Luận văn Nghiên cứu didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỖ TẤT THẮNG NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH đã hết lòng nhiệt tình giúp đỡ tôi nghiên cứu khoa học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt để tôi hoàn tất luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN, PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU, TS. ĐOÀN HỮU HẢI, TS. LÊ VĂN PHÚC, TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG, TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH, TS. NGUYỄN ÁI QUỐC và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán. Xin trân trọng cảm ơn Ban gíam hiệu và các thầy cô Tổ toán Trường THPT Ngô Quyền đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi tham gia khóa học này. Cảm ơn các bạn lớp Didactic Toán khóa 17 đã cùng tôi kề vai sát cánh trong suốt thời gian học tập. Và cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và những người thân đã động viên, khuyến khích, tạo điều kiện cho tôi hoàn tất khóa học này. CHƯƠNG 0: MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Kiến thức về logic và lý thuyết tập hợp là hai nền tảng cơ bản của lâu đài toán học. Nhắc đến lôgic Toán, không thể không nói tới phép kéo theo và phép tương đương. Cung cấp kiến thức ban đầu về logic hình thức, phép kéo theo và phép tương đương tạo cơ sở để học sinh hình thành các khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận, biểu đạt vấn đề một cách chính xác cũng như việc áp dụng đại số mệnh đề vào suy luận toán học (phát biểu định lí, điều kiện cần, điều kiện đủ, xác định mệnh đề đúng sai...). Như thế, hai khái niệm này không những đóng vai trò nền tảng trong việc dạy và học Toán mà còn là một kiến thức không thể thiếu trong các ngành khoa học khác. Chương trình giảng dạy ở Việt Nam còn thể hiện sự lưỡng lự trong việc lựa chọn giảng dạy khái niệm mệnh đề. Giai đoạn 1975-1990, mệnh đề và các phép suy luận toán học là một chương trong chương trình Toán lớp 10. Tuy nhiên, giai đoạn 1990-2000, chương này bị lọai bỏ hoàn toàn. Sau đó, nội dung này xuất hiện lại và chiếm vị trí quan trọng cho tới nay. Vì vậy, việc nghiên cứu thực tế dạy và học phép kéo theo và phép tương đương ở trung học phổ thông là rất cần thiết. Từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự đặt ra những câu hỏi ban đầu dưới đây: 1. Trong lịch sử toán học, các khái niệm phép kéo theo và phép tương đương đã nảy sinh và tiến triển như thế nào? 2. Phép kéo theo và phép tương đương đã được sách giáo khoa đưa vào ở thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì? 3. Những ràng buộc của hệ thống dạy học có ảnh hưởng như thế nào đối với hiểu biết của giáo viên và học sinh về các khái niệm này? Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng vào các bài toán cụ thể ra sao? 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu 2.1 Lí thuyết nhân chủng học didactic 2.1.1 Quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X, O), là tập hợp tất cả những tác động qua lại mà X có thể có với O. R( X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế nào về O, X có thể thao tác O ra sao. Theo quan điểm này thì việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Cụ thể, việc học tập xảy ra nếu quan hệ R(X, O) được thiết lập hoặc bị biến đổi. Trên cơ sở lí luận này, khi phân tích mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tri thức là phép kéo theo, phép tương đương ta có thể tìm được những yếu tố trả lời cho câu hỏi thứ ba. 2.1.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức. Cách tiếp cận sinh thái Một cá nhân không thể tồn tại độc lập mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Do đó, mối quan hệ R( X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Một đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong một mối quan hệ chằng chịt với các đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái thì O chỉ có thể phát triển nếu có một lí do tồn tại, nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ và ràng buộc ấy. Theo Chevallard, quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O) là tập hợp các mối quan hệ, ràng buộc mà thể chế I có với O, nó cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì trong I Như vậy, phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O là phép kéo theo, phép tương đương giúp ta tìm được những yếu tố trả lời cho các câu hỏi thứ hai. 2.1.3 Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Xây dựng mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế của hoạt động đó là cần thiết. Xuất