Luận văn Phép chia có dư trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Oanh PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Vũ Như Thu Hương đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu về didactic toán. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong khóa học. - Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Hoàng Thị Oanh DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Pccd : Phép chia có dư Pch : Phép chia hết UCLN : Ước chung lớn nhất TCTH : Tổ chức toán học THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập SGK3 : Sách giáo khoa toán 3 SGK4 : Sách giáo khoa toán 4 SGK5 : Sách giáo khoa toán 5 SGK6 : Sách giáo khoa toán 6 SGK7 : Sách giáo khoa toán 7 MTBT : Máy tính bỏ túi Tr : Trang MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: Sau khi tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là “ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”. Chúng tôi chú ý những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và nghĩa của phép chia trong những tình huống đó. Phép chia có những nghĩa như sau: - Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết. - Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng. - Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng. Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư : - Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết. - Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng không thể phân phối đều được nữa. Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa: - Phép chia hết là phép chia mà không có dư - Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia. Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia đều n đối tượng cho p phần bằng nhau. Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học. Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt ra : Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào ? Đối tượng này có còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề gì toán học gì ? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế dạy học đại học và THCS. Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư, hiểu về pccd và thao tác về pccd. Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế dạy học pccd ở bậc phổ thông. Bên cạnh đó chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xung quanh khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên. Kế tiếp chúng tôi vận dụng khái niệm hợp đồng didactic để xem xét yếu tố chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh, yếu tố nào cho phép hợp thức hóa các thao tác của học sinh trên đối tượng phép chia có dư. Ở đây, chúng tôi làm rõ những qui tắc ngầm ẩn phân chia trách nhiệm và quyền hạn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng pccd. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu: Q1. Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó có những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có đóng vai trò công cụ cho những tri thức nào ? Q2. Trong thể chế dạy học toán ở phổ thông Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy – học phép chia có dư ? 3. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là: Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế:  Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia có dư để giải quyết những vấn đề nào.  Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thông: phân tích chương trình và SGK Việt Nam, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để giải quyết những bài toán nào trong chương trình. Dựa trên việc tổng kết các kết quả phân tích đưa ra những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm.  Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã được đặt ra ở trên. Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: 4. Tổ chức luận văn: Luận văn gồm những phần chính sau đây:  Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn.  Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong hai giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ của khái niệm này.  Chương 2: Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK Việt Nam. Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu.  Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.  Phần kết luận Tóm tắt các kết quả đạt được trong các chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra của luận văn. NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY (Thể chế dạy học Việt Nam) THỰC NGHIỆM CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHIA CÓ DƯ Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế công cụ của phép chia có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích các giáo trình này chúng tôi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư được trong các giáo trình đại học và các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trò công cụ của phép chia có dư trong việc nghiên cứu những khái niệm có liên quan. Phân tích một số giáo trình đại học liên quan đến phép chia có dư. Ở đây chúng tôi chọn phân tích ba giáo trình thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại số đại cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam : [a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục [b] Kenneth H. Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao động – Người dịch: Bùi Xuân Toại [c] Hoàng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan đến phép chia có dư được trình bày trong các giáo trình này khá phong phú. Việc phân tích so sánh các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong việc trình bày phép chia có dư ở cấp độ giáo trình đại học. Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tôi thực hiện phân tích phép chia có dư được giảng dạy ở phổ thông. 1. Phép chia có dư ở giáo trình [a] – Số học 1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng Trong giáo trình này phép chia được đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự nhiên. Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b 0. Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương trong phép chia a cho b.” Phép chia được trình bày ở đây theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Định nghĩa này ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng giải phương trình. Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có nghiệm hay thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại. Trong phần nhận xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn tại thì a = b. (a:b). Suy ra a = 0 hoặc a b” [trang 11] với điều kiện này thì phép chia này được gọi là phép chia hết. Định nghĩa này được trình bày trong bài “Phép trừ và phép chia” tuy nhiên qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép trừ và phép chia. Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b 0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn a = bq + r ; 0  r < b” Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên đã được định nghĩa như sau: “Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b  0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn: a = bq + r ; 0 r < b a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.” Định nghĩa này nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b 0 ) thì luôn tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r. Vậy phép chia có dư luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên. Phép chia có dư được định nghĩa theo quy ước. Như vậy trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư còn gọi là định lý cơ bản được phát biểu trong tập hợp Z: “Cho hai số nguyên a và b, b 0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho: a = bq + r ; 0 r< |b|” Định lý này là mở rộng của định lý 5 được nêu ở chương 1. Chứng minh của định lý này cơ bản kế thừa chứng minh định lý 5. Ta chú ý phần chứng minh của định lý này trong trường hợp b > 0, a < 0. Khi a 0 khi đó tồn tại q, r để a = bq + r hay a = - bq – r ; 0  r < b o khi r = 0 thì a = - bq tức cặp số cần tìm là ( - q , 0) o khi 0 < r < b thì a = - bq – r = b ( - q - 1) + b – r ; 0 < b – r < b. Cặp số cần tìm là (- q -1, b - r). Trong trường hợp a < 0 với yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia để tìm cặp số (q, r), phần chứng minh này thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia Ta lấy ví dụ phép chia có dư – 14 chia cho 3. Ta có - 14 = - 3.4 – 2 = 3( - 4 - 1) + 3 – 2 = 3. (- 5) +1. Ví dụ minh họa đã ứng dụng kỹ thuật trong phần chứng minh trên để giải thích việc tìm cặp (q, r) cho trường hợp a < 0. Tương tự, định nghĩa phép chia có dư và phép chia hết trong tập hợp số nguyên được đưa vào ngay sau chứng minh ở trang 41 như sau: “Cho hai số nguyên a và b, b  0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp số nguyên q, r sao cho a = bq + r ; 0  r < |b|. Số a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu số dư r = 0 thì a = bq. Trong trường hợp này ta nói phép chia là chia hết và cũng gọi là : a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a b; hoặc : b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a” Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không âm và bé hơn số chia. Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là “bội” và “ước”. Trong giáo trình này ngôn ngữ “bội” và “ước” được sử dụng thay thế cho cụm từ “chia hết”. Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư. Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có dư. Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới tính chia hết. 1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ. a. Ước chung lớn nhất (UCLN) Định nghĩa UCLN ở trang 44 như sau: “Nếu số d là ước số của tất cả các số a1, a2,..,an thì d được gọi là ước chung của các số a1, a2,..,an. Một ước chung của các số a1, a2,..,an được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu nó chia hết cho mọi ước chung của các số đó. ƯCLN của a1, a2,..,an được kí hiệu là ƯCLN(a1, a2,..,an ). ƯCLN dương của a1, a2,..,an được kí hiệu là (a1, a2,..,an ).” Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của UCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn lại. Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn. Từ định nghĩa UCLN thì [a] cũng đưa và định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi. Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở trang 45 như sau: “5. Nếu có số aj sao cho aj \ ai với mọi i = 1, 2,..., n thì ƯCLN (a1, a2, ..., an) =  aj 6. Cho a = bq + c; a, b, c, q Z. Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c và ngược lại.” Tính chất này được nêu ra mà không trình bày chứng minh, ghi cụ thể như sau: a = bq + r thì (a, b) = (b, r) Đây cũng là cơ sở để giải thích cho cách tìm UCLN bằng thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide được đưa vào ở trang 46 như sau: “Cho hai số nguyên a  0 và b  0. Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (q0, r0),(q1, r1),...,(qn, rn) sao cho a = bq0 + r0 ; 0 < r0 < |b| b = r0q1 + r1 ; 0 < r1 < r0 r0 = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1. rn – 3 = rn – 2qn – 1 + rn – 1 ; 0 < rn – 1 < rn – 2 rn – 2 = rn – 1qn + rn ; rn = 0. Vì |b| > r0 > r1 > .. là dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có rn = 0, khi đó thuật toán kết thúc. Dãy các số a, b, r0, r1,.rn – 1 được gọi là dãy số Euclide của hai số a, b.” Dựa vào thuật toán Euclide và các tính chất của UCLN ta có thể tìm được UCLN của hai số a, b: (a, b) = (b, r0) = ... = (rn-2, rn-2 ) = rn-1. Có thể nói nó là số dư cuối cùng khác không trong thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide đã thực hiện một chuỗi phép chia có dư liên tiếp, mà trong các phép chia có dư này chúng ta chỉ chú ý đến số dư. Thuật toán này, số dư đóng vai trò quan trọng, thuật toán sẽ dừng lại khi r = 0. Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm UCLN của nhiều số nguyên a1, a2, ... , an. (a1, a2) = D1 (D1, a3) = D2 .............. (Dn-2, an) = D vậy ta có (a1, a2, ... , an) = D. Ta có nhận xét: “Vì d / a  d / (-a) nên khi tìm ƯCLN ta có thể thay các số âm bởi số đối của chúng.” trang 48. Với nhận xét này bài toán tìm UCLN của số nguyên ta chỉ quan tâm tới việc tìm UCLN của những số nguyên dương. Bài toán tìm UCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn này chúng tôi chỉ tìm hiểu về UCLN. b. Quan hệ đồng dư Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57: “Cho m N*. Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a cho m và b cho m có cùng số dư. Kí hiệu : a b (mod m).” Nếu a và b đồng dư theo môdun m thì a – b là bội của m. Tính chất đặc trưng của quan hệ đồng dư theo môdun m là quan hệ tương đương. Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương và được gọi là lớp thặng dư. Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư: 1,.....,2,1,0 m . Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết ở trang 60 như sau: “Điều kiện cần và đủ để một số A= g aaaa nn 011... viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là tổng a0r0 + a1r1 +... + anrn chia hết cho d, trong đó ri là các số nguyên sao cho i i rg  mod(d), i = 0, 1, ..., n.” Từ định lý này [a] đưa ra các ví dụ về dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 3, 9 và 11. Đây là những dấu hiệu chia hết thường gặp. Định lý này phát biểu dấu hiệu chia hết với cơ số bất kì, Những ví dụ minh họa đều trong hệ thập phân. Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật toán Euclide còn là công cụ để giải phương trình vô định. Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của các số tự nhiên.  Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3. vậy 311021115  Kỹ thuật DCS : 1 1 3 3 3 0 4 2 12 1 38 3 115 + Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ số g. x = g.x0 + a0, 0 ga  0 x0 = g.x1 + a1 , 0 ga  1 .... xn = g.0 + an, 1 gan  + Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0 + Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm. Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g ta thực hiện chia liên tiếp x cho g. Số dư lần chia đầu là a0, số dư lần tiếp theo là a1,.. số dư lần cuối cùng là an.. Ta được x g aaaa nn 011... ” Trong cách trình bày chúng tôi nhận thấy có một vấn đề là số thương cuối cùng cũng chính là số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi xn < g. Trong cách giải mong đợi được nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này. Trong kỹ thuật này khi thực hiện liên tiếp các phép chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư. Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu nhiệm vụ này. Điều kiện dừng của thuật toán này không được nêu rõ trong [a]. Quá trình thực hiện phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x0 > x1 > x2....dãy xi giảm dần, do đó tồn tại n để xn = 0. Công nghệ DCS : Định nghĩa phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ TCH: Chứng minh rằng: P(n)a, *, NaZn  . Ví dụ trang 43: Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Giải Giả sử tích của ba số đó là A = n(n + 1)(n + 2). Viết n dưới dạng n = 6k + r; với r = 1, 2, 3, 4, 5. Nếu r = 0 thì n 6 thì A6. Nếu r = 1 thì n + 1  2; n+2  3 thì A 6 ... Vậy với mọi n Z ta có n(n + 1)(n + 2)6 Kỹ thuật CH : + Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0 ar  + Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư. Công nghệ CH : Các tính chất chia hết. Định nghĩa phép chia có dư. Lý thuyết CH : Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư. Đây kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương này có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử. Trong một bài toán các kỹ thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này. Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi nhận thấy thường theo hai cách:  Không âm, nhỏ nhất: {0,1,2,...m – 1}  Có giá t