Luận văn Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ Trần Hồng Mơ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA VỚI LỆCH KHÔNG BỊ CHẶN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HOÁ Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hoá đã tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy Cô trong khoa Toán của Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy cho tôi trong quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn Phòng KHCN & SĐH, Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư Phạm TP. HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khoá học này. Tôi xin cảm ơn người thân trong gia đình đã động viên, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khoá học này. Sau cùng, tôi xin cảm ơn các bạn học viên giải tích khoá 16 đã giúp đỡ tôi trong khoá học. Tp.Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008 Tác giả Trần Hồng Mơ MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực đều có thể ứng dụng : y khoa, xây dựng, điện tử, kiến trúc ,, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn đã được Hernán .R. Henríquez sử dụng công cụ nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục mạnh để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hoà với lệch không bị chặn. Mục đích của luận văn này là thiết lập những kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn và luận văn chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình trung hoà với lệch không bị chặn cụ thể. Đó là lý do tôi chọn đề tài . 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng toán tử tuyến tính của nửa nhóm liên tục mạnh và các kết quả trong không gian pha để chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Lời giải nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Toán tử tuyến tính của nửa nhóm liên tục là một công cụ rất mạnh đã được nhiều nhà toán học sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài Phần nội dung : Chương 1 : Giới thiệu bài toán Chương 2 : Các kiến thức bổ trợ. Chương 3 : Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. Chương 4: Các ví dụ. Phần kết luận : Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt được . Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Luận văn trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hoà với tính lệch không bị chặn được cho bởi dạng sau:   0t td x( t ) F( t, x ) Ax( t ) G(t, x ), tdt     trong đó: * F, G thoả các điều kiện thích hợp * A là phần tử vi phân của nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính xác định trên không gian Banach X. Trong suốt luận văn này, X là không gian Banach với chuẩn . . Khi đó phần tử vi phân A của nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính T(t) ( 0t  ) xác định trên X được định nghĩa như sau: : ( )A D A X X  với  0t T t x xD A x X toàn taïit   ( )( ) : lim và 0 0 ( ) ( )lim t t T t x x dT t xAx t dt    , với ( )x D A . Hơn nữa nếu T là nửa nhóm giải tích và bị chặn đều với A là phần tử vi phân sao cho 0 ( )A thì xác định lũy thừa ( ) (0 1)A     như là toán tử tuyến tính đóng xác định trên (( ) )D A  . Khi đó (( ) )D A  trù mật trong X và ta định nghĩa chuẩn trên (( ) )D A  như sau : ( ) , (( ) )x A x x D A      . Từ đây về sau ta sẽ kí hiệu X thay cho (( ) )D A  với chuẩn .  . Với các điều kiện trên ta có các bổ đề sau: ( trong [17] ) 1.1. Bổ đề 1.1 Cho 0 1  thì X là không gian Banach. 1.2. Bổ đề 1.2 Nếu0 1    thì X X  là phép nhúng compact với mọi ( )A là compact. 