Luận văn Phương trình parapolic liên kết với một bài toán Cauchy cho một phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH __________________________ Nguyễn Trần Quang Vinh Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS. Nguyễn Thành Long về sự hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Thầy TS. Trần Minh Thuyết đã có những nhận xét, chỉ bảo, và những góp ý hết sức quan trọng trong quá trình thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, cùng các Quý Thầy trong hội đồng đã dành cho tôi thời gian, công sức để đọc và có những góp ý sâu sắc cho bản luận văn. Xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Thị Phương Ngọc đã có những nhận xét và chỉ bảo trong quá trình tôi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn các Quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích khóa 17, cũng như các anh chị và các bạn trong nhóm xemina do các Thầy hướng dẫn tổ chức đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh An Giang, trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Thầy ThS. Nguyễn Đình Phùng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này. Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này. NGUYỄN TRẦN QUANG VINH DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU - a.e. : hầu hết. i.e. : nghĩa là. -  0,1  ,  0,TQ T  . -    0 [0, ] [0, ]C T C T là không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, ].T -  0,TD là tập hợp các hàm số khả vi vô hạn lần và có giá compact trong  0,T . -  0,TD là không gian đối ngẫu của  0,TD hay là không gian các hàm phân bố trên  0,T . -  ;X Y L { :f X Y f tuyến tính, liên tục}. - X ↪Y : phép nhúng liên tục từ không gian X vào không gian Y . - ( ) { : | ( ) | }p p pL L v v x dx        với 1 p  . -     : : . .L L v M v x M a e x        . - || ||X dùng để chỉ chuẩn trên không gian X. - || || chuẩn trong không gian  2L  . - Hàm đặc trưng   1 , 0 . A x A x x A      neáu neáu - Ký hiệu ( )u t , ( ) ( ) ( )tu t u t u t    , ( ) ( )xu t u t , ( ) ( )xxu t u t  , lần lượt để chỉ ( , ),u x t ( , ) u x t t   , ( , ) u x t x   , 2 2 ( , ) u x t x   . Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN  ©  Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình parabolic phi tuyến       0 ( , ) , ( , ) ( , ) , 0 1, 0 , t u u h x t u x t u f x t u k t u x d t x x x t T                            (1.1) liên kết với điều kiện biên (0, ) (0, ) (0, ) 0, (1, ) (1, ) (1, ) 0, 0 , u t h t u t x u t h t u t t T x           (1.2) và điều kiện đầu  0( ,0) , 0 1,u x u x x   (1.3) trong đó, các hàm số 0, , , ,f k h u  và các hằng số ,  được cho trước. Bài toán (1.1) – (1.3) có liên quan đến bài toán khuếch tán trong hóa học (xem [5] - [8] và các tài liệu tham khảo trong đó) mà mấu chốt vấn đề về mặt toán học dẫn đến bài toán sau. Cho  0,1  , ta đặt  0, , 0.TQ T T   Tìm cặp hàm  ,u v thỏa bài toán sau:  1 0 ( , ) , , 0 1, 0 , (0, ) (0, ) (0, ) 0, 0 , (1, ) (1, ) (1, ) 0, 0 , ( ,0) ( ), 0 1, u u h x t u F u v x t T t x x u t h t u t t T x u t h t u t t T x u x u x x                                  (1.4)  2 0 , , 0 1, 0 , ( ,0) ( ), 0 1, v F u v x t T t v x v x x             (1.5) trong đó,    0 0( , ), ,h x t u x v x  cho trước, các số hạng    1 2, , ,F u v F u v có dạng cụ thể     1 1 2 3 4 2 1 2 3 , , , , 0, 0, 1, 2,3.i i F u