Luận văn Nghiên cứu việc đưa vào dạy học toán ở trường phổ thông thuật toán chia đôi trong môi trường máy tính bỏ túi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------- ĐỖ PHẠM ANH TÚ NGHIÊN CỨU VIỆC ĐƯA VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI TRONG MÔI TRƯỜNG MÁY TÍNH BỎ TÚI LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn toán Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Tiến Thành phố Hồ Chí Minh – 2006 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU..1 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát1 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu2 3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu.3 4. Tổ chức của luận văn3 Chương 1: TỔ CHỨC TOÁN HỌC (TCTH) THAM CHIẾU GẮN LIỀN VỚI THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI (TTCĐ)5 1.1. Sơ lược lịch sử của khái niệm thuật toán.5 1.2. TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ.6 1.2.1. TTCĐ trong quyển sách “Cơ sở giải tích số” của B. Démidovitch và I. Maron..6 1.2.2. TTCĐ trong quyển sách “Toán học và tin học” của Arthur Engel.10 1.2.3. TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ.13 1.3. Kết luận về chương 1.14 Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI TTCĐ VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI (MTBT)...15 2.1. Mối quan hệ thể chế với TTCĐ..15 2.1.1. Tình huống đưa vào TTCĐ..15 2.1.2. Vết của TCTH tham chiếu..21 2.1.3. Kết luận.23 2.2. Mối quan hệ thể chế với MTBT.24 2.2.1. Tổng quan về MTBT..24 2.2.2. Một số tình huống đưa vào MTBT.26 2.2.3. Kết luận.29 2.3. Kết luận về chương 2.30 Chương 3: THỰC NGHIỆM.31 3.1. Mục đích thực nghiệm31 3.2. Phân tích tiên nghiệm31 3.2.1. Tình huống tổng quát31 3.2.2. Lựa chọn hàm số f(x)..31 3.2.3. Nội dung thực nghiệm.33 3.2.4. Tiến trình thực nghiệm35 3.2.5. Các biến tình huống... 36 3.2.6. Phân tích chi tiết...37 3.3. Phân tích hậu nghiệm.45 3.3.1. Các chiến lược có dùng phím nhớ của MTBT đã được sử dụng45 3.3.2. Sự hợp thức hóa tình huống tính gần đúng nghiệm.46 3.3.3. Tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu.48 3.3.4. TTCĐ đã được đưa vào dạy học ...52 3.3.5. Sự xuất hiện ngầm ẩn của yếu tố tin học.54 3.3.6. Kết luận về thực nghiệm.55 KẾT LUẬN56 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤC LỤC Các phiếu thực nghiệm Một số lời giải tiêu biểu của các nhóm Protocole TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Hoàng Kiếm (2001), Giải một bài toán trên máy tính như thế nào?, Tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 2. Hoàng Xuân Sính (1977), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 3. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán: Một công nghệ didactique trong môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 4. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Nguyễn Văn Vĩnh (1999), Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 5. Tạ Duy Phượng (2003), Giải toán trên máy tính điện tử, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 6. Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận và didactic, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 7. Trịnh Công Diệu (1996), Phương pháp tính, Đề cương bài giảng, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 8. Vụ Giáo dục trung học (2005), Máy tính Casio fx 500 MS – Hướng dẫn sử dụng và giải toán, Hà Nội. 9. Vụ Trung học phổ thông (2001), Một số vấn đề về nâng cao thực hành trên máy tính Casio, Tp. Hồ Chí Minh. Dịch sang tiếng Việt 10. Fichtengôn G. M. (1977), Cơ sở giải tích toán học, Tập 1, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. 