Luận văn Siêu lọc và một số tính chất liên quan đến tính compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đinh Nguyễn Đông Triều SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đinh Nguyễn Đông Triều SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CÁM ƠN Luận văn thạc sĩ này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Nguyễn Trọng Hòa. Trong quá trình viết luận văn, Thầy đã nhiệt tình, tận tụy, chỉ dạy tôi biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn và nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tôi xin chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào và thành công trong sự nghiệp giáo dục. Tôi xin trân trọng cảm ơn: + TS.Nguyễn Hà Thanh, trong suốt thời gian tôi học cao học và làm luận văn Thầy đã hết sức nhiệt tình dạy bảo, động viên, nhắc nhở tôi học tập và làm tốt luận văn. Tôi xin chân thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào, thành công trong sự nghiệp giáo dục và đạt được nhiều kết quả trong công trình nghiên cứu. + Quí Thầy cô Phòng Sau đại học và Khoa Toán - tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong hai năm qua. + Giáo sư Y.F Ortiz-Castillo giảng dạy tại Đại Học Auburn, tiểu bang Alabama, Hoa Kì và giáo sư Á. Tamariz-Mascarúa giảng dạy tại Đại Học Benema Erita, Autônoda De Pebla, Tây Ban Nha. Hai vị giáo sư đã cung cấp tài liệu quan trọng cho tôi để hoàn thành luận văn này. + Bạn bè trong lớp Hình học và tôpô K23, bạn Lê Hoàng Lâm, Hồ Thị Thu Hà, Nguyễn Thanh Hải, Huỳnh Phương Nam. Đặc biệt là thạc sĩ Lê Anh Nhân đã chia sẽ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập và viết luận văn Đinh Nguyễn Đông Triều. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu đề tài .................................................................... 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 3 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .............................................. 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 4 1.1. Không gian tôpô ................................................................................... 4 1.2. Không gian compact ............................................................................ 7 1.3. Lưới, lọc, các ánh xạ liên quan ........................................................... 9 1.4. Không gian −p compact, không gian giả compact, không gian −p giả compact, không gian −ω bị chặn ................................................................. 12 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN −p COMPACT MẠNH ..................................... 17 2.1. Không gian −p compact mạnh ......................................................... 17 2.2. Ảnh, nghịch ảnh và tích của không gian −p compact mạnh ......... 26 CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN −p GIẢ COMPACT MẠNH VÀ ...................... 33 KHÔNG GIAN GIẢ−ω −BỊ CHẶN ................................................................ 