Luận văn Nhập môn hình học symplectic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dư Thị Phượng Hảo NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Lê Anh Vũ. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, Trảng Bàng, Tây Ninh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả Dư Thị Phượng Hảo DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  Đại số Lie của nhóm Lie G.  Không gian đối ngẫu của đại số Lie  .  Aut  Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên  . TeG Không gian tiếp xúc của nhóm Lie G tại phần tử đơn vị e.  2 *V Tập các 2-dạng ngoài trên không gian véctơ V.  2 V Tập các dạng song tuyến tính phản đối xứng trên V.  C M Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp M.  MF Tập các hàm nhẵn trên đa tạp M.  0xF Tập các hàm nhẵn trên lân cận của điểm 0x thuộc đa tạp M.  s M Tập các s-dạng vi phân trên đa tạp M.  sdRH M Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s trên đa tạp M.  Diff M Nhóm các phép vi phôi trên đa tạp M.  ,Sympl M  Nhóm các đồng cấu symplectic trên đa tạp M. ( )M Tập các trường véctơ khả vi trên đa tạp M.  sympl M Tập các trường véctơ symplectic trên đa tạp M.  ham M Tập các trường véctơ hamilton trên đa tạp M. F K-quỹ đạo chứa F của nhóm Lie G trong .  MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong suốt hai thế kỷ qua, các nhà khoa học đặc biệt quan tâm đến “cơ học giải tích”, trong toán học có thể kể đến các nhà khoa học như: Euler, Lagrange, Laplace, Hamilton, Jacobi, Poisson, Liouville, Poincaré, Birkhoff, Carathéodory, Lie, E. Cartan, Từ đó, họ đã phát triển thành vài nhánh quan trọng của toán học đó là: hình học vi phân, tính toán các bất biến của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie, lý thuyết về các phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân thường, Trong suốt nửa thế kỷ qua, việc nghiên cứu các cấu trúc hình học trên các đa tạp vi phân, chẳng hạn như cấu trúc Symplectic, Poisson, Contact,lấy cơ học giải tích và cơ học cổ điển làm nền tảng, đã giới thiệu được nhiều phương pháp hiện đại của hình học vi phân, tạo một sức sống mới trong lĩnh vực nghiên cứu hình học. Cấu trúc Symplectic trên đa tạp vi phân là một 2-dạng đóng và không suy biến. Việc xây dựng cấu trúc Symplectic trên đa tạp vi phân hình thành khái niệm đa tạp Symplectic. Việc nghiên cứu các đa tạp Symplectic gọi là hình học Symplectic. Hình học Symplectic là một nhánh của hình học vi phân, có nguồn gốc từ cơ học cổ điển Hamilton và còn được gọi là tôpô Symplectic, song sau này tôpô Symplectic chỉ là một lĩnh vực liên quan đến những vấn đề quan trọng mang tính chất toàn cục trong hình học Symplectic. So với hình học Riemann, hình học Symplectic có một số điểm giống nhưng cũng có nhiều điểm khác. Hình học Riemann nghiên cứu các đa tạp vi phân được trang bị một 2-trường tenxơ đối xứng và không suy biến, trong khi đó hình học Symplectic nghiên cứu các đa tạp vi phân được trang bị một 2-dạng đóng và không suy biến. Khác đa tạp Riemann, đa tạp Symplectic phải có số chiều chẵn, định hướng được và không có tính chất bất biến địa phương về độ cong. Một điểm khác nữa là, không phải mọi đa tạp vi phân tùy ý nào cũng chấp nhận một cấu trúc Symplectic,... Hình học Symplectic cũng là một trong những chuyên đề tự chọn trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán Hình học – Tôpô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tuy nhiên cho đến nay chuyên đề này vẫn chưa được trình bày. Do đó chúng tôi quyết định nghiên cứu những tính chất cơ bản nhất của hình học Symplectic với mục đích xây dựng được cấu trúc Symplectic trên các đa tạp vi phân thông thường. Vì vậy đề tài nghiên cứu của chúng tôi mang tên: “NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC”. 