Luận văn Phương pháp quasi - Boundary value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -------------------------------------- NGUYỄN PHI PHÚC PHƯƠNG PHÁP QUASI-BOUNDARY VALUE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS.Đặng Đức Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh - 2006 Hiện nay công cụ tính toán phát triển một cách mạnh mẽ đã làm thay đổi nhiều quan điểm về khả năng giải được trong thực tế của những bài toán khác nhau. Nhiều thuật toán trước đây không thể chấp nhận vì khối lượng tính toán quá lớn thì ngày nay hoàn toàn thực hiện được một cách hiệu quả . Nhiều bài toán thuộc lĩnh vực ứng dụng, đặc biệt là các bài toán không chỉnh xuất hiện trong các lĩnh vực vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, hồi phục, nhận dạng v.v đã được giải bằng những thuật toán hữu hiệu. Đây là lĩnh vực toán học hết sức sâu rộng, thực tiễn, hứng thú, rất nhiều người quan tâm và đạt nhiều thành tựu. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày việc chỉnh hoá bài toán nhiệt ngược thời gian, một bài toán không chỉnh trong lĩnh vực vật lý ứng dụng bằng phương pháp Quasi-Boundary value và phần tử hữu hạn, đồng thời cũng trình bày một số phương pháp tính số có thuật toán hữu hiệu để giải. Luận văn này ngoài lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo và phần mục lục sẽ được trình bày trong 4 chương: Chương 1 là phần tổng quan về bài toán, trình bày sơ lược về lịch sử vấn đề. Chương 2 là phần trình bày các ký hiệu và nhắc lại một số kiến thức cần thiết để thuận tiện cho việc theo dõi các phần tiếp theo. Chương 3 là phần trình bày việc chỉnh hoá bài toán nhiệt ngược thời gian. Chương 4 là phần trình bày một số phương pháp tính số . Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Đặng Đức Trọng người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn đến quý thầy côâ tham gia giảng dạy cao học khoá 14, những người đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi. Sau cùng, không thể không nhắc đến bạn bè, người thân những người đã luôn khuyến khích, động viên tôi trong quá trình học tập, tôi xin cảm ơn vì điều đó. TP. HCM, ngày 15 tháng 6 năm 2006 Tác giả luận văn Nguyễn Phi Phúc MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Mục lục Chương 1. PHẦN TỔNG QUAN 1 Chương 2. CÁC KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 2.1. Không gian Hilbert ...6 2.2. Nửa nhóm liên tục.......................................11 2.3. Không gian phần tử hữu hạn ......14 2.3.1 xây dựng không gian phần tử hữu hạn ....14 2.3.2 Đánh giá sự hội tụ phần tử hữu hạn .........18 2.4. Ký hiệu .....19 2.4.1 Ký hiệu hình học .....19 2.4.2 Ký hiệu các không gian hàm .....19 2.4.3 Ký hiệu các ước lượng..21 Chương 3. CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ 21 3.1. Các kết quả chỉnh hoá bài toán QBVP ..22 3.2. Phát biểu lại bài toán và đánh giá sai số chỉnh hoá ..32 Chương 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ 