Luận văn Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Quang Minh Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức quý giá về didactic toán. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn cùng khóa; lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường CĐSP Nha Trang nơi tôi công tác; lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM; Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường THPT Tân Bình và Trung tâm bồi dưỡng văn hóa Nguyễn Thượng Hiền đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt. LÊ QUANG MINH MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong lịch sử phát triển của toán học, hình học vectơ ra đời sau hình học giải tích (HHGT). Sự ra đời này được phôi thai từ ý tưởng của Leibniz là xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học, sao cho vừa khai thác được công cụ của đại số như phương pháp giải tích, lại vừa tận dụng được yếu tố trực quan của phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học. Tuy ra đời sau, hình học vectơ và HHGT đã được hình thành theo những cách thức hoàn toàn độc lập với nhau. Nhưng từ khi xuất hiện vectơ thì việc xây dựng HHGT đã trở nên dễ dàng hơn. Có lẽ vì thế mà ngày nay hầu hết các giáo trình môn toán, từ phổ thông đến đại học, đều khai thác vectơ để trình bày HHGT. Đặc biệt, nếu như trước đó việc lập phương trình các đường thẳng, mặt phẳng được giải quyết theo một cách thức phức tạp và không trọn vẹn, thì giờ đây, với sự xuất hiện của công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản hơn nhiều. Về vấn đề này, ta biết rằng tồn tại một cách tiếp cận khác, được đặt trong phạm vi của đại số tuyến tính. Tuy nhiên, ở bậc phổ thông thì không thể tiếp cận theo cách đó vì học sinh chưa được nghiên cứu ngành toán học này. Trong trường hợp đó, đường thẳng, mặt phẳng được tiếp cận như thế nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệu còn cách tiếp cận nào khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa toán bậc phổ thông lựa chọn ảnh hưởng ra sao đến việc dạy và học của giáo viên và học sinh? Một cách cụ thể hơn, chúng tôi tự đặt ra cho mình hai câu hỏi : - Q’1 : Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và các vấn đề liên quan đến chúng đã được tiếp cận như thế nào ? - Q’2 : Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, những nội dung này xuất hiện ra sao? Công cụ vectơ đã được khai thác như thế nào trong việc nghiên cứu chúng? Cách trình bày của sách giáo khoa (SGK) có ảnh hưởng gì đến việc học HHGT của học sinh? Đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông mà chúng tôi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên. Về các đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình môn toán hiện đang được áp dụng ở bậc trung học phổ thông (THPT), chúng tôi thấy có một sự thay đổi quan trọng : nếu như trước kia, các kiến thức về vectơ trong không gian chỉ được dạy ở lớp 12, sau khi quan hệ vuông góc (giữa các đường thẳng, mặt phẳng) đã được nghiên cứu ở lớp 11 bằng phương pháp tổng hợp, thì giờ đây, chương trình quy định sử dụng vectơ ngay từ lớp 11 để nghiên cứu quan hệ này. Ghi nhận đó càng khiến chúng tôi quan tâm hơn đến vai trò của công cụ vectơ trong dạy học hình học ở THPT theo chương trình hiện hành. Nó dẫn chúng tôi đến với việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không chỉ giới hạn trong nội dung HHGT dạy ở lớp 10 và lớp 12, chúng tôi sẽ xem xét cả vai trò của vectơ trong việc nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây, cần giải thích rõ là trong phần HHGT dạy ở lớp 12 nội dung này cũng được xem xét, ngay cả theo chương trình cũ. Vậy cái mới ở đây là gì ? Phải chăng câu trả lời nằm ở chú thích ghi trong sách giáo viên : “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn”. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn câu trả lời trong luận văn của mình. Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem vectơ như là công cụ để thiết lập các kiến thức của hình học liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng cũng như những vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình đề cập đến. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi giới hạn xem xét hai vấn đề : - Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối giữa chúng. - Nghiên cứu quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Cũng do điều kiện hạn chế về thời gian, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu việc dạy học hình học theo chương trình nâng cao. 2. Điểm qua những công trình có liên quan Liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tôi, bằng tiếng việt, chúng tôi tìm thấy luận văn thạc sĩ của Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10. Luận văn đã chỉ ra được những ứng dụng của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán hình học, cho thấy những điểm giống và khác nhau trong cách trình bày của SGK năm 1990 và năm 2000. Đặc biệt, luận văn khẳng định phương pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán không được khắc sâu trong học sinh như phương pháp tổng hợp. Công cụ vectơ chỉ luôn sẵn sàng sử dụng ở một số rất ít học sinh. Khi thực hiện các bước giải toán bằng công cụ vectơ, học sinh còn gặp sai lầm khi biến đổi các biểu thức vectơ và khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt được kết quả. Luận văn trên chỉ nghiên cứu vectơ trong chương trình và SGK hình học lớp 10 từ năm 2000 trở về trước. Ở đó, không có HHGT và việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian hoàn toàn không sử công cụ vectơ. Vì vậy, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu vai trò của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán HHGT cùng với quan hệ vuông góc trong không gian. 3. Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sử dụng thuyết nhân học với các khái niệm sau: 3.1. Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic) Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích luỹ được trong suốt thời gian tồn tại trên địa cầu. Hơn nữa, để tri thức bộ môn trở nên có thể dạy được, cần phải chọn lựa, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một liên kết lôgic, phục vụ cho một mục tiêu dạy học xác định. Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là quá trình biến đổi một đối tượng tri thức bác học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc quy định các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ôn thi, nhất là Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK. Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy đối với việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương đối và quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phảng. Nó cũng giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần giảng dạy và giải thích được một số ràng buộc của thể chế dạy học ở phổ thông đối với các kiến thức nêu trên. 3.2. Cách đặt vấn đề sinh thái học Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng vectơ, đường thẳng và mặt phẳng cũng như mối liên hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard đã nói: “ Một đối tượng tri thức O không tồn tại độc lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ trương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.” 3.3. Quan hệ thể chế Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao, trong I? 3.4. Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao? Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt nó trong R(I,O). 3.5. Tổ chức toán học Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T,  ,  ,  ], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  , còn  là lí thuyết giải thích cho công nghệ  . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (TCTH). Việc phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X duy trì đối với tri thức O. Nói cách khác, nó giúp chúng tôi bổ sung cho phần trả lời cho câu hỏi Q’2 4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất phát Q’2 được cụ thể hóa thành những câu hỏi sau: Q1. Từ cách tiếp cận sinh thái học, trong thể chế dạy học hình học ở phổ thông, vectơ được đưa vào ở thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ như thế nào với những vấn đề khác của chương trình, đặc biệt là với các nội dung về đường thẳng và mặt phẳng? Q2. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập như thế nào trong SGK hình học nâng cao lớp 10 và lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic nào đã được thực hiện trong việc thiết lập đó? Đâu là đặc trưng của quan hệ thể chế đối với công cụ vectơ trong nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng? Q3. SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vuông góc trong không gian vào như thế nào? Công cụ vectơ được khai thác ra sao trong việc thiết lập các kiến thức thuộc phạm vi chương trình về quan hệ vuông góc? Để phân tích chương trình, đặc biệt là SGK, việc nghiên cứu khoa học luận về các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng là cần thiết. Thế nhưng, trong điều kiện của chúng tôi một nghiên cứu tri thức luận đầy đủ được thực hiện thông qua phân tích lịch sử hình thành tri thức (nhằm làm rõ lý do nảy sinh tri thức, bài toán mà nó cho phép giải quyết, những vấn đề, những quan niệm gắn liền với nó, ) là không thể. Vì thế, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức mà chúng tôi quan tâm qua việc phân tích một giáo trình đại học. Cách làm này vẫn thường được thừa nhận trong nhiều công trình của didactic toán, với giả thuyết rằng tri thức trình bày ở bậc đại học thường khá gần với tri thức bác học. Chúng tôi đặt ra cho mình một câu hỏi cần phải trả lời trước khi xem xét các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Q0. Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được tiến hành như thế nào ở bậc đại học? Quan điểm vectơ đã được thể hiện ra sao trong việc xây dựng đó? Câu hỏi này là một sự cụ thể hóa của câu hỏi Q’1 mà chúng tôi đặt ra từ đầu khi bắt đầu quan tâm đến chủ đề nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi sẽ phân tích một giáo trình đại học để tìm câu trả lời cho Q0. Phân tích này sẽ được trình bày trong chương đầu tiên của luận văn. Qua phân tích đó, chúng tôi sẽ làm rõ cách xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng. Chúng tôi sẽ cố gắng đánh giá vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng; làm rõ những đặc trưng của đối tượng vectơ với tư cách là công cụ của HHGT. Phân tích này sẽ được thực hiện từ góc độ chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactique). Ngoài ra, để làm nổi bật thấy rõ vị trí của vectơ trong việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, chúng tôi sẽ điểm lại vài nét lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng, cụ thể là cách xây dựng của Fermat. Chương tiếp theo (chương 2) dành cho một nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Trong chương này chúng tôi phân tích chương trình và SGK Toán phổ thông của Việt Nam để thấy được vai trò của công cụ vectơ cũng như các đặc trưng của nó trong nghiên cứu phương trình và mối quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 10 và lớp 12 ban nâng cao hiện hành để làm rõ sự chuyển hóa sư phạm đã được thực hiện trong việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hiện hành để nghiên cứu thêm vai trò của vectơ trong việc thiết lập các kiến thức và giải bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian. Để thấy rõ đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi quan tâm, chúng tôi sẽ đặt phân tích chương trình, SGK trong sự so sánh với một thể chế khác. Giả thuyết công việc được chúng tôi thừa nhận ở đây là : việc so sánh thể chế này với thể chế kia sẽ cho phép làm nổi rõ những đặc trưng, những điều kiện, những ràng buộc của mối quan hệ được hình thành trong từng thể chế đối với đối tượng tri thức được xem xét. Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu ở đây là thể chế dạy học Hình học ở THPT của Mỹ theo chương trình hiện hành. Như thế, trước khi phân tích các SGK Việt nam, chúng tôi sẽ nghiên cứu hai cuốn SGK của Mỹ. Nghiên cứu trình bày ở chương 2 sẽ giúp chúng tôi đưa ra những giả thuyết liên quan đến câu hỏi Q4, cũng là một phần câu hỏi Q’2 mà chúng tôi đặt ra lúc đầu. Q4. Cách trình bày của SGK có ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về phương trình đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ vuông góc trong không gian? Giả thuyết này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm. Chương cuối cùng (chương 3) của luận văn dành cho việc trình bày những kết quả đạt được từ nghiên cứu này. Phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc của luận văn được chúng tôi tóm tắt bằng sơ đồ dưới đây. NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ (tham khảo) NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Quan điểm so sánh Giả thuyết về ảnh hưởng của thể chế NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN 1.1. Vài nét về lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng 1.1.1. Apollonius de Pergue là người đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một đường thẳng nhưng chỉ dưới hình thức “tu từ” không tượng trưng. Ông cho rằng nếu tọa độ x và y của một điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, hoặc nếu x tăng một hằng số và có một tỉ lệ cho trước đối với y, y = a(x + b), thì quỹ tích những điểm M nằm trên một đường thẳng. 