33 3.1. Không gian −p giả compact mạnh và không gian giả−ω −bị chặn33 3.2. Không gian −p giả compact mạnh và tiền thứ tự Rudin-Keisler trên β 40 3.3. Không gian −p giả− −ω bị chặn và không gian hầu giả− −ω bị chặn. 44 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN GIẢ− −D BỊ CHẶN VÀ KHÔNG GIAN −D COMPACT MẠNH ............................................................................................ 47 4.1. Không gian giả− −D bị chặn .............................................................. 47 4.2. Không gian −D compact mạnh ........................................................ 49 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 55 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN : không gian số tự nhiên. :β compact-hóa Stone-C  ech của  (mỗi phần tử của β là một siêu lọc trên  ) * \β=   : Tập các siêu lọc tự do trên  . ( ), :C X Y Tập các ánh liên tục từ không gian X vào không Y . :ω số cardinal vô hạn. 1 :ω số cardinal không điếm được. A : lực lương tập A . { }: :ω ω= ⊆ =X A X A . { }: :ω ω< = ⊆ <X A X A . ( ) :Cl A bao đóng của tập A . ( ) :Ind A phần trong của tập A . ≤RK : bé hơn hoặc bằng theo tiền thứ tự Rudin-Keisler. ≈RK : tương đương theo tiền thứ tự Rudin-Keisler. ∈∏ ss S X : tích Đề-các của những tập không rỗng sX . :π s phép chiếu từ ss SX X∈=∏ vào sX . = − nx p lim x : là điểm −p giới hạn của dãy ( ) ∈n nx  trong .X ( )( ), ∈n nL p U  : tập các điểm −p giới hạn của dãy tập khác rỗng ( ) ∈n nU  trong .X 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học− tôpô là một chuyên ngành của toán học được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Ứng dụng của nó đã lan tỏa vào nhiều ngành khoa học khác nhau. Như đã biết, nghiên cứu một tính chất tôpô cụ thể mà nó bất biến qua ánh xạ như liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, đồng phôi... là một trong những bài toán cơ bản được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, chẳng hạn như tính compact. Những năm của thập niên 60 của thế kỉ trước cho đến nay những mở rộng về tính chất compact là một trong những vấn đề quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới. Các mở rộng không gian compact có thể kể đến như: paracompact, σ −compact, realcompact, −p compact, giả compact, −p giả compact, −p compact mạnh, −D compact mạnh, ω −bị chặn, giả ω− − bị chặn, giả− −D bị chặn, p −giả ω− − bị chặn, hầu giả ω− − bị chặn. Như đã biết năm 1970 A.Bernstein người đầu tiên đưa ra khái niệm −p giới hạn của dãy điểm ( p là siêu lọc trên  ) và từ đó định nghĩa không gian −p compact và siêu compact. Năm 1975 John Ginburg và Victor Sark đưa ra khái niệm −p giới hạn của dãy tập khác rỗng và từ đó định nghĩa không gian giả compact, −p giả compact. Năm 1993 S.García-Ferreira nghiên cứu sâu về không gian −p compact. Năm 1994 S.García-Ferreira nghiên cứu sâu về không gian giả compact và −p giả compact. 