Luận văn Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hoá nửa cưỡng bức bậc hai trong không gian hilbert và của phương trình telegraph Phi Tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ***************************** Trần Thị Thu NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ CỦA PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ HOÀN HOÁ Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Hoàn Hoá, khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, người thầy đã giảng dạy và hướng dẫn tận tình cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM đã tham gia giảng dạy chúng tôi, và các thầy cô ở Phòng Khoa học công nghệ Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học này. Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin gửi lời tri ân đến thầy Nguyễn Thế Hùng và Ban Giám hiệu trường Điện toán và Ngoại ngữ CADASA, Ban Giám hiệu và Công đoàn trường THPT Long Trường đã động viên tinh thần và giúp đỡ cho tôi hoàn thành khóa học. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Ngày nay, việc tìm hiểu và trao đổi thông tin đã trở nên vô cùng dễ dàng nhờ mạng Internet toàn cầu và các công cụ truyền thông hiện đại. Các công trình Toán học nói chung và của ngành Giải tích hiện đại nói riêng cũng được các nhà khoa học nghiên cứu và phổ biến rộng rãi bằng con đường này. Với mục đích tìm hiểu và tập làm quen với các nghiên cứu khoa học đương đại, luận văn chọn đề tài về vấn đề tính chất nghiệm bị chặn của một loại phương trình vi phân phi tuyến mà nhà toán học người Bỉ J. Mawhin đề cập trong tài liệu tham khảo [20]. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu bài toán xét sự tồn tại nghiệm của phương trình telegraph : utt + cut – uxx + h(u) = f(t,x) (1) trong đó u(t,.) thỏa các điều kiện biên thích hợp trên một đoạn compact của R và ( , )u t  bị chặn trên R trong một chuẩn thích hợp của không gian hàm. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán (1) dẫn đến việc nghiên cứu các nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính – các phương trình vi phân thường - trong không gian Hilbert dạng : (2) .. . ( , ) 0u cu Au g t u    trong đó  u nhận giá trị trong không gian Hilbert H  c > 0  A : D(A) H H là tự liên hợp, nửa xác định dương, có giải thức compac    g: R x H  H, bị chặn và thỏa các điều kiện chính qui thích hợp. Mặt khác, dạng phương trình vi phân tuyến tính (3)– trường hợp riêng của phương trình (2): (3) khi c > 0 và A là phép đẳng cấu xác định dương, đã được Ghidaglia và Team xem xét trong [6] và [14]. Họ đã chứng minh được sự tồn tại một nghiệm của phương trình (3) bị chặn trên R với chuẩn thích hợp. Tính xác định dương của A sẽ được thỏa mãn đối với trường hợp đặc biệt của (1) khi u(t,.) thỏa các điều kiện biên Dirichlet. Trường hợp của Neumann hay các điều kiện biên tuần hoàn thì dẫn tới A xác định nửa dương và là trường hợp phức tạp hơn. Đây cũng là điều được xem xét trong luận văn này. .. . ( )u cu Au f t   4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Định