Luận văn Một số vấn đề về vành chính qui von Neumann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công Minh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công Minh Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 2 MỤC LỤC trang Trang phụ bìa ........................................................................................... 1 Mục lục ..................................................................................................... 2 Các qui ước và kí hiệu .............................................................................. 3 MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5 Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................. 8 1.1. Phần tử chính qui trong vành .................................................... 8 1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui ...................................... 8 1.1.2. Vành Abel ...................................................................... 10 1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R - môđun ...................................................................... 12 1.2. Vành chính qui Von Neumann ................................................. 13 1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ ............................................ 13 1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui ............ 15 Chương 2 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI ................... 16 2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui .................................. 16 2.2. Môđun xạ ảnh trên vành chính qui ........................................... 29 2.3. Vành chính qui Abel ................................................................. 48 Chương 3 - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT ..................... 62 3.1. Vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui .......... 62 3.2. Vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert ................. 69 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................. 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 79 3 CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆU ƒ Hầu hết các vành trong luận văn được giả sử rằng kết hợp và có đơn vị, các vành con và đồng cấu vành cũng được cho là có đơn vị. Ta hay kí hiệu R là vành với đơn vị 1. ƒ Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương R/I được cho bởi qui luật x x x I= +6 . ƒ Đôi khi miền nguyên được hiểu là không cần giao hoán. ƒ Cho vành R và số nguyên dương n, ( )nM R là vành các ma trận vuông cấp n trên R. ƒ Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu 2 ( )L R để chỉ dàn các iđêan hai phía của R (được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm) và ta sử dụng kí hiệu Mod - R để chỉ phạm trù tất cả R - môđun phải. ƒ Tất cả các môđun trong luận văn đều là môđun trên một vành có đơn vị. Hầu hết chúng là các môđun phải, và do đó các đồng cấu thường được viết về phía bên trái chúng. Cụ thể, môđun phải A trên vành R được xem như là một môđun trái trên End ( )R A - vành các tự đồng cấu của nó. ƒ Nếu A là R - môđun, kí hiệu B ≤ A nghĩa là B là môđun con của A, và kí hiệu B < A nghĩa là B là môđun con thực sự của A. Trong trường hợp đặc biệt, nếu R là