Luận văn Nhóm hữu hạn với nhóm con frattini tầm thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________________________ Hoàng Châu Giang NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________________________ Hoàng Châu Giang NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy tại trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tận tâm giảng dạy, trang bị đầy đủ kiến thức cho tôi và cho lớp Đại số K23 trong thời gian tôi học tập chương trình Cao học. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình tôi làm luận văn. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng trong luận văn MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................. 3 1.1. Các khái niệm mở đầu .............................................................................................. 3 1.2. Tích trực tiếp – Tích trực tiếp con ............................................................................ 9 1.3. Nhóm con Frattini .................................................................................................. 10 1.4. Dãy Abel – Nhóm giải được .................................................................................. 12 1.5. Dãy tâm – Nhóm lũy linh ....................................................................................... 14 1.6. Nhóm con dẫn xuất ................................................................................................ 19 1.7. Nhóm siêu giải được .............................................................................................. 20 1.8. Các định lý về sự chẻ ra ......................................................................................... 21 1.9. Nhóm Abel sơ cấp .................................................................................................. 23 Chương 2. NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG ..... 26 2.1. Các lớp nhóm cơ bản .............................................................................................. 26 2.2. Một số tính chất chung ........................................................................................... 26 2.3. Các tính chất đóng .................................................................................................. 36 2.4. Điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có phần phụ ...................................................... 42 KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 47 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Ý nghĩa [ ]:G H Chỉ số của H trong G ( )GN H Chuẩn hóa tử của H trong G ( )GC X Tâm hóa tử của X trong G ( )Z G Tâm của G xH Nhóm con liên hợp của H trong G ,H K Nhóm con sinh bởi H và K ( )Aut G Nhóm các tự đẳng cấu của G H char G H là nhóm con đặc trưng của G ( )GΦ Nhóm con Frattini của G [ ] 1 1,a b aba b− −= Hoán tử của a và b [ ]' ,G G G= Nhóm con dẫn xuất của G p pG g= Nhóm con sinh bởi pg với g G∈ , p nguyên tố 1 MỞ ĐẦU Chúng ta đã biết giao của tất cả các nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G nếu có được gọi là nhóm con Frattini của G. Nếu giao này là tầm thường thì ta nói G là nhóm với nhóm con Frattini tầm thường. Lớp các nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm hữu hạn và nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như H.BECHTELL, C.CHRISTENSEN, L. –C. KAPPE và J.KIRTLAND, J.WIEGOLD, C. R. B. WRIGHT với nhiều kết quả thú vị. Trong bài báo [11], ta biết một đặc trưng quan trọng, G là nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường nghĩa là mỗi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G có phần phụ thực sự, và khi đó G được gọi là nS – nhóm. Bắt đầu từ nghiên cứu của chính mình trong bài báo [11], trong bài báo [12], hai tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE và JOSEPH KIRTLAND tiếp tục nghiên cứu một cách chi tiết về lớp các nS – nhóm hữu hạn, lớp các nC – nhóm hữu hạn và thu được các kết quả sau: Nếu G lũy linh thì nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N của G là nS – nhóm nếu và chỉ nếu N là Abel sơ cấp, nếu G giải được thì G và tất cả các thương của nó có nhóm con Frattini tầm thường nếu và chỉ nếu G là nC – nhóm.Lớp các nC – nhóm, một lớp con của lớp các nS – nhóm đã được nghiên cứu trong các bài báo [4], [6], [7], [8], [16] và [17]. Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu về các nS – nhóm, hai tác giả đã thu được những kết quả chưa được biết đến rộng rãi trên các nC – nhóm như: các nS – nhóm lũy linh trùng với các nC – nhóm lũy linh, tâm của các nC – nhóm là nhân tử trực tiếp Abel sơ cấp Luận văn là sự trình bày chi tiết các Định lý 2.1, Định lý 2.3, Định lý 2.5, Định lý 2.6, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Định lý 3.5, Định lý 3.6, Định lý 3.7, Định lý 4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.3, Định lý 4.4, Định lý 4.5, Định lý 4.6 trong bài báo [12] của đồng tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE và JOSEPH KIRTLAND. Luận văn “Nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường” được chia làm hai chương: 2 Chương 1: Trình bày một số khái niệm và các tính chất cơ bản liên quan đến nhóm con Frattini, nhóm giải được, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh, nhóm Abel sơ cấp, các định lý về sự chẻ ra Chương 1 sẽ giúp người đọc nắm vững những khái niệm và tính chất cần thiết để theo dõi tiếp chương 2. Chương 2: Trình bày những kết quả chính về nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường, bao gồm các tính chất cơ bản, các tính chất đóng và điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có một phần phụ. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn nhưng không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn. 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các khái niệm mở đầu 1.1.1. Định nghĩa Cho nhóm G, p là số nguyên tố chia hết |G|. Khi đó: i. G được gọi làp – nhóm nếu |G| là lũy thừa của p. ii. H là nhóm con của G. H được gọi là p – nhóm con của G nếu H là p – nhóm. iii. Nhóm con H của G được gọi là p – nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p – nhóm con của G theo quan hệ bao hàm. 1.1.2. Định lý Sylow Cho G là nhóm hữu hạn cấp ap m với ( ), 1p m = , p là số nguyên tố. Khi đó: i. Mỗi p – nhóm con của G đều chứa trong một nhóm con cấp ap . Đặc biệt, do 1 là một p – nhóm con nên p – nhóm Sylow luôn tồn tại ii. Nếu pn là số p – nhóm con Sylow thì ( )1 modpn p≡ iii. Tất cả các p – nhóm con Sylow đều liên hợp trong G [14, 1.6.16, tr.39]. 