Luận văn Nghiên cứu didactic việc dẫn nhập khái niệm phép biến hình ở trường phổ thông trong môi trường tích hợp phần mềm Cabri

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH __________________________ Vũ Khánh Ly NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CABRI Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán Mã số: 60 14 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành Phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS. TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán. Tôi xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học. - Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ trợ tôi tiến hành thực nghiệm 2. - Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Chí Thanh (TP.HCM) đã hỗ trợ giúp tôi tiến hành thực nghiệm 1. - Ths Trần Túy An, là đồng nghiệp và cũng là học viên khóa trước, đã động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt. VŨ KHÁNH LY DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT PBH : Phép biến hình SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên GV : Giáo viên HS : Học sinh CT : Chương trình THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở CNTT : Công nghệ thông tin HĐ : Hoạt động MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát “Hàm” là một khái niệm cực kì quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học Toán ở trường THPT. Theo nhà toán học Khin-Sin: “Không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể thực hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm”. Hơn nữa “trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ đề PBH” [6, tr.167]. Với các PBH, HS được biết một quan hệ hàm không phải là hàm số. Đối với chủ đề PBH, chúng tôi có những ghi nhận sau: - Thứ nhất, PBH trong CT cải cách giáo dục năm được tiến hành từ năm 1990 và CT chỉnh lí hợp nhất năm 2000 được trình bày theo quan điểm hàm. Chúng tôi sẽ làm rõ thêm nhận xét này trong các phân tích ở chương sau. Trong hai CT trên, PBH được phân bố ở cuối CT lớp 10. CT phân ban năm 2006 đặt PBH ở đầu lớp 11. Câu hỏi đặt ra: ngoài sự thay đổi trật tự CT, có hay không sự thay đổi quan điểm trình bày PBH? - Thứ hai, PBH nghiên cứu hình học trong trạng thái vận động. Do đó việc sử dụng các phần mềm hình học động để mô phỏng sự vận động là cần thiết. Trong các phần mềm hình học, Cabri lôi cuốn chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ. Cabri có thể tạo ra hình ảnh trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi hình dạng, vị trí bằng các thao tác “kéo-rê” chuột. - Thứ ba, một trong những yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy của Bộ giáo dục hiện nay là tích hợp CNTT trong giảng dạy. Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm dạy học. Trong thực tế giảng dạy ở nhiều trường phổ thông, các phần mềm dạy học bước đầu được nhiều GV quan tâm sử dụng như Cabri, Geospace, Geometer’s Sketchpad, Maple. Song “việc sử dụng của họ chỉ dừng ở mức độ minh họa tính chất và mô phỏng các chuyển động của hình trong các bài giảng điện tử” [30]. Vấn đề tương tác giữa học sinh với các phần mềm hầu như không được tính đến. “Multimedia là một loại phương tiện tích hợp nhiều phương tiện như: chữ, hình ảnh, âm thanh, video, hoạt hình/mô phỏng. Tuy nhiên, tính năng quan trọng nhất của multimedia là tương tác. Thiếu tương tác thì đó chỉ là một giờ học với phương tiện đắt tiền1”. Tại sao chúng ta phải quan tâm đến sự tương tác trong quá trình dạy và học? “Nói chưa phải là dạy và nghe chưa phải là học” (ngạn ngữ). HS chăm chú lắng nghe bài giảng của thầy giáo, nghe một bài trình bày toán mạch lạc, không đảm bảo là việc học sẽ xảy ra như mong đợi. Nếu không có phản hồi mà chỉ có tác động một chiều thì chưa chắc việc học tập đã diễn ra. Không có phản hồi sẽ không có sự điều chỉnh về nội dung và phương thức hoạt động của người học. Theo Bessot và Grenier (trích dẫn trong Lê Văn Tiến [25]): “Tác động phản hồi là một thông tin đặc biệt có từ môi trường, nghĩa là một thông 1 Đỗ Mạnh Cường-Viện Nghiên Cứu Phát Triển Giáo Dục Chuyên Nghiệp, tham luận hội thảo “Các vấn đề dạy và học toán ở phổ tin đến với HS như một xác nhận tích cực hay tiêu cực trên hành động của họ và cho phép họ điều chỉnh hành động này, cho phép họ chấp nhận hay loại bỏ giả