Luận văn Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức

www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRèNH VI PHÂN PHỨC LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Thỏi Nguyờn - năm 2010 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRèNH VI PHÂN PHỨC Chuyờn ngành: Giải tớch Mó số: 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thỏi Nguyờn - Năm 2010 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com Mở Đầu Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ•ợc đánh giá là một trong những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m•ơi. Đ•ợc hình thành từ những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen. Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết. Nội dung luận văn gồm hai ch•ơng: Ch•ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna. Ch•ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph•ơng trình vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph•ơng trình vi phân phức của tác giả Ping Li. Kết quả của luận văn: Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f coi nh• là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p1, p2 là 2 hàm nhỏ của ez và là 2 hằng số khác không. Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị của 12, Nevanlinna để tìm ra nghiệm toàn cục siêu việt của ph•ơng trình vi phân phi tuyến tính trong không gian phức: n zz 12 f z  P f  p12 e  p e . Luận văn đ•ợc hoàn thành d•ới sự h•ớng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS - TSKH Hà Huy Khoái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 1 www.VNMATH.com Thầy, Thầy không chỉ h•ớng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông cảm, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr•ờng Đại học S• phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học và luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr•ờng cao đẳng Công Nghệ và Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB, gia đình, bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên L•u Thị Minh Tâm Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 2 www.VNMATH.com Ch•ơng I Cơ sở lý thuyết Nevanlinna 1.1. Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ•ợc gọi là điểm bất th•ờng cô lập của hàm f(z) nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó. 1.1.2. Định nghĩa: Điểm bất th•ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ•ợc gọi là cực điểm của f(z) nếu . lim fz   za 1.1.3. Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức  đ•ợc gọi là hàm nguyên. Nh• vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất th•ờng hữu hạn. 1.1.4. Định nghĩa: Hàm f(z) đ•ợc gọi là hàm phân hình trong miền D   nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất th•ờng là cực điểm. Nếu D =  thì ta nói f(z) phân hình trên  , hay đơn giản, f(z) là hàm phân hình. *Nhận xét: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm có thể biểu diễn đ•ợc d•ới dạng th•ơng của hai hàm chỉnh hình. z D, f z 1.1.5. Định nghĩa: Điểm z0 gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) nếu trong lân cận của z0 , hàm 1 , trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong f z  m h z  zz 0  lân cận của z0 và . hz 0   0 1.1.6. Tính chất: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f’(z) cũng là hàm phân hình trên D. Hàm f(z) và f’(z) cũng có các cực điểm tại những điểm nh• Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 3 www.VNMATH.com nhau. Đồng thời, nếu z0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z0 là cực điểm cấp m+1 của hàm f’(z). *Nhận xét: Hàm f(z) không có quá đếm đ•ợc các cực điểm trên D. 1.1.7. Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình trong  , điều kiện cần và đủ để f(z) không có các điểm bất th•ờng khác ngoài cực điểm là f(z) là hàm hữu tỷ. 1.2. Định lý cơ bản thứ nhất 1.2.1. Công thức Poisson-Jensen Định lý: Giả sử là một hàm phân hình trong hình tròn fz   0 với . Giả sử là các không điểm, mỗi không điểm 0 R    zR  aM  1,2,...  đ•ợc kể một số lần bằng bội của nó, bv(v = 1,2,…N) là các cực điểm của f trong hình tròn đó, mỗi cực điểm đ•ợc kể một số lần bằng bội của nó. Khi đó nếu thì: z r. ei , 0  r  R , f z  0; f z   1 2 Rr22 logf z log f Rei d      22 220 R Rrcos      r MN R z a   (1.1) R z b  log logv . 22 11R a zv R bv z Chứng minh *Tr•ờng hợp 1. Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong .  zR  Khi đó ta cần chứng minh: 1 2 Rr22 logf z log f Rei d .    (1.1a)   22 220 R Rrcos      r + Tr•ớc hết ta chứng minh công thức đúng tại z = 0, nghĩa là cần chứng minh: Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 4 www.VNMATH.com 1 2 logf 0   log f Rei  d . 2 0 Do f(z) không có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có: 2 11dz i logf 0   log f z log f Re d . 22izzR 0 Lấy phần thực ta thu đ•ợc kết quả tại z = 0. 1 2 logf 0   log f Rei  d . 2 0 + Với z tùy ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biến thành và biến   R   1 thành . Đó là ánh xạ:   z   0 Rz     . Rz2   Nh• vậy t•ơng ứng với . Trên , ta có:  1   R   R Rz   log log  logR  log   z  log R2  z  . 2     Rz  2 2 d d  zd  R z d Nên   (1*)  .  z Rz2   R2  z z Do log f(z) là chỉnh hình trong , theo định lý Cauchy ta có: zR 1 (2*) d logf z   log f   . 2iz R  Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 5 www.VNMATH.com Mặt khác 11zd d logff  (3*)  log  . 22iiRz2   R2 RR  z 2 Do suy ra R2 nghĩa là điểm R nằm ngoài vòng tròn z z R  R z z , nên hàm 1 là hàm chỉnh hình. Nh• vậy tích phân trong   R log f   R2   z vế phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có: 2 2 1 R z d logf z  log (1.2) f   . 2i  2  R R z z Hơn nữa, trên , ii và   R R., e d  iRe d  2 i  ii R z  z  R R  reRe  re   Rei R22  2 Rrcos   r  . Kết hợp với (1.2) ta thu đ•ợc: 22 1 2 R r d logf z log(1.3) f Rei .      22 220 R Rrcos      r Lấy phần thực hai vế của đẳng thức (1.3) ta đ•ợc: 22 1 2 R r d logf z log f Rei .      22 220 R Rrcos      r Đây là điều cần phải chứng minh. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 6 www.VNMATH.com * Tr•ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong , nh•ng có hữu hạn không điểm và cực điểm c trên biên  zR  j . Với nhỏ tùy ý, ta đặt:   R   0 D z  R  Ujj  c  . Gọi là chu tuyến của D và là các cung lõm vào trên bao gồm  D    D những phần trên đ•ờng tròn cùng với các phần lõm vào của đ•ờng tròn   R nhỏ bán kính  và tâm là các không điểm hoặc cực điểm f(z) trên . Giả   R sử i trong miền , tồn tại đủ nhỏ sao cho zD . Khi đó: z re  zR 2 2 1 R z d logf z  log (1.2a) f   2i  R2  z z D    Giả sử z là một không điểm hay cực điểm của f(z) trên và là 0   R   cung tròn ứng với z trên . Khi đó trên , 0   D 0 m f z  c z  z0  ... trong đó m > 0 nếu z0 là không điểm và m < 0 nếu z0 là cực điểm. Suy ra  khi  1 0 . logf z  O log  Nh• vậy: 11   OMlog . . ,  2   trong đó M là một đại l•ợng bị chặn. Ta thấy Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 7 www.VNMATH.com 1 khi .   