1.1.3. Hệ quả(Định lý Cauchy) Nếu G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố chia hết G thì G có chứa một phần tử cấp p[14, 1.6.17, tr.40]. 1.1.4. Định lý 4 Cho G là nhóm hữu hạn, M là nhóm con tối đại của G và [ ]:G M là số nguyên tố. Khi đó p – nhóm con Sylow P là chuẩn tắc trong G với p là số nguyên tố lớn nhất chia hết G . Chứng minh. Kí hiệup là số nguyên tố lớn nhất chia hết G và xét một p – nhóm con Sylow P của G. Nếu P không là nhóm con chuẩn tắc của G, thì ( )GN P được chứa trong một nhóm con tối đại M của G với [ ]:G M nguyên tố. Vì ( ) [ ] ( ): : :G GG N P G M M N P=       và ( ) ( )M GN P N P= , nên theo Định lý Sylow [ ]1 :G M≡ modulo p. Nhưng [ ] ( ): 1 0q G M kp k= = + ≠ là số nguyên tố và q p≤ . Vì 1kp q= − nênp chia hết q – 1. Do đóp<q, mâu thuẫn. Vậy .P G 1.1.5. Định lý Cho nhóm G, N G , P là p – nhóm con Sylow của N, khi đó ( )GG NN P= . Chứng minh. Vì N G nên tồn tại tự đồng cấu : N Nϕ → ( ) 1 ,gx x x g xg g Gϕ −= = ∀ ∈ . Vì N là hữu hạn, nên các p – nhóm con Sylow của N là liên hợp. Do đó với mỗi g G∈ có một phần tử x N∈ sao cho g xP P= . Như vậy ( )1 Ggx N P− ∈ . Vì ( )Gg N P N∈ , nên ( ) ( )G GG N P N NN P= = . 1.1.6. Định nghĩa 5 H là nhóm con của G, H được gọi là nhóm con tựa chuẩn tắc của G nếu H giao hoán với mọi nhóm con của G. Nghĩa là HK = KH với mọi nhóm con K của G. 1.1.7. Định lý Nếu Hlà nhóm con tựa chuẩn tắc của Gthì ,HK KH H K= = . Nghĩa là HK là nhóm con của G. Chứng minh. Lấy ' ', , ,x y HK x hk y h k∈ = = , khi đó 1 ' 1 ' 1xy hkk h− − −= ( )' 1 ' 1 '' ''h kk h hh k HK− − = = ∈  . Vậy HK là nhóm con của G. Mà ,H HK K HK≤ ≤ nên ,H K HK⊂ . Dễ thấy ,HK H K⊂ . Vậy ,HK KH H K= = . 1.1.8. Định lý Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G. Chứng minh. Lấy K là một nhóm con bất kì của G. Khi đó { }| ,HK hk h H k K= ∈ ∈ . Lấy tùy ý hk HK∈ . Do H chuẩn tắc ta có 1k hk H− ∈ nên 1 'k hk h− = suy ra 'hk kh= . Vậy hk KH∈ tức là .HK KH⊂ Tương tự ta có .KH HK⊂ Do đó HK = KH. Vì vậy H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G. 1.1.9. Định lý (Định lý đẳng cấu 1) Nếu ':f G G→ là một đồng cấu thì ImKer G ff ≅ . 1.1.10. Định lý (Định lý đẳng cấu 2) 6 Cho ,H G K G≤ . Khi đó H K K∩  và K HKH K H≅∩ . 1.1.11. Định lý (Định lý đẳng cấu 3) Cho H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G với K H≤ . Khi đó H K G K và ( ) ( )G H G K H K≅ . Chứng minh. Do ,K G K H≤ nên K H . Mặt khác H G nên H K G K . Xét toàn cấu : G K G Hϕ → aK aH . Ta có ( ){ } { }Ker | |aK G K aK aH H aK a H H Kϕ ϕ= ∈ = ∈ = ∈ = Theo Định lý đẳng cấu 1, ta có G K G HH K ≅ . 