lý 1 chứng minh rằng, nếu P ánh xạ chiếu vào ker A, thì phương trình (2) phân tán khi điều kiện nửa cưỡng bức ( ( , ), ) ( )g t u u Pu I P u      đúng cho mọi (t,u)  R x H và các số dương  ,  ,  nào đó. Định lý 2 chứng tỏ rằng từ sự phân tán của phương trình (2) suy ra sự tồn tại một nghiệm u sao cho u và bị chặn trên R với chuẩn thích hợp. .u Các chứng minh Định lý 1 và Định lý 2 đòi hỏi một số kết quả bước đầu là bài toán Cauchy của phương trình (2) và phương trình (3) , điều này được trình bày trong Chương 2. Các Định lý 1 và 2 được dùng để chứng minh Định lý 3 - một điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (3) khi A xác định nửa dương. Đối với phương trình telegraph (1) với các điều kiện biên Neumann trên x, với 2 0 sup ( , ) t R f t x dx     và h sao cho : ( ) : lim ( z h h  )z )z( ) : lim (zh h  tồn tại, thì sự tồn tại nghiệm u(t,x) thỏa 2 2 2 0 sup ( , ) ( , ) ( , )x t t R u t x u t x u t x dx         được chứng minh trong Định lý 4, khi f thỏa điều kiện Landesman-Lazer có dạng: 0 0 1 1( ) ( , ) ( , ) ( )L Uh A f t x dx A f t x dx h                    ở đây AL và AU tương ứng là các gía trị trung bình bé hơn hay giá trị trung bình lớn hơn của một hàm liên tục bị chặn được Tineo giới thiệu trong [18]. Một điều kiện tương tự cũng đã được giới thiệu đối với một phương trình vi phân thường cấp hai trong [15], [16]. Kết thúc, luận văn trình bày một vài ứng dụng cho các phương trình đạo hàm riêng và nêu một số điều kiện bị chặn khác của phương trình (1) có thể được nghiên cứu thêm. Luận văn bao gồm:  Chương 1, ghi lại các kiến thức chuẩn bị.  Chương 2, trình bày về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa nửa cưỡng bức bậc hai ( phương trình (2) và phương trình (3)) trong không gian Hilbert  Chương 3, trình bày áp dụng lý thuyết của chương 2 vào việc nghiên cứu nghiệm bị chặn của phương trình telegraph phi tuyến (phương trình (1)).  Phần kết luận nêu lại các kết quả đã đạt được và đặt vấn đề nghiên cứu bài toán trong trường hợp điều kiện thay đổi. Với khả năng còn rất hạn hẹp, qua luận văn này tôi hy vọng phần nào có thể vận dụng các kiến thức đã được Thầy Cô truyền đạt vào việc tìm hiểu các tài liệu và bước đầu tôi được làm quen với các nghiên cứu toán học đương đại. Rất mong nhận được sự góp ý của quí Thầy Cô và các anh chị. Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho là tập con khác rỗng của Rn.  1. Với 0 < p <  : ký hiệu Lp( )chỉ tập các hàm số u:  R đo được sao cho:   dxxu p )( (1) u = 0 trong Lp( ) có nghĩa là u(x) = 0 a.e.   Mệnh đề : (i) 0 < p <  , Lp( ) là một không gian vectơ (ii) 1  p <  , Lp( ) là một không gian Banach với chuẩn p 1  p dx Lp ( xu(u ) )    Đặc biệt, p = 2, ta có L2( ) là một không gian Hilbert đối với tích vô hướng (u,v) =    dxxvxu )()( 2. Một hàm số u:   R đo được trên  được gọi là bị chặn cốt yếu (essentially bounded) trên  nếu : K   R : /u(x)/  K a.e. x   Đặt esssup/u(x)/ = inf  xeaKxuK ..,)(:0 Ký hiệu L ( ) là tập các hàm số u:    R bị chặn cốt yếu trên  . Mệnh đề : L ( ) là một không gian Banach đối với chuẩn  )(sup)( xuessu x L   . 