Luận văn Rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

Lời cảm ơn ! Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo Trần Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để khóa luận này được hoàn thành. Mục lục Trang Mở đầu......................................................................................................................3 Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn...................................................................... 5 1. Một số khái niệm cơ bản .................................................................................... 5 Phương pháp suy luận........................................................................................ 5 Suy luận suy diễn ............................................................................................... 5 Suy luận quy nạp................................................................................................ 5 2. Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán.................................................................... 7 2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau........................................................... 8 2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau......................................................... 8 3.Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán............... 10 4. Mục đích của dạy học toán................................................................................ 13 5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông......................... 14 5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh.................... 14 5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ thông.................................................................................................... 17 chương 2: Một số biện pháp thực hiện................................................................. 19 1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp.... 19 1.1. Phân tích và tổng hợp......................................................................................... 19 1.1.1.Mô tả...................................................................................................... 19 1.1.2. Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán........ 19 1.1.3. Ví dụ minh họa...................................................................................... 19 1.2. So sánh............................................................................................................... 23 1.2.1 Mô tả...................................................................................................... 23 1.2.2 Tác dụng................................................................................................ 23 1.2.3. Ví dụ minh họa..................................................................................... 23 1.3. Thử nghiệm và nhận xét..................................................................................... 24 1.3.1.Mô tả...................................................................................................... 24 1.3.2. Tác dụng............................................................................................... 24 1.3.3.Ví dụ minh họa...................................................................................... 24 2. Tập cho học sinh nêu dự đoán.......................................................................... 25 2.1. Mô tả................................................................................................................. 25 2.2. Tác dụng............................................................................................................ 25 2.2.1. Các trường hợp cụ thể........................................................................... 25 2.2.2. Tập dự đoán qua khái quát hóa và đặc biệt hóa.................................... 25 2.3.2. tập dự đoán qua tương tự...................................................................... 33 2.3.3. tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo.................................................. 36 3. Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập toán.................... 37 3.1. Giải thích........................................................................................................... 37 3.2. Tác dụng đối với học toán................................................................................. 38 3.3. Ví dụ minh họa.................................................................................................. 39 Kết luận................................................................................................................... 45 Phụ lục I: Phiếu xin ý kiến.................................................................................... 46 Phụ lục II: Phiếu tổng hợp kết quả điều tra........................................................ 48 Phụ lục III: Giáo án thực nghiệm......................................................................... 51 mở đầu 1. lí do chọn đề tài Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triển kinh tế xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mới phương pháp dạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọng thực hành, thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức, tránh học chay, học vẹt.” Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳng định: “Toán học là môn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹ khả năng quy nạp”. (Gs. Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993). Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS. Hoàng Chúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phương pháp suy diễn đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng. Song phương pháp xây dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập và sáng tạo một cách vững chắc hơn.” Theo GS. Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22): “Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của quy nạp cũng không phải là không quan trọng. Vai trò của quy nạp thể hiện trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp là những lúc quan trọng trong sự phát triển toán học”. Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suy luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư duy độc lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh. Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong phần sau của khoá luận này. Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho công tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông”. 2. Mục đích nghiên cứu Cố gắng làm rõ phương pháp quy nạp thể hiện trong sách giáo khoa thí điểm phân ban ở THPT với vai trò của nó trong giảng dạy toán học. Đưa ra một số biện pháp để thực hiện mục đích trên. 3. Nội dung Đề tài khoá luận được thực hiện gồm 3 chương, cụ thể: Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương II: Một số biện pháp thực hiện. Chương III: Thực nghiệm sư phạm. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu và vận dụng vào thực tế. Đề xuất phương pháp và thể hiện trên thực tế. Chương I cơ sở lí luận và thực tiễn 1. Một số khái niệm cơ bản Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một số khái niệm cơ bản có liên quan. 1.1. Phương pháp suy luận Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có (tiên đề) ta rút ra được một số phán đoán mới (kết luận). Suy luận là một quá trình nhận thức hiện thực gián tiếp. Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suy luận quy nạp ( xem [13]). 1.2. Suy luận suy diễn. Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luật phổ biến đến trường hợp cụ thể. Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng. Chẳng hạn một quy tắc suy luận thường dùng là: ( tam đoạn luận khẳng định). 