Luận văn Phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Thị Như Ý PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN CHUẨN TẮC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 2 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Hà Thanh. Thầy đã tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu và truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thái Sơn, PGS.TS. Lê Anh Vũ và quí thầy cô đã giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ và Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã vài lần liên hệ với các nhà toán học nước ngoài, đặc biệt là giáo sư Dydak, thầy đã tận tình giải đáp thắc mắc về các vấn đề liên quan. Xin chân thành cảm ơn tác giả Dydak. Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học, trao đổi kiến thức, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Tp. Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008 Tác giả Huỳnh Thị Như Ý 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa...1 Lời cảm ơn ...................................................................................................... 2 Mục lục............................................................................................................ 3 MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 5 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp...................................................... 8 1.1. Tập hợp được sắp ............................................................................... 8 1.2. Lực lượng của tập hợp ....................................................................... 9 1.3. Tập đếm được..................................................................................... 9 2. Không gian mêtric.................................................................................... 9 2.1. Không gian mêtric.............................................................................. 9 2.2. Ví dụ ................................................................................................... 10 2.3. Khoảng cách....................................................................................... 11 2.4. Không gian mêtric tích....................................................................... 12 3. Không gian tôpô....................................................................................... 12 3.1. Tôpô. Không gian tôpô ...................................................................... 12 3.2. Cở sở .................................................................................................. 13 3.3. Lân cận, cơ sở lân cận ........................................................................ 14 3.4. Phủ, phần trong và bao đóng.............................................................. 15 3.5. Ánh xạ liên tục ................................................................................... 16 3.6. Tiên đề tách ........................................................................................ 16 4. Sự mêtric hóa ........................................................................................... 20 4.1. Tôpô sinh bởi mêtric .......................................................................... 20 4.2. Không gian mêtric hóa ....................................................................... 21 4 4.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc ............................................ 21 4.4. Cái mịn ............................................................................................... 22 5. Tập sao, hình sao...................................................................................... 22 Chương 2. PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ 1. Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc.............................................. 24 1.1. Phân hoạch đơn vị .............................................................................. 24 1.2. Liên tục đồng bậc ............................................................................... 29 2. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị ......................................... 37 2.1. Định nghĩa.......................................................................................... 37 2.2. Định lý 2.8 (sự tồn tại đạo hàm của phân hoạch đơn vị) ................... 38 2.3. Mệnh đề 2.9 (cái mịn sao của các phủ mở) ....................................... 42 2.4. Bậc của phân hoạch đơn vị ................................................................ 43 2.5. Mệnh đề 2.10 (tính toán bậc của phân hoạch đơn vị) ........................ 