1.3. Bổ đề 1.3 Với mỗi a > 0, tồn tại hằng số dương aC sao cho : ( ) ( ) , 0aCA T t t a t      . 1.4. Bổ đề 1.4 Với mỗi a > 0, tồn tại hằng số dương aC sao cho :  ( ) ( ) , 0aT t I A C t t a       . * Và :( ;0]tx X  với ( ) ( )tx x t   phụ thuộc vào không gian pha B nào đó. B là không gian tuyến tính các ánh xạ đi từ ( ;0] vào X với chuẩn . B . Không gian B thỏa các tiên đề sau: (B.1) Nếu :( ; ) , 0x a X a    liên tục trên [ , )a   và x B thì với mỗi [ , )t a   ta có các tính chất sau : i) tx B ii) tx t H x B( ) iii)  ( )sup ( ) : ( )tx K t x s s t M t xB B        . với 0H  ; , :[0, ) [0, )K M    , K liên tục, M bị chặn địa phương và H, K, M không phụ thuộc vào x(.) . (B.2) Với x(.) ở trên (B.1), tx là hàm liên tục trong B trên [ , )a   . (B.3) B là không gian đầy đủ. Kí hiệu Bˆ là không gian thương Banach B/ . B , nếu B ta viết ˆ cho lớp tương đương xác định bởi . Khi đó toán tử W(t) xác định bởi    ( ) (0), 0( ) ( ) ( ),T t tW t t t             là nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính xác định trên B. Sau đây là ví dụ cụ thể về không gian pha . 1.5. Ví dụ1.1 Xét không gian B = ( , ), 0prC L g X r  , 1 p  gồm các hàm :( ;0] X   sao cho  liên tục trên [-r ; 0], đo được ( Lesbesgue) và (.) pg  khả tích Lesbesgue trên ( ; )r  , trong đó :( ; )g r   là hàm dương đo được Borel . Nửa chuẩn trên B được xác định bởi:   1/ sup ( ) : 0 ( ) ( ) pr pr g d                  . Ta luôn giả sử g thoả hai điều kiện sau: (g-1) g khả tích trên ( ; )r  . (g-2) Tồn tại hàm  không âm và bị chặn địa phương xác định trên( ;0] sao cho: ( ) ( ): ( )g g      , với mọi 0  và ( ; ) \r N    , trong đó ( ; )N r    là tập có độ đo bằng 0. Khi đó B là không gian pha thoả các tiên đề trên( [13], Định lý 1.3.8). Chương 2 CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ 2.1. Định nghĩa 2.1 Cho E là không gian Banach, A là tập con bị chặn. Độ đo phi compact Kuratowski định bởi:  1 2 0   n A d A ñöôïc phuû bôûi moät soá höõu haïn caùc taäp hôïp A A A coù ñöôøng kính nhoû hôn hay baèng d ( ) inf / , ,..., 2.2. Tính chất 2.2 a) ( ) ( ) ( )A A coA    b) ( ) 0A   A compact tương đối. c) ( ) ( )A B  nếu A B d) ( ) ( ) ( )A B A B     e) ( ) ( )tA t A  . 2.3. Định nghĩa 2.3 Ánh xạ liên tục :f D E E  được gọi là k- cô đặc nếu tồn tại (0,1)k sao cho : ( ( )) ( )f A k A  với mọi A bị chặn chứa trong D . 2.4. Định lý 2.4 Cho D là tập lồi đóng bị chặn khác rỗng trong không gian Banach E và :f D D là ánh xạ k- cô đặc thì f có điểm bất động . 2.5. Định lý 2.5( [19], Định lý 2.1 ) Với B là không gian pha thỏa các tiên đề nói ở chương I và E là không gian Banach. Nếu X và [ , ]X t là hai tập bị chặn tương ứng trong B và  [ , ],C t E thì bất đẳng thức sau xảy ra: ˆ ˆ( ) ( ) ( [ , ]) ( ) ( )tX K t X t M t X         Trong đó  [ , ] [ , ]: (( , ), )X t x t x X a E      và  : (( , ), )t tX x x X a E     B với (( , ), ), 0X a E a     , là tập các ánh xạ :( , )x a E   sao cho x B và x(t) liên tục trên [ , )a   . 2.6.Định lý 2.6: ( Định lý Schauder ) Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và :f C C liên tục sao cho ( )f C là tập compact tương đối . Khi đó f có điểm bất động trong C . 2.7.Định lý 2.7: ( [17], Bổ đề 2.3 ). Nếu T(t) là nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn thì với mọi x X, ( )t T t x là hàm liên tục từ 0 vào X 2.8.