v u v uv F u v u v i                       (1.6) Ta xem (1.5) như là phương trình vi phân thường 3 1 2 0 , 0 1, 0 , ( ,0) ( ), 0 1. v v u x t T t v x v x x                  (1.7) Giải phương trình này, ta được       3 0 3 1 2 0 ( , ) exp exp ( , ) t v x t t v x u x d                        13 3 0 2 3 3 0 exp exp 1 exp ( , ) t t t v x u x d                               1 3 3 0 2 3 3 0 1 exp exp exp ( , ) . t t t v x t u x d                     Đặt        1 3 3 0 3 , 1 exp exp ,A x t t t v x                 3 0 , exp ( , ) t B x t t u x d      . Ta viết lại  1 ,F u v dưới dạng           1 1 2 3 2 4 2 1 3 2 4 3 2 4 2 ,F u v u A B u A B A A u u B                           (1.8)        1 0 , ( , ) , ( , ) , t F u v f x t x t u u k t u x d          (1.9) trong đó      11 3 3 3 0 3 ( , ) 1 exp expf x t t t v x                     , (1.10)        12 4 3 3 0 3 , 1 exp expx t t t v x                      , (1.11)      3exp , 0,k t t t T   , (1.12) 3 2 4 20, 0         . (1.13) Thay  1 ,F u v vào (1.4) ta thu được bài toán (1.1) – (1.3). Bài toán (1.1) – (1.3) có nhiều ý nghĩa trong khoa học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây (xem thêm [5] - [10]). Trường hợp ( , ) 1, 0,x t   bài toán (1.1) – (1.3) đã được nghiên cứu trong [3] - [4]. Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Chương 1: Phần mở đầu tổng quan về bài toán (1.1) – (1.3), chỉ ra các kết quả mà các tác giả khác đã khảo sát trước đó, đồng thời nêu tóm tắt các chương mục sẽ trình bày trong luận văn. Chương 2: Nhắc lại một số kết quả cần thiết cho việc trình bày luận văn. Chương 3: Khảo sát về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) với các giả thiết 20 ( ),u L  2 ( ),Tf L Q , ( ),Th L Q  1(0, ).k H T Trong chương này chúng tôi sử dụng các phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và về tính compact. Chương 4: Với điều kiện đầu 10 ( ),u H  ( ),TL Q    0, 0,x t   1( ),Th C Q 2 ( ),Tf L Q 1(0, ),k H T luận văn chứng tỏ nghiệm thu được của bài toán (1.1) – (1.3) có tính trơn tốt hơn, cụ thể là       1 2 2 10, ; 0, ; 0, ;u L T H L T H C T H   , 2 ( ).t Tu L Q Chương 5: Với điều kiện đầu 20 ( ),u L   0 0u x  , a.e. x , cùng với một số điều kiện khác, tính không âm của nghiệm bài toán (1.1) – (1.3) cũng được khảo sát. Cuối cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  ©  Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn một số không gian hàm sử dụng trong luận văn. Một số bổ đề, định lý quan trọng sẽ được sử dụng trong các đánh giá về sau của luận văn. 2.1. Không gian Hilbert  1H  : Cho  0,1 ,  ta định nghĩa  2L  là không gian Hilbert đối với tích vô hướng       1 2 0 , , , .u v u x v x dx u v L      (2.1) Ký hiệu   để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1), nghĩa là     1 1 2 2 2 0 , , .u u u u x dx u L              (2.2) Ta định nghĩa không gian Sobolev  1H  : 1 2 2( ) { ( ) : ( )},xH u L u L      (2.3) trong đó xu được hiểu là đạo hàm theo nghĩa phân bố. Ta trang bị  1H  tích vô hướng 1 1 1 0 , , , [ ( ) ( ) ( ) ( )] , , .x x x xHu v u v u v u x v x u x v x dx u v H           (2.4) Khi đó 1 1( )H H  là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (2.4). Ký hiệu 1|| ||H để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.4), nghĩa là  1 1 1 1 2 2 2 1 0 , ( ) ( ) , .xH Hv v v v x v x dx