Luận văn Phân loại tôpô các mặt compact

1 Luận văn tốt nghiệp Phân loại tôpô các mặt compact 2 MỤC LỤC Trang phụ bìa ............................................................................................. i Lời cam đoan ............................................................................................. ii Mục lục ..................................................................................................... 1 Một số kí hiệu ............................................................................................ 2 Phần mở đầu .......................................................................................... 3 Phần nội dung ........................................................................................ 5 Chương I: Kiến thức chuẩn bị ........................................................... 5 I. Tôpô, không gian tôpô ................................................................. 5 II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi .......................................................... 6 III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô ................. 7 Chương II: Đa tạp tôpô ...................................................................... 9 I. Đa tạp n-chiều ............................................................................. 9 II. Mặt, mặt compact ..................................................................... 12 III. Mặt định hướng được và không định hướng được ................... 17 IV. Tổng liên thông ....................................................................... 18 Chương III: Phân loại mặt compact ............................................... 20 I. Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông các mặt xuyến và tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh ............... 20 II. Phép tam giác phân của mặt compact ....................................... 24 III. Định lí phân loại tôpô các mặt compact ................................... 28 IV. Hệ quả .................................................................................... 34 V. Ví dụ minh hoạ ........................................................................ 34 VI. Sơ lược về một hướng chứng minh khác của định lí ................ 43 Phần kết luận ....................................................................................... 46 Tài liệu tham khảo ................................................................................... 47 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu A Rn XY f-1(U) Dn nS idA u Sn S2 B(x,  ) P2 2 S 2 D D2 S1 # S2 )S( Giải thích Biên của tập A Không gian Euclide n-chiều Hai không gian đồng phôi Tạo ảnh của tập U Hình cầu đơn vị mở (đĩa mở) n-chiều Bán cầu bắc n-chiều Ánh xạ đồng nhất trên A Chuẩn Euclide của u Mặt cầu n-chiều Mặt cầu (2-chiều) Hình cầu mở tâm x, bán kính  Mặt phẳng xạ ảnh (thực) Nửa trên của mặt cầu Hình tròn đơn vị đóng (đĩa đóng) Hình tròn đơn vị mở (đĩa mở) Tổng liên thông của S1 và S2 Đặc trưng Euler của mặt S Trang xuất hiện đầu tiên 6 7 8 8 10 10 10 11 12 13 13 15 15 15 15 19 44 4 Phần mở đầu I. Lí do chọn đề tài Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phép biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp tôpô. Đây là sự khái quá hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không gian Euclide 3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học cổ điển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử,… Việc phân lớp các đa tạp được xem là một trong những vấn đề quan trọng nhất của ngành tôpô. Đối với trường hợp đa tạp 2-chiều vấn đề đã được giải quyết với “định lí phân loại đa tạp compact 2-chiều” được phát biểu và chứng minh đầu tiên bởi H.R.Barahana vào năm 