1.1.12. Định lý Cho ' ',H H K K  , khi đó ' ' ' 'H K H KH K H K × ≅ × × . Chứng minh. Do ' ',H H K K  nên ' 'H K H K× × . Xét toàn cấu ' ': H KH K H Kϕ × → × , ta có ( ) ( )( ){ }' 'Ker , | , 1H KH Kh k H K h kϕ ϕ ×= ∈ × = ( ){ }' ' ' ', | ,h k H K h H k K H K= ∈ × ∈ ∈ = × 7 Theo Định lý đẳng cấu 1 ta có ' ' ' 'H K H KH K H K × ≅ × × 1.1.13. Nhóm các tự đẳng cấu Cho nhómG. Đặt Aut(G) = { : G Gϕ → |ϕ là đẳng cấu nhóm}. Khi đó ( )( ),Aut G  là nhóm. 1.1.14. Định lý Chonhóm G, X G≤ . Khi đó tồn tại đồng cấu ( ) ( ): GN X Aut Xϕ → với ( )Ker GC Xϕ = . Từ đó ( ) ( )G GN X C X có thể nhúng vào ( )Aut X Chứng minh.Xét tương ứng ( ) ( ): GN X Aut Xϕ → :g f X X→ 1gx x g xg−= ( ){ } { } { }1Ker | 1 | 1gf x X f x x g xg x X xg g−= ∈ = = = = ∈ = = . Lại có Im f X= nên ( )f Aut X∈ . Lấy ( )1 2, Gg g N X∈ , khi đó: ( ) ( ): GN X Aut Xϕ → 1 2 :g g f X X→ ( ) ( )1 2 11 2 1 2g gx x g g x g g −= ( ) ( )1 1 1 12 1 1 2 2 1 1 2 2 1g g xg g g g xg g f f x− − − −= = = . Do đó ϕ là đồng cấu. 8 ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1Ker | 1 | ,G Gg N X g Id g N X f x g xg x x Xϕ ϕ −= ∈ = = = ∈ = = ∀ ∈ ( ){ } ( )| ,G Gg N X xg gx x X C X= ∈ = ∀ ∈ = Theo Định lý đẳng cấu 1, ta có ( ) ( ) Im G G N X C X ϕ≅ , do đó ( ) ( ) G G N X C X có thể nhúng vào ( )Aut X . 1.1.15. Định nghĩa Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G, kí hiệu Hchar G nếu ( ) ( ), .H H Aut Gϕ ϕ= ∀ ∈ Nhận xét. i. Nếu với mọi ( )Aut Gϕ∈ , ( )H Hϕ ≤ thì HcharG. ii. Nếu H char G thì H G iii. Nếu H char K và K char G thì H char G. iv. Nếu H char K, K G thì H G . v. Nếu H K G≤ ≤ và HcharG, K H char G H thì KcharG. 1.1.16. Định lý Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho ( ), 1H G H = thì Hchar G. Chứng minh. Giả sử ,H m G H n= = , ( ), 1m n = , theo định lý Lagrange ta có G mn= . Lấy bất kì ( )Aut Gϕ∈ , đặt ( )'H Hϕ= suy ra 'H cũng có cấp là m. Do H chuẩn tắc nên 9 'HH là nhóm con của G. Đặt 'd H H= ∩ ta có |d m . Lại có ' 2 ' ' .H H mHH dH H = = ∩ nên 2 |m mn d . Mà ( ), 1m n = nên m = d. Từ đó ta có 'H H= nên H char G. 1.1.17. Định nghĩa Nhóm con chuẩn tắc H của G là n – hữu hạn sinh trên G nếu có các phần tử 1,..., nx x trong G sao cho 1,..., G nH x x= . 1.2. Tích trực tiếp – Tích trực tiếp con 1.2.1. Định nghĩa Giả sử ( )i i IX ∈ là một họ không rỗng các nhóm. Xét tích Descartes i i I X X ∈ =∏ ( ){ }|i i ii Ix x X∈= ∈ của họ tập hợp ( )i i IX ∈ . Trong X ta định nghĩa phép toán hai ngôi sau: ( ) ( ) ( ).i i i ii I i I i Ix y x y∈ ∈ ∈= . Khi đó, với phép nhân X trở thành một nhóm. Nhóm X, định nghĩa như trên, gọi là tích trực tiếp của họ nhóm ( )i i IX ∈ và kí hiệu là i i I X ∈ ∏ . 1.2.2. Định nghĩa Cho i i I G G ∈ =∏ , ( ) :i ipr G G G→ . Nhóm con H của G là tích trực tiếp con của G nếu ( ) |i Hpr G là một toàn cấu từ H vào ,iG i I∀ ∈ . 1.2.3. Định lý 10 Nhóm G đẳng cấu với tích trực tiếp con của một họ các nhóm đơn nếu và chỉ nếu với { }1 N G≠  , tồn tại nhóm con chuẩn tắc thực sự N’ của G sao cho NN’ = G. Chứng minh. Giả sử G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn và{ }1 N G≠  . Lấy 1 x N≠ ∈ , và lấyN’ là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G sao cho 'x N∉ . Sự tồn tại của N’được suy ra từ sự kiện mỗi nhóm đơn là ảnh đồng cấu của G. Như vậy, ta có NN’ = G. Ngược lại, lấy G là nhóm thỏa điều kiện: với { }1 N G≠  , tồn tại nhóm con chuẩn tắc thực sự N’ của G sao cho NN’ = G. Giả sử 1 x G≠ ∈ . Lấy N là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi x và lấy N’ là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G sao cho NN’ = G. Lấy M là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho: 'x M N∉ ⊃ , ta có M là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G. Như vậy mỗi phần tử không tầm thường của G nằm ngoài nhóm con chuẩn tắc tối đại của G, do đó G đẳng cấu với tích trực tiếp con của một họ các nhóm đơn. 1.3. Nhóm con Frattini 1.3.