2. Mục đích Giới thiệu tổng quan các kiến thức cơ bản nhất về đa tạp Symplectic. Vấn đề này có nhiều ứng dụng trong toán học, cũng như trong vật lý cơ học nhưng lại ít được biết đến và không có một tài liệu tham khảo nào bằng tiếng việt. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đa tạp Symplectic và tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Hy vọng luận văn sẽ góp một tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học ngành toán các năm cuối và học viên cao học ngành Hình học và Tôpô. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu về đề tài nghiên cứu. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức về đa tạp vi phân, đại số Lie và nhóm Lie. Chương 2: Đa tạp Symplectic. Trình bày các nội dung chính: không gian véctơ Symplectic, đa tạp Symplectic, đồng cấu symplectic, đa tạp con của đa tạp Symplectic, trường véctơ symplectic, trường véctơ hamilton và các định lí quan trọng là Darboux, Moser. Chương 3: Tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic. Trình bày tác động symplectic, tác động hamilton và xây dựng cấu trúc symplectic trên K-quỹ đạo. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài. Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu). Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày lại các kiến thức làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Các định lí, hệ quả và các kết quả chỉ phát biểu không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu hơn về đa tạp vi phân, nhóm Lie, đại số Lie xin xem thêm các tài liệu [1], [2], [3], [7] và [8]. 1.1. Đa tạp vi phân 1.1.1. Đa tạp tôpô Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được. Ta gọi M là đa tạp tôpô n-chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian n-chiều ,n nghĩa là với mọi ,x M tồn tại lân cận mở U của x và đồng phôi :U V  từ U lên tập mở .nV   1.1.2. Atlat khả vi - Cấu trúc khả vi Cặp  ,U  xác định như thế được gọi là một bản đồ địa phương quanh x trên M, hay gọi tắt là bản đồ. Mỗi bản đồ  ,U  quanh x U xác định duy nhất một hệ hàm 1,..., nx x trên U nhận giá trị thực sao cho  1( ) ( ),..., ( ) ,ny x y x y  .y U  Ta nói  1; ,..., nU x x là hệ tọa độ địa phương quanh x. Một atlat (tập bản đồ) khả vi lớp kC  1 { }k    là một họ   , :i iU i I  các bản đồ thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Họ  iU là một phủ mở của M; (ii) Với hai bản đồ  ,i iU  và  , , ,j j i jU U U   ánh xạ 1j i   xác định trên  i i jU U  là ánh xạ khả vi lớp kC từ  i i jU U  lên  .j i jU U  Hai tập bản đồ   1 , :i iU i I C và   2 , :j jV j J C khả vi lớp kC được gọi là tương thích với nhau nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp kC . Quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp .kC Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp kC trên M. 1.1.3. Đa tạp vi phân Đa tạp tôpô n-chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp kC cho trên nó được gọi là một đa tạp vi phân n-chiều lớp .kC Nếu k = , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó ta gọi M là đa tạp nhẵn. 1.1.4. Đa tạp con Cho P là tập con của đa tạp khả vi n-chiều M. Ta nói P là đa tạp con k-chiều của M nếu với mọi ,x P tồn tại bản đồ  ,U  của M, : nU U    sao cho ( ) 0x  và    {0} .kU P U     1.1.5. Tích các đa tạp vi phân Cho các đa tạp khả vi M với atlat  ,i i i IU  A= và N với atlat  , .j j j JV  B = Trên không gian tôpô Hausdorff M N xét atlat khả vi   , . ,i j i j i I j J U V       A B = thì M N là đa tạp khả vi và gọi là đa tạp tích của hai đa tạp M và N. Chú ý: dim ( )M N  dim M + dim N. 1.2. Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân 1.2.1. Định nghĩa Giả sử M, N là hai đa tạp vi phân lớp kC với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên tục :f M N được gọi là khả vi lớp kC tại p M nếu với mọi bản đồ  ,U  quanh p và  ,V  quanh f(p) = q mà  f U V thì ánh xạ    1 :f U V      khả vi tại điểm ( ) .mp  Ánh xạ f gọi là khả vi lớp kC nếu nó khả vi lớp kC tại mọi điểm .p M 1.2.2. Nhận xét Nếu :f M N và g : N P là hai ánh xạ khả vi lớp kC thì g f : M P là ánh xạ khả vi lớp .kC Ánh xạ :f M N được gọi là vi phôi lớp kC nếu f là song ánh và cả f, 1f  đều khả vi lớp .kC Hợp thành của hai vi phôi lại là một vi phôi. Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, thuật ngữ “khả vi” có ý nghĩa là “khả vi lớp kC ” với một k nào đó  1 { }k    đủ cần thiết, khi ,k   từ “khả vi” được thay bởi từ “nhẵn”. Với mỗi 0x thuộc đa tạp nhẵn M, mỗi { },k    ta kí hiệu:    :M f fF là hàm nhẵn trên M   0 :x f fF là hàm nhẵn trong lân cận của 0x    :k M f fF là hàm khả vi lớp kC trên M   0 : k x f fF là hàm khả vi lớp kC trong lân cận của 0x . 1f   M N U f V   m(U )   n(V )   1.3. Không gian tiếp xúc – Phân thớ tiếp xúc – Ánh xạ tiếp xúc 1.3.1. Véctơ tiếp xúc Cho M là một đa tạp vi phân n-chiều, ta kí hiệu I a,b – là một trong các tập sau:         a,b , a,b , a,b , a,b . Xét ánh xạ liên tục   c : I M , t c t .  Khi I là một trong các tập         a,b , a,b , a,b , a,b , ta bảo c là đường cong khả vi trên M nếu tồn tại 0  đủ nhỏ và ánh xạ khả vi : ( , )c a b M    sao cho . I c c Một véctơ tiếp xúc với c tại  0 0x c t là một ánh xạ     0 0: t t X x d f c f Xf dt       F Ta gọi Xf là đạo hàm của f theo hướng của véctơ X hay đạo hàm của f theo hướng của c tại  0 0x c t . Tính chất Với mọi  0, ,f g xF ta có  X(f  g) = Xf  Xg;  X( f) = X(f);         00 0. . ( ) ( ). ; , .X f g Xf g x f x Xg f g x   F (Quy tắc Newton – Leibniz) 1.3.2. Không gian tiếp xúc Cho M là đa tạp vi phân n-chiều và 0x M là một điểm tùy ý. Véctơ tiếp xúc của M tại 0x là một véctơ tiếp xúc X của một đường cong khả vi c nào đó tại 0x sao cho    0 0 0 c t x t I .  Không gian tiếp xúc của M tại 0x là tập hợp các véctơ tiếp xúc của M tại 0x , kí hiệu là 0x T M và là không gian véctơ trên  với các phép toán ( , ) ; ( , )X Y X Y X X    xác định như sau   X Y f Xf Yf ;       X f Xf ;  0 0 , , ( ).x X,Y T M f x      F Không gian tiếp xúc 0x T M là không gian véctơ thực n-chiều với cơ sở là n , ,..., . x x xx x x          0 0 01 2 1.3.3. Phân thớ tiếp xúc Đặt x x M TM T M ,    TM cùng với phép chiếu : ,TM M  ( ) :xX T M X x  được gọi là phân thớ tiếp xúc trên M. 1.3.4. Trường véctơ Cho M là đa tạp vi phân n-chiều, TM là phân thớ tiếp xúc trên M. Cho U là tập mở trong M và xét ánh xạ : x x X U TM x X T M   X như thế được gọi là trường véctơ trên U. Khi U = M ta nhận được khái niệm trường véctơ trên M. Xét  ,U  là bản đồ địa phương với các tọa độ cho bởi    1. (.),..., (.) .nx x  Khi đó mỗi trường véctơ X trên U đều được viết dưới dạng 1 , n i i i X x       ở đó :i U  là các hàm trên U, 1,2,..., .i n Ta bảo X là trường véctơ khả vi trên U nếu i là hàm khả vi trên U, với mọi i =1,2,,n. Tập các trường véctơ khả vi trên U được kí hiệu là ( ).U Trường véctơ X trên M gọi là khả vi nếu U X khả vi trên U với mọi bản đồ  ,U  của M. Tập các trường véctơ khả vi trên M được kí hiệu là ( )M . 