Luận văn Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- TRẦN THỊ TÂM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- TRẦN THỊ TÂM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn THÁI NGUYÊN – 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Lớp hàm Holder ……………………………………………… 4 1.1.1 Liên tục Holder ………………………………………... 4 1.1.2 Không gian  ,kC   …………………………………... 5 1.2. Đánh giá đối với ánh xạ á bảo giác…………………………… 6 1.2.1 Đánh giá đối với tích phân Dirichlet đối với ánh xạ á bảo giác…………………………………………………. 8 1.2.2 Đánh giá chuẩn Holder đối với ánh xạ á bảo giác………. 12 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập 16 2.1 Đánh giá địa phương đối với chuẩn Holder cho đạo hàm cấp một của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai……………… 16 2.2 Đánh giá toàn cục đối với chuẩn Holder cho đạo hàm cấp một của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai…………………... 20 2.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic đều á tuyến tính cấp hai……………………………….. 22 2.4 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic không đều á tuyến tính cấp hai………………………… 28 2.5 Sự tương đương của độ nghiêng bị chặn và điều kiện ba điểm.... 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 Mở đầu 1. Lý do chọn Luận văn Phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic có một quá trình phát triển lâu dài. Trường hợp phương trình với hai biến độc lập có một mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết hàm chỉnh hình và ánh xạ bảo giác trên mặt phẳng phức. Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập. Khác với trường hợp khi số biến lớn hơn hoặc bằng ba, trong trường hợp hai biến, người ta không đòi hỏi các hệ số của phương trình là các hàm trơn, mà chỉ cần là các hàm liên tục. 2. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kết quả và phương pháp của lý thuyết ánh xạ á bảo giác và của lý thuyết phương trình elliptic cấp hai tuyến tính cùng với phương pháp lặp. 3. Mục đích của Luận văn Trình bày các tính chất định tính về độ trơn của nghiệm phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập. 4. Nội dụng của luận văn Nội dung chủ yếu của Luận văn được dựa vào một chương của tài liệu [1]. Trong chương 1 Luận văn đã trình bày khái niệm ánh xạ á bảo giác cùng với các đánh giá tiên nghiệm trong lớp Holder của chúng. Các kết quả trong chương 1 đã được áp dụng trong chương 2 vào các đánh giá tiên nghiệm và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính elliptic đều và không đều. Đối với trường hợp elliptic không đều, bài toán Dirichlet chỉ được xét trong các miền lồi với dữ kiện biên thoả 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn. Luận văn cũng đã chỉ ra rằng điều kiện độ nghiêng bị chặn là tương đương với điều kiện ba điểm. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, Viện toán học. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán – trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm Luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Trần Thị Tâm 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lớp hàm Holder 1.1.1. Liên tục Holder Định nghĩa 1.1. Cho 0 x là một điểm trong n và f là một hàm xác định trên miền bị chặn D chứa 0 x . Nếu 0 1  , ta nói rằng f là liên tục Holder với số mũ  tại 0 x nếu: (1.1)       0 0 0 ; 0 sup x x D x x f x f x f x x       hữu hạn. Ta gọi   0;x f  là hệ số Holder bậc α của f tại 0 x . Nếu f là liên tục Holder tại 0 x thì f liên tục tại 0 x . Khi (1.1) là hữu hạn với 1  , f là liên tục Lipschitz tại 0 x . Ví dụ 1.2. Hàm f trên  1 0B được cho bởi  f x x   , 0 1  là liên tục Holder với số mũ  và liên tục Lipschitz khi 1  , trong đó  1 0B là hình cầu đơn vị. Định nghĩa 1.3. Ta nói f là liên tục đều Holder trong D với số mũ  nếu đẳng thức: 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 (1.2)       ; , sup , 0 1, D x y D x y f x f y f x y          hữu hạn. Ta nói f là liên tục Holder địa phương với số mũ  trong D nếu f là liên tục đều Holder với số mũ  trên mọi tập con compact của D . 1.1.2. Không gian  ,kC   Cho  là tập mở trong n và k là một số nguyên không âm.  ,kC   là không gian các hàm  kf C  mà các đạo hàm riêng cấp k liên tục Holder với số số mũ  trong  . Để đơn giản ta viết:        0, 0,, .C C C C         Và ta hiểu rằng với 0 1  ký hiệu này được sử dụng bất cứ khi nào, trừ khi có quy ước khác. Cũng như vậy, ta đặt:        ,0 ,0, .k k k kC C C C      Chúng bao gồm các không gian     , k kC C  trong số các không gian     , ,, k kC C   với 0 1  . Ta cũng ký hiệu  ,0 kC   là không gian các hàm trên  ,kC   có giá compact trong  . Ta đặt: (1.3)     ,0; 0; , ; ; ; supsup , 0,1,2,... sup . k k k k k k u D u D u k u D u D u                       Với những nửa chuẩn này, ta định nghĩa các chuẩn tương ứng: 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 (1.4)        , ; ,0; ,0; 0; 0 0 , ; ; ;, ; ; , , k k k k j C k k j j j k C k k kk u u u u D u u u u u u D u                                 trên các không gian  kC  ,  ,kC   tương ứng. Đặc biệt, đôi lúc ta đưa vào các chuẩn không thứ nguyên trên  kC  ,  ,kC   : nếu  bị chặn, với d là đường kính của  , ta đặt, (1.5)        , ; ,0; 0; 0 0 , ; ; ;, ; ; , . k k k k j j j C k j j j k k k C k k kk u u d u d D u u u u d u u d D u                                       Các không gian  kC  ,  ,kC   với các chuẩn tương ứng là những không gian Banach. Ta chú ý rằng, tích các hàm liên tục Holder cũng liên tục Holder. Thật vậy, nếu    ,u C v C     , ta có  uv C  trong đó  min ,   , và (1.6)               2max 1, ; . C C C C C C uv d u v uv u v                     1.2 Đánh giá đối với ánh xạ á bảo giác. Nhiều khái niệm và phương pháp khác nhau trong lý thuyết hàm đóng vai trò đặc biệt trong lý thuyết của các phương trình elliptic hai biến. Ở đây chủ yếu quan tâm đến đánh giá tiên nghiệm phát sinh từ lý thuyết của ánh xạ á bảo giác. Một ánh xạ khả vi liên tục  ,p p x y ,  ,q q x y từ một miền  8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 trong mặt phẳng  ,z x y tới mặt phẳng  w ,p q là á bảo giác hay K  á bảo giác, trong miền  nếu với mỗi hằng số 0K  , ta có: (1.7)  2 2 2 2 2x y x y x y y xp p q q K p q p q     với mọi  ,x y  . Mặc dù bất đẳng thức (1.7) thỏa mãn cho p và q trong  1C  , trong phần này kết quả được phát triển cho , p q liên tục và có đạo hàm yếu bình phương khả tích. Khi 1K  , (1.7) kéo theo p và q là hằng số và do đó ta