44 4.1. Phương pháp sử dụng giá trị riêng và véc tơ riêng xấp xỉ số.....44 4.2. Xấp xỉ số qua lặp Conjugate gradient ..47 4.3. Đánh giá sai số ...52 Kết luận Tài liệu tham khảo 1 Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN Trước tiên chúng ta nhắc lại khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh. Định nghĩa (Hadamard 1923). Một bài toán được gọi là chỉnh nếu nghiệm i) Tồn tại, ii) Là duy nhất, iii) Phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu. (Tính chất ổn định) Và một bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó vi phạm một trong 3 tính chất trên. Ở đây tính chất iii) là quan trọng đối với những bài toán thực tế, vì vậy để chỉnh hoá bài toán điều mong muốn là nghiệm sẽ ít thay đổi nếu các dữ liệu của bài toán cũng thay đổi ít. Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán nhiệt ngược thời gian cho bởi (FVP) , ( ) ( ) 0, 0 , ( ) . u t Au t t T u T f ⎧ + = < <⎨ =⎩ với A là một toán tử tự liên hợp dương, không bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho –A sinh ra một nửa nhóm co compắc trên H, và 0 thuộc tập giải của – A (0∈ρ(-A)), t là thời gian, T là thời gian cuối cho trước, hàm dữ liệu f cho trước trong H, u : [0, T] → H là lời giải cần tìm. Bài toán trên là bài toán không chỉnh, bởi vì, ngay cả khi tồn tại lời giải duy nhất trên [0, T] thì lời giải này cũng không chắc phụ thuộc liên tục theo f. Thật vậy, xét bài toán nhiệt cho bởi 1 0 0 1 0 0 1 0 0 sin x, t xxu u x t T u t u t u x T f x e π− − = < < ≤ ≤⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ = =⎩ , , , ( , ) , (*) ( , ) , ( , ) ( ) 2 nghiệm chính xác của (*) là 2 1 sin x( )( , ) π π− −= T tu x t e . Lấy 1n 1f (x) sin x+ sinn x n e π π−= làm dữ liệu tại thời gian cuối T. Khi đó ta có nghiệm tương ứng của (*) với giá trị cuối nf (x) là 2 212 n 1(x, t)=e sin x+ sinn n ( ) ( )π ππ π− − −T t n T tu e x . Sai số tại thời gian cuối 2 1 20 1 0 1 1 1 0 2 2 nf sin n x n L f dx n n π π →∞− = = ⎯⎯⎯→∫( , ) . Và sai số tại thời gian đầu 2 2 2 2 2 1 2 2 2 20 1 0 10 0 2 2 n sin n x ( , ) (., ) (., ) π π π →∞− = = ⎯⎯→∞∫ n Tn T nL eu u e dxn n ⎯ . Vậy (*) là bài toán không chỉnh do vi phạm tính chất iii). Việc xây dựng hàm xấp xỉ ổn định nghiệm của bài toán nhiệt ngược là một trường hợp riêng của vấn đề chỉnh hoá các bài toán không chỉnh. Ta sẽ nêu khái niệm chính xác của việc chỉnh hoá của bài toán không chỉnh. Xét phương trình , u D(A) X, f YAu f= ∈ ⊂ ∈ . Trong đó X, Y là các không gian mê tríc và là một toán tử. : D(A) YA → Ta nói 0u D(A)∈ là nghiệm chính xác của bài toán tương ứng với giá trị dữ liệu chính xác 0f nếu . 0 0Au f= Toán tử phụ thuộc vào tham số : Y XRα → α ∈\ (được gọi là tham số chỉnh hoá) là một toán tử chỉnh hoá nếu a) 0 0R fα → u khi 0α → , 3 b) Với mọi 0δ > , tồn tại ( ), ( ) 0ω δ α δ → sao cho ( )( ) , (0 uXd R fα δ )ω δ≤ nếu ( ), ,0 f fYd f δ Y.