3. Cho u :   R, ta định nghĩa giá của u (support) là tập hợp suppu = bao đóng của tập {x   : u(x)  0} trong Rn - D( ) chỉ không gian các hàm số u :   R khả vi vô hạn có giá compact trong  . - Xét đa chỉ số  = ( 1,,  n)  Rn, / / =  1 + +  n Với   C/ /( ), ta ký hiệu : D  = n    ...1 n nn xx D           11 1 n nD  x  ... 1  ...1    - Hội tụ trong D( ). Cho { m} D( ). Ta nói rằng    m hội tụ về 0 trong D( ), ký hiệu  m 0 trong D( ) nếu:   (i) tập K compact   : supp  m K,  m (ii)    Nn, sup/D  m(x)/ 0 khi m    4. D’( ) là không gian các hàm phân bố trên (distribution) hay hàm suy rộng, được xác định bởi D’( ) = {T : D( ) R/ T tuyến tính, liên tục} (tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D( )).     Nói khác đi T  D’( )       0 T( )D( trong 0 (ii) tính tuyeán R )D( : T mm ) )(  i Chú y : Ta thường viết T( m) = = T m cặp tích đối ngẫu giữa D’( ) và D( ) - Đẳng thức trong D’( ) T1, T2  D’( ), T1 = T2  =    D( ) - Hội tụ trong D’( ) Tm, T  D’( , ta nói Tm hội tụ về T trong D’()  ) (hay hội tụ theo nghĩa phân bố), ký hiệu là Tm  T trong D’( ) n ếu   D(  ), khi m   - Chú ý : Cho f  L2( ), ta liên kết f với một phân bố Tf trên  bởi : = . Ta có kết quả:   dxxxf )()(  D( ) trù mật trong L2(  ) L2( )  D’( )  Anh xạ đồng nhất từ L2( ) vào D’(  ) còn gọi là phép nhúng chính tắc từ L2( ) vào D’( ) và phép nhúng này là liên tục, nghĩa là :  Nếu fm f trong L2( ), khi đó fm  f (Tfm  Tf) trong D’( )  5. Đạo hàm theo nghĩa phân bố Cho T  D’( ), ta định nghĩa ix T   : D( )  R bởi <  ix T   ,  > = - < T, ix T   >,    D( ) Ta có thể nghiệm lại rằng ix T    D’( ) (đạo hàm của phân bố T theo biến xi) - Chú ý rằng, nếu f là hàm khả vi liên tục trên  , đạo hàm ix f   (đạo hàm của f theo nghĩa cổ điển) trùng với đạo hàm theo nghĩa phân bố. - Tổng quát, T  D’( ),   Nn là đa chỉ số nguyên D T : D( )  R (đạo hàm cấp   của T)  = (-1)/ / (D T= n nxx T     ...11 ) Như vậy một phân bố trên  thì có đạo hàm ở mọi cấp theo nghĩa phân bố. Ta nghiệm lại được rằng : Anh xạ T  D  T là tuyến tính, liên tục từ D’( ) vào D’( ) theo nghĩa sau: Nếu T, Tm  D’( ), Tm  T trong D’(  ) thì D Tm  D T trong D’( ) 6. Không gian Sobolev Cho v  L2( ), ta đồng nhất v với một phân bố trên  vẫn ký hiệu là v, và ta có thể xác định các đạo hàm phân bố của nó: ix v   , 1  i  n mà nó cũng là các phân bố trên . Tổng quát ta không có  ix v    L2( ). Định nghĩa. Ta nói không gian Sobolev cấp 1 trên  là không gian H1( ) = {v  L2( ): ix v    L2( ), 1  i  n} Ta trang bị H1( ) một tích vô hướng  (u,v) H1( ) =  dxx v x uuv i n i i ).