giả thiết 1K  . Với 1K  , ánh xạ      w z p z iq z  là một hàm giải tích của z . Khi 1K  bất đẳng thức (1.7) có ý nghĩa hình học là tại mọi điểm không triệt tiêu của Jacobian thì ánh xạ này giữa mặt phẳng z và mặt phẳng w sẽ bảo toàn định hướng và ánh xạ đường tròn đủ nhỏ vào các đường elliptic đủ nhỏ với tâm sai bị chặn đều, trong đó tỉ số của trục nhỏ tới trục lớn là bị chặn dưới bởi   1/2 2 1 0K K     . Ta sẽ quan tâm đến lớp các ánh xạ tổng quát hơn    , ,x y p q xác định bởi bất đẳng thức: (1.8)  2 2 2 2 2 'x y x y x y y xp p q q K p q p q K      trong đó K , 'K là hằng số, với 1, ' 0K K  . Mặc dù ý nghĩa hình học là không giống nhau, ta sẽ gọi các ánh xạ tuân theo (1.8) là  , 'K K  á bảo giác. Trong sự phát triển tiếp theo, ta thấy rằng các ánh xạ thỏa mãn (1.7) và (1.8) phát sinh từ phương trình elliptic hai biến với p và q biểu diễn các đạo hàm cấp một của nghiệm. Mục đích của phần này là đưa ra các đánh giá tiên nghiệm trong lớp Holder cho ánh xạ  , 'K K  á bảo giác. Kết quả cơ bản sẽ là hệ quả của những bổ đề liên quan đến công thức tính tích phân Dirichlet: 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 (1.9)   2 22 ( ) ( ) ( , ) rr x y z B z r z Dw dx dy w w dx dy B    D của ánh xạ  , 'K K  á bảo giác w được lấy trên đĩa  rB z . Khi đó để đơn giản ta viết  rD thay cho  ,r zD và rB thay cho ( )rB z . 1.2.1 Đánh giá đối với tích phân Dirichlet đối với ánh xạ á bảo giác. Bổ đề 1.4. Giả sử w p iq  là  , 'K K  á bảo giác trên hình tròn 0( )R RB B z thỏa mãn (1.8) với 0, 0K K  , và giả sử p M trong RB . Khi đó với mọi / 2r R , ta có (1.10) 22 2 1/2( ) , ( 1) , r r r Dw dx dy C K K R B           D với 2 2 1( )( ' )C C K M K R  . Nếu ' 0K  , kết luận vẫn đúng với 1.K  Chứng minh. Trước tiên chúng ta thiết lập đánh giá cho tích phân Dirichlet trong hình tròn bán kính / 2.R Từ (1.8) ta có với bất kỳ hình tròn đồng tâm r RB B , ta có: (1.11) 2 2 2 ( , ) ( ) 2 ' ( , ) =2 ' , rr r B C p q z Dw dx dy K dx dy K r x y B q K p ds K r s              D với s là ký hiệu độ dài cung tròn r rC B  lấy theo phương ngược chiều kim đồng hồ. Mặt khác sử dụng 2 ( ) rC z Dw ds D' , ta thấy: 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 (1.12)    1/2 2 2 1/2 1/222 ds ds Dq ds ds Dw ds 2 ' . Cr Cr Cr Cr Cr q p p s p M r r                     D Thay vào (1.11) và thay r bằng R vào thành phần thứ hai của vế phải, ta thu được: (1.13)   2 1 2( ) '( )r k k r r D D với 2 1 'k R K , 2 2 2 8 .k M K Bây giờ hoặc là 1( / 2)R kD , ta có ước lượng cần tìm; hoặc nếu không thì 1( )r kD với 0 / 2r r R  nào đó và do đó với mọi r đủ lớn. Bất đẳng thức vi phân (1.13) được lấy tích phân trong miền 0 1 2r r r r R    và cho ta bất đẳng thức như sau:   2 1 2 2 1 1 2 11 1 '( ) 1 log ( ) ( ) r r r dr r r k k rr k      D D D . Lấy 1 2/ 2, r R r R  ta thu được: (1.14) 2 2 28( / 2) ' log2 R M K R K   D . Ta chú ý rằng việc chứng minh đánh giá này không liên quan tới các hạn chế lên , 'K K ngoài giả thiết K không âm. Ta cũng lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát ta cũng không thể thu được đánh giá trong toàn bộ hình tròn rB , bởi vì rằng tập các hàm giải tích , 1,2,...nnw z n  tất cả đều thỏa mãn 1nw  trong 1z  , nhưng: 2 1 n z Dw dx dy   khi n . 