thuyết, hay tiến hành một lực chọn giữa nhiều cách giải quyết” Vậy, “môi trường” trong lí thuyết tình huống được hiểu như thế nào? Theo G.Brousseau, [25]: “Trong tình huống didactic, môi trường là hệ thống đối kháng với HS, tức là cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà HS không kiểm soát được”. Các yếu tố hình thành nên môi trường có thể là vật chất hoặc phi vật chất [25]. Một trong những môi trường tạo sự tương tác hiệu quả đó là môi trường máy tính tích hợp các phần mềm dạy học tương tác. Theo Nguyễn Chí Thành [24], ý tưởng chủ đạo khi xây dựng các HĐ trong các tình huống là tạo ra một môi trường cho sự tương tác giữa Cabri và HS. Sự tương tác đó có thể mô tả trong sơ đồ sau (theo C. Laborde 1985): Hình 1. Sự tương tác giữa HS và phần mềm Theo sơ đồ trên, trong môi trường của Cabri, HS sẽ dịch chuyển hình vẽ hoặc các đối tượng, quan sát các phản hồi của môi trường, sử dụng kiến thức đã có để giải thích cho các thông tin phản hồi của môi trường, mặt khác qua các phản hồi HS có thể thay đổi các hành động của mình để tiến gần đến kết quả cần tìm (kiến thức cần lĩnh hội) theo dụng ý của GV. Chính điều này gây nên sự hình thành kiến thức mới, trong đó HS đóng vai trò chủ động. Các phản hồi cũng giúp GV điều khiển, hướng dẫn quá trình học tập của HS. Có thể nói, Cabri là phần mềm hình học động có tính năng tương tác cao. Chính vì điều này mà các tác giả viết phần mềm này đã đặt tên cho nó là “Vở nháp tương tác” (Cahier de Brouillon Interactif). Những ghi nhận trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát: Q’1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong CT hình học ở Việt Nam? Có sự thay đổi gì về nội dung PBH qua các lần cải cách gần đây nhất của chương trình phổ thông được thực hiện từ những năm 1990, 2000 và 2006? Q’2: Cách trình bày của các thể chế đã ảnh hưởng thế nào đến quan niệm của HS về khái niệm PBH? Q’3: Vai trò của phần mềm Cabri đối với việc dạy và học PBH? Có thể vận dụng chức năng tương tác của Cabri để xây dựng nội dung dạy học giúp HS tiếp cận với khái niệm PBH theo đặc trưng hàm hay không? 2. Trình bày vấn đề nghiên cứu 2.1 Khung lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lí thuyết didactic toán, cụ thông”, 09/2008 Kiến thức cần lĩnh hội Các phản hồi của môi trường Dịch chuyển hình HS Cabri II Plus thể là lí thuyết nhân chủng học và đồ án didactic (hay còn gọi là công nghệ didactic). Tại sao lại là “Lí thuyết nhân chủng học”? Bởi vì hai trong số ba câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. 2.1.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao. Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “khái niệm PBH”. 2.1.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó mà có sự tồn tại của X. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O). Với những định nghĩa trên thì trả lời cho câu hỏi Q’1 và Q’2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của HS với đối tượng O. Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là: - Thể chế dạy học theo CT cải cách giáo dục được tiến hành vào năm 1990 [I1]. - Thể chế dạy học theo CT chỉnh lý hợp nhất năm 2000 [I2]. - Thể chế dạy học theo CT phân ban được tiến hành đại trà năm học 2006-2007 [I3]. Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O)? Theo Bosch và Chevallard.Y (1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với tri thức O sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ R(I,O). Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O. Trong luận văn này, việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan đến các PBH, sẽ cho phép chúng tôi: - Vạch rõ các quan hệ của thể chế R(I1,O), R(I2,O), R(I3,O). - Xác định mối quan hệ các nhân HS duy trì với O trong từng thể chế I1, I2, I3. Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì? 2.1.3 Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. Theo Chevallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, là kĩ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kĩ thuật ,  là lí thuyết giải thích cho  còn gọi là công nghệ của công nghệ  Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học. 2.1.4 Đồ án didactic Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactic là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc didactic tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học. Đồ án didactic cho phép thực hiện: - Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactic trước đó. - Một kiểm chứng về những xây dựng lí thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy. Trong nghiên cứu của mình, để trả lời cho câu hỏi Q’3, chúng tôi xây dựng một đồ án nhằm giúp HS tiếp cận với tri thức O. 2.2 Trình bày lại câu hỏi trong khung lí thuyết tham chiếu Trong khuôn khổ lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này: Q1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong các thể chế I1(thể chế dạy học theo CT 1990), I2 (thể chế dạy học theo CT 2000), I3 (thể chế dạy học theo CT 2006)? Các tổ chức toán học nào liên quan đến khái niệm PBH được triển khai trong các thể chế này? Có sự thay đổi nào về mối quan hệ của các thể chế I1, I2, I3 với khái niệm PBH? Q2:Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng ra sao đến mối quan hệ cá nhân của HS trong mỗi thể chế đối với khái niệm PBH? Q3: Chức năng của Cabri đối với việc dạy-học PBH? Có những kiểu nhiệm vụ nào với Cabri trong việc dạy-học PBH? Các kĩ thuật nào và công nghệ toán học nào sẽ được đưa vào khi đưa ra các kiểu nhiệm vụ đó? Trong các kĩ thuật thực hiện, kĩ thuật nào thể hiện đặc trưng hàm của PBH? Q4: Có thể xây dựng một tình huống sử dụng chức năng tương tác của Cabri giúp học sinh tiếp cận với khái niệm PBH với đặc trưng hàm của nó hay không? 3. Phương pháp nghiên cứu  Phân tích CT và SGK toán các CT: + CT cải cách giáo dục năm 1990; + CT chỉnh lí hợp nhất năm 2000; + CT phân ban năm 2006; Mục đích: + Biết được cách trình bày các vấn đề về PBH của các CT? + Thấy được sự giống và khác nhau về tổ chức toán học của các CT.  Từ kết quả phân tích trên, chúng tôi đưa ra mối quan hệ thể chế đối với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu.  Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.  Xây dựng thực nghiệm có sử dụng Cabri để tiếp cận với khái niệm PBH với các đặc trưng của nó. 4. Cấu trúc của luận văn Nghiên cứu Chương 1 nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Muốn thế, chúng tôi tiến hành phân tích CT, SGV, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, SGK, SBT toán qua các thời kì. Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm PBH. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của từng thể chế với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu liên quan đến câu hỏi Q3 về mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH dưới ràng buộc của thể chế. Chương 2 dành để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết trên bằng một thực nghiệm (được tiến hành trong môi trường giấy-bút truyền thống) với HS, chúng tôi gọi đây là thực nghiệm thứ nhất. Trong Chương 3, chúng tôi trình bày thực nghiệm thứ hai dưới dạng một đồ án. Thực nghiệm này được tiến hành trong môi trường tương tác của phần mềm hình học động Cabri II plus nhằm mục đích điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH đã được phân tích trong chương 1 và chương 2. CHƯƠNG 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH Nghiên cứu chương này với mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2. Muốn thế, nghiên cứu đó phải làm rõ mối quan hệ mà các thể chế I1, I2, I3 đối với khái niệm PBH. Việc này sẽ được tiến hành thông qua phân tích CT và SGK của từng thể chế.  Đối với thể chế I1: Trong thời kì này, ba bộ SGK được sử dụng trong các trường phổ thông. Các trường PT ở miền Nam đã lựa chọn sử dụng bộ sách do tác giả Trần Văn Hạo chủ biên. Do đó chúng tôi cũng sử dụng bộ sách giáo khoa này để phân tích. Tài liệu phân tích: + Hình học 10, Trần Văn Hạo, Vũ Thiện Căn, Cam Duy Lễ,1992, NXBGD [M1]; + Sách giáo viên Toán 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, 1990, NXBGD [P1]; + Bài tập hình học 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ,Vũ Thiện Căn,1993, NXBGD [E1];  Đối với thể chế I2: Năm 2000, cùng với sự chỉnh lý chương trình, các trường PT của cả nước sử dụng chung một bộ sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất do tác giả Văn Như Cương chủ biên. Tài liệu phân tích: + Hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [M2]; + Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, 2001 [P2]; + Bài tập hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [E2];  Đối với thể chế I3: Năm học 2006-2007, toàn bộ khối 10 trong cả nước thực hiện chương trình mới: chương trình phân ban. Chương trình toán khối 10 phân thành hai chương trình: chương trình nâng cao và chương trình cơ bản. Đến năm học 2007-2008, toàn bộ khối 11 tiếp tục thực hiện chương trình phân ban với sự phân chia ban giống như khối 10. Nội dung PBH được trình bày trong SGK lớp 11. Chúng tôi chọn phân tích bộ SGK lớp 11 theo CT cơ bản. Chúng tôi chọn CT này vì đối với chủ đề PBH, hệ thống bài tập của các trường triển khai giảng dạy giống với hệ thống bài tập ban cơ bản, cho dù đa số các trường chọn học toán theo ban nâng cao. Tài liệu phân tích: + Hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [M3]; + Sách giáo viên Toán 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [P3]; + Bài tập hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [E3]; Do tính kế thừa giữa các bậc học của hệ thống dạy học, trong một số trường hợp, để làm sáng tỏ vấn đề đang nghiên cứu, chúng tôi sẽ tham khảo các CT liên quan ở bậc THCS. CT 1990 và 2000 ở bậc THPT kế thừa cùng CT bậc THCS được tiến hành cải cách “cuốn chiếu” bắt đầu từ năm 1986, chúng tôi quy ước gọi là CT THCS 1986. CT 2006 ở bậc THPT kế thừa CT bậc THCS được tiến hành đại trà bắt đầu từ năm 2002, chúng tôi quy ước gọi là CT THCS 2002. Các tài liệu tham khảo ở bậc THCS là: - Đối với CT THCS 1986: +SGK hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD; +SGV hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD; - Đối với CT THCS 2002: +SGK Toán 8, tập 1, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD; +SGV Toán 8, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD; 1.1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC CHƯƠNG TRÌNH 1.1.1. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 1990 Đây là lần đầu tiên nội dung PBH được trình bày tập trung ở CT PT Việt nam trong chương 3 của lớp 10 với tên gọi Phép dời hình và phép đồng dạng. Đối với CT trước đó2, theo Lê Thị Hoài Châu (2004), PBH được nghiên cứu rải rác từ cấp II đến cấp III với tư cách là một bộ phận của hình học tổng hợp. Ví dụ: CT cấp II nghiên cứu phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng tâm; Đối với CT cấp III, lớp 9 nghiên cứu phép tịnh tiến trong bài Đường thẳng và mặt phẳng song song, lớp 10 nghiên cứu phép vị tự và và phép đồng dạng. Theo Dự thảo chương trình của Viện khoa học giáo dục (1989), chương III chỉ có 11 tiết với các nội dung: Khái niệm về phép dời hình, tính chất phép dời hìn,; khái niệm về hai hình bằng nhau (5 tiết). Phép vị tự. Khái niệm về phép đồng dạng, tính chất phép đồng dạng, khái niệm về hai hình đồng dạng (6 tiết)[P1, tr.54]. Các Noospherien cho rằng: “Ở các lớp 8, 9 trường PTCS, học sinh đã học phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, quay và đã được chứng minh rằng trong các phép biến hình đó X’Y’=XY. Ở lớp 10, những phép biến hình ấy được tổng kết lại và được xem như là những thí dụ của phép dời hình” [P1, tr.56]. Bài “Đối xứng trục”, “Đối xứng tâm” được đưa vào giảng dạy ở lớp 8. Bài “Tịnh tiến theo vectơ” chỉ là bài đọc thêm. “Phép quay” được dạy ở lớp 9. “Đối xứng trục” được nói đến sau khi nghiên cứu hình thang. Những nội dung được xem xét là khái niệm điểm đối xứng qua một đường thẳng, hình đối xứng qua một đường thẳng, vài tính chất của hình đối xứng, cách dựng hình đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng. Hình thang cân được xem là một ví dụ về hình có trục đối xứng. Như vậy, “tư tưởng về sự tương ứng giữa các điểm chưa được xây dựng ở đây” [5, tr.164]. Thật vậy, SGV hình học 8 viết: “Sách giáo khoa không xây dựng vấn đề đối xứng trục theo tư tưởng phép biến hình mà hạn chế trong việc tìm hiểu khái niệm hai hình đối xứng nhau với nhau qua một đường thẳng”. Có thể thấy đối với bậc THCS, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một số hình cụ thể như hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành. Chính vì thế mà các tác giả của sách M1 đã đề nghị: “dành vài tiết để: -giới thiệu về ánh xạ và phép biến hình; -ôn lại các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay” [P1, tr.57]. Chương Phép dời hình và phép đồng dạng được dạy trong 12 tiết với 4 bà