Luận văn Phương trình tích phân của hàm có giá trị vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trần Văn Trí PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh-2009 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình chỉ bảo, góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô, những người đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong hai năm học cao học vừa qua. Xin chân thành cảm ơn. Học viên Trần Văn Trí DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU  1,2,...  0    0;   MỞ ĐẦU Trong luận văn này tôi xét sự tồn tại nghiệm và tính chất compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến có dạng                1 21 2 0 0 , , , , t t x t t f t s x s ds K t s g s x s ds         ,t0 (*) trong đó    , : 0; 0;i i     , i=1,2;  2: 0;f E E   ,  : 0;g E E   ,  2: 0; ( , )K L E E  . E là không gian Banach thực với chuẩn . , L(E,E) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E. Phương trình (*) đã được khá nhiều nhà toán học quan tâm, bên cạnh việc chứng minh sự tồn tại nghiệm việc khảo cứu cấu trúc của tập nghiệm cũng được đề cập chẳng hạn như: Trường hợp E = và hàm 1( , , ( )) ( , ) ( ( ))f t s x s v s t x s , Avramescu  6 đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình             1 21 2 0 0 ( , ) ( ( )) , , t t x t t v s t x s ds K t s g s x s ds         , 0t  (**) Trường hợp E là không gian Banach thực Hóa, Ngọc  8 đã chứng minh tập nghiệm của phương trình          0 0 , , ( ) , t t x t t f t s x s ds g s x s ds    , t0 (***) là khác rỗng, compact, liên thông. Với các kỹ thuật và ý tưởng tự như trong  7 ,  8 tôi sẽ chứng minh tập nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact liên thông với các giả thiết của hàm f, g nhẹ hơn trong  6 , 7 , 8 . Kết quả chính của luận văn này được trình bày ở định lí 3.1, định lí 3.2. Cụ thể như sau Ở chương 1 gồm các định lí mà các kết quả của nó dùng trong các chứng minh ở chương 2 và chương 3 gồm các định lí 1.2, định lí 1.3, định lí 1.6, định lí 1.8, định lí 1.9. Ở chương 2 : có hai vấn đề Một là sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach và kết quả chính là định lí 2.1.5. Hai là định lí Krasnoselskii-Perov nói về tính chất của tập nghiệm Ở chương 3 chứng minh tập nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact, liên thông. Việc chứng minh dựa vào hai định lí 2.1.5 và định lí 2.2. Kết quả chính của chương và của luận văn là định lí 3.1 và định lí 3.2. Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa1.1: 1 Cho X,Y là hai không gian Banach. Ánh xạ :f X Y được gọi là lipsit địa phương nếu: với mọi 0x X , tồn tại lân cận V của 0x và một hằng số k (không phụ thuộc 0x ) sao cho    , , , , ,f x f x k x x x x V     . Định lí 1.2: 1 Cho E, F là hai không gian Banach, D là tập con mở của E và ánh xạ liên tục :f D F . Khi đó với mỗi  tồn tại ánh xạ Lipschitz địa phương :f D F  