43 Chương 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ CHO TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG 1. Phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc ......................................... 45 1.1. Định nghĩa không gian chuẩn tắc....................................................... 45 1.2. Định lý thác triển Tietze đối với không gian chuẩn tắc..................... 45 1.3. Thác triển của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc............ 47 1.4. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc.. 51 2. Phân hoạch đơn vị và sự mêtric hóa ........................................................ 53 2.1. Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hóa một không gian) ......................... 53 2.2. Định lý 3.11 ( Định lý mêtric hóa) .................................................... 56 KẾT LUẬN .................................................................................................... 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 63 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Gần đây, khi nghiên cứu các vấn đề về tôpô và hình học, nhiều nhà toán học như Jerzy Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking, đã mạnh dạn dùng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu lại các tính chất của không gian tôpô. Theo nhiều nhà toán học, tính chất tôpô quan trọng là tính chuẩn tắc, tính compact, tính paracompact và các vấn đề liên quan đến định lý thác triển Tietze. Như chúng ta đã biết, có hai cách tiếp cận đó là nghiên cứu không gian thông qua các phủ mở hoặc bằng các hàm liên tục. Bằng cách sử dụng phân hoạch đơn vị khi xây dựng các định nghĩa và chứng minh các định lý, tác giả J.Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking,đã thống nhất cả hai cách tiếp cận này. Khi nghiên cứu về phân hoạch đơn vị, chúng tôi tìm thấy nhiều áp dụng đối với tôpô, hình học. Ngoài ra, nó cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết đồng luân. Ban đầu, khi nghiên cứu, các nhà toán học chỉ chứng minh sự tồn tại của phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ cũng như chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương hoặc phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm. Khi đó, chúng ta gặp nhiều khó khăn khi tìm hiểu những áp dụng của nó vì rất khó để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương bằng phương pháp đại số, thậm chí khi xây dựng những phân hoạch đơn vị tùy ý cũng không tránh khỏi những trở ngại. Vì vậy, việc xây dựng phân hoạch liên tục đồng bậc đã giải quyết được những khó khăn này, nó đem lại nhiều thuận lợi khi nghiên cứu trên các không gian tôpô, đặc biệt là không gian chuẩn tắc. 6 Vì những lí do đó, đề tài nghiên cứu của chúng tôi là “phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc”. 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng phân hoạch đơn vị để chứng minh các kết quả trên không gian chuẩn tắc một cách ngắn gọn và đơn giản hơn. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Không gian chuẩn tắc 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Phân hoạch đơn vị giúp cho việc giải quyết các bài toán tôpô và hình học một cách đơn giản hơn. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu lí do chọn đề tài. Phần nội dung: Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương. Gồm các phần về lý thuyết tập hợp, không gian mêtric và không gian tôpô. Chương 2: Phần cơ sở của nội dung luận văn. Ở đây, các khái niệm về phân hoạch đơn vị, sự liên tục đồng bậc, tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị được định nghĩa, cùng với các định lý kèm chứng minh được nêu lên làm cơ sở cho việc trình bày chương tiếp theo. Chương 3: Trình bày một số áp dụng của phân hoạch đơn vị cho tôpô, hình học. Nội dung chương này gồm ba phần. Thứ nhất, sử dụng phân 7 hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lý thác triển Tietze. Thứ hai, trình bày một số áp dụng của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc. Thứ ba, tìm hiểu về vấn đề mêtric hóa một không gian và chứng minh định lý mêtric hóa. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét khi nghiên cứu về phân hoạch đơn vị. 8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương này là những kiến thức tôpô đại cương làm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu ở các chương sau. Cụ thể như sau: 1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp được sắp 1.1.1. Thứ tự bộ phận Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu thỏa các tính chất sau: (i) Phản xạ: ,xRx x X∀ ∈ , (ii) Phản đối xứng: Nếu ∀ ∈vaø y x thì x=y, x,y XxRy R , (iii) Bắc cầu: Nếu ∀ ∈vaø y z thì x z, x,y,z XxRy R R . Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập hợp được sắp bộ phận và được ký hiệu (X, R). Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là ≤ và tập hợp được sắp bộ phận được ký hiệu là( )≤,X . 1.1.2. Phần tử bé nhất, lớn nhất Cho ( )≤,X là một tập hợp được sắp bộ phận và ⊆A X . Phần tử a ( )∈a A được gọi là phần tử bé nhất (phần tử đầu tiên) của A nếu ∈a A và ≤ ∀ ∈,a x x A . Phần tử b ( )∈b A được gọi là phần tử lớn nhất (phần tử cuối cùng) của A nếu ∈b A và ≤ ∀ ∈,x b x A . 9 1.1.3. Tập được sắp tốt: Tập được sắp bộ phận ( )≤,X được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập hợp con không rỗng của X đều có phần tử bé nhất. 1.2. Lực lượng của tập hợp Cho các tập X và Y. Nếu tồn tại một đơn ánh :f X Y→ thì ta viết ( ) ( )card X card Y≤ ; nếu tồn tại một song ánh :f X Y→ thì ta viết ( ) ( )card X card Y= ; nếu tồn tại một đơn ánh :f X Y→ nhưng không tồn tại một song ánh từ X lên Y thì ta viết ( ) ( )card X card Y< . Ta gọi card(X) là lực lượng của tập X. Hiển nhiên X Y⊂ thì ( ) ( )card X card Y≤ . 1.3. Tập đếm được Một tập X là tập đếm được nếu ( ) ( )card X card Y≤ . Như vậy, X là tập đếm được nếu có một đơn ánh :f X Y→ hoặc có một toàn ánh :g X Y→ Mọi tập hữu hạn là đếm được. Ta kí hiệu ( )card X n= nếu { }( ) ( 1,2,..., )card X card n= ( ) 0card ∅ = Trong trường hợp này ta có thể hiểu ( )card X là số phần tử của X. 2. Không gian mêtric 2.1. Không gian mêtric Cho X là một tập. Một hàm 2:d X \→ là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 10 (i) ( ) ( ), 0; , 0 ;d x y d x y x y≥ = ⇔ = (ii) ( ) ( ), ,d x y d y x= ; (iii) ( ) ( ) ( ), , , , , ,d x z d x y d y z x y z X≤ + ∀ ∈ . Không gian mêtric ( ),X d là một tập X cùng với một mêtric d trên X. Nếu ( ),X d là một không gian mêtric thì mỗi x X∈ gọi là một điểm và với mọi ,x y X∈ ta gọi ( ),d x y là khoảng cách từ x đến y. 2.2. Ví dụ 1. Với mọi ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,...,k kx x x x y y y y= = ∈ kR , đặt ( ) 1 22 1 , n i j i d x y x y = ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ d là một mêtric trên kR . Thật vậy, (i), (ii) là hiển nhiên. Với mọi ( )1 2, ,..., kx x x x= , ( )1 2, ,..., ky y y y= , ( )1 2, ,..., kz z z z= ∈ kR sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có: ( )2 ,d x y = ( )22 1 1 k k i i i i i i i ix z x y y z= =≤− − + −∑ ∑ 2 2 1 1 1 2 . k k k i i i i i i i x y y zi i i ix y y z= = =≤ + − − +− −∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 k k i i k k i i i i i i i i i i x y x y y z y z = = ≤ + + = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −∑ ∑ ∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11 21 1 2 22 2 1 1 k k i i i i i i x y y z≤ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− + −∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) ( )( )2, ,d x y d y z≤ + Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ), , ,d x z d x y d y z≤ + và ta có (iii) Mêtric d gọi là mêtric Euclide trên kR . 2. Kí hiệu [ ],C a b là tập các hàm liên tục trên [ ],a b . Với mọi [ ], ,x y C a b∈ đặt ( ) [ ] ( ) ( )max, , x t y td x y t a b −= ∈ Ta thấy d thỏa (i) và (ii). Ta kiểm tra (iii) Với mọi [ ], , ,x y z C a b∈ ta có : ( ),d x z = [ ] ( ) ( )max, x t z tt a b −∈ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ),max( )t a b x t y t y t z t∈≤ − + − [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ), ,max maxt a b t a bx t y t y t z t∈ ∈≤ − + − ( ) ( ) ( ), , ,d x z d x y d z y≤ + Do đó d là một mêtric trên [ ],C a b 2. 3. Khoảng cách Cho A, B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X. Đặt , ( , ) inf ( , ) x A y B d A B d x y∈ ∈= Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. 12 Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Nếu A ∩ B ≠ ∅ thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. 2.4. Không gian mêtric tích Cho ( ), XX d và ( ), YY d là hai không gian mêtric tùy ý. ( ){ }, ,X Y x y x X y Y× = ⏐ ∈ ∈ là tích Descartes của X và Y. Đặt ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , ,X Yd x y x y d x x d y y x x y y X Y= + ∀ ∈ × Khi đó d là một mêtric trên X Y× . Không gian mêtric ( ),X Y d× được gọi là không gian mêtric tích của hai không gian mêtric X và Y. 3. Không gian tôpô 3.1. Tôpô. Không gian tôpô 3.1.1. Cho một tập X. Một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) X và ∅ thuộc τ ; (ii) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; (iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . 3.1.2. Ví dụ 1. Với mọi tập X, (X)P là một tôpô trên X, gọi là tôpô rời rạc. Tập X cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian rời rạc. 13 2. Với mỗi tập X, họ { }, X∅ là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường. Tập X với tôpô tầm thường gọi là không gian tầm thường. 3. Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric. Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên \ gọi là tôpô thông thường. 4. Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô Zariski. 5. Với mọi tập không đếm được X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X. 3.2. Cơ sở 3.2.1. Cơ sở Cho τ là một tôpô trên X. Một họ β của τ gọi là một cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G τ∈ mọi x G∈ tồn tại V β∈ sao cho x V G∈ ⊂ . Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ sở đếm được. 3.2.2. Ví dụ 1. Tôpô thông thường trên \ có cơ sở là họ tất cả các khoảng ( ),a b với a, b là số hữu tỉ, a < b. Như vậy \ với tôpô thông thường thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. 14 2. Trong không gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở 1,B x n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , ,x X n∈ ∈` là một cơ sở. 3.3. Lân cận, cơ sở lân cận 3.3.1. Lân cận Cho X là một không gian tôpô và x X∈ . Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V∈ ⊂ . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V là lân cận mở của x. 3.3.2. Cở sở lân cận Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U∈Ux sao cho U ⊂ V. Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x X∈ đều có một cơ sở lân cận đếm được 3.3.3. Ví dụ 1. ( ),a b a b⎡ ⎤ <⎣ ⎦ là lân cận của một điểm tùy ý của ( ),a b trên đường thẳng thực. 2. Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x. 3. Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x, bán kính 1 ,n N n ∈ là cơ sở lân cận của x. Như vậy mọi không gian mêtric đều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. 4. Trong không gian rời rạc, tập một điểm { }x là cơ sở lân cận của điểm x. 15 3.4. Phủ, phần trong và bao đóng 3.4.1. Các định nghĩa về phủ Cho X là không gian tôpô, tập A X⊂ . Một họ { } IVα α∈ các tập con của X được gọi là một phủ của A nếu I A Vαα∈ ⊂ ∪ . Ta cũng có thể nói A được phủ bởi họ {Vα}α∈I . Nếu Vα là tập mở với ∀α∈I thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ mở của A. Nếu I là tập hữu hạn thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ hữu hạn của A. Cho X là không gian tôpô, tập A X⊂ và { } IVα α∈ là một phủ của A. Nếu J I⊂ và {Vα}α∈J cũng là một phủ của A thì {Vα}α∈J được gọi là một phủ con của phủ {Vα}α∈I . Nếu tập J hữu hạn thì {Vα}α∈J được gọi là phủ con hữu hạn của {Vα}α∈I . 3.4.2. Phần trong và bao đóng Cho X là một không gian tôpô và A là tập con của X. Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là 0A . Từ định nghĩa ta có: 0A là tập mở lớn nhất chứa trong A; A B⊂ thì 0 0A B⊂ và A mở nếu và chỉ nếu 0A A= . Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A . Từ định nghĩa ta có A là tập đóng nhỏ nhất chứa A; A B⊂ thì A B⊂ và A đóng nếu và chỉ nếu A A= . Tập con D gọi là trù mật trong X nếu D X= . Không gian X gọi là khả li nếu nó có một tập con đếm được trù mật. Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu ( )0A =∅ . 16 3.5. Ánh xạ liên tục Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ :f X Y→ . Ánh xạ f gọi là liên tục tại x X∈ nếu mọi lân cận V của f(x) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho ( )f U V⊂ , một cách tương đương ( )1f V− là lân cận của x. Ánh xạ f gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x X∈ . 3.6. Tiên đề tách 3.6.1. Các tiên đề tách Không gian tôpô X gọi là T0 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. Không gian tôpô X gọi là T2 - không gian (hay không gian Hausdorff ) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V∩ =∅ . Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính qui) nếu X là T1- không gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho ,x U F V∈ ⊂ và U V∩ =∅ . Không gian tôpô X gọi là 13 2 T - không gian (hay không gian hoàn toàn chính qui) nếu X là T1 - không gian và với mọi x X∈ , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục [ ]: 0,1f X → sao cho f(x)=0 và f(y)=1 với mọi y F∈ . Không gian hoàn toàn chính qui gọi là không gian Tikhonov. 17 Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho ,A U B V⊂ ⊂ và U V∩ =∅ . Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , 13 2 T , T4 là các tiên đề tách. 3.6.2. Tính chất của không gian chuẩn tắc 3.6.2-1. Bổ đề Urysohn Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó tồn tại hàm liên tục [ ]f : X 0,1→ sao cho ( )f x 0= với mọi x A∈ và ( )f x 1= với mọi x B∈ . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh mọi số hữu tỉ dạng ( ].2 0,1nr k −= ∈ , tồn tại một tập mở rU sao cho \ , ,r r sA U X B U U r s⊂ ⊂ ⊂ < Thật vậy, đặt 1 \U X B= . Gọi V và W là các tập mở rời nhau sao cho A V⊂ và B W⊂ . Đặt 1/ 2U V= . Vì X\W đóng nên ta có: 1/ 2 1/ 2 1\ \A U U X W X B U⊂ ⊂ ⊂ ⊂ =