Định lý 2.8: ( [1], Bài tập 18 chương VI ) Cho  ne là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H,  n là dãy số hội tụ đến 0. Khi đó toán tử :A X X được xác định bởi : 1 ,n n n n Ax x e e   , là toán tử compắc. Chương 3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN Đầu tiên luận văn bắt đầu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy trừu tượng: (3.1)  t td x( t ) F( t, x ) Ax( t ) G( t, x ), tdt     (3.2) x   trong đó  là tập mở trong B . F, G: [ , ]a X   là các hàm liên tục và 0 a  . Ta giả sử A luôn là phần tử vi phân của nửa nhóm T(.) của các toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X . Ta giả sử rằng 0 ( )A và nửa nhóm T(.) bị chặn đều tức là ( )T t M  với 1, 0M t  . 3.1. Định nghĩa 3.1 Ta nói rằng hàm :( , )x b X   , b > 0, là một nghiệm yếu của bài toán Cauchy (3.1)- (3.2) nếu x  ; thu hẹp của x(.) trên [ , )b   liên tục và với mỗi t b    hàm ( ) ( , ), [ , )sAT t s F s x s t  là khả tích và thoả mãn: (3.3)  ( ) ( ) (0) ( , ) ( , ) ( ) ( , )tt sx t T t F F t x AT t s F s x ds            ( ) ( , ) , t sT t s G s x ds t     Để thuận lợi cho việc chứng minh, xin giới thiệu vài kí hiệu cần thiết : * Với mỗi cặp số dương r,  ta đặt:   ( , , ) [ , ]; : ( ) 0, ( ) ,C r u C X u u t r t                . Dễ thấy ( , , )C r  là tập khác rỗng lồi đóng bị chặn trong  [ , ];C X   , trong đó  [ , ];C X   có chuẩn là sup. *VớiB, ta kí hiệu ( , , , )S r   là tập hợp các ánh xạ :( , ]x X    sao cho x  , ,tx t      , x(.) liên tục trên [ , ]   và sup ( ) ( ) (0) s x s T t r            . Rõ ràng nếu 1  và 1r r thì 1 1( , , , ) ( , , , )S r S r      . Trong trường hợp 0  , ta viết ( , )C r thay cho ( , , )C r  và ( , , )S r  thay cho ( , , , )S r   . Để liên hệ các kí hiệu này ta xét mệnh đề sau đây: 3.2. Mệnh đề 3.2 Xét (., ) :( , )y X    định bởi  ( ),( , ) ( ) (0),t ty t T t t          Và đặt ( ) ( ) ( , )u t x t y t   với ( , , , ),x S r t       . Khi đó ( , , )u C r  và ( )t tx u W t     , t     . Chứng minh Ta chứng minh ( , , )u C r  . + Ta thấy u(t) = 0 với mọi t  . Thật vậy : vì ( , , , )x S r   nên x  ( ) ( ) ( )x t x t t        ( ) ( ) ( , ) 0u t x t y t     . + ( )u t r Thật vậy t      ( ) ( ) ( ) (0)u t x t T t      . Do ( , , , )x S r   nên ( )u t r . Như vậy ( , , )u C r  . Bây giờ ta chứng minh ( )t tx u W t     , t     . Ta có ( ) ( ) ( , )u t x t y t        với t     và 0  . Nếu t   thì ( ) 0t      ( ) ( ) ( ) (0) ( ) [ ( ) ]( )t t tu x T t x W t                . Nếu t    thì ( )t   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]( )t t tu x t x W t                . ■ Ngược lại, với mỗi ( , , )u C r  chúng ta định nghĩa u là mở rộng của u bởi : ( ) 0u   với   và ( ) ( )u t u t với t r   . Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán (3.1)- (3.2) 3.3. Định lý 3.3 Cho  và giả sử các điều kiện sau xảy ra: (a-1) Tồn tại (0,1) sao cho F nhận giá trị trong X và ( )A F liên tục . (a-2) Tồn tại hằng số dương 0 0, r sao cho ánh xạ  0 0 0: ( , , ) [ , ];F C r C X      được cho bởi ( )( ) ( , ( ) )tF u t F t u W t      là hoàn toàn liên tục. (b-1)Tồn tại hằng số 0 ( )b a    và ( ) 0r   sao cho ( )[ ]rB    và với mỗi 0 ( )t b   , có tập compact tU X sao cho ( ) ( , ) tT t G s U  với mọi ( ) [ ]rB   và mọi ( )s b     . Thì bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm yếu (., )x  xác định trên ( , )b  , b > 0. Chứng minh Để đơn giản ta giả sử  = 0. Vì ( )A F và G liên tục và  là tập mở trong B nên tồn tại 0 ( )r r   sao cho [ ]rB   ; 1( ) ( , )A F t C   và 2( , )G t C  , với C1, C2 là các hằng số, mọi 0 ( )t b   và [ ]rB  . Theo định lý 