1.3. Suy luận quy nạp. Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr. 494), phương pháp quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát. Sau đây là các loại suy luận quy nạp. a) Quy nạp toán học Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n= 0 (hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán học. (Phương pháp này được đưa vào chương trình đại số và giải tích 11). b) Quy nạp hoàn toàn Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó. Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái quát như sau: là P là P ... là P _________ "S là P. tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P. Phương pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng. Ví dụ: Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí: Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD 2003, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong tam giác: với A, B, C là ba đỉnh; a, b, c là ba cạnh và 2R là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. c) Quy nạp không hoàn toàn. Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về lớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng của lớp ấy. Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song kết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi. Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh trong toán học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa đến kết luận đúng. Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét các trường hợp riêng: ... Các kết quả này cho phép dự đoán , tức là tổng của n số lẻ đầu tiên bằng . Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp toán học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn toàn cũng có thể đưa đến kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng (số Fermat). Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố. Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả các số Fermat đều là các số nguyên tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4, Euler đã chỉ ra rằng chia hết cho 641. Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh. Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử dụng một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số trường hợp riêng. Do đó nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được. Còn phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới. Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí”. Trong khoá luận này chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn. 2. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu). Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luận suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh. Để làm rõ mối quan hệ của chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí. Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh nhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí. Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của các nhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học,... đều thuộc về các suy luận có lí. 2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện. b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận chứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí. c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có sự nhất quán như logic chứng minh. 2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lại bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng minh với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ. Trong một suy luận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn. Trong “toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được xem là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học, trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày trong các sách giáo khoa). Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Chúng ta cần phải dự đoán về một định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại nhiều lần. Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán. Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có lí”. Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suy luận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết với nhau, thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Chúng là một cặp phương pháp luôn được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau. Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy nạp không hoàn toàn) để dự đoán ra cái chung đã. Nói cách khác, quy nạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay phủ định những dự đoán (giả thuyết) của bước quy nạp. Cứ như thế, mỗi bước quy nạp sau, con người lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng nhiều về bản chất chung của thế giới. Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suy diễn và quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bề ngoài chúng có vẻ tương phản. Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quy nạp, vì bất cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vật một cách quy nạp. Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy luật chung”. Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Ví dụ: Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình (1) không có nghiệm nguyên khác không, với bất kì số nguyên . Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên. Với n = 2: . Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác vuông, với cạnh huyền a thì luôn có . Đây chính là nội dung định lí Pythagore. Với n = 3: là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh năm 1770. Với n = 4: cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat chứng minh. Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350 năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này. Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết có được bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn. Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫn không được chứng minh hay bác bỏ. Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học. Ví dụ “Một chân trời mới cho giả thuyết Gôn - bac”, (xem Toán học & Tuổi trẻ, số 7/2004). 3. Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán. “Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh thì trong phương pháp của nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp. Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh hoc toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn diện.” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25). Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học toán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau: a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hoá, trừu tượng hoá,...không những cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, cho công tác và hoạt động của con người. Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi từ tam giác ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức nhờ định lí Pythagore, rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông thì và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu? Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tự như sau: - Tam giác ABC vuông nên . Vơí tam giác ABC không vuông thì sẽ bằng thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ). Vấn đề của ta là tìm xem lượng đó bằng bao nhiêu? - Ta sử dụng công cụ vectơ: + được viết lại thành . + Ta luôn có: . Suy ra , Dựa vào công thức tích vô hướng của hai vectơ ta đưa đến kết quả: (*) - So sánh: khi thì (*) trở thành . Như vậy, định lí Pythagore là một truờng hợp riêng của (*). - Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta luôn có: . - Hơn thế nữa, bằng tương tự suy ra: và . Từ đây học sinh có thể tự mình trình bày nội dung định lí và cách chứng minh nó vào vở