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Khi đó, giao của tất cả các nhóm con tối đại của G được gọi là nhóm con Frattini của G, kí hiệu ( )GΦ . Nhận xét.G là nhóm hữu hạn nên nhóm con Frattini luôn tồn tại trong G. Nếu G không có các nhóm con tối đại thì ta quy ước ( ) .G GΦ = 1.3.2. Mệnh đề Cho G là một nhóm. Khi đó, ( )GΦ char G, do đó ( )G GΦ  . 11 Chứng minh. Nếu G không có các nhóm con tối đại thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử trong G có các nhóm con tối đại. Đặt ( )i i IM ∈ là họ tất cả các nhóm con tối đại của G. Khi đó, với mọi ( )Aut Gϕ∈ , với mọi ( )1, ii I Mϕ−∈ cũng là nhóm con tối đại của G, do đó ( ) ( )1 iG Mϕ−Φ ⊆ . Suy ra ( ) ( )( )1 1 ,i i I G M Gϕ ϕ− − ∈   Φ ⊆ = Φ     hay với mọi ( ) ( )( ) ( ),Aut G G Gϕ ϕ∈ Φ ⊆ Φ . Do đó ( )GΦ char G. 1.3.3. Định nghĩa Một phần tử x G∈ được gọi là phần tử không sinh của G nếu nó có thể được bỏ đi trong bất kì một tập sinhnào đó của G, nghĩa là nếu ,G x Y= thì G Y= . 1.3.4. Định lý Cho G là một nhóm. Khi đó, ( )GΦ chính là tập các phần tử không sinh của G. Chứng minh.Giả sửx là một phần tử không sinh của G và M là một nhóm con tối đại bất kì của G. Khi đó, nếu x M∉ thì ,G x M M= = , mâu thuẫn. Vậy x M∈ với mọi nhóm con M tối đại, do đó ( )x G∈Φ . Ngược lại, giả sử ( )z G∈Φ và giả sử ,G z Y= . Nếu Y G≠ thì, theo Bổ đề Zorn, tồn tại nhóm conMtối đại sao cho Y M≤ , nhưng z cũng thuộc M, do đó ,z Y M≤ , mâu thuẫn. Vậy z là phần tử không sinh của G. 1.3.5. Định lý 12 Nếu H G thì ( ) ( )H GΦ ≤ Φ . Chứng minh. Giả sử ( )HΦ không là nhóm con của ( )GΦ . Khi đó tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao cho ( )H MΦ ⊄ . Do ( )HΦ char H, H G nên theo 1.1.15. iv ta có ( )H GΦ  . Do đó ( )M H GΦ ≤ . Mà M tối đại, nên ( )M H GΦ = . Do đó H H G= ∩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H M H H H M H H M H= ∩ Φ = Φ ∩ Φ = ∩ Φ . Khi đó tồn tại nhóm con tối đại 1H của H, 1H H M⊃ ∩ . Do đó ( )1H H H= Φ mà ( ) 1H HΦ ⊂ nên 1H H= , mâu thuẫn. 1.3.6. Định lý Nếu ( )G G H= Φ với H là một nhóm con của G thì G = H. Chứng minh. Theo Định lý 1.3.2, ( )G GΦ  nên ( ) ( ) ( ),G G H H G H G= Φ = Φ = Φ . Theo Định lý 1.3.4. ta được G H= mà H G≤ nên G = H. 1.4. Dãy Abel –Nhóm giải được 1.4.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Một dãy Abel trong G là dãy các nhóm con 0 11 ... nG G G G= =   thỏa điều kiện 1i i G G + là nhóm Abel với mọi i. 1.4.2. Định nghĩa Một nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy Abel. 13 1.4.3. Định lý Cho nhóm G, N là nhóm con của G. Ta có các khẳng định sau: i. Nếu G giải được thì N giải được. ii. Nếu G giải được, N G thì G N giải được iii. Nếu N G , N và G N giải được thì G giải được. Chứng minh. Giả sử 0 11 ... nG G G G= =   là dãy Abel của nhóm G. i. Ta có 0 11 ... nG N G N G N N= ∩ ∩ ∩ =   và 1i i G N G N + ∩ ∩ là nhóm Abel. Thật vậy, do ( ) ( )11 1 1 i ii i i ii i G G NG N G N G N GG G N ++ + + ∩∩ ∩= ≅∩ ∩ ∩ , hơn nữa ( )1 1i i i i i G G N G G G + +∩   ⊂       là nhóm Abel. Suy ra điều cần chứng minh. Vậy N là nhóm giải được. ii. Do , 0,iN G N G N i n⇒ ∀ =  nên ta xây đựng được dãy các nhóm con { } 0, i i n G N N = thỏa mãn 1i iG N G NN N +  (vì 1, i iN G G G +  ). Ta cần chứng minh 1i i G N N G N N + Aben. Thật vậy, do 1 1 i i i i G N G NN G N G N N + +≅ , hơn nữa 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i G G N G G N G G G N G N G G N G G N G + + + + + + = ≅ ≅∩ ∩ Abel. iii. Giả sử ,GN N là các nhóm giải được với các dãy Abel tương ứng là: 0 11 ... nN N N N= =   và 0 11 ... m G GG G N N N N= =   . Khi đó: 14 0 1 1 21 ... ...n mN N N G G G G= =       là dãy Abel của G (vì 1 1 i i i i G G N G G N + + ≅ là nhóm Abel). Vậy G là nhóm giải được. 1.4.4. Định lý Tích của hai nhóm con chuẩn tắc giải được là giải được. Chứng minh. Giả sử N G , M G và M, N là hai nhóm giải được. Vì N G nên N MN . Ta có: MN MN M N≅ ∩ mà M M N∩ giải được và N giải được nên MN giải được. 1.5. Dãy tâm – Nhóm lũy linh 1.5.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, tâm của G kí hiệu là ( ) { }| ,Z G a G ag ga g G= ∈ = ∀ ∈ . Nhận xét. i. ( )Z G G ii. ( ) 1 1, . . ,A C Z B C a A b B a b b a a A b B a b ab C− −⊂ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = ⇔∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ 1.5.2. Định nghĩa Cho G là nhóm, dãy tâm là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G, 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = thỏa 1i i i G GZG G +  ⊂     0, 1i n∀ = − . 15 Ví dụ. Cho G là nhóm Abel, khi đó dãy 0 11 G G G= ≤ = là dãy tâm. Nhận xét. Nếu 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = là dãy tâm thì 0 1 11 ... ...n n n pG G G G G G+ += ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = cũng là dãy tâm với 1 ...n n n pG G G G+ += = = = . 1.5.3. Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm. Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G. Nhận xét. i. Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm {1}. ii. Nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là nhóm Abel. iii. Nhóm lũy linh là nhóm giải được. 1.5.4. Định lý p – nhóm hữu hạn G là nhóm lũy linh. Chứng minh. Do G là p – nhóm nên nG p= . Ta chứng minh quy nạp theo n. Với n = 1, ,G p p P= ∈ nên G là nhóm Abel, do đó G là nhóm lũy linh. Giả sử G là nhóm lũy linh m n∀ < . Ta chứng minh G là nhóm lũy linh với nG p= . Do mọi p – nhóm không tầm thường đều có tâm không tầm thường nên ( )Z G p . Xét nhóm thương ( ) G Z G , theo định 16 lý Lagrange ( ) ( ) GG Z G Z G = nên ( ) , mG p m nZ G = < . Theo giả thiết quy nạp ( ) G Z G là nhóm lũy linh. Do đó tồn tại dãy tâm ( )0 11 ... n GH H H Z G= ≤ ≤ ≤ = . Xét toàn cấu chiếu ( ): Gp G Z G→ ( ).g g Z G . Đặt ( )11i iG p H−+ = . Do p là toàn cấu, ( )i GH iZ G ∀ nên iG G i∀ . Xét dãy 0 1 11 ... n nG G G G G+= ≤ ≤ ≤ ≤ = . Ta chứng minh 1i i i G GZG G +  ⊂     . Lấy ( ) ( ) ( )1, ,i i Ga G b G p a H p b Z G+∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ . Mặt khác ( ) 1 1 i i i G Z GH ZH H− −    ⊂      nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1ip a b ab p a p b p a p b H− −− − −= ∈ ( )1 1 1 11 ii i i i G Ga b a