0 OMlog . .  0  Cho trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tích   0 phân trong vế phải của (1.3), tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Nh• vậy ta cũng thu đ•ợc công thức (1.3) trong tr•ờng hợp này và từ đó suy ra (1.1). *Tr•ờng hợp 3. Bây giờ ta xét tr•ờng hợp tổng quát, tức là f(z) có các không điểm và các cực điểm trong đặt: zR 1 N Rb      f    (1.4) ..v M  2 R a  v1 R bv  2 1 Ra  Hiển nhiên không có không điểm hoặc cực điểm trong . Nh•   zR vậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm . Hơn thế nữa,   nếu i thì :   Re R a R R a b R b   và 1,vv 1, 2 2 Ra   Rba  v   bv  nên . f      22 1 2 R r d Vlogậy z  log Rei      22 220 R Rrcos      r 22 1 2 R r d  logf Rei .    22 220 (1.5) R Rrcos      r Mặt khác: Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 8 www.VNMATH.com MN R z a  R z b  log z log f z  log  log v     22 11R a zv R bv z MN R z a  R z b  logfz  log  logv .   22 11R a zv R bv z Thay vào (1.5) ta thu đ•ợc kết quả. log   z *ý nghĩa: Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của modulus f(z) trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm f(z) trong , thì zR ta có thể tìm đ•ợc giá trị của modulus f(z) bên trong đĩa . zR Khi z = 0 ta đ•ợc hệ quả quan trọng hay đ•ợc sử dụng về sau: * Hệ quả: Trong những giả thiết của định lý, đồng thời nếu fz  0, thì khi z = 0 trong định lý (1.2.1) ta thu đ•ợc công thức Jensen. 2 MNa 1 (1.6) i  bv logf 0  log f Re d  log  log . 2 0  11RRv Khi công thức trên đây chỉ cần thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu fz  0, hàm f(z) có khai triển tại lân cận z = 0 dạng: fz  0, x f z  c z ...,  Z  Xét hàm R f z  ta thấy , đồng thời khi  z   0  0, z . Từ đó ta có: Rei ,   f    2 MN 1 a b logc log f Rei d  log  logv  log R .      2 0 11RRv Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 9 www.VNMATH.com Nhận xét: Giả sử f(z) là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của hàm f(z) tại điểm , ký hiệu , là số nguyên m sao cho hàm zG0  ord f z0 fz  chỉnh hình và khác 0 tại z0. Nh• vậy: gz   m zz 0  m > 0 nếu z là không điểm cấp m , bằng 0 nếu f(z) chỉnh hình, ord f  0 z0 khác 0 tại z0, bằng – m nếu z0 là cực điểm cấp m. Với ký hiệu trên công thức Poisson-Jensen có thể viết d•ới dạng: 2 2 2 1 , i Rz Rz   logf z  log f Re . d ord f .log    i 2   2 2 0 Re  z Rz trong đó tổng lấy theo mọi trong hình tròn .    R 1.2.2. Hàm đặc tr•ng 1.2.2.1. Một số khái niệm Phần này trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc tr•ng và các tính chất của chúng. Tr•ớc hết ta định nghĩa: log+x = max{logx,0}. Rõ ràng nếu x > 0 thì logx = log+x – log+(1/x). Nh• vậy: 12 1 2  1 2  1 logf Re ii d log f Re d  log d  ,      i 20 2  0 2  0 f Re  ta đặt: 1 2  (1.7) m R, f   log f Rei  d . 