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Mặt khác 2 1 ( )n z Dw dx dy C       với bất kỳ 0  cố định, trong đó ( )C  độc lập với n . Ta tiếp tục sử dụng (1.14) cho tích phân Dirichlet trong /2RB để đánh giá cấp tăng cho  rD . Từ bất đẳng thức, 2 21 2 2 x y x yp q p q     , 2 21 , 2 2 x x yp q p    ( 0),  ta thu được 22 1 . 2 2 x y y x x yJ p q p q w w      Do đó viết (1.8) dưới dạng, 22 2 'x yw w KJ K   , và thế 2 1/2( 1)K K    (hoặc tương tương 2(1 ) / 2K    ), ta tìm được 22 2 2 1 2 ' . 1 x y K w w      Vì vậy (1.15)  2 2 222 2 2 2 2 1 1 1 2 ' . 1 1 x x xw w w K Dw                 Do (1.8) là bất biến dưới phép quay, bất đẳng thức này vẫn có hiệu lực nếu phép lấy đạo hàm theo hướng sw thay bởi xw . Chúng ta sẽ áp dụng (1.15) để thu được đánh giá chính xác hơn của r s C pq ds trong (1.11). Giả sử kí hiệu ( )p p r là giá trị trung bình của p trên đường tròn rC . Khi đó 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 (1.16) 2 21 ( )( ) . 2 r r r s s s C C C p p pq ds p p q ds rq ds r             Ta sử dụng bất đẳng thức Wirtinger sau đây 2 2 2 2 0 0 ( , ) ,p r p d p d          có nghĩa là (1.17) 2 2 2( ) . r r s C C p p ds r p ds   (Kết quả này dễ dàng được chứng minh bằng cách khai triển ( , )p p r  thành chuỗi Fourier theo  và ứng dụng bất đẳng thức Parseval). Thay (1.17) vào (1.16), ta thấy rằng: 2 2 2( ) 2 2 r r r s s s s C C C r r pq ds p q ds w ds     , và do đó từ (1.15), 2 2 2 2 4 2 ' . 2(1 ) 1 r r s C C r K pq ds Dw ds r       Thế bất đẳng thức này vào (1.11) và sử dụng lại hệ thức 2 rC Dw ds   ' rD , ta đi đến bất đẳng thức vi phân, (1.18)     2 2 2 ' , ' 1 2 1 r r r kr k K            D D . Điều này kéo theo   2 d r r dr  D 1 22 ,kr   Từ phép lấy tích phân sau đây giữa r và 0r 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 (1.19) 22 0 0 0 ( ) ( ) . 1 r r r kr r             D D Đặt 0 / 2r R và thay vào (1.14) ta thu được đánh giá (1.10) với      2 22 3max , 'C C K C K M K R  , với 2 2 32 , log2 C K   3 2 2 4 1 . 1 1 C                Cuối cùng ta nhận thấy rằng khi ' 0K  các lý luận không bị ảnh hưởng khi cho phép 1K  , và C được thay thế bởi 2 2 .C M 1.2.2 Đánh giá chuẩn Holder đối với ánh xạ á bảo giác. Bổ đề tính toán sau đây của Morrey là một bước thiết yếu để từ đánh giá cấp tăng của tích phân Dirichlet có thể nhận được đánh giá Holder trên chính hàm đó. Giả sử  và Ω là các miền trong 2 . Ta ký hiệu  nếu bao đóng của  chứa trong  , tức là  . Bổ đề 1.5. Giả sử 1( )w C  và  với dist( , ) R   . Giả sử các hằng số dương , , ' 0C R  thỏa mãn D ( ) 2 2( , ) r zB r z Dw dx dy Cr   với mọi đĩa ( )rB z có tâm z và bán kính 'r R R  . Khi đó với mọi 1 2,z z  thỏa mãn 2 1 'z z R  , ta có 2 1 2 1( ) ( ) 2 C w z w z z z     . 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Sau đây là định lý về đánh giá tiên nghiệm Holder cho ánh xạ  , 'K K  á bảo giác. Định lý 1.6. Giả sử w là  , 'K K  á bảo giác trong miền  với 1, ' 0K K  và giả sử w M . Giả sử  với hình tròn  dist , d   . Khi đó với mọi 1 2,z z  . Ta có (1.20)       2 1 22 1 2 2 1 , 1 . z z w z w z C K K d      trong đó   1 d ' .C C K M K  Nếu ' 0K  thì  1C C K M và kết luận này cũng đúng với 1K  . Chứng minh. Đầu tiên giả sử 2 1 . 