1.1.2. Fermat là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng trưng, phương trình biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Ông xuất phát từ việc cho trước một phương trình và đi xác định quỹ tích của những điểm liên kết với nó. Bằng việc sử dụng sự đồng dạng của các tam giác Fermat chỉ ra rằng : Nếu phương trình là ax = by (a và b là những hằng số), quỹ tích là một đường thẳng và nếu phương trình là c2 – ax = b, quỹ tích vẫn là một đường thẳng. Chứng minh của Fermat như sau : y x I MZN Hình 1. Cho NZM là một đường thẳng, N là một điểm cố định. Cho NZ một đại lượng bất định x và ZI một đại lượng bất định khác là y. Nếu ax = by, điểm I vạch một đường thẳng xác định. Thật vậy, ta có b x = a y , bởi vậy x y được cho, cũng như góc tại Z. Tam giác NIZ được xác định. Vì điểm N và vị trí của đường thẳng NZ được cho nên vị trí của đường thẳng NI được xác định. Tiếp theo, Fermat nói rằng chúng ta có thể đưa phương trình ax = by về dạng y = ax + b mà a và b không cùng âm – một tọa độ âm Fermat không muốn nói tới. Để chứng minh điều đó, ông lấy ví dụ phương trình c2 – ax = by, viết c2 dưới dạng ad và nhận được phương trình b d x = a y  . Bằng cách đặt MN = d, d – x chỉ là MZ, từ đó, ông nhận được một giá trị cố định cho tỉ lệ MZ ZT và ông kết luận chúng, như một sự chứng minh đầu tiên, rằng điểm I nằm trên một đường thẳng cố định. Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá rằng chúng ta có thể tìm thấy tất cả những quỹ tích của những đường thẳng mà những mệnh đề của Apollonius đã chỉ ra là một trường hợp. Nhưng, sau khi chứng minh phương trình xy = a2 biểu diễn một hyperbol và tổng quát kết quả này với tất cả phương trình chứa một số hạng x, một số hạng y, một số hạng xy và một hằng số, ông đi đến phương trình đường thẳng. Fermat khẳng định rằng quỹ tích của tất cả những phương trình được tạo thành duy nhất bởi những số hạng x2, y2 và xy, không có số hạng hằng số, là một đường thẳng. Để chứng minh kết quả này, ông lấy trường hợp một phương trình dạng x2 + xy = ay2 và dẫn đến như sau : Nếu tỉ số 2 2NZ + NZ.ZI ZI được cho và vẽ bất cứ đường song song OR nào, dễ dàng chứng minh rằng 2 2NO + NO.OR OR có cùng giá trị với tỉ lệ cho trước. Điểm I sẽ ở trên một đường thẳng có vị trí xác định. Bây giờ chúng ta có thể nói rằng điều mà Fermat đã chứng minh, đó chính là tất cả những phần tử của đường thẳng NI xác định cùng một phương trình. R ZN O I Hình 2. Theo đánh giá của những nhà nghiên cứu, Fermat, trong quá trình liên kết giữa phương trình và đường thẳng và tổng quát giữa phương trình và quỹ tích đã gặp hai khó khăn sau : Thứ nhất, gắn liền với sự tượng trưng hóa được sử dụng, chính việc không có duy nhất một cách viết phương trình của một quỹ tích – ở đây là đường thẳng – hay tất cả các phương trình của cùng một bậc – bậc hai chẳng hạn. Điều đó dẫn đến những chữ chỉ biểu diễn những số dương, vì vậy không có một cách viết nào tính đến đồng thời hai phương trình ax – c = by và ax + c = by bởi vì +c và –c không phải cùng một thứ như nhau. Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải quyết những trường hợp đặc biệt. Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các trường hợp hình vẽ. Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết luận rằng chúng ta có thể làm tương tự cho những trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi trường hợp, cần phải thay đổi hình vẽ. Cũng theo các nhà nghiên cứu, trong trường hợp của Fermat, sự thiếu vắng các trục cho trước làm phức tạp nhiều cho bài toán Fermat xuất phát từ một phương trình, xem xét một điểm nào đó mà ông giả sử xác định phương trình này – bất kì một điểm có thể được xem như xác định tiên nghiệm một phương trình cho trước vì không có trục cho trước và phương trình được xem xét có tất cả các nghiệm – và vì vậy chỉ ra rằng tất cả các điểm nằm trên một quỹ tích nào đó xác định cùng một phương trình. Để xác định quỹ tích của những điểm liên kết với một phương trình, không chỉ cần phải chứng minh rằng tất cả những điểm của một đường cong xác định cùng một phương trình, như Fermat đã làm ở đây mà còn phải chứng minh rằng đó là những điểm duy nhất xác định phương trình này. Ở đây, chúng ta đụng đến quan niệm về khái niệm số ở Fermat – những số âm thì không được xem xét, ông chỉ quan tâm đến những đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất (x  0 và y  0) – việc xem xét lập luận về tỉ lệ trên hình 1 và 2 cho phép chứng minh rằng những đường thẳng đối xứng với đường thẳng NI qua đường thẳng NZ xác định cùng phương trình với NI. Nhưng, sự trình bày của Fermat lại khác. Trong đó, ông xuất phát từ việc cho trước một phương trình và ông xác định quỹ tích hình học tương ứng. Điều này dẫn ông đến chứng minh rằng những phương trình không cần thiết được viết theo cùng một cách, có thể được rút lại