1.3.5. Tích Lie của hai trường véctơ Với , ( ),X Y M tích Lie của X và Y, kí hiệu [X,Y], xác định như sau:      , :X Y f X Yf Y Xf  ,  .f MF Tương tự có thể xác định [X,Y] đối với , ( ).X Y U 1.3.6. Ánh xạ tiếp xúc Giả sử M, N là hai đa tạp vi phân và : M N  là ánh xạ khả vi. Với mỗi ,x M xét ánh xạ  ( ): ,x x x xT T M T N X T X   xác định như sau:      : , ( ) .xT X f X f f x         F Khi đó xT  là một ánh xạ tuyến tính. Từ đó, ta xác định được ánh xạ: :TM TN X X       với      : , .X f X f f N     F Ta gọi  là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi . 1.3.7. Phân bố Cho đa tạp vi phân n-chiều M và đa tạp con mở U của M. Một phân bố r- chiều (0 )r n  trên U là một tương ứng : xE x E liên kết mỗi điểm x U với không gian con r-chiều xE của .xT M Trường véctơ khả vi X trên U gọi là thuộc phân bố E nếu , .xxX E x U   Phân bố r-chiều E gọi là khả vi nếu tồn tại r trường véctơ khả vi 1,..., rX X trên U sao cho 1 ,..., , .x xrxE X X x U   Lúc đó, ta cũng nói E được sinh bởi 1,..., .rX X Phân bố r-chiều E gọi là khả tích nếu với mọi x U đều tồn tại một đa tạp con r-chiều N của U chứa x sao cho , .y yE T N y N   Khi U = M ta có các khái niệm phân bố, phân bố khả vi, phân bố khả tích trên M. 1.3.8. Định lí 1.3.8.1. Định lí Flow-Box Nếu 1,..., rX X là các trường véctơ nhẵn trên đa tạp nhẵn n-chiều M thỏa mãn [ , ] 0, ,i jX X i j  và nếu với p M mà r trường véctơ    1 ,..., rX p X p là độc lập tuyến tính trong pT M thì tồn tại một hệ tọa độ địa phương  1 2; , ,..., nU x x x trên lân cận mở U của p sao cho 1 1 . U U r rX ,X x x       Hệ quả (định lí Flow-Box) Cho M là đa tạp nhẵn và E là phân bố nhẵn của M. Khi đó E là khả tích nếu E đóng đối với tích Lie các trường véctơ, tức là với hai trường véctơ tùy ý X, Y thuộc E đều có [ , ]X Y cũng thuộc E. 1.3.8.2. Định lí Frobenius địa phương Cho M là đa tạp nhẵn n-chiều, E là phân bố r-chiều nhẵn và khả tích của M. Khi đó với mọi p M có một lân cận U của p và tồn tại hệ tọa độ địa phương  1 2 1; , ,..., , ,...,r n rU x x x y y  sao cho UE được sinh bởi các trường véctơ 1 2 , ,..., . rx x x       1.4. Nhóm một tham số – Đạo hàm Lie – Hợp luân và trường véctơ 1.4.1. Nhóm 1-tham số 1.4.1.1. Đường cong tích phân Giả sử X là một trường véctơ khả vi trên đa tạp M. Đường cong khả vi c(t) trên M được gọi là đường cong tích phân của trường X nếu đối với mỗi giá trị của tham số 0t , véctơ   0( ) 0 .c tX c t Ta gọi   0( ) 0c t X c t là véctơ tiếp xúc c tại 0( ).x c t Hơn nữa, với mỗi 0 ,p M tồn tại duy nhất một đường cong tích phân c(t) của trường X, xác định đối với ,t  với 0  nào đó sao cho   00 .c p 1.4.1.2. Nhóm 1- tham số toàn cục Ta gọi nhóm 1 - tham số các phép vi phôi trên M (hay nhóm 1- tham số toàn cục) là một ánh xạ : M M   , ( , ) ( , )t x t x (còn viết là ( )t x ) thoả mãn hai tính chất sau: (i) Với mọi t ,     t . t ,. : M M  ,  tx x là vi phôi; (ii) Với t ,s , p M ,  ta luôn có    t s t sp p .     Mỗi nhóm 1- tham số các phép vi phôi  t t  trên M sinh ra trường véctơ X bằng cách sau: lấy mỗi ,p M xét đường cong    tx t p mà được gọi là quỹ đạo của điểm p. Ta xác định  : 0 .pX x Quỹ đạo  t p là đường cong tích phân đi qua p của trường véctơ X. 1.4.1.3. Nhóm 1- tham số địa phương Kí hiệu  , , 0I      và U là tập con mở của M. Nhóm 1 - tham số địa phương các vi phôi địa phương trên M xác định trên I U  là một ánh xạ : ,I M M   ( , ) ( , )t x t x (còn viết là ( )t x ) thoả mãn hai tính chất sau: (i) Với mọi t I , t :U M ,   tx x là một vi phôi từ U lên tập mở  t U M  ; (ii) Với t , s, t s I  và nếu  sp U , p U  thì    t s t sp p .     