2 0 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 10 www.VNMATH.com Hàm m(R,f) đ•ợc gọi là hàm xấp xỉ. Gọi r1,r2,….,rN là các môdun của các cực điểm b1,b2,…bN của f(z) trong . zR Khi đó NNR R R(1.8) R log log logdn t , f  , vv11bvv r0 t trong đó n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong , cực điểm bậc q zt đ•ợc đếm q lần. Thật vậy, tr•ớc hết bằng ph•ơng pháp tích phân từng phần ta có: RR, (a) RR R R R dt logdn t , f  log . n t , f   n t , f d log   n t , f  0t t0 0 t 0 t mặt khác không mất tính tổng quát ta giả sử . 0r12  r  ... rN  R Khi đó: RRdtrr12 dt dt dt n t, f  n t , f  n t , f  ...  n t , f  , t  t  t  t 00rr1 N ta thấy rằng: 0,tr 1  1, r12 t r  n t, f  2, r23  t  r ...  N, rN  t R nên Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 11 RRdtrr12 dt dt dt n t, f  n t , f  n t , f  ...  n t , f  t  t  t  t 00rr1 N rr12dt dtR dt 0.  1.  ...  N . t  t  t 0 rr1 N logtr23  2log t r  ...  N log t R r12 r rN www.VNMATH.com logr2  log r 1  2 log r 3  log r 2   ...  N log R  log rN  Nlog R  log r12  log r  ...  log rN  logRr  log1    logR log r2   ...  log R  log rN  N R (b)  log ; v1 rv từ (a) và (b) ta đ•ợc (1.8). Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm N(R,f). Giả sử n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong hình tròn ; r ,r , … r là môdun của các cực điểm b ,b ,…,b zt 1 2 N 1 2 N ( mỗi cực điểm đ•ợc tính một số lần bằng bậc của nó). Khi đó ta có: NNR RR R log log logdn t , f  . vv11bvv r0 t Hàm đếm đ•ợc định nghĩa bởi công thức sau: N R R (1.9) dt N R, f  log n t , f  . v1 btv 0 11 N R (1.10) R   dt N R,  log n  t ,  . f 1 a 0  f  t Với cách định nghĩa này công thức Jensen (1.6) sẽ đ•ợc viết lại nh• sau: Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 12 www.VNMATH.com 11    logf 0  m R , f  m R ,   N R , f  N  R ,  . ff    Hoặc 11    m R, f  N R , f  m R ,   N  R ,   log f  0 . ff    Bây giờ ta đặt: (1.11) T R, f  m R , f N R , f  . Khi đó công thức Jensen đ•ợc viết lại một cách rất đơn giản là:  1 (1.12) T R, f  T R , log f  0 . f Giá trị là hàm xấp xỉ độ lớn trung bình của trên m R, f  log fz  zR trong đó là lớn. Giá trị có quan hệ với cực điểm. Hàm đ•ợc f N R, f  T R, f  gọi là hàm đặc tr•ng Nevanlinna của hàm phân hình , có vai trò quan trọng fz  chủ yếu trong lý thuyết của hàm phân hình. 1.2.2.2. Một số tính chất của hàm đặc tr•ng Chúng ta tiếp tục nghiên cứu một số tính chất đơn giản của hàm . Chú ý a , …,a là các số phức thì m R, f , N R , f , T1  p R , f  p p  logaavv  log , v1 v1 pp và    logav log p max a v  log a v  log p .  vp1,...,  vv11 áp dụng các bất đẳng thức trên cho hàm phân hình và sử f1  z,..., fp  z dụng (1.7) chúng ta thu đ•ợc các bất đẳng thức sau: Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 13 www.VNMATH.com 1) pp m r, fvv z  m r , f z log p . vv11 2) p p m r, fvv z   m r , f z . v1 v1 3) pp N r, fvv z  N r , f z . vv11 4) p p N r, fvv z   N r , f z . v1 v1 Sử dụng (1.11) ta thu đ•ợc 5) pp T r, fvv z  T r , f z log p . vv11 6) p p T r, fvv z   T r , f z . v1 v1 Trong tr•ờng hợp đặc biệt khi = constant, ta p2, f12 z  f z , f z  a suy ra . Và từ đó chúng ta có thể thay T r, f a  T r , f  log a  log 2 thế f + a, f bởi f, f ’ a và a bởi - a, suy ra: (1.13) T r, f  T r , f  a  log a  log 2. 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna 1.2.3.1 .