sao cho ( ) ( ) ,f x f x x D     và ( ) of D c  ( )f D . Chứng minh: Với x D ,đặt x / ( ) ( ) 2y D f x f y         thì xx DD   Gọi  ,V   là phủ mở của D, được gọi là phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn của phủ  ,x x D  sao cho: + x D  , tồn tại lân cận V(x) thỏa mãn : ( )V x V   chỉ với một số hữu hạn  . + Với mỗi  tồn tại x D để xV  . Với  xác định : Dla  định bởi: 0 khi x V (x) (x, V ) khi x V l l ì Ïïïa =ír ¶ Îl ïï lî trong đó { }(x,A) inf x - y , y Ar = Î . Đặt 1 (x) (x) (x),x D - l m l mÎL æ ö÷çf = a a Î÷ç ÷çè øå Ta có 0 x-y khi x, y V (x) (y) (x, V ) x-y khi x V , y V (x, V ) (y, V ) x-y khi x,y V l l l l l l l l l ì £ Ïïïïïa -a = r ¶ £ Î Ïíïïïr ¶ -r ¶ £ Îïî Vậy la lipsitz trên D. Do  ,V   là phủ mở hữu hạn địa phương nên chỉ có hữu hạn m ÎL sao cho x VmÎ và như vậy chỉ có hữu hạn m ÎL sao cho (x) 0ma > . Vậy (x)lf hoàn toàn xác định. Hơn nữa (x)lf =0 nếu x VmÏ và lf lipsitz địa phương.Với mỗi lÎL , chọn a V Dl lÎ Ç Định nghĩa      f x x f a     . Ta thấy    1, 0x x      nên  f x  ( )cof D . Khi đó f là lipsit địa phương trên D. Với mỗi x D , tồn tại  để x V và tồn tại 'x D để ,xV  Khi đó ,, xx a V    nên  ( )f x f a   . Vậy                  f x f x x f a f x x f a x f x                       x f a f x      với mọi x D . Định lí 1.3: 7 A là tập đóng khác rỗng của không gian mêtric X , Y là không gian định chuẩn. Toán tử :f A Y liên tục. Khi đó tồn tại ánh xạ liên tục :F X Y sao cho : a)    oF X c f A . b)  ( ) ,f x F x x A   . Định nghĩa 1.4: 9 Xét  , ,  là một không gian độ đo. X,Y là hai không gian Hausdorff. Hàm :f X Y  gọi là hàm Carathéodory nếu thỏa các điều kiện sau: i) Với mọi x X hàm  ,t f t x là  , ( )B Y đo được với B(Y) là  -đại số Borel của Y. ii) Với mọi t hàm  ,x f t x liên tục. Đặt ( )( ) ( )( ),gN x t g t x t= . Nhận xét: Nếu X là một không gian metric khả li ( separable metrizable space) và Y là không gian metric thì hàm  , ( , )z x f z x là  B X -đo được. Hơn nữa f là đồng độ đo (sup-measurable), nghĩa là mọi hàm đo được :u X thì hàm ( , ( ))z f z u z là đo được (Denkowski, Migorski & Papageorgiou). Trong mục sau, nếu không có chú thích gì thì chúng ta xét  , ,  là một không gian độ đo nonatomic,  -hữu hạn, đầy đủ ( trong các áp dụng thường sử dụng  là một tập con của n với độ đo Lebesgue) và X,Y là hai không gian Banach khả li (separable Banach spaces). Mệnh đề 1.5: 9 Nếu :h X +W´   là một hàm Carathéodory, thỏa các điều kiện sau: ( ),0 0 zh z = " ÎW và ( ) ( ) ( ) ,r r ph LN u c u L XW £ " Î W ,với c >0 thì ( ) 0 k 1kEm = " ³ ở đây ( ): sup , 1. X k x k E z h z x k £ ì üï ïï ï= ÎW =+¥ " ³í ï ïï ïî  Chứng minh: Giả sử tồn tại 1k ³ sao cho ( ) 0kEm ¹ . Bỡi vì không gian độ đo nonatomic, s -hữu hạn, chúng ta có thể lấy kB Îå sao cho k kB EÍ và ( )0 kBm< <+¥ . Với mọi kz BÎ , đặt ( ) ( ) ( ) 2: , , . r k X k cS z x X x k h z x Bm ì üï ïï ï= Î £ >í ï ïï ïî  Hiển nhiên ( ) z Bk kS z f¹ " Î , và ( ) ( )k kGrS B B XÎ åÇ ´ , với B(X) là s -đại số Borel của X. Chúng ta áp dụng định lí chọn Yankov-von Neumann-Aumann và thu được một ánh xạ ( )( ), B Xå -đo được :k ku B X sao cho ( ) ( ) k k ku z S z z BÎ " Î . Chúng ta mở rộng ku lên W bằng cách đặt ( ) 0ku z = nếu \ kz BÎW . Vì ( ),0 0 zh z = " ÎW và ( ),pku L XÎ W , ta có ( )( ) ( )( ), , 2 k r r r k k B h z u z d h z u z d cm m W = >ò ò Mâu thuẫn giả thiết.Vậy có điều phải chứng minh. Định lí 1.6: 9 Nếu :f X Y  là một hàm Carathéodory, p,r   ;1 và fN : ),(),( YLXL rp  thì fN liên tục, bị chặn (nghĩa là biến tập bị chặn thành một tập bị chặn) hơn nữa tồn tại 0),(  aLa r và c > 0 sao cho r p XY xczaxzf  )(),( (hầu khắp nơi z ). Chứng minh: Ta chứng minh fN liên tục Lấy   ),(1 XLu pnn  sao cho uun  trong ),( XLp  . Đặt  Xg :  định nghĩa như sau: ( , ) ( , ( )) ( , ( )) r Y g z x f z x u z f z u z   . Chúng ta lấy dãy con   1knku của   1nnu sao cho: ( , ) 1 , 1 2pk p n kL X u u k    và ( ) ( ) kn u z u z hầu khắp nơi z Đặt uuv knk  1k . Ta có 0)( zvk hầu khắp nơi z và 0))(,( zvzg k hầu khắp nơi z khi k . Bỡi vì ( )( , ) 0 , ,g z x z x X³ " ÎW´ và 0)( zvk hầu khắp nơi z Chúng ta tìm )(zk  , sao cho   ( ) 1 sup ( , ( )) ( , ( ))k k z k z g z v z g z v z    . Đặt )()(ˆ )( zvzv zk . Khi đó  là đo được và hàm )(ˆ zvz  å -đo được. Hơn nữa,ta có          1 ),(1 ),( 1 )(sup)(ˆ k p XLn k p XLk p Xk k p X pkp uuvdzvdzv  . Do vậy ˆ ( , )pv L X  . Từ định nghĩa của g và giả thiết thì gN là ánh xạ từ ),( XLp  vào ),( XLr  chúng ta suy ra rằng  )((.))ˆ(., 1Lvg . Khi đó 1,)),(ˆ,())(,(  kzzvzgzvzg k và 0))(,( zvzg k hầu khắp nơi z theo định lí hội Lebegues, chúng ta có 0))(,(   dzvzg k . Do đó )()( xNxN fnf k  trong );( YLr  . Nên mọi dãy con của   1 )( nnf xN hội tụ đến )(xN f trong );( YLr  . Vậy )()( xNxN fnf  trong );( YLr  . Do đó ),(),(: YLXLN rpf  là liên tục. Ta chứng minh fN bị chặn: cho ),( XLu p  Đặt ))(,())(,(),(ˆ zuzfzuxzfxzf  . Hiển nhiên fˆ là hàm Carathéodory và fN ˆ là ánh xạ từ ),( XLp  vào ),( YLr  và 0)0,(ˆ zf z . Không mất tính tổng quát ta giả sử 0)0,( zf z Vì fN liên tục tại 0, nên tồn tại 0 , sao cho: ( , )( , ) ( ) 1, prf L XL YN u u     . Lấy tuỳ ý ),( XLu p  và chọn 1,n n³ Î sao cho: pp XL n nun p  )1(),(   . Ta viết k n k    1 1  là hợp của các khoảng rời nhau sao cho  1,...,1, ),(  nku pp XL kp  . Khi đó, ta có 11))(,())(,( ),( 1 1           p XL n k r Y r Y p k u ndzuzfdzuzf  , chứng tỏ fN là bị chặn.  