phát từ lí luận này, Chevallard đưa ra khái niệm praxéologie là một bộ phận gồm 4 thành phần (T, , , ) trong đó, T là kiểu nhiệm vụ,  là kĩ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích và biện minh cho  ,  là lí thuyết giải thích cho công nghệ  đó. Một praxéologie mà các thành phần mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch và Chevallard (1999): “ Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện nhờ vào những kĩ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau ở đó nó là một chủ thể, dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó đối với đối tượng nói trên”. Theo quan điểm này thì việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân đối với cùng một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc phân tích các tổ chức toán học. Nói cách khác, cách tiếp cận theo các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và công cụ phân tích thực tế dạy học. 2.2 Khái niệm chuyển đổi didactic Dưới đây, chúng tôi trình bày vắn tắt khái niệm chuyển đổi didactique, một khái niệm phổ biến trong ngành didactique. “Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri thức không tồn tại một cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế.” (Chevallard 1989)1 Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng buộc nhất định mà chúng tôi cho rằng không đồng nhất giữa các thể chế khác nhau. Chevallard chấp nhận tiên đề về sự tồn tại của các thể chế chuyển đổi cho phép một tri thức chuyển từ thể chế này sang thể chế khác: thể chế chuyển đổi là một thể chế vô hình mà Chevallard gọi là noosphère (1985). Khi thể chế đích là thể chế dạy học, sự chuyển đổi tri thức sẽ được gọi là chuyển đổi didactique. Đối với tri thức toán học, chúng tôi sẽ sử dụng thuật ngữ tri thức bác học để chỉ tri thức tham chiếu (savoir de référence) được huy động để hợp thức hoá một tri thức nào đó trong thể chế dạy học. Sự chuyển đổi didactique có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây: Tri thức bác học (Thể chế sản sinh) ↓ Đối tượng cần dạy (Thể chế chuyển đổi) ↓ Đối tượng được dạy (Thể chế dạy học) 2.3 Khái niệm hợp đồng didactic Theo Brousseau, “hợp đồng didactic là tập hợp các cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh mong đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh mà thầy mong đợi Đó là tập hợp các qui tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học được giảng dạy. Nói cách khác, hợp đống chi phối mối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm”. Như vậy, việc xác định các qui tắc của hợp đồng didactic sẽ cho phép chúng tôi lý giải được một phần những ứng xử của giáo viên và học sinh trong thực tế dạy và học liên quan đến phép kéo theo và phép tương đương. 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi như sau: Q1. Những đặc trưng khoa học luận của phép kéo theo, phép tương đương? Q2. Sự tiến triển của chuyển đổi didactic các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương qua các thời kỳ? Những yếu tố không thay đổi? Những yếu tố mất đi? Những yếu tố mới xuất hiện? Những yếu tố được biến đổi? Q3. Trong hệ thống dạy học toán ở THPT, mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo và tương đương đã được xây dựng và tiến triển ra sao? Nó phải chịu những điều kiện và ràng buộc nào? Q4. Những qui tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình hành giữa giáo viên và học sinh trong sự vận hành tri thức PKT và PBĐTĐ với các kiểu nhiệm vụ cụ thể? 4. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành luận văn trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu gồm các bước như sau: - Phân tích tổng hợp các nghiên cứu khoa học luận về lịch sử hình thành khái niệm phép kéo theo và phép tương đương để từ đó nắm rõ đặc trưng khoa học luận. - Phân tích các chương trình sách giáo khoa qua các giai đọan, sách tham khảo để làm sáng tỏ mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo và phép tương đương, đặc biệt là các ràng buộc thể chế của các khái niệm này. - Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo và phép tương đương trong thực hành giải toán (2 kiểu nhiệm vụ T11,T12 và đặc biệt tìm m để hai phương trình tương đương. . .). - Xây dựng phiếu thực nghiệm để kiểm định giả thuyết đặt ra và bổ sung thêm những giả thuyết mới. 5. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương sau: Mở đầu Chương 1: Nghiên cứu khoa học luận - Nghiên cứu sự ra đời và phát triển của phép kéo theo, phép tương đương các kí hiệu , . - Rút ra đặc điểm khoa học luận của PKT, PTĐ. Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương. - Phân tích PKT, PTĐ trong chương trình SGK Việt Nam o Giai đoạn 1975 - 1990 (M1) o Giai đoạn 2006 - 2008 Nâng cao (M3) - Rút ra mối quan hệ thể chế với khái niệm PKT,PTĐ. Chương 3: Sự vận hành của phép kéo theo, phép tương đương trong 2 kiểu nhiệm vụ T11, T12 và T13 - Nghiên cứu sự vận hành của PKT,PBĐTĐ trong kiểu nhiệm vụ T11, T12, T13. - Kết luận, đưa ra giả thuyết nghiên cứu Chương 4: Thực nghiệm - Bài tập dành cho HS. CHƯƠNG I: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO, PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG LỊCH SỬ. 1. Mục đích phân tích Như đã làm rõ trong phần mở đầu, mục đích của chương này là tiến hành phân tích, tổng hợp một số công trình lịch sử hay khoa học luận về các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương để làm rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong quá trình phát sinh và phát triển của nó. Cụ thể, nó nhắm tới trả lời các câu hỏi sau: Khái niệm PKT, PTĐ đã hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào, trong những phạm vi nào, dùng để giải quyết các bài toán nào? Những quan niệm về khái niệm PKT, PTĐ đã xuất hiện? Những quan niệm này có những đặc trưng cơ bản nào? 2. Phép kéo theo Lịch sử phát triển của phép kéo theo có thể chia làm 3 giai đoạn với các quan niệm khác nhau. 2.1 Giai đoạn 1: Từ thời Hy Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17 2.1.1 Quan niệm của Aristotle (QNA) về suy luận lôgic Theo Michal Walicki [10, tr.2], thông qua các cuộc thảo luận về chính trị và triết học, các nhà tư tưởng dần dần nâng cao các con đường lý luận khác nhau. Các nhà triết học nghiêm túc không tin tưởng vào các nhà ngụy biện . Lo lắng về nguy cơ trái đạo đức từ các cuộc tranh cãi của các nhà ngụy biện, Plato đã cố gắng chống lại chúng bằng cách lao vào các cuộc thảo luận về đạo đức và tuyên bố rằng đã có một logic mạnh mẽ là phép biện chứng. Tuy nhiên, gần như không có gì có thể học hỏi từ đó. Sự phát triển của "lý luận chính xác" lên đến đỉnh điểm tại Hy Lạp cổ đại với Aristotle (384-322 trước Thiên Chúa), người đưa vào giảng dạy các categorical forms (hình thức rõ ràng) và Syllogisms (tam đoạn luận) một cách hệ thống và khá đầy đủ trong bộ Organon. Theo ông, một mệnh đề là đúng khi nó là một phát biểu đúng. Trong toàn bộ học thuyết của mình, hầu hết ông đều sử dụng mệnh đề đúng và các mệnh đề này có kiểu là mệnh đề triết học hoặc đời sống. Aristotle đã định nghĩa “Tam đoạn luận là ngôn ngữ mà trong đó, nếu một cái gì đó được giả định, thì tất yếu rút ra một cái gì đó khác hẳn với cái đã cho....” Được Aristotle hình thức hóa đầu tiên, tam đoạn luận là một phương thức lập luận lôgic đi từ hai mệnh đề (còn gọi là tiền đề) đến một kết luận. Ví dụ: Mọi người đều phải chết, Socrates là người, vậy Socrates phải chết là một tam đoạn luận. Trong tam đoạn luận, hai tiền đề (còn gọi là đại tiền đề và tiểu tiền đề) là những mệnh đề cho trước và được giả định là đúng. Tam đoạn luận cho phép hợp thức hóa tính xác thực hình thức của kết luận. Tam đoạn luận học không chỉ thu hút sự quan tâm của các nhà triết học kinh viện trung cổ mà còn cả Antoine Arnauld, Gottfried Leibniz và Emmanuel Kant. Nó được xem là tiền thân của lôgic toán hiện đại và được giảng dạy đến tận cuối thế kỷ 19. Có thể sơ đồ hóa tam đoạn luận của Aristotle bằng ngôn ngữ của phép kéo theo hiện đại như sau: (P  Q) = 1 (A  P) = 1 (A  Q) = 1 Dù chưa thể hiện một cách toàn diện và chính xác các ý tưởng của phép kéo theo, tam đoạn luận của Aristotle là cố gắng đầu tiên trong việc xây dựng một cơ sở của lôgic hình thức cho phép suy diễn một mệnh đề thứ ba từ hai tiền đề ban đầu. Phép kéo theo được sử dụng như một công cụ, phương pháp của các nhà triết học. 2.1.2 Quan niệm của Euclide (QNE) (330 275 TCN) về phép kéo theo Trong lịch sử toán học, người đầu tiên đưa ra phương pháp tiên đề là nhà toán học Hy Lạp Euclide. Ông đưa ra một hệ tiên đề dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh sau: 1. Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng đó. 2. Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng. 3. Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó. 4. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một giao tuyến chung. 