2 Năm 1999 M.Sanchis, Á. Tamariz-Mascarúa nghiên cứu mối quan hệ các không gian −p compact, −p giả compact, siêu giả compact, −p bị chặn. Năm 2012 J.Angoa, Y. Ortiz-Castillo, Á. Tamariz-Mascarúa nghiên cứu mối quan hệ không gian −p compact với không gian paracompact và không gian ω −bị chặn. Đặc biệt năm 2013 J.Angoa, Y. Ortiz-Castillo, Á. Tamariz-Mascarúa đưa ra các định nghĩa không gian −p giả compact mạnh, giả ω− − bị chặn, −D compact mạnh ( D là tập các siêu lọc trên  ), giả− −D bị chặn và tìm thấy mối liên hệ với không gian −p compact và −p giả compact mạnh. Đến đầu năm 2014 J.Angoa, Y. Ortiz-Castillo, Á. Tamariz-Mascarúa đưa ra những nghiên cứu sâu hơn về không gian −p giả compact mạnh, giả ω− − bị chặn, −D compact mạnh, giả − −D bị chặn, đồng thời đưa ra định nghĩa và nghiên cứu không gian p −giả ω− − bị chặn, hầu giả ω− − bị chặn. Như vậy, chúng ta thấy mở rộng tính compact là đề tài hấp dẫn, có tính thời sự và được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Do đó, tôi chọn đề tài “Siêu lọc và một số tính chất liên quan đến tính compact” làm luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài Tìm hướng nghiên cứu mới về tính compact. Giải quyết một lớp bài toán tôpô tổng quát như: +) Tính bất biến tôpô qua: ánh xạ liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh, toàn ánh liên tục...., phép lấy tích trong không gian compact mạnh, −p compact giả mạnh, giả−ω −bị chặn, p −giả ω− − bị chặn, hầu giả ω− − bị chặn, −D compact mạnh và giả − −D bị chặn. p − 3 +) Tính di truyền, tính trù mật của các tập con trong không gian compact mạnh, −p giả compact mạnh, giả−ω −bị chặn. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các không gian compact mạnh, −p giả compact mạnh, giả−ω −bị chặn, p −giả ω− − bị chặn, hầu giả ω− − bị chặn, −D compact mạnh và giả − −D bị chặn. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Trong không gian compact với cách đưa khái niệm lưới, lọc ta có thể mở rộng khái niệm compact thành các khái niệm tổng quát hơn như giả- compact, p −compact, p − giả compact....nhằm giải quyết các bài toán tôpô tổng quát hơn. p − p − 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và định lí, bổ đề và làm cơ sở khoa học để trình bày các chương sau. Nội dung chương này chúng tôi trình bày từ cơ bản đến chuyên sâu như sau: phần một là không gian tôpô, phần hai là không gian compact, phần ba là lưới, lọc, các ánh xạ liên quan, phần bốn là các không gian −p compact, không gian −p giả compact, không gian giả compact, không gian ω −bị chặn. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1 . Định nghĩa Một không gian tôpô là cặp ( ,X ) bao gồm tập X và họ  các tập con của X thỏa các điều kiện sau đây: (O1) ∅∈ , ∈X . (O2) 1 2, ∈U U  1 2⇒ ∩ ∈U U . (O3) ∈iU  i i I U ∈ ⇒ ∈  . Tập X gọi là một không gian, những phần tử của X gọi là những điểm của không gian X . Và mọi tập con của X thuộc về  gọi là mở của không gian X . Họ  của những tập con mở của X , được gọi là tôpô trên X . 1.1.2 . Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô. Tập U X⊂ gọi là lân cận của điểm x , x X∈ nếu tồn tại tập mở G sao cho x G U∈ ⊂ . 5 1.1.3 . Định nghĩa Họ các lân cận của một điểm x trong một không gian tôpô X được gọi là hệ lân cận của x trong không gian đó. Kí hiệu hệ lân cận của x là xu 1.1.4 . Định nghĩa Một họ con  của xu được gọi là cơ sở lân cận hay cơ sở địa phương của không gian X tại điểm x nếu với mỗi U ∈ xu tồn tại một V ∈  sao cho V U⊂ . 