Luận văn Nội suy các hàm P - Adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Hà NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Hà NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede..........................................................................3 1.2. Xây dựng các tập số p-adic .................................................................................5 1.2.1. Chuẩn p-adic.................................................................................................5 1.2.2. Xây dựng trường p ...................................................................................5 1.2.3. Xây dựng vành p .......................................................................................7 1.2.4. Xây dựng trường p ..................................................................................8 1.3. Hàm chỉnh hình p-adic........................................................................................9 1.4. Xây dựng tương tự p-adic của hàm log .............................................................16 Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p 2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic ............................19 2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic ..................................................................25 2.3. Nội suy p-adic hàm số mũ .................................................................................26 2.4. Nội suy hàm gamma p-adic...............................................................................30 Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1. Độ cao của hàm chỉnh hình ...............................................................................35 3.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản..........................................................35 3.1.2. Một số ví dụ minh họa.................................................................................38 3.1.3. Công thức p-adic Poisson – Jensen .............................................................42 3.2. Độ cao của dãy điểm và nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị....43 3.2.1. Độ cao của dãy điểm ...................................................................................43 3.2.2. Nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị.....................................44 KẾT LUẬN ................................................................................................................56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................57 1 MỞ ÐẦU Ta biết rằng, một đa thức bậc n hoàn toàn có thể xác định được hay nói cách khác là nội suy được khi biết giá trị của đa thức đó tại (n + 1) điểm phân biệt. Từ đây nảy sinh vấn đề tổng quát hóa bài toán nội suy một hàm trong đó yêu cầu đặt ra là làm thế nào có thể khôi phục lại hàm số khi biết giá trị của nó từ một dãy rời rạc các điểm? Nội suy các hàm p-adic là một công cụ quan trọng trong giải tích p-adic để xây dựng các hàm p-adic và đặc biệt là xây dựng các tương tự p-adic của các L_hàm số học. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu sâu hơn về cách nội suy các hàm p-adic và các ứng dụng của nó. Luận văn đi sâu vào 2 nội dung chính: nội suy các hàm liên tục trên p và nội suy các hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị của p , thể hiện trong 3 chương:  Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích p – adic gồm chuẩn p – adic, các tập số p – adic, hàm chỉnh hình p – adic và hàm log.  Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p – adic các hàm liên tục trên p từ đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng hàm số mũ và hàm gamma p – adic.  Chương 3: trình bày khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình, độ cao của dãy điểm, nội suy của hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị trong đó quan trọng nhất là chứng minh chặt chẽ điều kiện cần và đủ để một dãy điểm là dãy nội suy của một hàm chỉnh hình cho trước và những ứng dụng của kết quả này. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình, tận tâm của thầy Mỵ Vinh Quang. Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Lời cảm ơn tiếp theo tôi xin dành cho tất cả những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ để tôi yên tâm học tốt. Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến các thầy trong 2 bô môn Đại số, khoa Toán – Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này. Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Người viết rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này. TP.HCM, ngày 30 tháng 8 năm 2009 3 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.1 Cho F là một trường. Chuẩn trên trường F là một ánh xạ, kí hiệu là : F  sao cho với mọi ,x y F ta có: i) 0x  , 0 0x x   ii) xy x y iii) x y x y   Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên các trường , , . Ví dụ 2: Cho F là một trường bất kì. Ánh xạ : F  được định nghĩa bởi: với mọi x F , 1 0 0 0 khi x x khi x    là chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường. Định nghĩa 1.2 Giả sử là một chuẩn trên trường F. Khi đó hàm : [0, )d F F   xác định bởi ( , )d x y x y  là một metric trên trường F gọi là metric cảm sinh bởi chuẩn . Hai chuẩn 1 và 2 trên F gọi là tương đương nếu tôpô cảm sinh bởi hai metric tương ứng là như nhau. Kí hiệu 1 2 . Định lý 1.3 (Các điều kiện tương đương của chuẩn) Giả sử 1 và 2 là hai chuẩn trên trường F. Các khẳng định sau là tương đương: i) 1 21 1x x   với mọi x F ii) 1 21 1x x   với mọi x F 4 iii) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho 2 1Cx x với mọi x F iv)  nx là dãy Cauchy đối với 1   nx là dãy Cauchy đối với 2 v) 1 2 Định nghĩa 1.4 Chuẩn trên trường F gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu ngoài 2 điều kiện i và ii trong định nghĩa 1.1 nó thỏa thêm điều kiện: iii’)  max ,x y x y  Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede. Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede) Cho là chuẩn trên trường F. Các khẳng định sau là tương đương: i) là chuẩn phi Archimede ii) 2 1 iii) 1n  với mọi n iv) Tập bị chặn, nghĩa là tồn tại số c > 0 sao cho n c với mọi n Mệnh đề 1.6 (Tính chất của chuẩn phi Archimede) Cho là chuẩn phi Archimede trên trường F. Khi đó: i) Nếu ,x y F , x y thì  max ,x y x y  . ii) ( , ) { : }D a r x F x a r    , ( , ) { : }D a r x F x a r    vừa đóng vừa mở. iii) Giả sử  nx là dãy Cauchy. Nếu 0nx  thì lim 0nn x  . Nếu nx  0 thì nx là dãy dừng (tồn tại N sao cho 1n nx x  với mọi n > N) 5 1.2. Xây dựng các tập số p – adic 1.2.1. Chuẩn p – adic Định nghĩa 1.7 Cho p là số nguyên tố. Với mỗi a , 0a  , ta gọi pord a là số mũ của p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố. Nếu a = 0, pord a   . Với mỗi mr n   , ,m n , (m, n) = 1, ta đặt p p pord r ord m ord n  . Mệnh đề 1.8 Trên trường , ta xét ánh xạ p được xây dựng như sau: 1 0 0 0 pord x p khi xx p khi x        Khi đó p là chuẩn phi Archimede gọi là chuẩn p – adic. Định lý 1.9 (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường trên đều tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với chuẩn p – adic với p là số nguyên tố nào đó. 1.2.2. Xây dựng trường p  Gọi S là tập các dãy Cauchy trong . Trên S ta xây dựng quan hệ tương đương như sau: { } { } lim 0n n n n pnx y x y   Ta gọi p là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị cho p hai phép toán cộng và nhân như sau:      n n n nx y x y   6     . .n n n nx y x y Khi đó ta có thể chứng minh ( , , )p   là trường với đơn vị  1 . Ngoài ra, với   0nx  tức là nx  0 , theo mệnh đề 1.6, tồn tại N sao cho với mọi n > N : 0nx a  . Khi đó, phần tử nghịch đảo của  nx là    1n nx y  trong đó 0 1n n n N y n N x     Chuẩn trên p được xác định như sau: Với mỗi  n px x  , lim np pnx x Ta có thể chứng minh được chuẩn p trên p là chuẩn phi Archimede.  Trường có thể xem là trường con của p nhờ ánh xạ nhúng:   : pj a a   và p trong p là mở rộng của chuẩn p - adic trong . Chú ý: Với { }n px x  thì lim nnx x . Định lý 1.10 (mô tả p ) Với mỗi px , 1px  , có duy nhất dãy đại diện { }na của x thỏa mãn: i) 0 nna p  ii) 1 (mod ) n n na a p với n = 1, 2, Nhận xét Với các { }na thỏa mãn những điều kiện trên ta có thể viết: 1 0a b 2 0 1a b b p  7 1 0 1 1... n n na b b p b p      trong đó {0,..., 1}ib p  với mọi i = 0, 1, Khi đó:  Với px , 1px  ,  1 10 1 1 0 1 1 0 ... lim( ... )n n nn n nn n x b b p b p b b p b p b p                Với , 1mp px x p   : đặt mu p x suy ra 1pu  nên theo trên 0 1 ... ... m mu b b p b p     hay 10 1 ... ...m m im i i m x b p b p b c p            Tóm lại, mọi px sẽ có biểu diễn dạng ii i m x c p     với m ,  0,..., 1ic p  , 0mc  gọi là khai triển p – adic của x. 1.2.3. Xây dựng vành p Tập hợp { : 1}p p px x   cùng với phép cộng và nhân trong p lập thành một vành gọi là vành các số nguyên p – adic. Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của p , kí hiệu là:    * 1: : 1p p p p px x x x      Định lý 1.11 (Tính chất tôpô của p và p ) i) p compact từ đó p compact địa phương ii) p đầy đủ 8 Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho đa thức 0 1( ) ... [ ]nn pf x a a x a x x     trong đó 0 (mod )ia p với 0, 1,..., 1i n  ; na  0 (mod )p và 0a  20 (mod )p . Khi đó f(x) bất khả quy trên p . 1.2.4. Xây dựng trường p Gọi p là bao đóng đại số của p tức là tập tất cả các phần tử đại số trên p . Với mọi p  ,  đại số trên p do đó tồn tại đa thức ( , , )pIrr x bất khả quy, hệ số thuộc p mà hệ số đầu tiên là 1 nhận  làm nghiệm dạng: 1 1 1 0( , , ) ... n n p nIrr x x a x a x a      Ta định nghĩa 0np pa  . Có thể chứng minh được p là chuẩn trên trường p và là mở rộng của chuẩn p – adic trên p . Trường p cùng với chuẩn vừa xây dựng không đầy đủ. Làm đầy đủ p theo p ta sẽ được trường các số phức p – adic kí hiệu là p . Với  n  , n p thì lim np pn  và khi 0 , np p  với n đủ lớn. Chúng ta cũng mở rộng pord cho p : logp p pord x x  . Từ đây trên các tập số p-adic ta sẽ xét chuẩn p-adic và quy ước viết nghĩa là p . Định lý 1.13 (Tính chất của trường p ) i) p đóng đại số ii) Với mọi , 0px x  ,  :rx p r  9 Mệnh đề 1.14 Giả sử  là một căn nguyên thủy bậc np của đơn vị với số tự nhiên n nào đó. Khi đó, 11/( )1 n np pp p    . Chứng minh Đặt 1u   . Xét 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 1 ...( ) ... (1 ) 1 ... n n n n n n n n p p n p n p p p p n p n X X p X p Xf X X p X X p X p X                       Do 1 np  và 1 1np   nên u là nghiệm của đa thức ( ) [ ]pf X X . Ngoài ra bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh được f(X) thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn Eisenstein và do đó f(X) chính là đa thức bất khả quy trên p với hệ số đầu tiên là 1 nhận u làm nghiệm. Theo định nghĩa 11/( )n np ppu p   hay 11/1 n np pp p    . ■ 1.3. Hàm chỉnh hình p-adic Mệnh đề 1.15 Một chuỗi vô hạn 0 n n a    với n pa  là hội tụ khi và chỉ khi lim 0nn a  Mệnh đề 1.16 Xét chuỗi 0 ,nn n p n a z a    , đặt 1 lim sup n nn r a  gọi là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó:  Với mọi pz , z r : chuỗi hội tụ.  