v H              (2.5) Khi đó ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.1 Phép nhúng 1H ↪ 0 ( )C  là compact và  0 1 2 , C H v v      với mọi 1v H . (2.6) Bổ đề 2.1.2 Đồng nhất không gian 2L với  2L  (đối ngẫu của không gian 2L ). Khi đó ta có 1H ↪ 2 2( )L L  ↪ 1( )H  , với các phép nhúng liên tục và trù mật. 2.2. Không gian  0, ;pL T X : Cho X là không gian Banach thực. Ký hiệu (0, ; )pL T X , 1 ,p   là không gian các lớp hàm tương đương chứa hàm : (0, )u T X sao cho - 0 ( ) , T p Xu t dt    nếu 1 .p   - 0 : ( ) ,XM u t M    a.e. (0, ),t T nếu .p   Trên (0, ; ), 1pL T X p   , ta trang bị chuẩn như sau: - 1 (0, ; ) 0 ( ) ,p T p p XL T X u u t dt            nếu 1 .p   - (0, ; ) 0 sup ( ) XL T X t T u ess u t        inf 0 : ( ) , a.e. (0, )XM u t M t T     nếu .p   Chú ý rằng nếu ( )pX L  thì (0, ; ) ( (0, ))p pL T X L T  . Khi đó ta có các kết quả sau đây mà chứng minh có thể tìm trong Lions [11]. Bổ đề 2.2.1 Với 1 p   , thì  0, ;pL T X là không gian Banach. Bổ đề 2.2.2 Gọi X  là không gian đối ngẫu của X và 1 1 1, 1 p p p       . Khi đó     0, ; 0, ;p pL T X L T X   là đối ngẫu của  0, ;pL T X . Hơn nữa, nếu X phản xạ thì  0, ;pL T X cũng phản xạ. Bổ đề 2.2.3     1 0, ; 0, ;L T X L T X  . Hơn nữa các không gian  1 0, ; ,L T X  0, ;L T X  không phản xạ. 2.3. Phân bố có trị vectơ: Định nghĩa 2.3.1 Cho X là một không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ  0,TD vào X gọi là một phân bố có giá trị trong X . Tập các hàm phân bố có giá trị trong X ký hiệu là  0, ;T XD .     0, ; 0, ; .T X T X D DL Định nghĩa 2.3.2 Cho  0, ;u T XD . Ta định nghĩa đạo hàm du dt theo nghĩa phân bố của u bởi công thức  , , , 0, . du d u T dt dt         D (2.7) Nhận xét: i/ Cho  0, ;pv L T X . Ta làm tương ứng nó bởi ánh xạ  : 0,vT T XD như sau:       0 , , 0, , T vT v t t dt T       D (2.8) thì  0, ;vT T XD . ii/ Ánh xạ vv T là một đơn ánh, tuyến tính từ  0, ; pL T X vào  0, ;T XD . Do đó ta có thể đồng nhất vT v . Khi đó ta có kết quả sau mà chúng ta có thể tham khảo trong Lions [11], Chipot [9]. Mệnh đề 2.3.3 Nếu ,X Y là hai không gian Banach sao cho X ↪Y là phép nhúng liên tục, thì  0, ;T XD ↪  0, ;T YD , và  0, ;pL T X ↪  0, ; .pL T Y Bổ đề 2.3.4  0, ;pL T X ↪  0, ;T XD với phép nhúng liên tục. Bổ đề 2.3.5 Nếu  0, ;pu L T X và  0, ; ,p u L T X t     1 p   , thì có thể đồng nhất u với một hàm liên tục trên [0, ]T lấy giá trị trong X . Bổ đề 2.3.6 (Bổ đề về tính compact của Lions) Cho ba không gian Banach 0X , X , 1X với 0X ↪ X ↪ 1X là các phép nhúng liên tục sao cho: (i) 0 1,X X là phản xạ, (ii) Phép nhúng 0X vào X là compact. Với 0 , 1 , 0,1iT p i     , ta đặt  0 10 1(0, ) (0, ; ) : (0, ; )p pW T v L T X v L T X   Khi đó không gian (0, )W T là một không gian Banach với chuẩn 0 1 10 (0, ) (0, ; )(0, ; )p pW T L T XL T X v v v       (2.9) Hơn nữa, nếu 0 , 1 , 0, 1,iT p i       thì phép nhúng (0, )W T vào 0 (0, ; )pL T X là compact. 