vành thì: RI R≤ : I là iđêan phải của R RI R≤ : I là iđêan trái của R ƒ Với A, B là các môđun: eA B≤ : A là môđun con cốt yếu của B, nghĩa là 0A C∩ ≠ với mọi môđun con C khác 0 của B. 4 A B≺ : A đẳng cấu với một môđun con của B. ƒ Cho A là môđun và một số nguyên không âm n, nA là tổng trực tiếp n bản sao của A. Tương tự, nếu α là một bản số vô hạn, Aα là tổng trực tiếp của α bản sao của A. ƒ Với môđun A tùy ý, E(A) là bao nội xạ của A, nghĩa là môđun nội xạ bé nhất sao cho A cốt yếu trong E(A). ƒ Một R - môđun phải không suy biến M được hiểu theo nghĩa M là môđun sao cho phần tử duy nhất của M bị linh hóa bởi một iđêan phải của R là phần tử không. 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Khái niệm vành chính qui Von Neumann xuất hiện năm 1936 khi John Von Neumann định nghĩa một vành chính qui là một vành R với tính chất: với mỗi phần tử a R∈ luôn tồn tại b R∈ sao cho a aba= . Để phân biệt với những vành chính qui khác như chính qui Noether trong đại số giao hoán, lí thuyết các vành không giao hoán đã sửa đổi tên gọi và đưa thêm “Von Neumann” vào tên gọi của loại vành đặc biệt này. Tuy nhiên thực sự có rất ít cơ hội nhầm lẫn hai khái niệm này bởi vì chúng rất hiếm khi được nghiên cứu chung. Ví dụ điển hình về vành chính qui (Von Neumann) là vành đầy đủ các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia. Chuyển động theo hệ tọa độ trong hình học xạ ảnh được nghiên cứu lại trong thời gian này (1936) theo ngôn ngữ dàn, và Von Neumann giới thiệu vành chính qui như một công cụ đại số để nghiên cứu những dàn thuộc dạng này. Dàn được Von Neumann đặc biệt quan tâm được nảy sinh trong khi hợp tác làm việc với F.J.Murray để giải quyết các vấn đề về đại số các toán tử trên một không gian Hilbert, mà sau này được biết đến với tên gọi đại số Von Neumann hay W* - đại số. Mặc dầu W* - đại số A trở thành vành chính qui chỉ khi A hữu hạn chiều, một vành chính qui có thể gán với A bằng cách làm việc với tập P(A) các phép chiếu, mỗi một phép chiếu trên A trở thành một lũy đẳng tự liên hợp. Đối với W* - đại số hữu hạn A, Murray và Von Neumann sử dụng một vành chính qui R để “tọa độ hóa” P(A) theo nghĩa P(A) trở nên đẳng cấu tự 6 nhiên với dàn các iđêan phải chính của R. Chú ý rằng hữu hạn ở đây là hữu hạn trực tiếp, nghĩa là nếu * 1t t = thì * 1t t = với mọi t A∈ . Mở rộng ý tưởng này, Von Neumann đã phát minh ra các vành chính qui sao cho có thể tọa độ hóa những dàn modular có phần bù, và một dàn L được tọa độ hóa bởi một vành chính qui R nếu nó đẳng cấu với dàn các iđêan phải chính của R. Như Von Neumann đã chỉ ra, hầu hết các dàn modular có phần bù có thể tọa độ hóa bởi một vành chính qui nào đó. Theo quan điểm lí thuyết các vành thuần túy, các vành chính qui được xem như một chủ đề nghiên cứu bị lãng quên trong một quãng thời gian dài. Trong quyển sách kinh điển của Nathan Jacobson về lí thuyết vành: “Structure of rings”, vành chính qui được đề cập đến chỉ trong một phần nhỏ. Tuy nhiên có thể nói rằng các vành chính qui có nhiều lợi ích xứng đáng để nghiên cứu, bởi vì chúng xuất hiện trong rất nhiều ngữ cảnh. Dùng những kiến thức đã học ở bậc Đại học và Sau đại học để tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác, với cách nhìn tổng quát hơn là một trong những mục tiêu quan trọng