Ta chứng minh tồn tại 0),,(  aXLa p và c>0 sao cho: r p XY xczaxzf  )(),( . Vì fN bị chặn nên ta tìm được số c>0, sao cho : 1,)( ),(),(   XLXLf pp ucuN (1) Đặt h: X  được định nghĩa      rp XY xcxzfxzh ),(),( . Sử dụng bất đẳng thức   212121 ,   rrr . Khi đó, ta có p X rr Y r xcxzfxzh  ),(),( khi 0),( xzh . (2) Lấy ),( XLu p  và đặt C= 0))(,(:  zuzhz thì chúng ta tìm 1,n n  và  1;0 sao cho:   ndzu C p X )( . Chúng ta viết: k n k CC 1 1     là hợp của các khoảng rời nhau sao cho:    kC p X nkdzu 1,...,1,1)(  . Như trên, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử  zzf ,0)0,( và do (1) ta có      1 1 )1())(,())(,( n k C rr Y C r Y k cndzuzfdzuzf  (3) Theo (2) và (3) ta có   );(,)(1))(,( XLuccncndzuzh prrrr    (4) Theo mệnh đề 1.5 : sup ( , ) 0 1 Xx k z h z x km £ æ öì üï ïï ï÷ç ÎW =+¥ = " ³÷í ç ÷ç ÷ï ïè øï ïî  (5) Vì giả thiết không gian độ đo là  -hữu hạn,chúng ta có thể tìm   1kkD sao cho k k D    1  và 1,)(  kDk . Lấy kDz , đặt       ),(1),(sup,),(sup,:)( xzh k xzhxzhkxXxzV kxkx Xk XX . Bởi vì (5) nên ( )kV z  hầu khắp nơi z . Nhưng khi đó ta cũng có   )(XBDGrV kk   , với kGrV = ( ){ }, : ( )kx x X X x V x* * *Î ´ Î . Áp dụng định lí chọn Yankov-von Neumann – Aumann ta chọn được một ánh xạ  , ( )B X - đo được XDv kk : sao cho: kkk DzzVzv  ),()( . Mở rộng kv lên  bằng cách đặt \ 0kkv    . Đặt ( ) sup ( , ) x X a z h z x Î = Bởi vì h là hàm Carathéodory và X khả li, a là đo được. Chúng ta cũng có )())(,(1),(sup zazvzh k xzh k kx X   Như vậy  zazvzh k ))(,( hầu khắp nơi z , khi k +¥ . Mà ),( XLv pk  và theo (4) ta có 1,))(,(   kcdzvzh rk r  . Khi 0h chúng ta áp dụng bổ đề Fatou’s ta được   kr dza lim)(  inf rkr cdzvzh  ))(,( . Như vậy )( rLa . Theo định nghĩa của ),( xzh ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.7: 5 Nếu X là không gian Banach, C XÌ là tập khác rỗng, đóng và :nf C X là ánh xạ compact và ( ) ( )nf x f x trong X và hội tụ đều trên tập con bị chặn của C thì :f C X là ánh xạ compact. Chứng minh: Theo giả thiết thì :f C X liên tục. Lấy B CÍ là một tập bị chặn. Khi đó với 0e> , tồn tại ( )0 0 , 1n n Be= ³ sao cho ( ) ( ) 0 n n ,2n Xf x f x x B e- < " ³ Î (1) với 0n n³ tập ( )nf B là tập compact trong X. Chúng ta lấy { } 0 1Nk kx = với ( )0 0 , 1N N n e= ³ sao cho ( ) ( ) 0 1 2 N n k k f B B xe = Í . (2) Với x BÎ , do (2) nên tồn tại { }01,...,k NÎ sao cho ( ) 2n k f x x e- < . (3) Từ (1),(3) ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( )k n n kX X Xf x x f x f x f x x e- £ - + - < , vậy ( ) ( )kf x B xeÎ . Do đó ( ) ( )0 1 N k k f B B xe = Ì . Nghĩa là ( )f B bị chặn đều, do đó nó tập compact tương đối trong X. Định lí 1.8: 5 Với mọi   1 1; ,1 , 1pu L X p p q        toán tử ( ): ;qL L R XW  cho bởi    Lh h t u t dt    là compact. Chứng minh: +Với u là hàm đơn giản, khi đó 1 i n i A i u x     với iA đo được. Ta có   1 i n i i A Lh x h t dt     . Khi đó    1: ,...,p nL L span x x  Do L là hữu hạn chiều nên compact. + Với  , ,1pu L X p     khi đó với mọi 0  tồn tại hàm đơn giản  ,pu L X   sao cho: p u u   Khi đó    L h h t u t dt     . Ta có p L L u u      . Như vậy L cho bởi công thức (1) là giới hạn của toán tử compact L và do đó nó cũng compact. Định lí 1.9: 5 Cho (S,d) là không gian metric khả li, X là không gian Banach khả li và :f S X  là hàm Carathéodory thì với mọi 0  tồn tại