≤ ∈ Phần tử gọi là nghiệm chỉnh hoá của bài toán. ( )u R fδ α δ= Bài toán (FVP) đã được nhiều tác giả chỉnh hoá bằng nhiều bài toán chỉnh khác. Lattes và Lions [9], Miller [11], Payne [13], Huang và Zheng [6], và Lavrentiev [10] đã xấp xỉ (FVP) bằng cách làm nhiễu toán tử A. Nghiên cứu này gọi là phương pháp Quasi-Reversibility. Ý tưởng chính của phương pháp này là nhiễu phương trình trong bài toán không chỉnh để thu được bài toán chỉnh, rồi dùng nghiệm của bài toán chỉnh như là một nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh. Trong [9] Lattes và Lions chỉnh hoá bài toán trên bởi bài toán 0 0tu Au A Au t T u T f ε⎧ + − = < <⎨ =⎩ * , , ( ) . Alekseeva và Yurchuk [18] xét bài toán 0 0t tu Au A t T u T f ε+ + = < <⎧⎨ =⎩ , , ( ) . Gajewski và Zaccharias [5] xét bài toán tương tự Alekseeva và Yurchuk đã làm và họ đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ là 2 2 2 0u t u t T t u tε − ≤ −( ) ( ) ( ) ( ) . Showalter [14, 15] đã đưa ra phương pháp khác để chỉnh hoá bài toán (FVP), phương pháp này việc đánh giá sai số ổn định hơn các tác giả trước đó. Sử dụng ý tưởng của Showalter, Clark và Oppenheimer [3] đã dùng phương pháp Quasi- Boundary để chỉnh hoá bài toán ngược thời gian với nghiệm chỉnh hoá thoả 4 0 0 0 tu Au t t T u T u fε + = < <⎧⎨ + =⎩ ( ) , , ( ) ( ) . Cũng ý tưởng trên, Denche và Bessila [4] đã xấp xỉ (FVP) bằng cách nhiễu điều kiện cuối bởi 0 0 0 tu Au t t T u T u fε + = < <⎧⎨ − =⎩ ( ) , , ( ) '( ) . Huang và Zheng [7] xét bài toán 0 0t tu Au A t T u T f ε+ + = < <⎧⎨ =⎩ , , ( ) . ở đây, –A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích trong không gian Banach. Tuy nhiên, họ chưa đưa ra công thức đánh giá sai số và hiệu quả của các phương pháp để tính toán. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp Quasi-Boundary value tương tự như Showalter đã làm nhưng trong điều kiện tổng quát hơn. Ở đây chúng ta làm nhiễu điều kiện cuối. Điều này đưa ra bài toán Quasi-Boundary value (QBVP) sau , ( ) ( ) 0, 0 , (0) ( ) . u t Au t t T u u T f α α α αα ⎧ + = < <⎪⎨ + =⎪⎩ với α là một số dương nhỏ, toán tử A có một tập trực giao gồm các hàm véc tơ riêng qi với các giá trị riêng λ i > 0, sao cho { }iq là một cơ sở của H. Khi đó ta có thể biểu diễn f trong (FVP) dưới dạng f = 0 i i i b q ∞ = ∑ , và sau đó chỉ ra rằng bài toán xấp xỉ là chỉnh và nghiệm của nó hội tụ khi và chỉ khi bài toán gốc có nghiệm cổ điển. Phần còn lại của luận văn bao gồm ba chương. Chương 2 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho luận văn. Chương 3 trình bày về phương pháp Quasi- Boundary value. Mục đích của luận văn là bổ sung vào lý thuyết xấp xỉ của 5 Clark và Oppenheimer [3] phần đánh giá sai số. Hiển nhiên trước khi chúng ta tìm hiểu về sự bổ sung này và tính đúng đắn của một cách lấy xấp xỉ, thì đầu tiên chúng ta phải trả lời câu hỏi “ Có tồn tại một xấp xỉ không?”