của học viên. Ngay từ thuở sinh viên, khi làm luận văn tốt nghiệp bậc đại học, tác giả đã có dịp tiếp xúc với vành chính qui Von Neumann với đề tài “Vành Chính Qui Von Neumann”. Thế nhưng, với những hạn chế của một sinh viên lúc bấy giờ về Đại số đồng điều và các kiến thức về Đại số giao hoán, Đại số không giao hoán, tác giả đã gặp nhiều khó khăn và chưa thể có một cái nhìn thật sự tổng quan về vành chính qui Von Neumann. Do vậy, sau khi đã được trang bị một số kiến thức mới từ khóa học Sau đại học, tác giả quyết định tiếp tục nghiên cứu vành chính qui Von Neumann với mong muốn dùng những kiến thức vừa được học để tiếp tục nghiên cứu vấn đề. 7 2. Mục đích nghiên cứu. Mục đích của đề tài là tiếp tục xem xét các tính chất của vành chính qui Von Neumann trên cơ sở luận văn ở bậc đại học: “Vành chính qui Von Neumann”. Đồng thời chú trọng việc cụ thể hóa những khái niệm liên quan vào các vành cụ thể và tìm hiểu các tính chất đặc trưng của khái niệm đó. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ƒ Đối tượng nghiên cứu: Vành chính qui Von Neumann. ƒ Phạm vi nghiên cứu: Lí thuyết vành và môđun. 4. Ý nghĩa của việc nghiên cứu đề tài. Luận văn có thể xem như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên hoặc những người mới bắt đầu quan tâm đến vành chính qui Von Neumann - một đối tượng rất hay gặp trong nhiều ngữ cảnh khác nhau của đại số. 8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Mục đích của chương này là điểm lại một số khái niệm cơ bản và các kết quả đơn giản về vành chính qui Von Neumann. Hầu hết các kiến thức được trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ [3] theo quan điểm tóm tắt lại những kết quả chính đã đạt được khi nghiên cứu về vành chính qui Von Neumann từ thuở luận văn sinh viên. Do đó, ở đa số mệnh đề, các chứng minh không được trình bày lại. 1.1. Phần tử chính qui trong vành. 1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui. Định nghĩa 1.1. Phần tử x R∈ được gọi là phần tử chính qui Von Neumann nếu tồn tại sao cho a R∈ xax x= . Nếu x là phần tử chính qui Von Neumann, ta còn nói vắn tắt x là phần tử chính qui hay x chính qui. Ví dụ 1.2. a) Nếu R là vành chia thì mọi phần tử của R đều chính qui. b) Phần tử lũy đẳng là phần tử chính qui. Tiếp theo sau đây là các tính chất cơ bản nhất của phần tử chính qui trong một vành tùy ý. Mệnh đề 1.3. Phần tử x R∈ là chính qui nếu và chỉ nếu iđêan phải (trái) chính của R sinh bởi x được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức là xR eR= . Ta kí hiệu tập tất cả các phần tử chính qui của vành R là Von(R). Với mỗi vành R, tập Von(R) có tính chất ổn định đối với việc chọn phần tử a cho mỗi phần tử chính qui x mà xax x= . Cụ thể hơn ta có: Mệnh đề 1.4. Cho vành R và Von( )x R∈ . Khi đó tồn tại sao cho: Von( )y R∈ ,xyx y yxy y= = . Phần tử y được gọi là phần tử ngược của x. 9 Mệnh đề 1.4 cho ta thấy mỗi phần tử chính qui đều có phần tử ngược với nó, và phần tử ngược này cũng chính qui. Hiển nhiên một câu hỏi sẽ được đặt ra ngay tại đây là: Phần tử ngược của một phần tử chính qui có duy nhất không? Xét trong một vành chia R chẳng hạn, ta thấy mỗi phần tử chính qui có ngược là duy nhất. Trong lúc đó, đối với phần tử lũy đẳng , với R là một vành tùy ý, ngoài phần tử ngược với nó là chính nó