một tập compact    với  \     và :f S X   liên tục. Chứng minh: Bước 1: : ( , )Sf C C S X  là L-đo được. Hay mọi ( , )C S X hàm khoảng cách  ( ),St d f t  là L-đo được. Thật vậy ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), suparctan , suparctan ,S n n s S n d f t f t s s f t s sj j j Î Î = - = -  . ở đây  n ns  là một dãy tập con trong S. Nhưng do giả thiết mọi hàm    arctan , n nt f t s s  là L- đo được. Do đó ( ) ( ) ( )( )suparctan , ,n n S n t f t s s d f tj j Î  - =  là L- đo được. Bước 2: Chứng minh tồn tại tập compact  sao cho  \     và :f S X   liên tục. Đặt      : ,0 tan : ( )n S St d f t arc n t f t n     thì  n n N là một họ tăng các tập con đo được của W thỏa 1 n n      và mỗi : ( , )S nf C S X  là L- đo được. Khi đó theo định lí Lusin với mọi 0  tồn tại tập compact n nK  với  \ 2n n n K    và với mọi nÎ thì : ( , )S nf K C S X liên tục. Lấy 1 n n K     . Khi đó  là tập compact thỏa  \    < và : ( , )Sf C S X  là liên tục Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH 2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach: Nếu S là không gian metric compact và X là không gian Banach với chuẩn . . Khi đó C(S) là không gian Banach của tất cả hàm liên tục từ S vào X với chuẩn  sup s S x x s   Nếu S là không gian metric mà 1 n n S S    , 1n nS S  , 1,2....n  với nS compact và mọi tập con compact K S tồn tại nS sao cho nK S . Khi đó C(S) là không gian các hàm liên tục từ S vào X là không gian Fréchet với họ nửa chuẩn      , sup n n n s S p p x x s   và metric   1 , ( , ) 2 1 , n n n n p x y d x y p x y      Mệnh đề 2.1.1: 7 Một tập A trong C(S) là compact tương đối khi và chỉ khi với mỗi nÎ , A đẳng liên tục trên nS và tập   : , nx s x A s S  là compact tương đối trong X. Mệnh đề 2.1.2: 3 Giả sử  là tập số tự nhiên và   basqs ,:  là họ các hàm [ ): 0,sq ´  +¥  thoả mãn các điều kiện sau: i) ),(),( , nmqnmq ss  nếu ,ss  ii) ),(),(),(),( nkqkkqkmqnmq ssss  iii) Với mỗi 0 và  bas , tồn tại số 0 và số r  sao cho với  , ,,, ,s s a b và ,m n thì    , ,,, ,s sq m n q m r n r        Khi đó , lim ( , ) 0sm n q m n   ,s a b  . Chứng minh Bằng cách xét hàm    1 , , 2 s s q m n q n m   nếu cần, ta có thể coi q, là đối xứng, nghĩa là ( , ) ( , )s sq m n q n m . Đặt  ( ) max ( , ) : ,sm sM n q i m n i n n m    . Bước1:Cố định m, ta chứng minh rằng ( ){ },s ,minf M ( ) : , , 0n n s s bÎ Î = (1) Giả sử trái lại, vế trái của (1) bằng 0  .Ta chọn số 0  ,số nÎ tương ứng với  theo điều kiện iii) của định lí sao cho : , ,, ,, , , ( , ) ( , ) s s s s s q m n q m r n r          . (2) Vì vế trái của (1) bằng  nên tìm được  , , ,s s b nÎ sao cho , ( )smM n    và do đó  , ,sq j m n     ,j n n m   . Lấy  ,, ,,s s s ,ta có do (2)  ,, ,sq j r m n r     ,j n n m   Hay  ,, ,sq i m n r    ,i n r n m r     . Vậy ,, ( )smM n r   Điều này mâu thuẫn với giả sử của ta rằng vế trái của (1) bằng  . Bước 2: Cho  >0 ta