1.1.5 . Định nghĩa Tập A trong không gian tôpô X được gọi là trù mật khắp nơi nếu mọi điểm trong X đều là điểm dính của A . (Nghĩa là x X∀ ∈ ,và U∀ mở chứa x U A⇒ ∩ ≠∅ ). 1.1.6 . Định nghĩa Một tính chất P của một không gian tôpô X gọi là tính di truyền nếu mọi không gian con của X đều có tính chất P . 1.1.7 . Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô và một ánh xạ : →f X Y . Ánh xạ f gọi là liên tục tại x X∈ nếu mọi lân cận V của ( )f x trong Y tồn tại lân cận U của x trong X sao cho ( ) ⊂f U V . Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x X∈ . Ánh xạ f gọi là đồng phôi nếu f là song ánh và cả hai ánh xạ f , 1−f liên tục. 6 1.1.8 . Định nghĩa Cho hai không gian tôpô ,X Y , ánh xạ :f X Y→ gọi là đóng nếu mỗi B Y⊂ và mỗi tập mở A X⊂ chứa ( )1f B− thì tồn tại tập mở C Y⊂ sao cho ( )1f C A− ⊂ . 1.1.9 . Tiên đề 0T Một không gian tôpô X được gọi là một 0 −T không gian nếu với mỗi cặp điểm khác nhau 1 2, ∈x x X , tồn tại một tập mở chứa điểm này nhưng không chứa điểm kia. 1.1.10 . Tiên đề 1T Một không gian tôpô X được gọi là một 1 −T không gian nếu với mỗi cặp điểm khác nhau 1 2, ∈x x X , tồn tại hai tập mở , ⊆U V X sao cho 1 2,∈ ∉x U x U và 2 1,∈ ∉x V x V . 1.1.11 . Tiên đề 2T Một không gian tôpô X được gọi là một 2 −T không gian hay không gian Hausdorff nếu với mỗi cặp điểm khác nhau 1 2, ∈x x X , tồn tại hai tập mở , ⊆U V X sao cho 1 2,∈ ∈x U x V và ∩ =∅U V . 1.1.12 . Tiên đề 3T Một không gian tôpô X được gọi là một 3 −T không gian hay không gian chính qui, nếu X là 1 −T không gian, với mỗi ∈x X và mỗi tập đóng ⊂F X , ∉x F , tồn tại hai tập mở 1 2,U U sao cho 1∈x U , 2⊂F U và 1 2∩ ≠∅U U . 7 1.1.13 . Tiên đề 13 2 T Một không gian tôpô X được gọi là một 13 2 −T không gian hay không gian Tychonoff nếu X là 1 −T không gian, với mọi ∈x X và mọi tập đóng ⊂F X , ∉x F , tồn tại một hàm liên tục :f X I→ [ ] [ ]( )( ) 0,1 , 0,1f x x X I∈ ∀ ∈ ⊆ ⊆  sao cho ( ) 0=f x , ( ) 1 .f y y F= ∀ ∈ 1.1.14 . Tiên đề 4T Một không gian tôpô X được gọi là một 4 −T không gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là 1 −T không gian và mỗi cặp tập con đóng rời nhau , ⊂A B X , tồn tại hai tập mở ,U V sao cho ,A U B V⊂ ⊂ và ∩ =∅U V . 1.2. Không gian compact 1.2.1. Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có phủ con hữu hạn. Nghĩa là nếu có một phủ mở { } ∈s s SU trong không gian X thì tồn tại tập hữu hạn { }1 2, ,....., ⊂ks s s S sao cho 1 2 ...= ∪ ∪ ∪ ks s sX U U U . 1.2.2. Định lí Một không gian Hausdorff X là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi họ tập đóng của X có tính giao hữu hạn và có giao khác trống. 1.2.3. Định lí Mỗi không gian con đóng của không gian compact là compact. 8 1.2.4. Định lí Mỗi không gian compact là chuẩn tắc. 1.2.5. Định lí Nếu tồn tại một toàn ánh liên tục : →f X Y , của không gian compact X vào không gian Hausdorff Y thì Y là không gian compact. 1.2.6. Định lí Cho A là một không gian con trù mật trong không gian tôpô X và f là ánh xạ liên tục từ A vào không gian compact Y . Ánh xạ f thác triển liên tục trên X nếu và chỉ nếu mọi cặp tập đóng rời nhau 1 2, ∈B B Y có nghịch ảnh ( ) ( )1 11 2,f B f B− − là hai bao đóng rời nhau trong X . 