2.4. Không gian  1H a,b;V,V' Cho V ↪H ↪V  các phép nhúng là liên tục, V trù mật trong ,H ,a b . Ta đặt       1 2 2, ; , 0, ; 0, ; .tH a b V V u L T V u L T V    (2.10) Khi đó ta có các kết quả sau đây mà chứng minh có thể xem trong Chipot [9]. Định lý 2.4.1  1 , ; ,H a b V V  là không gian Hilbert với chuẩn    2 2 2 2 2 1 0, ; 0, ; .tL T V L T Vu u u        (2.11) Định lý 2.4.2 Lấy  1 , ; ,u H a b V V  , thì có thể đồng nhất u với một hàm liên tục trên  ,a b lấy giá trị trong H . Hơn nữa  1 , ; ,H a b V V  ↪   , ;C a b H . Định lý 2.4.3 Nếu  1 , ; ,u H a b V V  , thì với mọi v V       , , trong 0, .t d u v u v T dt      D (2.12) 2.5. Một số định lý quan trọng: Định lý 2.5.1 Cho  là tập mở bị chặn trong n và  , pmf f L  , 1 p   , sao cho     , . . pm L m f C const m f f a e          Khi đó mf f yếu trong   pL  . Chứng minh định lý 2.5.1 có thể xem trong Lions [11], trang 12. Định lý 2.5.2 Cho  mở, bị chặn của n có biên đủ trơn. Cho 1u H thì 1, 2 u u u H    1 2 u u u H    . Hơn nữa  0 , 1,..., i i u u u i n x x          (2.13)  0 , 1,..., i i u u u i n x x          (2.14) với  0u  ,  0u  lần lượt là hàm đặc trưng của tập  0u     : 0x u x  ,     0 : 0u x u x    . Hai định lý biểu diễn dưới đây rất thông dụng và có trong hầu hết các sách, chẳng hạn xem Lions [11], Chipot [9]. Định lý 2.5.3 (Định lý biểu diễn Riesz – Fréchet) Cho H là không gian Hilbert, H  là không gian đối ngẫu của .H Khi đó, mọi H  thì tồn tại duy nhất f H sao cho  , , ,v f v v H     , (2.15) trong đó  ,  là tích vô hướng của H. Định lý 2.5.4 (Định lý Lax – Milgram) Cho H là một không gian Hilbert thực. Giả sử  ,a u v là một song tuyến tính trên H sao cho (i) a là liên tục, i.e. tồn tại một hằng số 0C  sao cho  , , , ,H Ha u v C u v u v H      (2.16) (ii) a là cưỡng bức, i.e. tồn tại hằng số 0    2, , .Ha u u u u H    (2.17) (Ký hiệu H  là chuẩn trong H ứng với tích vô hướng  ,  ) Khi đó với mọi ,f H  có duy nhất u H  , , , .a u v f v v H     (2.18) Định lý 2.5.5 (Định lý Ascoli – Arzela) Cho 0T  , ký hiệu   0, ; mX C T  là không gian Banach các hàm liên tục  : 0, mf T  đối với chuẩn    1 [0, ] 1 sup , ,..., . m j mX t T j f f t f f f X      Định lý Ascoli – Arzela Giả sử Y X thỏa: i) Y bị chặn đều, tức là 0 : , .XM f M f Y      ii) Y liên tục đồng bậc (đẳng liên tục), tức là       1 0, 0 : , 0, , sup . m j j f Y j t t T t t f t f t                 thì Khi đó Y compact tương đối trong .X Định lý 2.5.6 (Định lý Schauder) Cho X là một tập lồi, đóng, khác trống và bị chặn trong không gian Banach E và T là một ánh xạ compact từ X vào X. Khi đó T có một điểm bất động trong X. Định lý 2.5.7 (Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử  : 0,f T  là hàm khả tích, không âm trên  0,T và thỏa bất đẳng thức    1 2 0 , t f t C C f d    a.e.  0, ,t T trong đó 1 2,C C là các hằng số không âm. Khi đó    1 2exp ,f t C C t a.e.  0,t T . Chương 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM  ©  Với mỗi *(0, ]T T , *T   cố định, bài toán đặt ra: Tìm u sao cho       0 ( , ) , ( , ) ( , ) , 0 1, 0 , t u u h x t u x t u f x t u k t u x d t x x x t T                            (3.1) (0, ) (0, ) (0, ) 0, (1, ) (1, ) (1, ) 0, 0 , u t h t u t x u t h t u t t T x           (3.2)  0( ,0) , 0 1.u x u x x   (3.3) Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (3.1) - (3.3). Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact. Ta thành lập các giả thiết (A1)  20u L  , (A2)  *, Th L Q  , (A3)  *2 Tf L Q , (A4)  1 *0,k H T , ,  là hằng số dương. Định lý 3.1 Giả sử rằng các giả thiết (A1) – (A4) đúng. Khi đó, tồn tại hằng số *(0, ]T T sao cho bài toán (3.1) - (3.3) có duy nhất một nghiệm yếu    2 2 10, ; 0, ;u L T L L T H  , 2 1(0, ; ( ) )tu L T H  . Tức, u là nghiệm của bài toán biến phân           0 , ; ( ), ( ), , td u t v a t u t v f t v u k t u d v dt                (3.4)   1trong 0, , ,T v H  D 0(0) ,u u  (3.5) trong đó    ; , ( ) , ,a t u v u h t u v t u v        . Chứng minh định lý 3.1 Trước hết ta có bổ đề sau liên quan đến dạng song tuyến tính a. Bổ đề 3.2 Tồn tại ba hằng số M ,  , 0  , sao cho (i)    1 1 1; , , , , a.e. 0, ,H Ha t u v M u v u v H t T       (3.6) (ii)    12 2 1; , , , 0, .Ha t u u u u u H t T         a.e. (3.7) Chứng minh bổ đề 3.2 Chứng minh (i). 1,u v H  , a.e.  0, ,t T ta có      * *; , T TL Q L Q a t u v u v h u v u v                         1 1* * 1 T T H HL Q L Q h u u                   1 1 .H HM u v     (3.8) Chứng minh (ii). 1,u v H  ,  0, ,t Ta.e. ta có      * * 2 2; , T T L Q L Q a t u u u h u u u                     * * 2 2 2 21 2 2T TL Q L Q u h u u u                             1 2 2 , H u u      trong đó  * 1 , 2 TL Q h        (3.9)      * * * 1 1 . 2 2T T TL Q L Q L Q h h                 (3.10) Chọn 0  sao cho  * 1 0 2 TL Q h        , và do đó 0.  Bổ đề 3.2 được chứng minh. Chứng minh định lý 3.1 gồm các bước Bước 1: Xấp xỉ Galerkin. Lấy một cơ sở  jw đếm được của 1H . Ta tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin của bài toán (3.1) - (3.3) dưới dạng   1 ( ) m m mj j j u t c t w    , (3.11) trong đó,  mjc t là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường sau    , ; ( ), ( ),m j m j ju t w a t u t w f t w      (3.12)      0 ( ) , , t m m ju t k t u d w           00mj mjc c ,   00m mu u , 1 j m  , 00 0 1 m m mj j j u c w u     mạnh trong 2L , khi m  . (3.13) Ta sẽ kiểm tra hệ (3.12) - (3.13) có nghiệm mu trên  0, mT . Bằng cách thay (3.11) vào (3.12), ta được       1 1 , ; , m m mi i j mi i j i i c t w w c t a t w w       (3.14)        0 ( ), , . t j m m jf t w u t k t u d w            Viết lại (3.14) ta được         m m mDc t A t c t F c t  , (3.15) trong đó   , , 1, : ,ij ij i jD d i j m d w w     ,         , , 1, : ; ,ij ij i jA t a t i j m a t a t w w   ,        , 1, :m j mF c t F c t j m            0 ( ), , t j m j m m jF c t f t w u t k t u d w            ,       1 ,...,m m mmc t c t c t . Do ma trận D là khả đảo nên ta viết (3.15) lại như sau         1 1 ,m m mc t D A t c t D F c t    (3.16) Tích phân theo t ta được         0 1 1 0 0 . t t m m m mc t c D A c d D F c d          (3.17) Để cho gọn trong việc ký hiệu, ta có thể bỏ qua chỉ số m của mjc . Ta ký hiệu mjc , 0 mjc ,  mc t lại lần lượt là jc , 0 jc ,       1 ,..., mc t c t c t . Khi đó (3.17) được biểu diễn thành hệ sau                * 1 1 0 0 0 , 0 , . t t c t U c t t T U c t c D A c d D F c d                  (3.18) Bổ đề 3.3 Giả sử các giả thiết (A1) – (A4) đúng. Khi đó, tồn tại 0mT  , * mT T sao cho hệ (3.18) có nghiệm       1 ,..., mc t c t c t . Chứng minh bổ đề 3.3 Với mỗi 0mT  , 0  ta đặt  [0, ]; ,mmX C T   : ,XS c X c     trong đó chuẩn       1 1 0 1 sup , . m m X j t T j c c t c t c t       Dễ thấy S là tập con lồi, đóng và bị chặn trong .X Ta ký hiệu chuẩn tự nhiên của ma trận cấp m tương ứng với chuẩn vector 1  là:   1 1 10 11 sup max , , , 1, . m ij j mc X i ij Ac A a c A a i j m              (3.19) i) Chứng minh :U X X liên tục: - Lấy c X , ta chứng minh  U c X : Do  1 *0,ija L T nên      1 0,ij j ma c L T   . Ta suy ra       1 1 0, .