. Câu trả lời là có khi và chỉ khi 22 1 iT i i b e λ ∞ = ∑ hội tụ. Điều này là nội dung chương 3 của luận văn. Chương 4 của luận văn trình bày hai phương pháp tính số bài toán (QBVP) là phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trị riêng, vectơ riêng và phương pháp lặp Conjugate-gradient, phần cuối của chương 4 trình bày về sai số của các xấp xỉ hữu hạn. 6 Chương 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU Trong chương này, chúng tôi qui ước một số ký hiệu và nêu lại một số kiến thức chuẩn bị cần thiết được sử dụng đến trong các chương sau. 2.1. Không gian Hilbert Cho X là một không gian tuyến tính thực. Định nghĩa 2.1.1. Ánh xạ [ )X: 0,→ ∞ gọi là chuẩn nếu thoả i) + ≤ + ∀ ∈u v u v , u,v X , ii) λ = λ ∀ ∈ λ∈\u u , u X , , iii) ≥ ∀ ∈ = ⇔ =u , u X; u u0 0 .0 Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Từ đây về sau ta giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 2.1.2. Ta nói dãy { }n nu 1∞= ⊂ X hội tụ về nnu X nếu lim u u 0→∞∈ − = Ta ký hiệu: . nu u→ Định nghĩa 2.1.3. Ta nói dãy { }n nu 1∞= ⊂ X là một dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, n mN sao cho u u n, m Nε∃ > − < ∀ ≥0 , . Định nghĩa 2.1.4. X được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Định nghĩa 2.1.5. X được gọi là không gian Banach nếu X đầy đủ . Định nghĩa 2.1.6. Ta nói X là tách được nếu X chứa một tập con đếm được trù mật trong X. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Định nghĩa 2.1.7. Ánh xạ ( ) H H. , . : × → \ gọi là tích vô hướng nếu thoả i) ( ) ( )= ∀ ∈u,v v,u u,v H ,, 7 ii) ( ) ( ) ( )+ = + ∀ ∈u v,w u,w v,w , u,v,w H , iii) ( ) ( )λ = λ ∀ ∈ λ∈\u,v u,v u,v H , ,, iv) ( )u u u H, 0, ≥ ∀ ∈ ; ( ) = ⇔ =u u u, 0 0. ) Nếu là tích vô hướng thì chuẩn tương ứng với nó là (. , . ( )u u u 12,= . Định nghĩa 2.1.8. Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh ra bởi một tích vô hướng. Từ đây về sau ta giả sử H là không gian Hilbert. Định nghĩa 2.1.9. Hai phần tử u, v của H gọi là trực giao với nhau nếu ( )u v, 0= . Khi đó, ta viết u v . ⊥ Định nghĩa 2.1.10. Hai tập hợp con M, N của H gọi là trực giao với nhau nếu mỗi phần tử của M trực giao với mỗi phần tử của N. Khi đó, ta viết . M N⊥ Định nghĩa 2.1.11. Phần tử u của H gọi là trực giao với tập hợp con M của H nếu u trực giao với mọi phần tử của M. Khi đó, ta viết u M⊥ . Định nghĩa 2.1.12. Dãy { }n nu 1∞= gọi là hệ trực giao trong không gian H nếu các phần tử của dãy đôi một trực giao với nhau. Tính chất 2.1.13. Cho H là không gian Hilbert, n i nu u v v v H, , , , .∈ Ta có n i i i n n n a u u u b u u c u v i n u v u v d u v v v 1 ) 0, ) 0 , , ) , 1, ) , i ,α = →∞ ⊥ ⇔ = ⊥ ∀ ⊥ = ⇒ ⊥ ⊥⎧ ⇒ ⊥⎨ ⎯⎯⎯→⎩ ∑ e) Tập hợp tất cả các phần tử của H trực giao với tập hợp M con của H gọi là phần bù trực giao của M (ký hiệu M⊥ ) là một không gian con đóng của H, 8 f) u v u v u v2 2⊥ ⇒ + = + 2 , g) Nếu { }n nu 1∞= là hệ trực giao trong không gian H thì hội tụ n n u 1 ∞ = ∑ n n u 2 1 ∞ = ⇔ <∑ ∞ . Định lý 2.1.14. M là một không gian con đóng của H thì mỗi phần tử x của H được biểu diễn duy nhất dưới dạng x=y+z với y∈M, z∈M⊥ và u M x y inf x u ∈ − = − . ° y gọi là hình chiếu trực giao của x lên không gian con M. ° Toán tử xác định bởi →P : H M Px y= gọi là toán tử chiếu lên M và là toán tử tuyến tính liên tục, =P 1. Định nghĩa 2.1.15. Dãy { }ne gọi là hệ trực chuẩn trong không gian H nếu ( )i j ij nếu i je e 1 nếu i j0 ,, .