2.7, (.)W  liên tục nên ta có thể chọn  > 0 sao cho : (3.4) ( ) 2B rW t     với mọi 0 t    . Đặt 0 max ( ) t K K t   và  0min , 2rr r K  . Từ (a-2) suy ra tập các ánh xạ  ( , ): ( , , )tF t x x S r   là tập compact tương đối nên suy ra 0 lim ( , ) (0, )tt F t x F   đều trên ( , , )x S r   . Từ đó ta suy ra có 0  đủ nhỏ để tồn tại  00 min , , ( )b     sao cho các bất đẳng thức sau xảy ra : (3.5) ( ( ) ) (0, )T t I F    , (3.6) (0, ) ( , )tF F t x   và (3.7) 12 2 a C CMC r     với mọi 0 t   và ( , , )x S r   , trong đó Ca được giới thiệu trong tính chất 3 chương I . Nếu x(.) thỏa phương trình (3.3), chúng ta có thể phân tích ( ) ( ) ( , ),x t u t y t t    với ( , )y t  đã định nghĩa ở mệnh đề 3.2. Rõ ràng ánh xạ u(.) thỏa phương trình (3.8) 0 ( ) ( ) (0, ) ( , ) ( ) ( , ) t t t s su t T t F F t u y AT t s F s u y ds       0 ( ) ( , ) , 0 t s sT t s G s u y ds t      trong đó ta viết tắt là y(.) thay cho (., )y  . Từ (3.8) ta định nghĩa các ánh xạ 1 2, ,   xác định trên ( , )C r như sau: (3.9) 1 0 ( )( ) ( ) ( , ) t s su t AT t s F s u y ds     (3.10) 2 0 ( )( ) ( ) (0, ) ( , ) ( ) ( , ) t t t s su t T t F F t u y T t s G s u y ds        và 1 2    với mọi 0 t   . Để chứng minh bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm yếu ta chứng  có điểm bất động trên ( , )C r . Đầu tiên ta sẽ chứng minh 1 2,  là hai ánh xạ hoàn toàn liên tục lấy giá trị trong  [0, ]; )C X và  có tập giá trị compact chứa trong ( , )C r . Để chứng minh các nhận định đó, đầu tiên ta chú ý nếu u(.) ( , )C r thì ( )tu W t   [ ]rB  với mọi 0 t   . Thật vậy: Theo tiên đề (B-1) ta có :   0( )sup ( ) :0 ( )B Btu K t u s s t M t u      Với 0 ( ) ( ) 0, 0u u      . Suy ra Btu Kr  . Kết hợp với (3.4) ta được : ( ) ( ) BB Bt tu W t u W t         2 rKr   r . Vì G liên tục nên 2 xác định trên ( , )C r và 2( )(.)u là hàm liên tục . Ta sẽ chứng minh 2( )(.)u là hàm liên tục . Thật vậy : với 0 h   ta có: 2 2 0 0 ( )( ) ( )( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) t h t h t h t t t s s s s u t h u t T t h F T t F F t h u y F t u y T t h s G s u y ds T t s G s u y ds                              Do tập các ánh xạ  ( , ): ( , , )tF t x x S r   là tập compact tương đối nên ta chỉ cần chứng minh 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) t h t s s s sT t h s G s u y ds T t s G s u y ds          =   0 ( ) ( ) ( , ) t s sT t h s T t s G s u y ds        0( ) ( , ) 0 t h h s s t T t h s G s u y ds        Với 0 ( )t h s b     thì tồn tại C2 > 0 sao cho : 2( ) ( , )s sT t h s G s u y C    ( do ( ) ( , ) t h sT t h s G s U     ) Suy ra 02( ) ( , ) 0 t h h s s t T t h s G s u y ds C h        . Mặt khác do ( ) ( , )s s t sT t s G s u y U    ( vì s su y  [ ]rB  ) và T(.)x, t sx U  , là đẳng liên tục nên với mọi 0  tồn tại  00 min , , ( )b     sao cho 1 2( ) ( )T t x T t x   với mọi t sx U  và 1 2t t   . Vì vậy với 0 h   ta có:     0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) (0) ( ) ( , ) t t s s s sT t h s T t s G s u y ds T h T T t s G s u y ds            Vì vậy 2( )(.)u là hàm liên tục. Do F lấy giá trị trong X và ( )A F liên tục nên ( ) ( , )s sA F s u y  và ( , )s sF s u y liên tục . Hơn nữa vì T(.) là nửa nhóm giải tích nên ( )s AT t s liên tục trên tôpô đều các toán tử xác định trên [0, t). Vì vậy ( ) ( , )s sAT t s F s u y  liên tục trên [0, t). Áp dụng bổ đề 1.3 ta được (3.11) 1( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , )s s s sAT t s F s u y A T t s A F s u