11. Nyhoff L., Leedstma S. (1998), Lập trình nâng cao bằng Pascal với các cấu trúc dữ liệu, Nxb Đà Nẵng. Tiếng Anh 12. Knuth D. E. (1997), The art of computer programming, Addison Wesley Longman, California. 13. Rotman J. (1998), Galois Theory, Springer-Verlag, NewYork. 14. Roman S. (1995), Field Theory, Springer-Verlag, NewYork. 15. Thomas H. C., Charles E. L., Ronald L. R. (1990), Introduction to Algoritthms, McGraw-Hill Book Company, NewYork. Tiếng Pháp 16. Chabert J. L., Barbin E., Guilletmot M., Pajus A. M., Borowczyk J., Djebbar A. et Martzloff J. C. (1994), Histoire d’algorithmes, Éditions Berlin. 17. Démidovitch B. et Maron I. (1979), Éléments de culcul numérique, Traduction français, Éditions Mir. Moscou, (traduit du russe par V. Polonski). 18. Engel A. (1985), Mathématique et informatique, Éditions Cedic, Paris. 19. Lê Văn Tiến (2001), Étude didactique de liens entre fonctions et équations dans l’enseignement des mathématiques au lycée en France et au Viêt-nam, Thèse, Université Joseph Fourier – Grenoble I. PHỤ LỤC Các phiếu thực nghiệm Một số lời giải tiêu biểu của các nhóm Protocole LỜI CẢM ƠN
 Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Văn Tiến. Mặc dù ù á â ø û ø á â é á â ê á ë øù á â ø û ø á â é á â ê á ë øù á â ø û ø á â é á â ê á ë ø rất bận rộn với công tác quản lý và công tác chuyên môn, thầy vẫn dành nhiá ä ä ù â ù û ù ø â ù â â à ã øá ä ä ù â ù û ù ø â ù â â à ã øá ä ä ù â ù û ù ø â ù â â à ã ø ều công à âà âà â sức và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.ù ø ä ù ã â ø ø ä ê øù ø ä ù ã â ø ø ä ê øù ø ä ù ã â ø ø ä ê ø Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trần Văn Tấn, PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, â â ï û à ê á â ø ââ â ï û à ê á â ø ââ â ï û à ê á â ø â TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. â ê á ø õ ûâ ê á ø õ ûâ ê á ø õ û Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng õ ä û ï à ï ùõ ä û ï à ï ùõ ä û ï à ï ù tôi những kiến thức về Didactique toán và tạo cho tôi niềm yêu thích với chuyên â õ á ù à ù ø ï â à â ù ââ õ á ù à ù ø ï â à â ù ââ õ á ù à ù ø ï â à â ù â ngành này; xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp ø ø â ï û ù à â õ û ï ùø ø â ï û ù à â õ û ï ùø ø â ï û ù à â õ û ï ù Didactique toánùùù khóa 14.ùùù Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công â â ø û õ ï ø â â ø ï ââ â ø û õ ï ø â â ø ï ââ â ø û õ ï ø â â ø ï â nghệ äää – Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán ï ï û ä ùï ï û ä ùï ï û ä ù – Tin trường ĐHSP tp. HCM đã ø õø õø õ tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này.ï ä ï ù â ø ø ä ê øï ä ï ù â ø ø ä ê øï ä ï ù â ø ø ä ê ø Tôi xinâââ gửi lời cảm ơn đến TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp đỡ tôi để luận û ø û á ã â ù â õ ù õ â å äû ø û á ã â ù â õ ù õ â å äû ø û á ã â ù â õ ù õ â å ä văn này được dịch sang tiếng Pháp.ê ø ï á ùê ø ï á ùê ø ï á ù Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các bạn đồng nghiệp và người thân đã động viên và á ø â û ù ï à ä ø ø â õ ä â øá ø â û ù ï à ä ø ø â õ ä â øá ø â û ù ï à ä ø ø â õ ä â ø giúp đỡ tôi về mọi mặt.