chọn các số ,r theo điều kiện (ii) của định lí để có (2). Áp dụng (1) với m=r, ta tìm được ,s s và 0n Î sao cho: , 0( ) min( , )2 s rM n  (3) Lấy ,m n ta sẽ chứng minh 0( , )sq m n r   . Thật vậy, ta chọn k Î sao cho 0 0n m kr n r    (4) Từ định nghĩa của , 0( )srM n và (3),(4) ta có ,, 0 0( , ) ( )srsq m kr n r M n     . Tiếp theo, ta sử dụng điều kiện ii) của định lí và được        , , , ,0 0 0 0 0 0, , , , 2 2 s s s s q m kr n q m kr n r q n r n r q n r n                   . Từ đây và (2) ta có ,, 0( , )sq m kr r n r     với  ,, ,,s s s Lại áp dụng điều kiện ii) và i) ta được        ,, ,, ,, ,,0 0 0 0 0 0, , , ,s s s sq m kr r n q m kr r n r q n r n r q n r n              , ,0 0 0 0, , 2 2 s s q n r n r q n r n            Và do vậy, lại có thể áp dụng (2) để có ,,, 0( 2 , )sq m kr r n r     với  ,,, ,,,s s s . Lặp lại một số cần thiết lý luận như trên ta có  0 0, ,sq m n r m n    (5) Bây giờ, với 0 0,m n n n  , áp dụng (5), ta có 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 3s s s sq m n q m n r q n r n r q n r n         . Điều Kiện A 7 Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương với P là họ tách các nửa chuẩn trên X. Cho D là tập con của X và :U D X , với mỗi a X ta định nghĩa    aU x U x a  là một ánh xạ từ D vào X. Toán tử U gọi là thỏa giả thiết (A) trên tập con  của X nếu  1A với mọi  , aa U D D   2A với mọi a và mọi p P tồn tại ak +Î có tính chất ( )0, , 0 : , , , ( ( ), ( ))p p r ra a a ar x y D x y U x U ye d a e d a e" > $ Î > Î < +  < , trong đó ( , )pa x y max      , , 0,...,i ja a ap U x U y i j k  . Mệnh đề 2.1.3: 7 Cho X là không gian lồi địa phương với họ tách các nửa chuẩn P. Cho D là tập con đầy đủ theo dãy của X. Toán tử U liên tục “tựa chuẩn” trên D (nghĩa là với mọi p P và 0  , tồn tại 0  sao cho  p x y   thì     p U x U y   ). Giả sử rằng U thỏa điều kiện (A) trên tập con  của X. Thì toán tử   1I U  xác định và liên tục trên  . Chứng minh: Bước 1:Với mọi a toán tử aU có một điểm bất động duy nhất trên D, gọi ( )a , và dãy  ( )na nU x hội tụ ( )a ,với mọi x D . Thật vậy Theo điều kiện ( 2A ) thì với mọi a và p P , tồn tại k +Î sao cho 0, re" > $ Î và 0  ,  ,x y D :  ( , ) ( ), ( )r ra ax y U x U y        . Đặt q: [ )2 0;+  +¥ được định nghĩa :     ( , ) ,m na aq m n U x U y . Khi đó q thỏa mãn (i)(ii)(iii) của mệnh đề 2.1.2 nên , lim ( , ) 0 m n q m n  . Do đó   , lim ( ) ( ) 0m na am n p U x U y   . Nên với mọi ,x y D các dãy    ( ) , ( )n na an nU x U y là các dãy Côsi. Vì D đầy đủ theo dãy và U liên tục nên dãy  ( )naU x hội tụ đến điểm bất động của aU gọi là  a nghĩa là:    ( )U a a a   hoặc     I U a a  . Tiếp theo, ta thấy nếu    ,a b  là hai điểm bất động tương ứng của aU và bU và ( ) ( )a b  thì      U a a U b b    . Nghĩa là a b . Vì  là song ánh từ  vào   D   và     I U a a  với mọi a thì   1I U   hoặc   1I U   . Điều này có nghĩa là   1I U  được định ng