y          1 1( ) aC C t s    Suy ra ( ) ( , )s sAT t s F s u y  khả tích trên [0, t). Ta suy ra 1 được xác định và lấy giá trị trong  [0, ]; )C X . Ta sẽ chứng minh 1( )(.) u là hàm liên tục. Với 0 h   ta có:   1 1 0 ( )( ) ( )( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )                             t h s s t t s s t h s s t u t h u t AT t h s F s u y ds A T t h s T t s F s u y ds AT t h s F s u y ds   0 ( ) ( ) ( , )   t s s - T h I AT t s F s u y ds Theo (3.11), bổ đề 1.3 và bổ đề 1.4 ta có: 1 11 1 1 1 0 ( )( ) ( )( ) ( ) . ( ) ( )              t h t a a t C C C Cu t h u t ds T h I ds t h s t s 01 1. ( ) . 0        ha ahC C T h I C C . Tiếp theo ta chứng minh ( , )u C r  thì ( , )u C r  . Thật vậy : 1 0 0 ( )( ) ( ( ) ) (0, ) (0, ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t s s s s u t T t I F F F t u y A T t s A F s u y ds T t s G s u y ds                        Với 1 1 11 0 0 ( ) ( )( ) ( , ) ( ) t t a a s s C C C CA T t s A F s u y ds ds t s              Và 2 0 ( ) ( , ) t s sT t s G s u y ds MC     . Vì vậy 12( )( ) 2 aC Cu t MC r       , với mọi 0 t   . Bây giờ ta chứng minh : Tập giá trị 1( ) là compact tương đối. * 1( )( )t là tập compact tương đối trong X với mỗi 0 t   . Thật vậy, ta có thể giả sử rằng t > 0 . Cho 0 t  thì 1 0 1 ( )( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) t s s t s s t u t AT T t s F s u y ds A T t s A F s u y ds                          Từ (a-2) ta nhận được ( , )s sF s u y , 0 s   thuộc tập compact và do ( ) ( )A T  bị chặn nên áp dụng định lý giá trị trung bình của tích phân Bochner. ta suy ra: 0 ( ) ( ) ( , ) t s sAT T t s F s u y ds         cũng thuộc tập compact . Hơn nữa ta có: 1 01 1 1( ) ( )( ) ( , ) 0( ) t t a a s s t t C C C CA T t s A F s u y ds ds t s                     . Do vậy 1( )( )t là tập compact tương đối. * 1( ) đẳng liên tục tại t0 . Thật vậy, lấy 00 t t    . Từ định nghĩa của 1 ta có: 0 0 1 1 0 0 0 ( )( ) ( )( ) [ ( ) ( )] ( , ) ( ) ( , ) t t s s s s t u t u t A T t s T t s F s u y ds AT t s F s u y ds               0 0 0 0 0 [ ( ) )] ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t s s s s t T t t I AT t s F s u y ds AT t s F s u y ds          0 1 0 1 0[ ( ) )] ( )( ) ( ) ( )( ) ( , ) t s s t T t t I u t A T t s A F s u y ds           . Từ biểu thức này và sử dụng tính compact của 1 0( )( )t và tính đẳng khả tích của 1( ) ( )( ) ( , )s sA T t s A F s u y     với ( , )u C r thì ta được 1( ) đẳng liên tục bên phải của t0 . Tương tự ta cũng có thể chứng minh 1( ) đẳng liên tục tại mọi t0 0 . Bây giờ ta đi chứng minh 2( ) là compact tương đối. * 2( ) đẳng liên tục tại t0 Với 0  cố định, ta lấy 00 t t     . Từ định nghĩa của 2 ta có : 2 2 0( )( ) ( )( )u t u t     0 00 0 ( ) ( ) (0, ) ( , ) ( , )t t t tT t T t F F t u y F t u y          0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) tt s s s s t t T t s G s u y ds T t s T t s G s u y ds             0 0 0 ( ) ( ) ( , ) t s sT t s T t s G s u y ds        Xét     0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) t s s t s s T t s T t s G s u y ds = T t s T t s T G s u y ds                       Do T(.)x, x U , là đẳng liên tục nên với mọi 0  tồn tại  00 min , , ( )b     sao cho 1 2( ) ( )T t x T t x   với mọi x U và 1 2t t   . Và ( ) ( , )s sT G s u y U   ( vì s su y  [ ]rB  , 0 s t  ) cho nên với 0t t   thì ta có:  0 0 0 ( ) ( ) ( , ) t s sT t s T t s G s u y ds          Mặt khác ta có: 0 2 0( ) ( , ) ( ) t s s t T t s G