Định lý Giả sử f là hàm phân hình, a là một số phức tùy ý, khi đó ta có: 11    m R,  N  R ,   T R , f  log f 0  a   a , R , f a   f a  Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 14 www.VNMATH.com trong đó:  a, R  log a log 2. Ta th•ờng dùng định lý cơ bản thứ nhất d•ới dạng: 11    m R,  N  R ,   T R , f  O 1 , f a   f a  trong đó O(1) là đại l•ợng giới nội khi . r  Chứng minh: Theo (1.11) và (1.12) ta có: 1   1   1  m R,  N  R ,   T  R ,   T R , f  a  log f 0  a . f a   f  a   f  a  Từ (1.13) ta suy ra: T R, f a  T R , f    a , R . Với . Từ đó ta có:  a, R  log a log 2 11    m R,  N  R ,   T R , f  log f 0  a   a , R . f a   f a  Với . Định lý đ•ợc chứng minh xong.  a, R  log a log 2 *ý nghĩa: Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna, ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ nhất. Hàm đếm 1 đ•ợc cho bởi công thức: NR, fa 1 , M R NR,  log fa 1 a trong đó là các nghiệm của ph•ơng trình trong hình tròn a f z  a . zR Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 15 www.VNMATH.com 2 Hàm xấp xỉ: 1 1 1 m R, log d . fa 2  i 0 faRe   Nh• vậy, nếu f nhận c¯ng nhiều giá trị “gần a” ( tức l¯ nhỏ, thì faRei   hàm m càng lớn. Có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm “ đo độ lớn của tập nghiệm phương trình ” v¯ độ lớn tập hợp tại đó f(z) f z  a nhận giá trị gần bằng a. Trong khi đó, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a ( sai khác một đại l•ợng giới nội). Vì thế, định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) “ nhận mỗi giá trị a ( và giá trị “gần a “) một số lần như nhau”. Đây l¯ một tương tự của định lý cơ b°n của đại số. Hàm đặc tr•ng Nevanlinna, về ý nghĩa nào đó, có thể xem nh• đặc tr•ng cho “ cấp tăng” của một h¯m phân hình. Nhận xét: Nếu hàm f cố định, ta có thể viết lần l•ợt m R, a , N R , a , n R , a , T R thay cho 1  nếu a là hữu hạn và 1   1  m R,  , N  R ,  , n  R ,  , T R , f  f a   f  a   f  a  thay cho . m R, , N R ,  , nm R R , , f , N R , f , n R , f  Nếu chúng ta cho R biến thiên thì định lý cơ bản thứ nhất có thể đ•ợc viết d•ới dạng nh• sau: m R, a  N R , a  T R  O 1 . Với mỗi a là hữu hạn hay vô hạn. Số hạng m(R,a) dần tới trung bình nhỏ nhất có thể đ•ợc của f ’ a trên vòng tròn , số hạng N(R,a) dần đến số zR nghiệm của ph•ơng trình trong . Với mỗi giá trị của a, tổng của f z  a zR hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 16 www.VNMATH.com 1.2.3.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Xét hàm hữu tỷ zap ... , trong đóp . f z  c c  0 zbq ... q Giả sử p > q. Khi đó khi , nh• vậy khi a hữu hạn m(r,a) = 0 fz   z  với mọi r > r0 nào đó. Ph•ơng trình f(z) = a có p nghiệm sao cho n(t,a) = p(t>t0), nh• vậy: r dt khi r  , N r, a  n t , a  p log r  O 1 a t Do đó, khi r  , T r, f  p log r O 1 , và với . N r, a  p logm r r, a O  O 1 1 , , a  Nếu p < q, T r, f  q log r O 1 , với a  0 . N r, a  q log rm r O, a 1 O , 1 , Nếu p = q, N r, f  q log r O 1 , với ac . N r, a  q log rm O r, a 1 O , 1 , Nh• vậy, trong mọi tr•ờng hợp T r, f  d log r O 1 , với , N r, a  d log rm r, O a  1 O 1 , , af  trong đó d = max(p, q). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 17 www.VNMATH.com Trong tr•ờng hợp này, m(r, a) là bị chặn khi ngoại trừ một giá trị r  của a là . Nếu ph•ơng trình f(z) = a có nghiệm bội tại  với  f  , thì 0  d m r, a  log rN O 1 r, , a  d  a log r  O 1 . i Ví dụ 2: Xét hàm z ri cos với  z sin re  . Khi đó f z  e e , , i  rcos   ir sin   r cos  logf z  log f re  log e  log e loger cos ,cos,   0   0,cos  0  r cos  loge ,  