( 1        (*) Chuẩn sinh bởi tích vô hướng tương ứng là : )(1 1 ),()(  Hvvv H Định lý. H1( ) là không gian Hilbert đối với tích vố hướng (*)  7. Không gian Sobolev Hm( ) Định nghĩa. m là số nguyên 1. Ta gọi không gian Sobolev cấp m trên   là không gian Hm( ) = { v L2( ): D  v  L2( ),/ /  m} Ta trang bị Hm( ) một tích vô hướng :  (u,v) Hm( ) = (u,v) m, =   m vdxDuD  . (**) và ký hiệu chuẩn tương ứng   ,,)( ),( mmH vvvv m Định lý. Không gian Hm( ) là một không gian Hilbert tách được đối với tích vô hướng (**)  Chương II: NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian Hilbert H có dạng: (2) .. . ( , ) 0u cu Au g t u    trong đó:  c > 0  A : D(A) H H là ánh xa, nửa xác định dương, có giải thức compact    g : R x H  H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó. Vấn đề đặt ra của Chương 2 là nghiên cứu xem phương trình (2) nói trên có tính chất tồn tại nghiệm bị chặn trên R hay có tính chất chất phân tán (dissipative). 2.1. Khái niệm và các tính chất cơ bản của nghiệm. Cho A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp trong một không gian Hilbert H, sao cho với mỗi  <0,   1 :A I H H  .. . ( ,u cu Au g  tồn tại và compact. Ta xét lớp các phương trình trong H có dạng (2): ) 0t u    , với c > 0 g : R x H H liên tục, Lipschitz liên tục theo biến u, nghĩa là :  ( , ) ( , )g t x g t y L x y   (4) với L>0 nào đó và với mọi x,y  H, t  R và g bị chặn, nghĩa là : ( , ) sup ( , ) t u RxH g t u    Ở đây  là chuẩn theo tích vô hướng (.,.) trong H. Nếu  n là dãy các giá trị riêng tương ứng với các vetơ riêng  n , sao cho: 1 20 ... ....,n       lnim ,n   thì ta xét không gian con của H 2 1 1 : : ( , )n n n V u H u          với tích 1 1 ( , ) : ( , )( , ),n n n n u v u v     ( u, v  V1 ) và có giả chuẩn : 1 2 11 : ( , )u u u , (u  V1 ) Nếu P là phép chiếu từ H vào KerA thì V1 là một không gian Hilbert với tích vô hướng (u,v)1 + (Pu,Pv) (5) Theo [20], người ta đã chứng minh được rằng, tồn tại một hằng số R > 0, sao cho 2 22 1 ,u R u P u   2  với mọi u  V1 (6) Đặt BC(R, H) là tập tất cả các hàm số liên tục f : R H sao cho  sup ( ) , t R f t    và BC(R, V1 x H) là tập tất cả các hàm số liên tục (u,v) : R V1 x H sao cho  2 2 2 1 sup ( ) ( ) ( ) , t R u t Pu t v t        Ta nói một hàm số h  BC(R, H) có nguyên hàm bị chặn nếu 0 sup ( ) , t t R h s ds    và ký hiệu BP(R, H) là tập của các hàm có nguyên hàm bị chặn. Các trường hợp đặc biệt là BC(R, R ) và BP(R, R ) cũng sẽ được sử dụng. Cách đặt trên cho phép ta xây dựng khái niệm nghiệm của phương trình (2). Định nghĩa 1. Ta nói u(t) là một nghiệm của phương trình (2) nếu u  C(R , V1)  C1(R ,H) và với mỗi w  V1 ta có 2 12 ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( , ( )), ) 0 d du t w c u t w u t w g t u t w dt dt     (7) (theo nghĩa phân bố) hay  2 1 12 22 ( ( ), ) ( ( ), ) ( ), ( ( , ( )), ) 0d du t w c u t w A u t A w g t u t wdt dt    Định nghĩa 2. + Ta nói rằng một nghiệm u(t) của phương trình (2) là bị chặn (hay bị chặn trên toàn trục) nếu BC(R ,V1 x H). ,u u     + Ta nói rằng một nghiệm u(t) của phương trình (2) là bị chặn ở vô cực nếu với mỗi t0  R ta có 0 2 2 2 1 sup ( ) ( ) ( ) t t u t Pu t u t           Trường hợp mà tất cả các nghiệm của phương trình (2) đều bị chặn ở vô cực là khi mà phương trình này dissipative. Trong số các khái niệm khác nhau về dissipative của các phương trình tiến hoá (xem trong [6], [10], [11], [12], [19]) chúng