E r cls E r E      Kiểm tra * : Hom( , ) Ext( , )E G C G A là đồng cấu R – môđun.    Hom(G,C),  r  R, ta có: *( ) ( ) ( )CE r cls E r cls E r    (theo nhận xét 2.1.3) ( ) ( )C Acls Er cls r E   (theo nhận xét 2.1.4)      *. . ( ).Acls r E r cls E r E      2.4. Mệnh đề: Nếu E = ( , ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp sau của các R – môđun đối với bất kì môđun G: 0 Hom( , ) Hom( , ) Hom( , ) Ext( , ) Ext( , ) Ext( , )C G B G A G C G B G A G      0 Hom( , ) Hom( , ) Hom( , ) Ext( , ) Ext( , ) Ext( , )G A G B G C G A G B G C      Chứng minh: * * * * *E    * * * * *E    Theo mệnh đề 1.12, nếu E = (  , ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm aben sau đối với bất kì môđun G: 0 Hom( , ) Hom( , ) Hom( , ) Ext( , ) Ext( , ) Ext( , )C G B G A G C G B G A G      0 Hom( , ) Hom( , ) Hom( , ) Ext( , ) Ext( , ) Ext( , )G A G B G C G A G B G C      Bây giờ ta xem Hom(–,–), Ext(–,–) là các R – môđun với phép nhân ngoài định nghĩa như ở (*) và (**) thì theo các mệnh đề 2.2 và mệnh đề 2.3 các đồng cấu nhóm * ** *, , ,    , *E và *E còn là các đồng cấu R – môđun. Như vậy, hai dãy khớp các nhóm aben trên trở thành hai dãy khớp của các R – môđun.  2.5. Mệnh đề: Ta có các đẳng cấu các môđun sau:   1 2 1 2Ext , Ext( , ) Ext