Với mọi pz , z r : chuỗi phân kì  Với mọi pz , z r : chuỗi hội tụ khi 0nna r  , phân kì khi nna r  0 . 10 Định nghĩa 1.17 Hàm : (0, ) pf D r  gọi là hàm chỉnh hình trên D(0, r) nếu f(z) biểu diễn được dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ, tức là 0 ( ) nn n f z a z     hội tụ trong D(0, r). Định nghĩa 1.18 Gọi 0 1[[ ]] { ... ... }np n i pz f a a z a z a       . Trong [[ ]]p z , ta xây dựng 2 phép toán cộng và nhân như sau: Với 0 1 ... ...nnf a a z a z     , 0 1 ... ...nng b b z b z     thuộc [[ ]]p z thì 0 0 1 1( ) ( ) ... ( ) ... n n nf g a b a b z a b z         0 1. ... ... n nf g c c z c z     trong đó n i j i j n c a b     Khi đó [[ ]]p z là vành, gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số thuộc p . Định nghĩa 1.19 Cho r > 0, định nghĩa 0 ( ) [[ ]] 0n nr p n p n n A f a z z a r          . Ta chứng minh được ( )r pA là vành con của [[ ]]p z . Với 0 1( ) ... ( )nn r pf z a a z a z A     , đặt ( , ) max nnn r f a r  gọi là hạng tử tối đại của f. ( , ) max{ : ( , )}nnr f n a r r f   Mệnh đề 1.20 Cho r > 0, 0 1( ) ... ( ) n n r pf z a a z a z A     . Khi đó: i) ( , )r f là chuẩn phi Archimede trên vành ( )r pA . ii) ( )r pA đủ đối với ( , )r f . 11 iii) [ ]p z trù mật trong ( )r pA . Định lý 1.21 Cho r > 0. Giả sử ( ), ( ) [ ]pf z g z z với 0 ( ) k n n n g z b z    sao cho ( , ) kkr g b r  . Gọi Q(z) và R(z) lần lượt là thương và dư trong phép chia f(z) cho g(z) tức là ( ) ( ) ( ) ( )f z g z Q z R z  . Khi đó ( , ) max{ ( , ) ( , ), ( , )}r f r g r Q r R    . Chứng minh Do định nghĩa ( , )r f dễ thấy ( , ) max{ ( , ) ( , ), ( , )}r f r g r Q r R    . Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiên ta xét trường hợp r = 1. Không mất tính tổng quát giả sử (1, ) 1g  do đó ta cần chứng minh max{ (1, ), (1, )} (1, )Q R f   (*) Thật ra ta chỉ cần chứng minh (*) đúng trong trường hợp max{ (1, ), (1, )} 1Q R   . Thật vậy, giả sử max{ (1, ), (1, )} rQ R a p    . Khi đó ( ) ( ) ( )( )f z Q z R zg z a a a   và max 1, , 1, 1Q R a a                nên 1, 1 f a       hay (1, ) max{ (1, ), (1, )}f a Q R    . Để chứng minh  1, 1f  ta giả sử ngược lại  1, 1f  . Khi đó nếu 0 n i i i f a z    thì max 1ii a  suy ra (0,1)ia D với mọi i hay (0,1)[ ]f D z Do max{ (1, ), (1, )} 1Q R   nên (1, ), (1, ) 1Q R   suy ra , (0,1)[ ]Q R D z . Xét trên vành (0,1)[ ] (0,1)[ ] D z D z ta có 0 ( ) ( ) ( ) ( )f z g z Q z R z   Vì (1, ) 1g  hay 1kb  nên deg deg degg k R R   suy ra 0Q  và như vậy 0R  hay ( ), ( ) (0,1)[ ]R z Q z D z do đó max{ (1, ), (1, )} 1Q R   (mâu thuẫn với điều giả sử ban đầu của ta). 12 Tóm lại (*) đúng hay max{ (1, ) (1, ), (1, )} (1, )g Q R f    . Giờ xét *pr khi đó tồn tại *pa sao cho a r . Với 0 1 ... ...nnh a a z a z     , đặt 0( ) ( ) ... ...n na nh z h az a a a z     Rõ ràng (1, ) max max max ( , )nn na n n nn n n h a a a a a r r h     (**) và ( ) ( ) ( ) ( )a a a af z g z Q z R z  . Áp dụng chứng minh trên với r = 1 thì (1, ) max{ (1, ) (1, ), (1, )}a a a af g Q R    Theo (**) ta có đpcm. Cuối cùng giả sử *pr . Do *p trù mật trong  nên tồn tại *i pr  sao cho ir r do đó lim ( , ) ( , )ii r h r h   với h là một trong các đa thức f, g, Q, R. Vì ta đã chứng minh ở trường hợp 2,  ( , ) max ( , ) ( , ), ( , )i i i ir f r g r