Luận văn Phương trình vi phân đối số lệch trong không gian banach. công thức biến thiên hằng số và dáng điệu tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH --- o0o--- Trần Trí Dũng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH. CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH --- o0o--- Trần Trí Dũng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH. CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN. Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 MỤC LỤC CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN.......................................................................1 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II ..............................1 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III..............................3 CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG : CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ – DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN .........................................................................................6 2.1 GIỚI THIỆU .................................................................................................6 2.2 PHẦN CHUẨN BỊ .......................................................................................7 2.3 CHUỖI DYSON – PHILLIPS VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HỢP THUẦN NHẤT ................................11 2.4 TRƯỜNG HỢP KHÔNG THUẦN NHẤT: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN .................................................21 CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN TÍNH – SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM- TÍNH COMPẮC LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM.........................38 3.1 GIỚI THIỆU ..............................................................................................38 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ................................................39 3.3 TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM ......................44 KẾT LUẬN ..........................................................................................................50 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................52 LỜI MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu các phương trình vi phân đối số lệch trong không gian Banach ngày càng được nhiều tác giả quan tâm. Một trong những lý do mà các nhà toán học trên thế giới mở rộng và phát triển hướng nghiên cứu này là những ứng dụng quan trọng của các phương trình vi phân đối số lệch trong nhiều lĩnh vực khác nhau như : Sinh học , Vật lý học, Sinh lý học , Kinh tế học... Những tài liệu, báo cáo và các bài báo nghiên cứu về các phương trình vi phân đối số lệch trong không gian Banach cho thấy rằng việc nghiên cứu có thể đi theo nhiều hướng khác nhau. Luận văn này xét đến lớp các phương trình vi phân đối số lệch tiến hóa (là một mô hình toán học liên hệ mật thiết đến lý thuyết tiến hóa của Sinh vật học). Nội dung luận văn được chia làm ba chương : CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CƠ BẢN. Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra các kiến thức chuẩn bị cho hai chương sau. Các khái niệm, định nghĩa và định lý trong chương này sẽ được sử dụng trong toàn bộ luận văn. CHƯƠNG II : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN. Trong chương này chúng tôi chia nội dung ra làm bốn phần. Ở phần thứ nhất, chúng tôi sẽ giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) mà chúng tôi muốn nghiên cứu. Ở phần thứ hai, chúng tôi đưa ra thêm một số khái niệm, kết quả sử dụng riêng cho chương II. Trên cơ sở đó, ở phần thứ ba chúng tôi nghiên cứu chuỗi Dyson-Phillips và dùng chúng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong trường hợp phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) ở dạng thuần nhất. Ở phần cuối cùng của chương này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nghiệm của phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) trong trường hợp không thuần nhất được xác định bởi một công thức biến thiên hằng số; từ đó chúng tôi thu được một số kết quả về dáng điệu tiệm cận của nghiệm . CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN TÍNH : SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM - TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM . Trong chương này chúng tôi chia nội dung làm ba phần. Phần đầu là phần giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số lệch nửa tuyến tính (I) là dạng mở rộng của phương trình (1.1) đã xét ở chương II. Ở phần thứ hai, với những giả thiết ban đầu thích hợp, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (I)(theo nghĩa nghiệm mạnh). Trong phần cuối cùng của chương III, sử dụng các kỹ thuật tương tự như của các tác giả trong tài liệu tham khảo [2], chúng tôi sẽ chỉ ra tập nghiệm của (I) là tập compắc và liên thông. Dù được thực hiện rất nghiêm túc và kỹ lưỡng nhưng chắc chắn bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý phê bình của các Quý Thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp. Cuối cùng cho tôi được gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn Hóa, người Thầy đã tận tình dìu dắt, hướng dẫn tôi từ lúc tôi mới bước chân vào giảng đường đại học cho đến ngày hôm nay. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Quý Thầy cô trong Hội đồng bảo vệ luận văn đã dành nhiều thời gian để đọc bản luận văn này và cho tôi nhiều ý kiến đóng góp quý báu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Quý Thầy cô phòng KHCN - SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM đã giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ tục bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè đồng nghiệp - những người luôn đứng đằng sau để động viên, cổ vũ cho mỗi bước đi của tôi trên đường đời. Thành phố Hồ Chí Minh , tháng 8 năm 2005 Người thực hiện Trần Trí Dũng Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 1 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II : •Định nghĩa 1 : Một họ các toán tử tuyến tính liên tục { } 0( ) tT t ≥ xác định trên một không gian Banach X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu : i) ( ) ( ) ( ), , 0 ;T s t T s T t t s+ = ≥ ii) (0) ;T I= iii) Với mỗi x X∈ , T(.)x là liên tục trên [0, )∞ . Ngoài ra, nếu ( )t T t6 là liên tục theo tôpô của hội tụ đều thì ta gọi họ { } 0( ) tT t ≥ là một nửa nhóm liên tục đều. •Định nghĩa 2 : Cho { } 0( ) tT t ≥ là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X . Với h > 0, ta định nghĩa toán tử tuyến tính hA xác định như sau : ( ) , .h T h x xA x x X h −= ∈ Kí hiệu D(A) là tập tất cả các x X∈ sao cho giới hạn 0 lim hh A x→ tồn tại, ta xác định toán tử A trên D(A) như sau : 0 lim , ( ) .hhAx A x x D A→= ∈ Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 2 Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn hơn là toán tử sinh) của nửa nhóm { } 0( ) tT t ≥ . Khi đó, ta có các kết quả sau đây : i) D(A) là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng trên D(A). ii) Nửa nhóm liên tục mạnh { } 0( ) tT t ≥ có một toán tử sinh là bị chặn khi và chỉ khi { } 0( ) tT t ≥ là một nửa nhóm liên tục đều. Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh : •Định lý 1 (Hille-Yosida-Phillips) : Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật. Khi đó A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh nếu và chỉ nếu tồn tại các số thực và M ω sao cho với , ta có (A)λ ω λ ρ> ∈ và *( , ) ( ) ,n nR A M nλ λ ω −≤ − ∀ ∈` trong đó 1( , ) ( ) ( ( )).R A I A Aλ λ λ ρ−= − ∈ Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng kết quả sau đây trong luận văn : •Định lý 2 : Cho { } 0( ) tT t ≥ là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X và A là toán tử sinh tương ứng. Khi đó ta có kết quả sau : lim ( , ) .R A x x x Xλ λ λ→+∞ = ∀ ∈ Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 3 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III : •Điều kiện A : Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và P là họ nửa chuẩn tách trên X. Cho D⊂X và U : D→X , với mọi a ∈ X ta định nghĩa Ua : D → X như sau : Ua(x)= a + U(x) . Toán tử U : D → X được gọi là thỏa mãn điều kiện (A) trên tập XΩ⊂ nếu : ( 1A ) Ua(D)⊂D ∀a∈Ω , ( 2A ) Với mỗi a∈Ω và p P∈ , tồn tại ak +∈Z thỏa mãn tính chất : với mọi 0ε > , tồn tại và 0 sao cho :r δ+∈ >Z với x, y ∈D , Paα (x,y) < ε δ+ thì ( ( ), ( ))P r ra a aU x U yα ε< , trong đó ( , ) max{ ( ( ) ( )), , {0, }}P i ja a a ax y p U x U y i j kα = − ∈ . •Định lý A : Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X. Cho D là tập con đầy đủ theo dãy trong X , U : D X→ liên tục đều và thỏa mãn điều kiện (A) trên tập hợp XΩ⊂ . Khi đó toán tử 1( )I U −− được xác định và liên tục trên Ω . Hơn nữa, nếu trong điều kiện (A), δ được chọn độc lập với a∈Ω thì 1( )I U −− liên tục đều trên Ω . •Định lý B : Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy và P là họ nửa chuẩn tách trên X. Giả sử các ánh xạ , :U G X X→ thỏa mãn : i) U thỏa mãn điều kiện (A) trên X. Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 4 ii) Với mỗi p P∈ , tồn tại k > 0 (k phụ thuộc p) sao cho : ( ( ) ( )) ( ) ,p U x U y kp x y x y X− ≤ − ∀ ∈ . iii) Có phần tử 0x X∈ thỏa tính chất : với mọi p P∈ , tồn tại *r∈` và [0,1)λ ∈ (r và λ phụ thuộc p) sao cho : 0 0 ( ( ) ( )) ( ) ,r rx xp U x U y p x y x y Xλ− ≤ − ∀ ∈ . iv) G hoàn toàn liên tục và ( ( ))p G A < ∞ mỗi khi ( ) .p A < ∞ v) ( ) ( ( ))lim 0 ( )p x p G x p P p x→∞ = ∀ ∈ . Khi đó tồn tại một tập lồi, mở, bị chặn D trong X sao cho U + G có điểm bất động trong D . Ngoài ra, nếu có thêm giả thiết U liên tục đều trên X thì ta có thêm 1( ) ( )I U G D D−− ⊂ . •Định lý C (Krasnoselskii-Perov) : Cho (E,|.|) là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn trong E và :T D E→ là ánh xạ compắc. Giả sử 0 ( )I T D∉ − ∂ và deg( , ,0) 0I T D− ≠ . Giả sử thêm T thỏa mãn điều kiện : Với mọi 0ε > , có ánh xạ compắc Tε sao cho: ( ) ( )T x T x x Dε ε− < ∀ ∈ đồng thời với h : h ε≤ , phương trình ( )x T x hε= + có nhiều nhất một nghiệm trong D . Khi đó tập các điểm bất động của T là khác rỗng, compắc và liên thông. Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 5 •Định lý D : Cho S là không gian mêtric thỏa mãn các điều kiện sau : (S1) 1 n n S S ∞ = =∪ , Sn compắc, khác rỗng. (S2) 1 2 3 ... ...nS S S S⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ (S3) Với mỗi tập con compắc K, tồn tại n∈` sao cho nK S⊂ . Đặt C(S) là không gian Frechet các ánh xạ liên tục từ S vào E. Khi đó, tập ( )A C S⊂ là compắc tương đối nếu và chỉ nếu với mọi *n∈` , A đẳng liên tục trên Sn và tập { ( )/ , }n nA x s x A s S= ∈ ∈ compắc tương đối trong E . •Định lý E : Cho X, Y là hai không gian Banach, D mở trong X và :f D Y→ liên tục. Khi đó, với mỗi 0ε > , tồn tại :f D Yε → lipschitz địa phương sao cho : ( ) ( )f x f x x Dε ε− ≤ ∀ ∈ và ( ) ( )f D cof Dε ⊂ (coA là bao lồi của A). •Định lý F (định lý Schauder): Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và :f C C→ liên tục sao cho f(C) là tập compắc tương đối. Khi đó f có điểm bất động trong C. ********************************************************* Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 6 CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN. 2.1 GIỚI THIỆU: Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu phương trình vi phân sau đây : t x'(t) = A(t)x(t) + L(t)x f(t), t s 0 + ≥ ≥ s rx = C : C([-r,0],E)ϕ ∈ = (1.1) trong đó 0( ( ), ( ( )))t sA t D A t ≥ ≥ sinh ra họ tiến hóa liên tục mạnh (strongly continuous evolution family) 0( ( , ))t sV t s ≥ ≥ trên một không gian Banach E, { } 0( ) tL t ≥ là họ các toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E. Trong trường hợp tự động ( A(t) = A , L(t) = L), nhiều tác giả đã nghiên cứu phương trình (1.1) với các kỹ thuật khác nhau, chẳng hạn trong [4,9,14,17,27,28,29] từ tài liệu tham khảo [1] của luận văn. A.Rhandi gần đây đã chỉ ra trong [22](tài liệu tham khảo [1]) rằng nghiệm của (1.1) trong trường hợp f ≡ 0 được cho dưới dạng chuỗi DYSON-PHILLIPS.Trong các bài báo [10,12]( tài liệu tham khảo [1]), các tác giả đã chứng minh được rằng nghiệm của (1.1) khi f không đồng nhất là hàm không có thể được xác định bởi “Công thức biến thiên hằng số” và với công thức này ta có thể nghiên cứu dáng điệu tiệm cận các nghiệm của phương trình(1.1). Gần đây, các tác giả trong [13] Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 7 của tài liệu tham khảo [1] đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm (1.1) trên R bằng cách sử dụng công cụ nửa nhóm tiến hóa và phương trình đặc trưng. Ở trong [26], R.Schnaubelt đã chỉ ra công thức biến thiên hằng số thứ nhất cho (1.1) cũng bằng cách sử dụng các ý tưởng trên nửa nhóm tiến hóa. Mục đích của chúng tôi trong luận văn là mở rộng các kết quả của [10,12,19,22] sang dạng đầy đủ của (1.1) như phần trên. Nói một cách chính xác hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra trong chương này sự tồn tại của nghiệm yếu (“mild solutions”), biểu diễn những nghiệm đó dưới dạng các họ tiến hóa và sử dụng chúng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận các nghiệm. 2.2 PHẦN CHUẨN BỊ : Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra một số định nghĩa và kí hiệu được sử dụng ở phần sau. Cho X là một không gian Banach, ta kí hiệu L(X) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục trên X. ĐỊNH NGHĨA 2.2.1 : Họ các toán tử U : 0( ( , ))t sU t s ≥ ≥= trong L(X) được gọi là họ tiến hóa liên tục mạnh (strongly continuous evolution family) nếu : (1) U(t,s) = U(t,r).U(r,s) và U(s,s) = Id với mọi t ≥ r ≥ s ≥ 0 (2)Ánh xạ (t,s)∈{(t,s): t ≥ s ≥ 0}6U(t,s) là liên tục mạnh . Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 8 ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 : Một họ tiến hóa U : 0( ( , ))t sU t s ≥ ≥= được gọi là có tính chất “exponential dichotomy” nếu tồn tại một hàm P : + →R L(X) sao cho hàm P(.)x là liên tục, bị chặn tại mỗi x∈X và nếu tồn tại các hằng số 0, ( ) 1 sao cho :N Nδ δ> = ≥ (1) P(t).U(t,s) = U(t,s).P(s) ; (2) UQ(t,s) : ImQ(s) ImQ(t) khả nghịch, trong đó Q(.) : = I P(.) và→ − UQ(t,s) là thu hẹp của U(t,s) trên ImQ(s) ; (3) ( )( , ). ( ) vàt sU t s P s Ne δ− −≤ ( )( , ). ( ) t sQU s t Q t Ne δ− −≤ . ĐỊNH NGHĨA 2.2.3 : Họ các toán tử ( ( , )t sΓ ) 0t s≥ ≥ trong L(X) được cho bởi : Q U(t,s).P(s) , t s ( , ) : = -U ( , ). ( ) , t t s t s Q s s ≥⎧Γ ⎨ <⎩ được gọi là hàm Green tương ứng của họ tiến hóa (U(t,s)). Kí hiệu BC( +R , X) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục và bị chặn từ +R vào X , không gian này được trang bị chuẩn của hội tụ đều (chuẩn sup). Không gian con đóng các hàm bị chặn và liên tục đều của không gian trên được kí hiệu là BUC( +R , X ). ĐỊNH NGHĨA 2.2.4 : (1) Nếu f : X+ →R thì tập tất cả các dịch chuyển của f được định nghĩa là H(f) := { f(. + t) : t +∈R }. Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 9 (2) Một hàm f +BC( , )X∈ R được gọi là “ asymptotically almost periodic” nếu H(f) là compact tương đối trong BC( , X+R ). (3) Không gian con đóngε của BUC( , X+R ) được gọi là “translation bi- invariant” nếu ( )f H fε ε∈ ⇔ ⊂ . (4) Không gian ε được gọi là thuần nhất nếuε là “translation bi- invariant” và MD f với mọi f và Mε ε∈ ∈ ∈L(X). Trong [5] (từ tài liệu [1] của luận văn này), ta biết rằng các lớp hàm sau đây là các không gian con đóng thuần nhất của BUC( , )X+R : + Không gian C 0 ( , )X+R các hàm liên tục và triệt tiêu ở vô cực. + Không gian AAP( , )X+R các hàm “asymptotically almost periodic”. Trước khi kết thúc phần này, chúng tôi cần bổ đề cơ bản sau đây : BỔ ĐỀ 2.1 : Cho (U(t,s)) 0t s≥ ≥ là một họ tiến hóa bị chặn trên X,ε là không gian con đóng thuần nhất của BUC( , )X+R và h 1( , )L X+∈ R (theo nghĩa tích phân Bochner). Giả sử ánh xạ t ( , )U t s s x+6 thuộc vềε với mọi x và 0X s∈ ≥ . Khi đó ta có ánh xạ t 0 ( , ) ( ) t U t s s h dσ σ σ+ +∫6 cũng thuộc ε với mọi s 0≥ . CHỨNG MINH : Với s 0≥ , đặt Us∗g(t) := 0 ( , ) ( ) t U t s s g dσ σ σ+ +∫ nếu g 1( , )L X+∈ R . Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 10 Khi đó ta có ánh xạ sUg g∗6 là tuyến tính liên tục từ 1( , )L X+R vào BC( ,X)+R . Thật vậy : + sU ( )g t∗ = 0 ( , ) ( ) t U t s s g dσ σ σ+ +∫ ≤M 0 ( ) t g dσ σ∫ 1 , 0LM g t≤ ∀ ≥ trong đó M = 1L 0 0 Sup U(t,s) và g ( ) t s g dσ σ ∞ ≥ ≥ = ∫ . Vậy Us∗g bị chặn. Mặt khác theo giả thiết ta có ánh xạ (t,s)∈{(t,s) 2 : t s}+∈ ≥R U(t,s) là liên tục mạnh nên 6 Us∗g liên tục trên +R . Vậy Us∗g +BC( , )X∈ R . + Tính tuyến tính của ánh xạ sUg g∗6 là hiển nhiên, tính liên tục của ánh xạ trên suy từ kết quả 1s LU M gg∗ ≤ . Để chứng minh phần còn lại của bổ đề, trước hết ta xét h = 1 [ , ]a b ⊗x với 0 ,a b x X≤ ≤ ∈ , trong đó 1 [ , ]a b ⊗x(t) = x , t [a,b] .0 , t [ , ]a b ∈⎧⎨ ∉⎩ Khi đó, với t 0≥ , ta có: Us∗h(t+b) = 0 U( , ) ( ) t b t b s s h dσ σ σ + + + +∫ = U( , )b a t b s s xdσ σ+ + +∫ . Chú ý là U(t+b+s,s+ )σ = U(t+b+s,s+b) . U(b+s,s+ )σ , [a,b]σ∀ ∈ . Vậy Us∗h(t+b) = U(t+b+s,s+b) . U( , ) b a b s s xdσ σ+ +∫ . Người thực hiện : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 11 Bởi vì t U(t+b+s,s+b)6 x thuộc ε với mọi x∈X và với mọi s 0≥ nên Us∗h(. + b) ε∈ . Doε là dịch chuyển “bi - invariant” nên Us∗h(.) ε∈ với mọi s 0≥ . Nếu h là hàm đơn giản trên 1( , )L X+R thì do kết quả vừa chứng minh ở trên cùng với tính tuyến tính của tích phân ta có ngay Us∗h ε∈ . Nếu h 1( , )L X+∈ R thì do tập các hàm đơn giản trên 1( , )L X+R là trù mật trong 1( , )L X+R nên tồn tại dãy ( )nh các hàm đơn giản , 1Lnh h⎯⎯→ . Do sUg g∗6 liên tục nên s n sU h U h∗ → ∗ .