ù õ â à ï ëù õ â à ï ëù õ â à ï ë Đỗ Phạm Thanh Tú 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Lịch sử giảng dạy toán ở trường phổ thông Việt Nam đã ghi nhận sự tiến triển đáng lưu ý của các yếu tố thuộc về Phương pháp số, Tin học và thuật toán. Cụ thể: • Chương trình lớp 10 những năm 1990 yêu cầu đưa vào một chương nhan đề “Một số yếu tố về phương pháp và kỹ thuật tính toán”. Mục đích chủ yếu là cung cấp cho học sinh những hiểu biết bước đầu về phương pháp số, về thuật toán và tin học. Phù hợp với chương trình, cả ba bộ sách giáo khoa (SGK) của thời kỳ này đều dành một chương để đề cập nội dung trên, nhưng dưới các tên gọi khác nhau như: “Khái niệm sơ đẳng về tin học và thuật toán”, “Một số khái niệm về phương pháp và kỹ thuật tính toán”, “Khoa học và kỹ thuật tính toán”. Đặc biệt, mở đầu chương “Khoa học và kỹ thuật tính toán”, SGK của chủ biên Ngô Thúc Lanh viết: “Phương pháp số là một bộ môn toán học có nhiệm vụ tìm ra kết quả bằng số của bài toán. Phương pháp số xuất hiện rất sớm trong lịch sử. Ngày nay các kết quả bằng số của các bài toán thực tiễn vẫn luôn luôn là mối quan tâm của các nhà toán học. Những bài toán lớn như: tính toán các chỉ tiêu của nền kinh tế quốc dân, các số liệu về dự báo thời tiết, hay về quỹ đạo của các con tàu vũ trụ v.v đòi hỏi phải có những phương pháp và kỹ thuật tính toán rất có hiệu lực. Yêu cầu cấp bách đó đã là nguyên nhân trực tiếp của sự ra đời của máy tính điện tử (viết tắt MTĐT). Nhờ có MTĐT nhiều phương pháp số trước đây chỉ có ý nghĩa lý thuyết ngày nay đã có thể thực hiện được.” Nói cách khác, việc giải quyết các bài toán thuộc phạm vi Phương pháp số là một trong những yếu tố thúc đẩy sự ra đời và phát triển của MTĐT nói riêng và tin học nói chung. Như vậy, dù mức độ và cấu trúc khác nhau, nhưng nội dung “Phương pháp và kỹ thuật tính toán” trong cả ba SGK lớp 10 đều xoay quanh ba đối tượng cơ bản, đó là: Thuật toán, Phương pháp tính và Máy tính điện tử (máy vi tính). Điều này làm chúng tôi tự hỏi: Phải chăng ẩn đằng sau 3 đối tượng này là ý đồ nối khớp toán học và tin học thông qua thuật toán? • Tuy nhiên, chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và chương trình thí điểm phân ban năm 20031 lại loại bỏ hoàn toàn nội dung nêu trên. 1 Thí điểm lớp 10 từ năm học 2003-2004. 2 Đặc biệt, trong chương trình thí điểm phân ban, tin học bắt đầu lấy vị trí của một môn học độc lập. Nhưng việc sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) lại được nhấn mạnh trong nhiều môn học, nhất là ở môn toán. Về phương diện thuật toán và phương pháp số, cả hai SGK toán thí điểm lớp 11 (sách Đại số và Giải tích, bộ 1 và bộ 2, ban Khoa học tự nhiên) đều đề cập Phương pháp chia đôi trong việc tính gần đúng nghiệm của phương trình. Những sự kiện nêu trên thể hiện ý định và cả sự lưỡng lự của những người soạn thảo chương trình và SGK Việt Nam trong việc tính đến các yếu tố của phương pháp số và tin học trong dạy học toán ở trường phổ thông. Nhưng, điều đặc biệt là đằng sau Phương pháp số và Tin học luôn có dấu vết của Thuật toán. Nói cách khác, câu hỏi về việc sử dụng thuật toán như đối tượng ưu tiên trong việc nối khớp toán học và tin học trong chương trình và SGK toán của các thời kỳ vẫn là một vấn đề cần thiết được làm sáng tỏ. Câu hỏi này lôi cuốn sự chú ý đặc biệt của chúng tôi. Tuy nhiên, trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi của chủ đề nghiên cứu, chúng tôi giới hạn vào một đối tượng cụ thể, đó là thuật toán chia đôi (TTCĐ). Việc lựa chọn thuật toán này xuất phát từ hai lý do sau đây: - TTCĐ luôn được ưu tiên đề cập trong nhiều quyển sách về Phương pháp số (hay Giải tích số), - Nó xuất hiện tường minh trong bài đọc thêm của cả hai SGK toán lớp 11 thí điểm phân ban. 