chúng ta không thể kết luận nó còn có bao nhiêu phần tử ngược với nó. Như sẽ thấy trong những phần tiếp sau của luận văn, khi xem xét vấn đề này trong một số vành cụ thể, vấn đề duy nhất của phần tử ngược của một phần tử chính qui trong vành phụ thuộc khá nhiều vào các tính chất của vành đó. Trong trường hợp chung nhất, ta có một kết quả cho phép mô tả mối liên hệ cấu trúc các phần tử ngược của một phần tử chính qui như sau: e R∈ Mệnh đề 1.5. Cho vành R và Von( )x R∈ . Chọn y là phần tử ngược của x. Nếu với ' (1 ) (1y y s xy yx= + − + − )t ,s t R∈ thì 'xy x x= . Ngược lại, nếu thỏa 'y 'xy x x= thì có dạng: 'y ' (1 ) (1y y s xy yx)t= + − + − . Ngoài ra, nếu có dạng 'y ' (1 ) (1y y s xy yx)t= + − + − thì điều kiện cần và đủ để là ( , với mọi ' 'y xy y= ' 1 )( )(1 ) 0yx s t txs xy− + − − = ,s yRy t Ry∈ ∈ . Mệnh đề 1.5 mô tả cho ta một lớp đủ nhiều các phần tử ngược của một phần tử chính qui. Mối liên hệ giữa phần tử ngược y của phần tử chính qui x với phần tử chính qui x còn được thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6. Cho vành R và Von( )x R∈ . Chọn y là phần tử ngược với x. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương: (a) (1 ) (1 ) Von( )x xy R yx R+ − − ⊂ . (b) (1 ) (1 ) Von( )xy R yx R− − ⊂ . (c) (1 ) Von( )x R yx R+ − ⊂ . (d) (1 ) Von( )x xy R R+ − ⊂ . 10 Mệnh đề sau đây cho ta một điều kiện khá hữu ích để nhận biết một phần tử chính qui. Nó sẽ được sử dụng như một bổ đề hữu dụng trong các phép chứng minh ở phần sau, cho nên ta tạm gọi nó là bổ đề 1.7. Bổ đề 1.7. Cho vành R và ,x y R∈ . Nếu Von( )x xyx R− ∈ thì Von( )x R∈ . Về cấu trúc của Von(R), nói chung nếu không có thêm các điều kiện bổ sung cho vành R thì không có gì đáng nói. Tuy nhiên, ta cũng có thông tin khá lí thú sau: Bằng cách áp dụng bổ đề 1.7 và bổ đề Zorn (về tập sắp thứ tự), ta có thể chứng minh được rằng trong Von(R) có chứa một iđêan và iđêan này “lớn nhất” theo nghĩa: vành thương reg ( )I R reg/ ( )R I R không chứa iđêan khác 0 nằm trong regVon( / ( ))R I R . Mệnh đề 1.8. Mỗi vành R đều có một iđêan “lớn nhất” sao cho: , reg ( )I R reg ( ) Von( )I R R⊂ reg ( ) Von( ) Von( )I R R R+ ⊂ và vành thương reg/ ( )R I R không chứa iđêan khác 0 nằm trong regVon( / ( ))R I R . 1.1.2. Vành Abel. Như đã nhận xét trong mục trước, nếu không có các điều kiện bổ sung cho vành R thì nói chung trên Von(R) không có một cấu trúc nào cả. Mục này dành cho việc xét tới cấu trúc của Von(R), khi R được bổ sung thêm các điều kiện mới để trở thành một vành Abel. Khái niệm về vành Abel được xác định như sau: Định nghĩa 1.9. Vành R được gọi là Abel nếu mọi phần tử lũy đẳng của R đều thuộc tâm của R. Ví dụ 1.10. a) Vành chia là vành Abel. b) Vành giao hoán là vành Abel. c) Tâm của vành R là vành Abel. 11 d) Nếu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mỗi lũy đẳng của R giao hoán với mọi phần tử của R, nói cách khác, R là vành Abel. Ngoài ra còn có một số ví dụ khác về vành Abel khi ta thêm vào điều kiện chính qui để chúng trở thành vành chính qui Abel - một đối tượng đáng quan tâm ở chương 2. Ta tạm dừng việc lấy các ví dụ về vành Abel để đưa ra một điều kiện tương đương của nó: Mệnh đề 1.11. Vành R là Abel nếu và chỉ nếu hai phần tử lũy đẳng bất kì của R giao hoán được với nhau. Theo mệnh đề 1.11, khi làm việc