δ =⎧= = ⎨ ≠⎩ Tính chất 2.1.16. { }ne là hệ trực chuẩn trong không gian H. Khi đó với u H∈ . a) Phần tử là hình chiếu trực giao của u lên không gian sinh ( )n i i i v u e 1 , = = ∑ e bởi { }ne e e1 2, , ..., và ( )n i i u e u 2 2 1 , = ≤∑ , b) ( ) ( )i i i i n i i Chuỗi u e e hội tụ và u u e e e n 1 1 , - , ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ,⊥ ∀⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ , c) ( )i i u e u 2 2 1 , ∞ = ≤∑ . Định nghĩa 2.1.17. Hệ trực chuẩn { }n ne 1∞= gọi là cơ sở trực chuẩn trong không gian H nếu mọi véc tơ trực giao với hệ đều bằng 0 (tức là ). nu e n u, 1, 2, ... 0⊥ ∀ = ⇒ = 9 { } ( )n n nn n=1 Nếu u H và e H cơ sở trực chuẩn ta có thể viết u= u, e e 1 ∞∞ =∈ ⊂ ∑ . Định lý 2.1.18. Giả sử { }n ne 1∞= là hệ trực chuẩn trong không gian H . Các mệnh đề sau là tương đương. a) Hệ { }n ne 1∞= là cơ sở trực chuẩn trong không gian H, b) ( )i i u H u u e 22 1 , , , ∞ = ∀ ∈ =∑ c) )e, ( ) ( )(i i i u v H u v u e v 1 , , , , , ∞ = ∀ ∈ =∑ d) { }n ne 1∞= tuyến tính trù mật trong H (tức là bao tuyến tính của { }n ne 1∞= ) là trù mật trong H. Định nghĩa 2.1.19. Toán tử A : H H tuyến tính liên tục→ , toán tử liên hợp của nó là ( ) ( )∗ ∗→ = ∀ ∈A : H H thỏa mãn Au, v u, A v , u, v H. Định nghĩa 2.1.20. Toán tử A : H H tuyến tính liên tục→ , A gọi là tự liên hợp nếu A A∗= , nói cách khác A tự liên hợp khi và chỉ khi ( ) ( )= ∀ ∈Au, v u, Av , u, v H. °Toán tử chiếu lên không gian con M là toán tử P biến mỗi u thành hình chiếu Pu của nó lên M là tự liên hợp. Thật vậy, u v H ta có u = u'+u'' , v = v'+v'' với u', v' M, Pu = u', Pv = v' và u'', v'' M , ⊥ ∀ ∈ ∈ ∈ cho nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = =Pu, v u', v u', v' u, v' u, Pv . °A, B tự liên hợp thì A-1, A+ B, I, αA ( )α ∈\ là các toán tử tự liên hợp. 10 Định nghĩa 2.1.21. Toán tử A : H H tuyến tính liên tục→ , A gọi là toán tử đối xứng nếu ( ) ( )∀ ∈ =u, v H ta có Au, v u, Av . °Toán tử tự liên hợp là toán tử đối xứng. °Nếu A là toán tử đối xứng thì mọi giá trị riêng đều là số thực và các véc tơ riêng của A ứng với 2 giá trị riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao . °H là không gian n chiều, { } 1,i i ne = hệ n véc tơ riêng của toán tử đối xứng A ứng với cacù giá trị riêng iλ làm thành cơ sở trực chuẩn và với mọi u thuộc H ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i i i n n i i i i i i i n i i i Au u A u e e u e e u e Ae u e e u e e u e e u e 1 1 1 1 1 1 2 1 , , , , = , , , = , , , = , . λ λ = = = = = = = ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Định lý 2.1.22. Nếu A là toán tử đối xứng thì ( ) ( ) u u A sup Au u sup Au u 1 1 , , ≤ = = = . Định lý 2.1.23. Toán tử A : H H tự liên hợp → Khi đó Phổ của A ký hiệu (A) là tập các giá trị riêng của Aσ thoả [ ]σ ∈ ∈σ(A) m, M với m, M (A) và ( ) ( ) = = = x x m inf Ax, x , M =sup Ax, x 1 1 . Hệ quả 2.1.24. Nếu A tự liên hợp, khác 0 Thì σ ≠ ∅ = =(A) và A m hoặc A M . 