1922. Trường hợp đa tạp 2-chiều không compact cũng đã được phân loại. Đối với đa tạp có số chiều cao hơn thì tình hình rất khó khăn. Trong nổ lực phân loại đa tạp 3-chiều, Poincaré, nhà toán học vĩ đại người Pháp, đã phát biểu rằng: Một đa tạp compact 3-chiều mà nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường thì đồng phôi với mặt cầu. Tuy nhiên ông không chứng minh được điều đó và nó được các nhà toán học trên thế giới quan tâm với tên gọi “giả thuyết Poincaré”. Suốt một thời gian dài kể từ khi giả thuyết Poincaré ra đời (1904) mọi nổ lực chứng minh vẫn không có kết quả đáng kể. Trong khi đó, những giả thuyết tương tự với số chiều cao hơn lần lượt được giải quyết bởi Stephen Smale (trường hợp n > 4, năm 1961) và Michael Freedman (trường hợp n = 4, năm 1982). Năm 1958, A.A.Markov đã chứng minh được không tồn tại thuật toán nào để phân loại các đa tạp có số chiều lớn hơn 3. Đây là một bất ngờ thú vị của toán học, chúng ta đã giải quyết vấn đề một cách triệt để trong trường hợp tổng quát (n  4), nhưng lại không giải quyết được trong trường hợp cụ thể (n = 3) gần với cuộc sống của chúng ta nhất. Năm 2000, Viện Toán học Clay (Mỹ) đã đưa giả thuyết Poincaré vào danh sách 7 bài toán mở quan trọng nhất cần giải quyết vì tầm quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ. Vào những năm 1970, William Thurston đã đề xuất một giả thuyết khác, giả thuyết hình học hóa: Mọi đa tạp compact 3-chiều đều có thể cắt ra làm các phần mà mỗi phần thuộc một và chỉ một trong 8 dạng. Đây là sự tổng quát tuyệt vời từ giả thuyết Poincaré, nếu giải quyết được nó (tất nhiên sẽ kéo theo giải quyết được giả thuyết Poincaré) thì vấn đề phân loại về cơ bản là hoàn tất. Năm 2003, Grigory Perelman, nhà toán học người Nga, đã xuất sắc hoàn thành chứng minh giả thuyết hình học hóa và giả thuyết Poincaré nhờ sử dụng phương trình dòng Ricci. Chứng minh của ông đã được các nhà toán học trên thế giới kiểm chứng và công nhận bằng việc đề nghị trao cho ông huy chương Fields (2006), nhưng ông đã từ chối nhận giải. 5 Với ý nghĩa bước đầu nghiên cứu về đa tạp, tôi chọn đề tài “Phân loại tôpô các mặt compact”. Đây là đề tài nghiên cứu về sự phân loại đa tạp 2-chiều compact, liên thông. II. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các đa tạp 2-chiều compact, liên thông và sự phân loại chúng. III. Nhiệm vụ nghiên cứu Phát biểu và chứng minh định lí phân loại đa mặt compact, nêu một vài ví dụ minh hoạ cho định lí. IV. Phạm vi nghiên cứu Các đa tạp 2-chiều compact, liên thông. V. Đối tượng nghiên cứu Định lí phân loại mặt compact. VI. Phương pháp nghiên cứu -Sưu tầm tài liệu từ sách, báo, internet. -Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá. VII. Cấu trúc đề tài Bản luận văn gồm có: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần nội dung được trình bày 3 chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tôpô cần dùng cho các chương sau. Chương II: Đa tạp tôpô Giới thiệu chung về đa tạp, sau đó đi sâu nghiên cứu đa tạp 2-chiều compact, liên thông (mặt compact) và xây dựng tổng liên thông của chúng. Chương III: Phân loại tôpô các mặt compact Đây là chương chính của bản luận văn, phát biểu và chứng minh định lí phân loại mặt compact. Nêu một vài ví dụ minh họa cho định lí. Ngoài ra, chương này cũng giới thiệu sơ lược một cách khác để chứng minh định lí bằng cách dùng hai bất biến tôpô là tính định hướng và đặc trung Euler của một mặt. Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu và trình bày nhưng chắc chắn bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn. 6 Phần nội dung CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I. Tôpô, không gian tôpô I.1. Tôpô Cho một tập X . Một họ  các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện: ( 1 ). X và  thuộc  ( 2 ). Hợp của tuỳ ý các tập thuộc  là thuộc  ( 3 ). Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  I.2. Không gian tôpô Một tập X cùng một tôpô  trên X gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là ( ,X ). Khi không có sự nhầm lẫn, ta kí hiệu gọn lại là X . Khi đó, một tập G được gọi là tập mở của X . Tập con F của X gọi là tập đóng nếu F\X là tập mở. Các phần tử của không gian tôpô X thường gọi là điểm. I.3. So sánh 2 tôpô Cho hai tôpô  và  trên X , nếu  thì ta nói  yếu hơn  hoặc  mạnh hơn  . I.4. Lân cận, phần trong Cho một điểm x thuộc không gian tôpô X và một tập con A của X . Khi đó:  Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho VGx  . Nếu V là tập mở thì ta nói V là lân cận mở của x .  Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu x có một lân cận V sao cho AV . Tập gồm tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A .  Điểm x được gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có AV và  )A\X(V . Tập gồm tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A , kí hiệu là A . I.5. Không gian con Cho không gian tôpô ( ,X ) và A là một tập con của X . Khi đó, họ }G|AG{A  là một tôpô trên A , gọi là tôpô cảm sinh bởi  trên A. Không gian A với tôpô cảm sinh A gọi là không gian con của không gian tôpô X . I.6. Không gian Hausdorff 1. Định nghĩa 7 Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff (hay T2 – không gian) nếu hai điểm y,x khác nhau bất kì của X luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho VU . 2. Tính chất Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của không gian Hausdorff. Khi đó A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X là một không gian Hausdorff. I.7. Không gian compact, compact địa phương 1. Phủ, phủ mở Cho A là một tập con của không gian tôpô X . Một họ   IV  các tập con của X gọi là một phủ của A nếu  I VA   . Nếu mọi V đều là tập mở thì ta nói   IV  là một phủ mở của A . 2. Tập compact, không gian compact, không gian compact địa phương Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X gọi là không gian compact nếu X là tập compact của X . Không gian tôpô X gọi là không gian compact địa phương nếu mọi điểm của nó đều có một lân cận U là tập compact. 3. Tính chất Mọi tập con đóng và bị chặn của Rn là tập compact. I.8. Không gian liên thông 1. Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là không tồn tại hai tập mở, khác rỗng U và V sao cho VUX  và VU . 2. Tính chất Không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau. II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi II.1. Ánh xạ liên tục 1. Định nghĩa Cho hai không gian tôpô Y,X và ánh xạ YX:f  , khi đó: i). Ánh xạ f liên tục tại điểm x thuộc X nếu mọi lân cận mở V của )x(f trong Y luôn tồn tại lân cận mở U của x sao cho V)U(f  . ii). Ánh xạ f liên tục trên X (hay nói tắt là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X . 2. Tính chất i). Cho f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Khi đó f liên tục trên X khi và chỉ khi tạo ảnh của mọi tập đóng (hoặc mở) trong Y là tập đóng (hoặc mở) trong X . ii). Ánh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục. iii). Ảnh của một tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục là một tập compact (hoặc liên thông). 8 3. Mệnh đề Cho không gian tôpô X thoả X =  n 1i iX  với Xi là những tập con đóng của X và các ánh xạ liên tục fi: Xi  Y (i = n,1 ) sao cho với mọi n,1j,i  ,  ji XX thì jiji XXjXXi |f|f   . Khi đó ánh xạ f: X Y xác định bởi iX f|f i  (i = n,1 ) là ánh xạ liên tục. II.2. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng 1. Định nghĩa Cho là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . i). f là ánh xạ mở nếu ảnh của mọi tập mở trong X đều là tập mở trong Y . ii). f là ánh xạ đóng nếu ảnh của mọi tập đóng trong X đều là tập đóng trong Y . 