với vành Abel, ta tập trung chủ yếu vào các phần tử lũy đẳng. Kết nối nhận xét này với mệnh đề 1.3 và các lưu ý ở mệnh đề 1.4 ta trả lời được câu hỏi đặt ra trong phần nhận xét ngay sau mệnh đề 1.4. Nếu R là vành bất kì, Von(R) chưa chắc là một nửa nhóm. Chẳng hạn như trong vành các số nguyên môđulô n, ta khó mà mô tả nhiều về . Nhưng trong trường hợp R là vành Abel thì ta có kết quả sau: Von( )n] Mệnh đề 1.12. Nếu R là vành Abel thì Von(R) là một vị nhóm. Hơn nữa mỗi phần tử chính qui có một và chỉ một phần tử ngược với nó. Khi đó Von(R) được gọi là vị nhóm ngược. Ngược lại, nếu Von(R) là vị nhóm ngược thì R là vành Abel. Nhận xét 1.13. Nếu trong vành R mỗi phần tử chính qui đều có một phần tử ngược duy nhất tương ứng thì ta cũng không thể kết luận được phần tử ngược đó là phần tử nghịch đảo của phần tử chính qui. Để lấy ví dụ chứng tỏ nhận xét trên, ta chỉ cần R là vành giao hoán (hay chỉ cần R Abel là đủ, vì theo mệnh đề 1.12, phần tử ngược của phần tử chính qui trong vành Abel là duy nhất) nhưng không là miền nguyên (nghĩa là không thỏa luật giản ước). Chẳng hạn, trong 10 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=] ta có: 12 0.0.0 0, 1.1.1 1, 4.4.4 4, 5.5.5 5, 6.6.6 6, 9.9.9 9= = = = = = , 2.8.2 2, 8.2.8 8, 3.7.3 3, 7.3.7 7.= = = = Trong , mỗi phần tử đều chính qui và có duy nhất một phần tử ngược với nó. Tuy nhiên: 10] 2.8 8.2 6 1= = ≠ nên 2 và 8 không phải là nghịch đảo của nhau, mặc dù 2 và 8 ngược nhau, duy nhất. Do đó ta thấy khái niệm phần tử ngược tuy là mở rộng của khái niệm phần tử nghịch đảo nhưng không dễ thu hẹp khái niệm ngược về nghịch đảo. Trong [3], phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel được xem xét khá cẩn thận. Ta đã biết mỗi nhóm Abel có thể xem như một - môđun, vậy liệu các kết quả về phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel có thể nào được chuyển sang vô điều kiện cho vành các tự đồng cấu của một R - môđun, trong đó R là vành có đơn vị tùy ý? ] Khi ra soát lại các phép chứng minh ở [3], tuyệt nhiên không cần sử dụng đến bất kì một tính chất đặc biệt nào của các ] - môđun mà R - môđun tổng quát không có. Điều này cho phép ta đưa ra câu trả lời khẳng định, nghĩa là: 1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R - môđun. Cho M là R - môđun phải. Xét vành các tự đồng cấu của M : End ( ) { : |R M f M M f= → là R - đồng cấu} Mục này dành cho việc xét các phần tử chính qui trong End ( )R M . Trước hết, về đặc trưng của các phần tử lũy đẳng, là các phần tử chính qui đặc biệt trong End ( )R M , ta có: Mệnh đề 1.14. Phần tử End ( )Rf M∈ là phần tử lũy đẳng nếu và chỉ nếu . ImIm Ker , | IdfM f f f= ⊕ ≡ 13 Từ đặc trưng cơ bản của phần tử lũy đẳng được xét tới trong mệnh đề 1.14, ta có thể chứng minh được đặc trưng của một phần tử chính qui trong End ( )R M , thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.15. Phần tử End ( )Rf M∈ là chính qui nếu và chỉ nếu tồn tại sự phân tích M thành các tổng trực tiếp: '1 2 1 ' 2M M M M M= ⊕ = ⊕ sao cho 1 ' 1| :M 1f M M→ là một đẳng cấu và 2 '2| :M 2f M M→ là đồng cấu không. Mệnh đề 1.15 về đặc trưng của các phần tử chính qui trong End ( )R M cho ta các hệ quả đáng chú ý sau: Hệ quả 1.16. Nếu End ( )Rf M∈ là phần tử chính qui thì Im KerM f f≅ ⊕ . Hệ quả 1.17. Phần tử End ( )Rf M∈ là chính qui nếu và chỉ nếu Im f và Kerf là các hạng tử trực tiếp của M. Đáng lẽ, để kết thúc mục này, ta đưa thêm một ví dụ nữa về các phần tử chính qui, chẳng hạn khảo sát tính chính qui đối với các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert nhưng vì những lí do nhất định, ta sẽ bàn luận về chúng trong chương 3. Ở mục tiếp theo, ta nhắc lại một vài khái niệm cơ bản cùng các đặc trưng đơn giản nhất về vành chính qui Von Neumann. 