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích tổng quát của luận văn này là nghiên cứu về vị trí, vai trò của TTCĐ trong mối quan hệ Toán học – Tin học. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của didactique toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái niệm công cụ của lý thuyết nhân chủng học (lý thuyết chuyển đổi didactique, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, cách đặt vấn đề sinh thái học) và của lý thuyết tình huống (đồ án didactique). Trong phạm vi didactique với các khái niệm công cụ lý thuyết đã chọn, mục đích nghiên cứu cụ thể của chúng tôi là tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau đây: 1) TTCĐ xuất hiện như thế nào trong các quyển sách đề cập đến phạm vi phương pháp số? Nó gắn liền với tổ chức toán học (TCTH) nào? Với những đặc trưng gì? Nó có mối quan hệ như thế nào với các công cụ tin học như máy vi tính (MVT), MTBT? Nó có phải là một trong các yếu tố cho phép nối khớp toán học và tin học? 3 2) TTCĐ hiện diện như thế nào trong chương trình và SGK? Đặc trưng của TCTH gắn liền với nó? Nó có quan hệ gì với các đối tượng MTBT và MVT nói riêng và các yếu tố tin học nói chung? TTCĐ và các đối tượng liên quan phải chịu những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế? 3) Làm thế nào xây dựng một tiểu đồ án didactique để đưa TTCĐ vào dạy học toán ở trường phổ thông với sự hỗ trợ của MTBT? 3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu Phương pháp luận nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là thực hiện đồng thời việc nghiên cứu ở hai cấp độ: cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy. Nghiên cứu ở cấp độ thứ nhất sẽ là yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở cấp độ thứ hai. Tổng hợp kết quả hai nghiên cứu này sẽ là cơ sở để đề xuất các câu hỏi và đặc biệt là giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi sẽ tìm cách trả lời hay hợp thức hóa bằng thực nghiệm. Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, có thể trình bày tổ chức nghiên cứu của chúng tôi như sau: • Làm rõ TCTH gắn liền với TTCĐ trong một số quyển sách bàn về phương pháp số để chỉ ra TCTH tham chiếu. • Phân tích chương trình và SGK toán phổ thông thí điểm để làm rõ mối quan hệ thể chế đối với TTCĐ và các đối tượng có liên quan; tìm vết của TCTH tham chiếu. • Tổng hợp kết quả của hai phân tích trên để đề xuất các câu hỏi mới hay giả thuyết nghiên cứu. • Xây dựng đồ án didactique cho phép tìm câu trả lời cho một số trong các câu hỏi mới hay đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra ở trên. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm 5 phần: mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và kết luận. • Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, mục đích của đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp và tổ chức nghiên cứu cũng như tổ chức của luận văn. • Trong chương 1, chúng tôi nghiên cứu TTCĐ ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu TTCĐ trong hai quyển sách bàn về phương pháp số để chỉ ra TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ. • Trong chương 2, chúng tôi thực hiện phân tích chương trình và SGK thí điểm để làm rõ mối quan hệ thể chế với TTCĐ và MTBT, đề xuất câu hỏi mới và giả 4 thuyết nghiên cứu. Chúng tôi chỉ rõ vết mà TCTH tham chiếu để lại trong bài đọc thêm và giải thích sự chênh lệch giữa TCTH tham chiếu và bài đọc thêm. • Trong chương 3, chúng tôi xây dựng và đưa vào thực nghiệm một tiểu đồ án didactique nhằm kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho câu hỏi mới và đưa vào dạy học ở