2. Mệnh đề Cho f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Nếu X compact và Y Hausdorff thì f là ánh xạ đóng. II.3. Đồng phôi Cho f là một song ánh từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Nếu f và 1f  đều liên tục thì ta nói f là một phép đồng phôi từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Hai không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi (kí hiệu YX ) nếu tồn tại một phép đồng phôi giữa chúng. Quan hệ đồng phôi làm một quan hệ tương đương. III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô III.1. Tổng, tổng trực tiếp Cho    Iiii ,X  là một họ các không gian tôpô. Đặt  Ii iXX   , xét họ  các tập con G của X thoả mãn iiXG  , Ii . Khi đó  là một tôpô trên X . Không gian tôpô  ,X được gọi lả tổng của họ các không gian tôpô đã cho, kí hiệu    Ii iXX . Nếu họ    Iiii ,X  rời nhau thì  ,X gọi là tổng trực tiếp, kí hiệu iIi XX  . III.2. Tích Descartes 1. Định nghĩa Cho    Iiii ,X  là một họ các không gian tôpô. Đặt    Ii iXX và ii XX:  là phép chiếu thứ i. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để i liên tục với mọi Ii . Tập X với tôpô tích được gọi là tích của họ không gian tôpô đã cho. 2. Tính chất i). Tích của hai không gian Hausdorff là không gian Hausdorff. ii). Tích của hai không gian compact là không gian compact. III.3. Tôpô thương 1. Định nghĩa Cho f là một toàn ánh từ không gian tôpô ( ,X ) vào tập Y . Xét 9 })U(f|YU{ 1Y   Dễ dàng chứng minh Y là một tôpô trên Y và được gọi là tôpô thương trên Y cảm sinh bởi f. 2. Tính chất i). Tôpô thương là tôpô lớn nhất làm f liên tục. ii). Tập V đóng trong ),Y( Y khi và chỉ khi )V(f 1 đóng trong ( ,X ). iii). Giả sử không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi YX:f  . Khi đó, nếu X compact (liên thông) thì Y cũng compact (liên thông). iv). Cho các không gian tôpô Z,Y,X và các toàn ánh YX:f  , ZY:g  . Nếu Y có tôpô thương cảm sinh bởi f và Z có tôpô thương cảm sinh bởi g thì tôpô trên Z cũng chính là tôpô cảm sinh bởi fg  . 3. Mệnh đề Cho f là một toàn ánh liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Nếu f là ánh xạ mở (hoặc đóng) thì tôpô trên Y là tôpô sinh bởi f. III.4. Không gian thương 1. Định nghĩa Cho không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương trên X . Đặt ~/XY  là tập thương của X theo quan hệ ~. Kí hiệu x~ là lớp tương đương chứa x X . Xét  là phép chiếu chính tắc từ X vào Y xác định bởi x~)x(  . Khi đó không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi  được gọi là không gian thương của X . 2. Định nghĩa Cho A là một tập con của không gian tôpô X , xét quan hệ tương đương ~ xác định bởi:       yx Ay,x y~x (với mọi Xy,x  ) Không gian thương ~/X (với ~ được xác định như trên) được gọi là không gian tôpô thương của X theo tập con A (kí hiệu là A/X ). 4. Tính chất Cho B,A là hai tập con rời nhau cua không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương xác định bởi:          yx By,x Ay,x y~x (với mọi Xy,x  ) Khi đó ~/XA/)B/X(B/)A/X(  III.5. Phép dán các không gian tôpô Cho hai không gian tôpô Y,X , A là một tập con của X và ánh xạ liên tục YX:f  . Gọi Z là không gian tổng của X và Y . Trên Z ta định nghĩa quan hệ tương đương ~ như sau: 10                 )A(fAvu )v(fu),A(fv )u(fv),A(fu )v(fu,Av )u(fv,Au v~u 1 1 (với mọi Zv,u  ) Khi đó không gian thương ~/Z được gọi là không gian nhận được nhờ phép dán X với Y bởi ánh xạ f (kí hiệu YX f  ). CHƯƠNG II: ĐA TẠP TÔPÔ I. Đa tạp n -chiều I.1. Định nghĩa Một đa tạp n -chiều ( n nguyên dương) là một không gian Hausdorff mà mỗi điểm của nó đều có một lân cận mở đồng phôi với đĩa mở n -chiều nD . với                  1xxR)x,,x,x(xD 2 1 