1.2.7. Định lí Tychonoff Tích Đề-các ∈∏ ss S X (trong đó ,sX s S≠∅ ∀ ∈ ) là compact nếu và chỉ nếu mọi không gian sX compact. 1.2.8. Định nghĩa Một không gian tôpô được gọi là compact địa phương nếu mọi ∈x X tồn tại lân cận U của điểm x sao cho U là không gian con compact của X . 1.2.9. Định lí Mỗi không gian compact địa phương là không gian Tychonoff. 9 1.2.10. Định lí Nếu tồn tại ánh xạ mở : →f X Y của không gian compact địa phương X lên không gian Hausdorff Y thì Y là không gian compact địa phương. 1.3. Lưới, lọc, các ánh xạ liên quan 1.3.1. Định nghĩa Một lưới trong trong không gian tôpô X là một ánh xạ bất kì từ tập có hướng khác rỗng vào X . Lưới được kí hiệu là { },S xδ δ= ∈∑ . Trong đó Σ tập có hướng, hai phần tử 1 2,δ δ thuộc Σ luôn so sánh được kí hiệu là 1 2δ δ≥ . Mỗi điểm x trong X được gán với phần tử δ trong tập có hướng Σ , ta viết xδ . 1.3.2. Khái niệm Một điểm x X∈ được gọi là điểm giới hạn lưới { },S xδ δ= ∈∑ trong X nếu mọi lân cận U của x tồn tại 0δ ∈∑ sao cho 0, .x Uδ δ δ∈ ∀ ≥ Ta nói lưới S hội tụ về x . Một lưới có thể hội tụ về nhiều điểm. Tập các giới hạn của lưới S kí hiệu là limS hoặc lim xδδ∈∑ . Nếu lưới S có đúng một điểm giới hạn x khi đó ta viết x limS= hoặc x lim xδδ∈∑= . 1.3.3. Định nghĩa Một điểm x được gọi là điểm tụ của của lưới { },S xδ δ= ∈∑ nếu mọi lân cận U của x và mọi 0δ ∈∑ tồn tại một 0δ δ≥ sao cho .x Uδ ∈ 1.3.4. Định lí Một không gian Hausdorff X là compact nếu và chỉ nếu mỗi lưới trong X có một điểm tụ. 10 1.3.5. Định nghĩa Cho một họ F ≠∅ các tập con của X được gọi là lọc trong X nếu F thỏa các điều kiện dưới đây: a) A F A∈ ⇒ ≠∅ . b) 1 2 1 2,A A F A A F∈ ⇒ ∩ ∈ . c) , .A B A F B F⊂ ∈ ⇒ ∈ 1.3.6. Định nghĩa Lọc F trong X được gọi là siêu lọc nếu F là lọc tối đại nghĩa là: ( 'F là lọc trong ,X 'F F⊂ ) 'F F⇒ = . 1.3.7. Định nghĩa Cho X là một tập hợp, x là một phần tử của X , tập xF = { :A X⊂ }x A∈ là lọc trên X và được gọi là lọc chính trên X tại x . 1.3.8. Định nghĩa Cho không gian tôpô X , F là lọc trong X và điểm x nằm trong X . Ta nói rằng F hội tụ về x nếu mọi lân cận của x đều thuộc F và ta viết là →F x . Nếu F hội tụ về điểm x trong X thì x gọi là “điểm giới hạn của F ” và ta viết =x lim F . 1.3.9. Định nghĩa Một điểm x được gọi là điểm tụ của lọc F nếu x thuộc về bao đóng của mọi tập con của F . 1.3.10. Định lí Một không gian tôpô X là không gian Hausdorff nếu và chỉ nếu mỗi lọc trong X có nhiều nhất một điểm giới hạn. 11 1.3.11. Định lí Một không gian Hausdorff là compact nếu và chỉ nếu mọi lọc trong X có một điểm tụ. 1.3.12. Nhận xét Có hai loại siêu lọc khác nhau trên  siêu lọc chính và siêu lọc tự do. +) Siêu lọc chính là siêu lọc chứa số không. +) Không là siêu lọc chính là siêu tự do. 1.3.13. Định lí Cho lọc F trên tập X . Ta có các phát biểu sau là tương đương: a) F là một siêu lọc. b) Với mỗi ⊂A X : A F∈ hoặc \= ∈CA X A F . c) Với mỗi phủ mở hữu hạn { } 1= n i i A của tập A F∈ , ∈iA F với i nào đó 1.3.14. Định nghĩa Đặt β là tập các siêu lọc trên  . Ta đồng nhất  với một tập con của β , tương ứng với mỗi n ta đồng nhất với siêu lọc chính nF tại n . Ta kí hiệu: * \β=   là tập các siêu lọc tự do trên  . 