ta sẽ xét một khái niệm sau đây. Định nghĩa 3. Phương trình (2) được gọi là phân tán (dissipative) nếu tồn tại một hằng số  >0 và một ánh xạ T : R+ R+ sao cho với mỗi M>0, mỗi t0   R , và mỗi nghiệm u(t) của (2) mà 2 2 2 0 0 01 ( ) ( ) ( )u t Pu t u t M    thì 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )u t Pu t u t    với mọi t  T(M) + t0 2.2. Bài toán Cauchy Phần này nhắc lại kết quả về tính chất nghiệm của phương trình (2) được nêu trong [20] Với các giả thiết A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp trong một không gian Hilbert H, sao cho với mỗi  <0,   1 :A I H H   tồn tại và compact, ta xét bài toán với giá trị đầu (t ( ),u cu Au f t      J), u(t0)=u0, 0( )u t v  0 (8) với J là một đoạn bị chặn trong R f  L2 (J,H) u0  V1 và v0H. Ta có kết quả phương trình (8) có một nghiệm duy nhất (xem [14]). Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin, sử dụng định lý cổ điển về các phương trình vi phân thường và bổ đề Gronwall, người ta suy ra không những sự tồn tại nghiệm duy nhất (u, )  C(J, V1 x H) của phương trình (8) và tính liên tục của nó phụ thuộc vào u0, v0 và f đối với tôpô mạnh của V, H và L2(J, H), mà tính liên tục của nó còn phụ thuộc vào các tôpô yếu nữa. u  Trong [20], ta có các kết quả sau: Bổ đề 1. Cho u(t) là nghiệm của phương trình (8) và un(t) là nghiệm của ( ),nu c u Au f t     (t  J), u(t0)=u0n, 0 0( ) nu t v   với fn(t)  L2(J,H). Giả sử rằng u0n  u0 yếu trong V1, v0n  v0 yếu trong H, fn f yếu trong L2(J,H)  thì, với mỗi t  J un(t)  u(t) yếu trong V1, yếu trong H. ( )nu t   ( )u t  Bổ đề 2. Cho u(t) là một nghiệm của phương trình (3): .. . ( )u cu Au f t   và định nghĩa 2 2 22 1 ( ) ( ) 2 ( ( ), ( )) 2 ( ) 2 ( )t c u t c u t u t u t u t      thì và 1,1( , )W J R 2 2 1 2( ) 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( )t c u t u t f t u t u t c               theo nghĩa phân bố trên J. Chú ý rằng đạo hàm ( )t cũng có thể được hiểu theo nghĩa cổ điển. Liên quan đến phương trình (1) xét bài toán giá trị đầu: (t .. . ( , ) 0u cu Au g t u     J), u(t0)=u0, 0( )u t v  0 (9) với J là khoảng bị chặn trong R , t0  J, u0  V1 và v0  H. Vẫn giả sử rằng  A : D(A) H H là ánh xạ, nửa xác định dương, có giải thức compact    g : R x H  H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó. Với các điều kiện này, phương trình (9) cho một nghiệm duy nhất trong J (xem [17]). Bổ đề 3 sẽ cho thấy sự liên tục của nghiệm này trong tôpô yếu. Bổ đề 3. Cho u(t) là nghiệm của phương trình (9) và un là nghiệm của phương trình này với điều kiện đầu un(t0)=u0n, . Giả sử rằng: 0 0( )nu t v   n u0n  u0 yếu trong V1, v0n  v0 yếu trong H thì, với mỗi t  J un(t)  u(t) yếu trong V1, yếu trong H. ( )nu t   ( )u t  2.3 Sự phân tán (dissipative) Xét phương trình (2) .. . ( , ) 0u cu Au g t u    và vẫn giả sử rằng  A : D(A) H H là ánh xạ, nửa xác định dương, có giải thức compact    g : R x H  H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó. Định lý 1 sau đây khẳng định sự phân tán (dissipative) của phương