5. Từ một điểm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song) Từ hệ tiên đề trên, Euclide chỉ dùng suy diễn toán học để xây dựng bộ môn hình học mang tên ông. Tác phẩm Nguyên lý (hoặc Cơ bản, tiếng anh là Elements) là minh chứng rõ ràng nhất. Ngày nay người ta vẫn khẳng định rằng: Tác phẩm Nguyên lý của Euclide, chứng tỏ ông đã thành công ở mức độ cao trong việc cố gắng tìm cách xây dựng hình học theo một lý luận chặt chẽ. Tác phẩm Nguyên lý gồm 13 quyển. Quyển I nói về các trường hợp bằng nhau của tam giác, sự so sánh về cạnh và góc trong một tam giác, sự vuông góc và sự song song của các đường thẳng. Trong quyển này cũng đề cập tới các tính chất của hình bình hành, diện tích một số hình phẳng và định lí Pitago. Quyển II nói về sự đẳng hợp của các hình phẳng. Quyển III nói về đường tròn và một số vấn đề có liên quan trực tiếp tới đường tròn, chẳng hạn như các tính chất của tiếp tuyến, dây cung của đường tròn. Ðặc biệt, ở đây có định lí về phương tích của một điểm đối với một đường tròn. Quyển IV nói về phép dựng các đa giác đều nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn với số cạnh bằng 3, 4, 5, 10, 15. Quyển V nói về lí thuyết tỉ lệ thức thông qua nội dung hình học, với lí luận khá chặt chẽ và chính xác. Quyển VI nói về lí thuyết đồng dạng của các hình phẳng. Các quyển VII, VIII, IX có nội dung số học, nhưng được trình bày dưới dạng hình học. Quyển X nói về các phép dựng hình để tìm căn bậc hai của các số tự nhiên. Quyển XI nói về vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng, về góc đa diện và các hình chóp có cùng chiều cao và cùng diện tích đáy. Quyển XII nói về diện tích hình tròn, thể tích các hình khối đồng dạng, thể tích các hình lăng trụ, chóp, trụ, nón. Quyển XIII nói về hình cầu, diện tích mặt cầu, tính thể tích hình cầu. Quyển này cũng nói về khối đa diện đều và đã khẳng định được rằng chỉ có năm loại khối đa diện đều mà thôi. Tác phẩm Nguyên lý là một thành công nổi bật để sắp xếp lại toàn bộ các kiến thức toán học vào trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên đề đơn giản. Hầu hết các tiên đề, hay định đề đều được Euclide phát biểu dưới dạng “Nếu P thì Q”. Trong đó P, Q cùng kiểu mệnh đề (Số học, đại số và hình học) và có mối quan hệ nhân quả với nhau. Nói cách khác khi xét giá trị chân lí của mệnh đề Nếu P thì Q, Euclide quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Xem P là nguyên nhân (giả thuyết) để suy luận ra Q. Như vậy, Euclide đã dùng phép kéo theo như một công cụ để giải toán. Quan niệm về phép kéo theo của Euclide gồm những đặc trưng cơ bản sau:  Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.  Chân trị của P luôn đúng.  Chân trị của P và Q đều là đúng.  P và Q cùng kiểu mệnh đề hình học, số học (được thể hiện dưới dạng hình học).  P và Q có mối quan hệ nhân quả. 2.1.3 Quan niệm của Philo (QNP) về phép kéo theo Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.129-131], Philo là người đầu tiên đưa ra bảng chân trị của mệnh đề “Nếu P thì Q” trong cả 4 trường hợp. Tuy nhiên, ông chỉ dùng phương pháp qui nạp thử một số trường hợp rồi suy luận bằng trực giác để thu được kết quả mà chưa chứng minh được chúng. P Q Nếu P thì Q Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Trước đó trong mệnh đề “Nếu P thì Q” theo quan niệm Euclide thì P và Q phải cùng kiểu mệnh đề và có mối quan hệ nhân quả. Từ bảng chân trị trên ta thấy rõ ràng, đối với Philo 2 mệnh đề P và Q có thể không cùng kiểu mệnh đề, không có mối quan hệ nhân quả. Nói cách khác khi xét giá trị chân lí của mệnh đề Nếu P thì Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Như vậy, bảng chân trị của mệnh đề “Nếu P thì Q”của Philo đánh dấu một bước ngoặt về quan niệm của phép kéo theo. Quan niệm về phép kéo theo của Philo gồm những đặc trưng cơ bản sau:  Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  Chân trị của P và Q có thể đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề .  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả. 2.2 Giai đoạn 2: Thế kỷ 17-18 Theo Michal Walicki [10, tr.8]  “Lingua universalis characteristica” là ý tưởng của Gottfried Leibniz (1646-1716), Leibniz nghiên cứu và đã rất ấn tượng theo phương pháp của người Ai Cập và Trung Quốc trong việc sử dụng hình ảnh, kí hiệu để diễn tả cho khái niệm. Ông là người đầu tiên có ý tưởng đưa ra hệ thống các kí hiệu các phép toán logic trong toán học. Chẳng hạn, Leibniz đã dùng kí hiệu phép kéo theo để diễn đạt tam đoạn luận của Aristotle . Tam đoạn luận của Aristotle Kí hiệu của Leibniz Tất cả A là B Tất cả B là C --------------- Thì Tất cả A là C A = AB; B = BC; ---------- A = AC Leibniz là người tiên phong trong việc sử dụng kí hiệu cho phép kéo theo vào toán học. Hệ thống kí hiệu của Leibniz đánh dấu sự xuất hiện của ngôn ngữ hình thức hoá.  Trong tác phẩm Formal Logic và The Calculus of Inferrence xuất bản năm 1847 của De Morgan(