1.3.15. Định nghĩa Cho X là không gian tôpô và Y là không gian compact, : →c X Y là đồng phôi nhúng từ X vào Y sao cho ( ) =c X Y . Cặp ( ),Y c được gọi là compact hóa của không gian X . 1.3.16. Định lí X có compact hóa nếu và chỉ nếu X là không gian Tychonoff. 12 1.3.17. Định nghĩa Compact hóa Stone-Cech  là kĩ thuật xây dựng ánh xạ phổ dụng từ không gian tôpô X vào không gian compact Hausdorff β X . Compact hóa Stone-Cech  β X của không gian tôpô X là không gian compact Hausdorff tối đại sinh bởi X . 1.3.18. Định lí Ginsburg và Saks Cho ,X Y là hai không gian tôpô, ( ),∈f C X Y . Ta gọi :β β→f X Y là ánh xạ thác triển của f . Khi đó: ( ),β β∈f C X Y và =Xf f . 1.3.19. Định lí  trù mật trong β . 1.3.20. Định nghĩa Một ánh xạ liên tục :f X Y→ gọi là hoàn chỉnh nếu X là không gian Hausdorff , f là ánh xạ đóng và mọi thớ ( )1f y− là tập compact con X. 1.3.21. Định nghĩa Một ánh xạ f trên tập S được gọi là phép biến đổi bất biến dưới T của S vào chính nó, nếu ( ) ( ),f TX f X X S= ∀ ∈ . 1.4. Không gian −p compact, không gian giả compact, không gian −p giả compact, không gian −ω bị chặn 1.4.1. Định nghĩa Cho p là một siêu lọc trên  và X là một không gian tôpô, ( )n nx ∈ là dãy điểm trong X . Một điểm x X∈ gọi là p −giới hạn của dãy điểm 13 ( )n nx ∈ , nếu mọi lân cận W của x sao cho { }: ∈ ∈nn x W p (tập chỉ số thuộc p ). Dãy điểm ( )n nx ∈ trong X có điểm x X∈ gọi là p −giới hạn, khi đó x là duy nhất và ta kí hiệu: →∞ = − nnx p lim x (hay kí hiệu = − nx p limx ). 1.4.2. Định nghĩa Cho X là không gian tôpô và { }: ∈ ⊆nx n X . Khi đó ∈x X là điểm tụ của dãy { }: ∈nx n  nếu có *∈p  sao cho = − nx p lim x . 1.4.3. Định nghĩa Cho siêu lọc tự do p trên  . Một không gian Tychonoff X là p − compact nếu mọi dãy điểm trong X có một điểm p − giới hạn. 1.4.4. Bổ đề Với mỗi *∈p  , không gian −p compact có tính chất sau : + Mỗi không gian compact là không gian −p compact. + Tích các không gian −p compact là không gian −p compact. + Các tập con đóng trong không gian −p compact di truyền tất cả các tính chất của không gian này. 1.4.5. Định nghĩa Cho siêu lọc *p∈ , một dãy tập con khác rỗng ( )n nU ∈ của không gian tôpô X , ta nói rằng một điểm được gọi là điểm giới hạn của dãy ( )n nU ∈ nếu mọi lân cận của thì { }:∈ ∩ ≠∅ ∈ nn W U p (tập chỉ số thuộc ). x X∈ p − W x p 14 Chú ý: Ta gọi ( )( ), n nL p U ∈ là tập chứa các điểm −giới hạn của dãy ( )n nU ∈ thì ( )( ), n nL p U ∈ là tập đóng khác rỗng nhiều hơn một phần tử. 1.4.6. Định nghĩa Một không gian Tychonoff X là giả compact nếu mọi dãy tập con mở khác rỗng { }:nU n∈ của X có *p∈ sao cho ( )( ), n nL p U ∈ ≠ ∅ . 1.4.7. Định nghĩa Một không gian Tychonoff X được gọi là giả compact nếu mỗi hàm số liên tục : →f X  thì bị chặn. 1.4.8. Định lí Mỗi không gian Tychonoff compact đếm được là không gian giả compact. 1.4.9. Định lí Nếu có ánh xạ liên tục :f X Y→ của không gian giả compact X lên không gian Tychonoff Y thì Y là không gian giả compact. 1.4.10. Định nghĩa Cho *p∈ , không gian Tychonoff X được gọi là p −giả compact nếu mọi dãy tập con mở khác rỗng của X có một điểm p −giới hạn. 1.4.11. Định nghĩa 1) Cho si