1.2. Vành chính qui Von Neumann. 1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ. Định nghĩa 1.18. Vành R được gọi là vành chính qui (Von Neumann) nếu mọi phần tử của nó là phần tử chính qui. Nghĩa là: R chính qui nếu và chỉ nếu Von( )R R= . Từ định nghĩa vành chính qui, ta dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau: Mệnh đề 1.19. Trong một vành chính qui, mỗi phần tử khác 0 hoặc khả nghịch hoặc là ước của 0. 14 Hệ quả 1.20. Nếu vành chính qui đồng thời là miền nguyên thì nó là trường. Mệnh đề 1.21. Vành chính qui R là vành chia nếu và chỉ nếu R chỉ có hai phần tử lũy đẳng tầm thường. Mệnh đề 1.22. Tích trực tiếp của một họ khác rỗng các vành chính qui là vành chính qui. Mệnh đề 1.23. Ảnh đồng cấu của vành chính qui là vành chính qui. Suy ra tính chính qui được bảo toàn qua phép đẳng cấu và vành thương của vành chính qui cũng là vành chính qui. Ta đưa ra ba ví dụ về vành chính qui, trong đó hai ví dụ đầu tiên được trích dẫn trong [3], ví dụ cuối thuộc về kinh điển. Ví dụ 1.25. Vành các ma trận vuông thực cấp n là vành chính qui. Ví dụ 1.26. Cho K là trường và là các tập con hữu hạn khác rỗng của K. Cho 1, ... , nS S 1, ... , nX X là n biến và đặt ( ) ( i i i i k S P X X k ∈ )= −∏ với mỗi . Khi đó vành thương 1, ... ,i = n 1 1 1[ , ... , ] / ( ), ... , ( )nK X X P X P Xn n là vành chính qui giao hoán. Ví dụ 1.27. Vành các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia là vành chính qui. Thật vậy, gọi là vành các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ V trên vành chia D. Lấy End ( )D V ( )Df End V∈ . Khi đó Im f là một không gian con của V nên ta có thể chọn một cơ sở ( )i i Je ∈ của nó và bổ sung vào đó để được cơ sở của V. '( )i i Je ∈ Với i chọn sao cho J∈ ib ( )i if b e= và đặt '( )i if e b= . Với đặt . Do mỗi phép biến đổi tuyến tính hoàn toàn xác định nếu biết ảnh của một cơ sở nên 'i J∈ '( ) 0if e = ' End ( )Df V∈ . Bây giờ, với mọi x V∈ : ( ) Imf x f∈ nên ( ) .i i i J f x e ∈ = y∑ . Khi đó: 15 ( ' )( ) ' . '( ). ( ). . (i i i i i i i i i J i J i J i J )ff f x f f e y ff e y f b y e y f x ∈ ∈ ∈ ∈ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ = Do đó 'ff f f= . □ 1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui. Mệnh đề 1.28. Cho vành R. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương: (a) R là vành chính qui. (b) Mỗi iđêan phải (trái) chính của R đều sinh bởi một lũy đẳng. (c) Mỗi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh của R đều sinh bởi một lũy đẳng. Mệnh đề 1.28 cho ta một chú ý sáng giá khi nghiên cứu các vành chính qui: tập trung vào các phần tử lũy đẳng của chúng. Để phát biểu điều kiện tương đương tiếp theo, ta cần các phần tử lũy đẳng với tính chất đặc biệt hơn - tính trực giao. Mệnh đề 1.29. Cho 1,{ }i i ne ∈ là họ các lũy đẳng trực giao trong vành R (nghĩa