trình (2) sẽ đạt được từ điều kiện nửa cưỡng bức trên g. Định lý 1. Giả sử rằng tồn tại các số  ,  ,  > 0 sao cho ( ( , ), ) ( )g t u u Pu I P u      (10) với mọi (t,u)  R x H. thì phương trình (2) sẽ phân tán (dissipative). Hơn nữa, tồn tại  >0 sao cho nếu u(t) là một nghiệm của phương trình (2) và 2 2 2 2 0 0 01 ( ) ( ) ( )u t Pu t u t    với t0  R nào đó thì 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )u t Pu t u t    với mọi t t0  Chứng minh. Biểu thức :  12 2 22 1, : 2 ( , ) 2 2u v c u c u v v u    2 là một chuẩn trong V1 x H tương đương với chuẩn thông thường và có thể được dùng trong định nghĩa 3. Hàm :     2 ( ) : ,t u t u t  khả vi (xem Bổ đề 2) và            u(t)u(t)),g(t, c 2- u(t) )(,)(,)(2)( 2 1 2 tututgtuct Từ sự bị chặn của g và bất đẳng thức (6) ta có :       1 2 1 2 )()()( ~ )(2)( tuRtPututuct c M2 - u(t) (11) Mặt khác ta có : 2 2 2lim x y z Mx y x z R y c                  nên tồn tại ,  >0 sao cho    2t t      (12) Từ (12) suy ra tồn tại 0t  sao cho    1 20 0max 0,t t      và    )(),( uu Ta sẽ chứng tỏ    ,u t u t   , với mọi t  . Thật vậy, nếu điều này không đúng, khi đó tồn tại *t  sao cho     2* *,u t u t 2  và     2 2,u t u t   với mọi t  . Vì thế , mâu thuẫn với (12). *, t  * 0t  2.4. Nghiệm bị chặn. Ta sẽ sử dụng các kết quả nhận được trong phần trên để chứng minh Định lý 2, nói về sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) mà các nghiệm này bị chặn trên toàn trục. Định lý 2. Nếu phương trình (2) là phân tán (dissipative) thì nó sẽ có một nghiệm u(t) sao cho (13) 1( , ) ( , )u u BC R V xH   Chứng minh. Gọi un(t) là nghiệm của phương trình (2) với các điều kiện đầu : un(-n) = 0 , n(-n) = 0  u Do định nghĩa, tồn tại T,  >0 sao cho 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )n n nu t Pu t u t     (14) với mọi t T – n. Ta có thể giả thiết, mà không làm mất tính tổng quát , rằng có u0   V1 và v0  H sao cho un(0)  u0 yếu trong V1, v0 yếu trong H. (0)nu   Gọi u(t) là nghiệm của (2) với các điều kiện đầu: u(0) = u0 , = v0 (0)u  Áp dụng bổ đề 3 ta có với mỗi t  R un(t)  u(t) yếu trong V1, yếu trong H. ( )nu t   ( )u t  Hơn nữa theo (14) thì 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )u t Pu t u t    với mọi t  R do đó ta có (13). Chúng ta sẽ áp dụng Định lý 2 để chứng minh sự tồn tại của một nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính (3) với f .. . ( )u cu Au f t   BC(R , H), bài toán này được nghiên cứu trong [6] và [14] khi  1>0. Trong trường hợp  1= 0 thì cần phải có thêm giả thiết. Ta sẽ xét cả hai trường hợp này trong Định lý 3 dưới đây, chứng minh của định lý này cần áp dụng Bổ đề 4 - một kết quả của Ortega trong [15] - đối với các phương trình vi phân tuyến tính bậc hai. Bổ đề 4. Cho p : R R liên tục và c   0. Khi đó phương trình y’’(t) + cy’(t) = p(t) (15) có một nghiệm bị chặn khi và chỉ khi p  BP(R , R ). Chứng minh Điều kiện cần: Cho y là một nghiệm bị chặn của phương trình (15) (nghĩa là y và y’ bị chặn trên R ), và đặt 0 ( ) ( ) t P t p s d  s . (16) Thì