Q r R    nên lấy giới hạn 2 vế ta có đpcm. ■ Định lý 1.22 Cho ( )r pf A và 0 1( ) ... [ ]kk pg z b b z b z z     sao cho ( , ) kkr g b r  . Khi đó tồn tại chuỗi lũy thừa ( )r pQ A và đa thức ( ) [ ]pR z z sao cho ( ) ( ) ( ) ( )f z g z Q z R z  , degR < k và ( , ) max{ ( , ) ( , ), ( , )}r f r g r Q r R    . Chứng minh Do tính chất iii trong mệnh đề 1.20 nên với ( )r pf A , tồn tại dãy các đa thức [ ]n pf z hội tụ về f. Gọi ( )nQ z và ( )nR z lần lượt là thương và dư trong phép chia ( )nf z cho ( )g z : ( ) ( ) ( ) ( )n n nf z g z Q z R z  (*) với deg nR k . Khi đó 1 1 1( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )n n n n n nf z f z g z Q z Q z R z R z       với 1deg( )n nR R k   Áp dụng định lý 1.21 ta có: 1 1 1( , ) max{ ( , ) ( , ), ( , )}n n n n n nr f f r g r Q Q r R R         13 Do nf là dãy Cauchy nên , ( )n n r pQ R A là dãy Cauchy đối với ( , )r  mà ( )r pA đủ đối với ( , )r  nên tồn tại ( ) lim ( ), ( ) lim ( )n nn nQ z Q z R z R z   . Lấy giới hạn 2 vế của (*) ta có được ( ) ( ) ( ) ( )f z g z Q z R z  trong đó deg nR k nên degR < k. Khi đó ( , ) max{ ( , ) ( , ), ( , )}r f r g r Q r R    . ■ Định lý 1.23 (Định lý Weierstrass) Cho ( )r pf A với r > 0. Khi đó tồn tại đa thức 0 1( ) ... [ ]pg z b b z b r z     có bậc ( , )r f  và chuỗi lũy thừa  ( ) [ ]ph z z thỏa: i) f(z) = g(z)h(z) ii) ( , )r g b r  iii) ( )r ph A iv) ( , 1) 1r h   v) ( , ) ( , )r f g r f   Đặc biệt h không có không điểm trong  (0, ) :pD r x x r   và f có đúng  không điểm trong (0, )D r Chứng minh Giả sử 0 1( ) ...f z a a z   Đặt 1 0 1( ) ...g z a a z a z    . Hiển nhiên 1( , ) max nnnr g a r a r     Ta có: 11 1( )( ) ...f g z a z       và 1 ( , ) ( , ) max max ( , )n nn nn r f n r f g a r a r r f       Do đó 1( , ) 1 ( , ) r f g r f     suy ra tồn tại 0  sao cho 1( , ) 1 ( , ) r f g r f      Chọn 1( ) 1h z  . 14 Giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng tồn tại dãy các đa thức 0 1( ) ...i i i ig z b b z b z      và ih sao cho: (1) ( , )i ir g b r    (2) ( , ) ( , ), ( , 1)i ir f g r f r h       (3) ( , ) ( , )ii ir f g h r f    Ở phần đầu ta đã chứng minh điều này cho trường hợp i = 1. Giả sử ta đã xây dựng được dãy các đa thức ,i ig h thỏa các điều kiện 1, 2, 3. Theo định lý 1.22, tồn tại chuỗi lũy thừa ( )i r pQ A và đa thức [ ]i pR z sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i if z g z h z g z Q z R z   với deg iR  và ( , ) max{ ( , ) ( , ), ( , )}i i i i ir f g h r g r Q r R     Định nghĩa 1 1,i i i i i ig g R h h Q     Do mệnh đề 1.20 ( , ) max{ ( , ), ( , )}i ir f r f g r g    nhưng theo (2) lại có ( , ) ( , )ir f g r f   nên ( , ) ( , )i ir f g r g   và do đó ( , ) ( , )ir f r g  . Ta có: ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) i ii i i i r f g h r fr Q r g r f         và ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ii i i ir R r f g h r f r f r g          do đó 1( , ) ( , )i ir g r g   . Như vậy (1) đúng với i + 1 vì deg degi iR g   . Điều kiện (2) cũng đúng với i + 1 vì 1( , ) ( , ) max{ ( , ), ( , )} ( , )i i i i ir f g r f g R r f g r R r f           và 1( , 1) ( , 1 ) max{ ( , 1), ( , )}i i i i ir h r h Q r h r Q            Ngoài ra, chú ý rằng 1 1 ( )( ) ( ) (1 )i i i i i i i i i i i i i i i if g h f g R h Q f g h g Q R h Q R h Q              Khi đó 11 1( , ) ( , )max{ ( , 1), ( , )} ( , )ii i i i ir f g h r R r h r Q r f          và như vậy (3) đúng với i + 1. Hơn nữa, 1( , ) ( , ) ( , )ii i ir g g r R r f       và 1( , ) ( , ) ii i ir h h r Q      15 Do 1  nên { },{ }i ig h là các dãy Cauchy đối với chuẩn ( , )r  . Khi đó với 0