trường phổ thông TTCĐ. • Phần kết luận tóm tắt những kết quả đạt được ở các chương 1, 2, 3 và nêu một số hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn. 5 Chương 1 TCTH THAM CHIẾU GẮN LIỀN VỚI TTCĐ Chúng tôi nhắc lại rằng, mục tiêu của chương này là nghiên cứu TTCĐ ở cấp độ tri thức khoa học và qua đó tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra trong phần mở đầu: TTCĐ xuất hiện như thế nào trong các quyển sách đề cập đến phạm vi phương pháp số? Nó gắn liền với TCTH nào? Với những đặc trưng gì? Nó có mối quan hệ như thế nào với các công cụ tin học như MVT, MTBT? Nó có phải là một trong các yếu tố cho phép nối khớp toán học và tin học? Hai quyển sách mà chúng tôi chọn phân tích là: - “Cơ sở giải tích số” của B. Démidovitch và I. Maron, - “Toán học và tin học” của Arthur Engel. Tuy nhiên, trước khi thực hiện việc phân tích hai quyển sách nêu trên, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược lịch sử của khái niệm thuật toán, nhằm làm rõ cách sử dụng thuật ngữ “thuật toán” trong luận văn này. 1.1. Sơ lược lịch sử của khái niệm thuật toán Kết quả trong mục này được rút ra từ công trình của Lê Văn Tiến [19] và từ việc phân tích phần mở đầu của tài liệu “Histoire d’algorithmes” [16]. Trước khi xuất hiện thuật ngữ đặc biệt để chỉ thuật toán thì thuật toán đã tồn tại ở người Babilon và người Hy Lạp. Nó xuất hiện ở các lĩnh vực pháp lý, toán học Khi đó, người ta nói đến trình tự, quy tắc, kỹ thuật, quy trình, phương pháp. Cách dùng từ “thuật toán” ở phương Tây gắn với tên " "al Khwarizmi− , tên của nhà toán học nửa đầu thế kỷ thứ IX Muhammad ibn M usa al K hw arizm i− . Trong những cuốn sách La tinh thời Trung đại, người ta dùng những từ algorisme, algorismus hoặc algorithmus để chỉ những phương pháp tính. D’Alembert đã mô tả từ thuật toán như sau: “[] Nói chung, dùng cùng một từ để chỉ phương pháp và ký hiệu của tất cả các kiểu tính. Khi đó, người ta nói đến thuật toán tính tích phân, thuật toán tính luỹ thừa, thuật toán sin, v.v” (Bách khoa toàn thư, 1992). Cuối cùng, từ thuật toán dùng để chỉ tất cả những phương pháp tính có tính hệ thống, thậm chí là tự động. Đặc biệt, với sự ảnh hưởng của công nghệ thông tin, thuật ngữ này đã có một định nghĩa rõ ràng hơn nhờ vào đặc trưng “hữu hạn” và nó cho phép phân biệt từ thuật toán với những từ có nghĩa rộng hơn như phương pháp, quy trình, kỹ thuật: 6 “Thuật toán là một dãy hữu hạn các quy tắc cần thực hiện theo một thứ tự trên một số hữu hạn các dữ liệu đã cho để sau một số hữu hạn bước sẽ đạt tới kết quả, và điều đó độc lập với các dữ liệu.” (Encyclopaedia Universalis). Sự xuất hiện của khái niệm thuật toán là một bước chuyển trong lịch sử thuật toán: “Với việc đưa vào khái niệm thuật toán, lịch sử của các thuật toán đã chuyển đổi thành lịch sử của một lĩnh vực khoa học mới: đó là thuật toán. Lĩnh vực khoa học này không phải tìm một thuật toán để giải một vấn đề đặc biệt, mà tìm cách giải các vấn đề được đặt ra bằng việc nghiên cứu một cách tổng quát các thuật toán. Nghiên cứu này được đặc biệt phát triển với sự trợ giúp của các máy vi tính và việc khám phá ra các ngôn ngữ lập trình.” [16, tr.534]. Trong tin học, để mô tả một số thuật toán, người ta thường dùng phép gán và vòng lặp. Tóm lại, thuật toán xuất hiện ở nhiều lĩnh vực, trong đó có toán học và tin học. Trong lịch sử, thuật toán là một đặc trưng của toán học và nó thường lấy nghĩa là phương pháp, quy tắc, quy trình, kỹ thuật. Tin học ra đời, thuật toán có định nghĩa rõ ràng và nó là một yếu tố của tin học.