11 Định nghĩa 2.1.25. Toán tử A : H H gọi là xác định dương→ nếu ( ) > ∀ ∈ ≠Au, u , u H , u0 0 °Nếu i i = 1, 2, ...,λ là các giá trị riêng của toán tử A xác định dương thì i i = 1, 2, ...0,λ > Định nghĩa 2.1.26. Toán tử tuyến tính liên tục gọi là toán tử compắc nếu nó biến một tập giới nội thành một tập hoàn toàn giới nội. Với mọi A B H H , : → là toán tử tuyến tính liên tục. °A compắc, B liên tục thì AB, BA compắc. °A compắc thì A AA A A, ,∗ ∗ ∗ compắc. °Tập hợp các giá trị riêng của toán tử compắc, đối xứng là hữu hạn, hoặc đếm được và nếu đếm được thì lập thành một dãy hội tụ về không. °Nếu H tách được thì mọi toán tử compắc, đối xứng đều có một cơ sở trực chuẩn véc tơ riêng. °Toán tử Fredhom là toán tử compắc trong [ ]a bL 2 , . 2.2. Nửa nhóm liên tục [12] Định nghĩa 2.2.1. Một họ { }tS t 0( ) ≥ các toán tử xác định với mỗi giá trị tham số t ≥ 0 và thỏa các điều kiện sau : a) S t X , X là không gian Banach, X( ) : là một toán tử tuyến tính bị chặn→ b) , S t t S t S t t t1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), ,+ = ∀ ≥ 0 c) S(0) = I (I là toán tử đồng nhất), d) . t S t x x x X 0 lim ( ) , +→ = ∀ ∈ gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay còn gọi C0- nửa nhóm. Nếu họ{ }tS t 0( ) ≥ chỉ thoả a), b), c) ta nói { }tS t 0( ) ≥ là nửa nhóm. 12 Định nghĩa 2.2.2. Nửa nhóm liên tục mạnh { }tS t 0( ) ≥ gọi là nửa nhóm liên tục đều nếu +→ − =tlim S t I 0 ( ) 0 , là chuẩn trên L(X). . Mệnh đề 2.2.3. Điều kiện cần và đủ để nửa nhóm { }tS t 0( ) ≥ là C0- nửa nhóm là tồn tại và một tập con trù mật 0, Mδ > ≥1 D X⊂ sao cho thỏa 2 điều kiện sau : i) [ ]≤ ∀ ∈ δS(t) M, t 0, , ii) . t Lim S t x x x D 0 ( ) ,+→ = ∀ ∈ Mệnh đề 2.2.4. Đối với mỗi họ { }tS t 0( ) ≥ C0- nửa nhóm luôn tồn tại hằng số ω∈ và M≥ 1 sao cho \ ,tS(t) Me t 0ω≤ ∀ ≥ . Định nghĩa 2.2.5. Toán tử sinh ⊆ →A D A X X: ( ) của C0- nửa nhóm { }tS t 0( ) ≥ trên không gian Banach X là toán tử định bởi t S t x xAx lim t+→ −= 0 ( ): xác định với mọi x thuộc miền xác định t S t x xD A x X lim tồn tại t0 ( )( ) : +→ −⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭ . Định lý 2.2.6. Nếu A là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X thì ( )ntA n t tA S t e n ∞ = ≥ ⎧ ⎫⎪ = =⎨⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ 0 0 ( ) : ! ⎪⎬ là nửa nhóm liên tục đều . Tính chất 2.2.7. A là toán tử sinh của C0- nửa nhóm { }tS t 0( ) ≥ . i) ⊆ →A D A X X: ( ) là toán tử tuyến tính, ii) Nếu x∈ D(A) thì S(t)x ∈ D(A) và d S(t)x=S(t)Ax=AS(t)x, t 0 dt ∀ ≥ , iii) , : t 0 t 0, x X ta có S(s)xds D(A)∀ ≥ ∈ ∈∫ iv) ù t 0 ta co∀ ≥ 13 t 0 t 0 A S(s)xds nếu x X, S(t)x-x= S(s)Axds nếu x D(A). ⎧ ∈⎪⎪⎨⎪ ∈⎪⎩ ∫