Để đơn giản ta thường dùng kí hiệu ( )t để chỉ nhóm 1-tham số địa phương mà không chỉ rõ tập U. Rõ ràng, tương tự như nhóm 1-tham số toàn cục ( )t cũng sinh ra trường véctơ X xác định trên U bởi (0),pX x ở đó ( ) ( ).tx t p 1.4.1.4. Định lí Nếu X là trường véctơ khả vi trên đa tạp M thì với mỗi 0 ,p M tồn tại một lân cận U của 0,p một số 0  và nhóm 1- tham số địa phương các phép vi phôi địa phương : , t U M t I   sao cho ( )t sinh ra trường véctơ X đã cho. Khi đó ta cũng nói X sinh ra nhóm 1-tham số địa phương các vi phôi địa phương t trong lân cận của điểm 0.p Nếu X sinh ra nhóm toàn cục thì X được gọi là trường véctơ đầy. 1.4.2. Hợp luân và trường véctơ Giả sử M là một đa tạp và : M M   là một ánh xạ. Với mỗi ,t ta đặt ( ) : ( , ), .t x x t x M    1.4.2.1. Định nghĩa hợp luân Ánh xạ  được gọi là một hợp luân nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: :t M M  là một vi phôi, ;t  0 .Mid  Khi cho một hợp luân ta được một trường véctơ phụ thuộc thời gian, tức là một họ các trường véctơ  , tX t xác định như sau: ( ) ( ) ;t s t s d X x y ds    1, ( ),tx M y x    nghĩa là .t t t d X dt    Ngược lại khi cho một trường véctơ phụ thuộc thời gian và M compăc thì tồn tại một hợp luân  thỏa mãn phương trình trên. Giả sử M là compăc, ta có sự tương ứng 1 1 sau: {Hợp luân trên M} 1 1{Trường véctơ phụ thuộc thời gian trên M} , , t tt X t     1.4.2.2. Phép nổi (flow) của trường véctơ Nếu tX X không phụ thuộc vào t thì hợp luân tương ứng với nó gọi là phép nổi (flow) của X, kí hiệu là exptX, nghĩa là {exp : , }tX M M t  là một họ các phép vi phôi nhẵn duy nhất thỏa mãn:     0 exp ; exp ( ) exp ( ) , . Mt tX id d tX p X tX p p M dt        1.5. Dạng vi phân trên đa tạp 1.5.1. Không gian đối tiếp xúc – Phân thớ đối tiếp xúc Cho M là đa tạp vi phân n-chiều, 0x M là một điểm tùy ý và 0xT M là không gian tiếp của M xúc tại 0x có cơ sở là n , ,..., . x x xx x x          0 0 01 2 Khi đó không gian đối ngẫu của 0 T Mx là 0 0 * { : /T M T Mx x   là ánh xạ tuyến tính} được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại 0.x Mỗi phần tử của 0T Mx  gọi là véctơ đối tiếp xúc tại 0.x Đương nhiên, cơ sở của 0xT M  là   0 0 0 1 2, ,..., ndx dx dxx x x đối ngẫu của cơ sở n , ,..., . x x xx x x          0 0 01 2 Đặt *x x M T M T M    , T M cùng với phép chiếu : ,T M M    * ( ) :xT M x     được gọi là phân thớ đối tiếp xúc trên M. 1.5.2. Vi phân toàn phần của hàm khả vi Cho U là tập mở trong n và ánh xạ khả vi : .f U  Vi phân toàn phần của f tại  1,..., nx x x U  được xác định bởi 1 ( ) ( ) . n i i i f df x x dx x     Cho f là một hàm nhẵn trên đa tạp nhẵn M. Vi phân của f tại x M là ánh xạ tuyến tính    : , .x x x x x xdf T M X df X X f   1.5.3. Dạng vi phân Cho M là đa tạp vi phân n-chiều lớp , 1.kC k  Một dạng vi phân  bậc s (còn gọi là s-dạng  ) trên M là quy tắc tương ứng mỗi p M với s-dạng tuyến tính phản đối xứng ( )p trên , (0 ).pT M s n  Mỗi hàm :f M  được gọi là dạng vi phân bậc 0. 1.5.4. Biểu diễn địa phương của dạng vi phân Giả sử  1; ,..., nU x x là một bản đồ địa phương trên đa tạp khả vi M, ix       (i 1,2,...,n) là các trường véctơ cơ sở và  idx (i 1,2,...,n) là các dạng vi phân bậc nhất trên U, đối ngẫu với . ix       Khi đó mỗi dạng vi phân  bậc s trên U được biểu diễn dạng: 1 1 1 ... 1 ... ( ) ( ) ... s s s i i i i i i m p p dx dx         ở đó 1... si i  là các