2 d z z  Điều kiện của Bổ đề 1.4 và 1.5 áp dụng với R d và ' 2 d R  , vì vậy ta có:     2 12 1 z z w z w z L d     trong đó       1 2 2 2' 'L C K M K d C K M d K    . Nếu 2 1 d 2 z z  thì     2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 2 z z z z w z w z M M M d d        . Do đó định lý được chứng minh với     1 max 4, .C K C K Để kết thúc phần này, ta có một số chú ý sau. 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Chú ý 1.7. 1. Số mũ   1 2 21K K    là lớn nhất để cho Bổ đề 1.4 và Định lý 1.6 là đúng. Điều này có thể thấy từ ví dụ của ánh xạ K  á bảo giác     1 2 2, 1iw z r e K K      có số mũ  Holder tại 0z  . Cùng một kết quả (cho 1, ' 0K K  ) với số mũ  nhỏ hơn có thể đạt được từ chứng minh trực tiếp Bổ đề 1.4 bắt đầu với (1.11) và kết hợp với (1.15), trong trường hợp này bất đẳng thức (1.17) không cần phải sử dụng tới. 2. Phản ví dụ chỉ ra rằng Bổ đề 1.4 và Định lý 1.6 không đúng với số mũ   1 2 2 1K K    khi 1K  và 0K  , đó là với 1  . Tuy nhiên nếu một ánh xạ thỏa mãn (1.8) với 1K  , nó cũng thỏa mãn bất đẳng thức đó với giá trị lớn hơn của K và kết quả tương ứng trong Bổ đề 1.4 và Định lý 1.6 khi áp dụng với số mũ  tùy ý gần đến 1. 3. Nếu  bị chặn và được phủ và bởi N đĩa đường kính 2 d , chứng minh ta thấy Định lý 1.6 vẫn đúng với giả thiết yếu hơn p M , với hằng số C trong (1.20) cũng phụ thuộc vào N và do đó phụ thuộc vào đường kính của  . 4. Đánh giá toàn cục. Nếu w p iq  là  , 'K K  á bảo giác trong miền 1C của  và  1w C  thì Định lý 1.6 được mở rộng cho đánh giá tiên nghiệm Holder toàn cục cho w . Đặc biệt nếu w M và 0p  trên  khi đó w thỏa mãn một điều kiện Holder toàn cục với hệ số và số mũ Holder chỉ phụ thuộc vào , 'K K , M và  . Để chứng minh, đặt  là hợp hữu hạn các cung chồng lên nhau mà được duỗi thẳng bằng một đồng phôi 1C phù hợp    , ,x y   được xác định trong lân cận của cung. 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Hàm w là bảo giác trong biến số  ,  với hằng số , 'K K phụ thuộc vào , 'K K và  . Bằng phản xạ qua 0  để    , ,p p      và    , ,q q     trong mặt phẳng mở rộng  ,  , áp dụng đánh giá trong phần trước hàm p iq được định nghĩa là  , 'K K  á bảo giác. Quay lại mặt phẳng  ,x y ta thu được đánh giá Holder cho w trong  ; đó là    1 2 1 2 1 2, ,w z w z C z z z z    , trong đó  , ',K K   và  , ', ,C C K K M  . Nếu p p trên  với  1p C  và 1, p M   , thì xét p p trong vị trí của p , ta thấy w cũng thỏa mãn với đánh giá toàn cục, với , C phụ thuộc vào , ', , 'K K M M và  . 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Chương 2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 2.1 Đánh giá địa phương đối với chuẩn Holder cho đạo hàm cấp một của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai Những kết quả phần trước sẽ được áp dụng để thu được đánh giá Holder cho các nghiệm của đạo hàm cấp một của phương trình elliptic đều. (2.1) 2xx xy yyLu au bu cu f    , với , , , a b c f được xác định trong miền  của mặt phẳng  ,z x y . Ký hiệu    , =z z    là giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận các hệ số thỏa mãn (2.2)      2 2 2 2 2 2 22 , , ;a b c                  và giả sử L là elliptic đều trong  , tức là: (2.3) .    18Số h