n 1i 2 i n n21 n  Một đa tạp n -chiều còn được gọi là n -đa tạp. Ví dụ: nR là một n -đa tạp. Nhận xét: Từ định nghĩa ta có thể suy ra mọi n-đa tạp đều compact địa phương. Thật vậy, mọi điểm của n-đa tạp đều tồn tại lân cận mở đồng phôi với Dn mà Dn là compact. Vậy mọi n-đa tạp đều compact địa phương. I.2. Bổ đề Các không gian nD , nS , nR đồng phôi với nhau. trong đó  0x,1x|R)x,x,,x(S 1n1n1nn1n    Chứng minh Ta sẽ chứng minh nD đồng phôi với nS và nD đồng phôi với nR bằng cách chỉ ra các phép đồng phôi giữa chúng. Xét ánh xạ: ))xx(1,x,,x()x,,x( SD:f 2 n 2 1n1n1 nn 1     )x,,x()x,x,,x( DS:f n11nn1 nn 2     Dễ dàng chứng minh f1, f2 là các ánh xạ liên tục. Mặt khác, với điểm )x,,x(x n1  tuỳ ý thuộc nD ta có   x))xx(1,x,,x(f)x(ff 2n21n1212   Suy ra nD12 idff  (1) Dn S+n f2(M) xn+1 x2 x1 M Hình 1 11 Với điểm )y,y,,y(y 1nn1  tuỳ ý thuộc nS ta có 1yyy 2 1n2n21   suy ra )0y()yy(1y 1n2n211n    Từ đó,     y)yy(1,y,,y)y,,y(f)y(ff 2n21n1n1121   Suy ra nS21 idff  (2) Từ (1) và (2) suy ra f1 là phép đồng phôi từ nD vào nS Vậy nn SD  (3) Xét ánh xạ u1 uu RD:g nn1    v1 vv DR:g nn2    Dễ thấy g1, g2 là các ánh xạ liên tục. Mặt khác, với điểm u tuỳ ý thuộc Dn ta có nD12212 idggu u1 u 1 u1 u u1 ug)u(gg                (4) Với điểm v tuỳ ý thuộc Rn ta có nR21121 idggv v1 v 1 v1 v v1 vg)v(gg                (5) Từ (4) và (5) suy ra g1 là phép đồng phôi từ nD vào nR Vậy nn RD  (6) Từ (3) và (6) và từ tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương ta được nnn RSD   Nhận xét: Trong chứng minh trên ta đã dùng tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương để kết luận nn RS  . Tuy nhiên ta có thể chứng minh trực tiếp bằng cách xét các ánh xạ ) x x,, x x()x,x,,x( RS:h 1n n 1n 1 1nn1 nn 1      O u x2 x1 xng1(u) Hình 2 12 ) xx1 1, xx1 x ,, xx1 x ()x,,x( SR:h 2 n 2 1 2 n 2 1 n 2 n 2 1 1 n1 nn 2        Ta chứng minh được h1 là phép đồng phôi từ nS vào R n, suy ra nn RS  . I.3. Mệnh đề Nếu M là m-đa tạp và N là n-đa tạp thì NM  là (m+n)-đa tạp. Chứng minh M, N là các đa tạp nên chúng là các không gian Hausdorff, suy ra tích NM  là không gian Hausdorff. Xét điểm (x, y) tuỳ ý thuộc NM  Do M là m-đa tạp nên tồn tại lân cận mở Ux của điểm x (thuộc M) đồng phôi với Dm. Do N là n-đa tạp nên tồn tại lân cận mở Uy của điểm y (thuộc N) đồng phôi với Dn. Ta được một lân cận mở của điểm (x, y) là UxUy ( NM ) đồng phôi với Dm Dn Theo bổ đề trên, ta có Dm Dn nmnmnm DRRR   Vậy NM  là (m+n)-đa tạp. I.4. Mệnh đề Mặt cầu n-chiều  1xxxR)x,x,,x(S 2 1n2n211n1nn1n    là n-đa tạp. Chứng minh Dễ thấy Sn là không gian Hausdorff. Xét điểm x0(0, …, 0, 1) nS , ta có nS là một lân cận mở của x0. Theo bổ đề trên, nn DS  . Xét điểm x tuỳ ý thuộc Sn, khi đó tồn tại một phép quay tâm O là QO sao cho QO(x)=x0. Hiển nhiên QO là một phép đồng phôi từ Sn lên chính nó. Suy ra điểm x có một lân cận mở là QO( nS ) nn DS  . Vậy Sn là n-đa tạp. I.5. Mệnh đề O M h1(M) x2 Rn xn+1 x1 Hình 3 O x0(0,0...,0,1) Sn Dn xn+1 x2 x1 Hình 4 13 Nếu M là n-đa tạp thì mọi tập con mở của M cũng là n-đa tạp. Chứng minh Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của M. Theo tính chất I.6.2 (chương I) tập A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên M là một không gian Hausdorff. Do A là tập con mở của M nên với điểm x bất kì thuộc A luôn tồn tại lân cận mở 1r U (bán kính r1) nằm trong A. Mặt khác, M là n-đa tạp nên điểm x có một lân cận mở Ur’ (bán kính r’) đồng phôi với Dn. Chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho 1rN 'rr  , khi đó Ur cũng là một lân cận mở của x đồng phôi với Dn nằm trong A. Suy ra A là n-đa tạp. II. Mặt, mặt compact II.1. Định nghĩa Một đa tạp 2-chiều liên thông được gọi là một mặt. Một đa tạp 2-chiều liên thông, compact được gọi là một mặt compact. II.2. Mặt cầu