Luận văn Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong không gian 2D và 3D

Trong lĩnh vực công nghệ máy tính cũng như công nghệ thông tin có những bước phát triển nhảy vọt, nó đã hỗ trợ vào mọi lĩnh vực trong cuộc sống xã hội, sản phẩm của công nghệ thông tin biến đổi hàng ngày, hàng giờ. Trong lĩnh vực tốn học, các sản phẩm của công nghệ thông tin cũng hỗ trợ đắc lực cho việc học tập và nghiên cứu. Đề tài tôi thực hiện là: “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 2D VÀ 3D“. Đề tài sử dụng ngôn ngữ lập trình Visual C++ để thể hiện. Về góc độ học tập, nghiên cứu tôi thấy đề tài có thể giúp hiểu rõ thêm về kiến thức cơ bản của phần đồ họa máy tính và cho vấn đề kiểm tra thực hiện một số bài tốn hình học thêm phong phú hơn, tạo thêm phần hấp dẫn trong môn học này. Trong thời gian thực hiện đề tài tôi đã thực hiện được những yêu cầu của đề tài. Việc thực hiện đề tài còn mang ý nghĩa đánh giá lại quá trình học tập, nghiên cứu của tôi. Nên về mặt tinh thần tôi đã cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu, và chuẩn bị khá chu đáo cho việc thực hiện. Nhưng sự tiếp thu cũng có những giới hạn nhất định, bởi trong lĩnh vực máy tính cũng như cơ sở tốn học rộng lớn, không gian diễn dịch có thể vô hạn, sự thực hiện một ý tưởng nào đó có thể trong tốn học thực hiện được, nhưng việc thể hiện thuật tốn bằng máy tính thì có những vấn đề khó thể thực hiện, vì vậy đề tài chắc chắn còn nhiều thiếu sót nhất định. Mong quý Thầy cô, Anh chị và các bạn thông cảm, đóng góp ý kiến giúp đỡ. Tôi thành thật cảm ơn …! SINH VIÊN THỰC HIỆN LÊ QUỐC THÁI PHẦN I: GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC Để cho người đọc tham khảo đề tài “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC“ dễ dàng hình dung được, tôi xin giới thiệu sơ lược về đề tài. Nhiệm vụ thực hiện của đề tài: Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong: Không gian hai chiều (2D) Không gian ba chiều (3D) Với ngôn ngữ thể hiện trên môi trường Visual C++. Đề tài áp dụng các kiến thức về cơ sở tốn học và không gian vector trong đồ họa máy tính, để xây dựng những thuật tốn kiểm tra các quan hệ hình học. Để dễ dàng hơn tôi xin trình bày một ví dụ điển hình như sau: Ví dụ: cho đường thẳng a qua hai điểm A và B và đường thẳng b qua hai điểm C và D trong không gian 2D hay 3D thì hai đường thẳng này cũng có những sự tương quan với nhau, như trùng nhau, cắt nhau với một góc nào đó, chéo nhau (trong không gian 3D), hay song song… Sau khi đưa vào những điều kiện giả thiết ban đầu (Input), thì chương trình thực hiện và đưa ra kết quả kiểm tra (output) của giả thiết trên là hai đường thẳng a và b đã tương quan như thế nào với nhau? Cắt nhau một góc bao nhiêu độ, song song, hay trùng nhau... Đó là về mặt thuật tốn chương trình kiểm tra, đây chỉ mới là một tác vụ thực hiện của vấn đề này. Với bài tốn như trên nếu chỉ đưa ra được những kết luận với những dòng thông điệp thì chúng ta thấy rằng đề tài trở nên quá đơn giản không phong phú và hấp dẫn qua ý kiến của người đọc hoặc tham khảo. Một tác vụ cùng đồng thời với bài tốn trên mà nhiệm vụ của đề tài yêu cầu thực hiện là khi đưa vào giả thiết bài tốn chẳng hạn hai điểm A và B với những tọa độ xác định nào đó, qua hai điểm này sẽ thực hiện vẽ lên một đoạn thẳng qua hai điểm A và B. Từ đó thấy vấn đề một cách trực quan hơn, hay vẽ ra góc giữa hai đường thẳng, chính với những thể hiện này đề tài trở nên hấp dẫn phong phú hơn, tất nhiên vấn đề này không ít những khó khăn cho người thực hiện đề tài. Trong phần nội dung tôi sẽ trình bày chi tiết hơn về đề tài “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG 2D VÀ 3D“. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC NGÔN NGỮ THỂ HIỆN ĐỀ TÀI 1. SƠ LƯỢC NGÔN NGỮ Ở phần I giới thiệu sơ lược về “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC“, tôi đã trình bày một ví dụ về yêu cầu nhiệm vụ để thực hiện một tác vụ kiểm tra vấn đề nào đó của đề tài này. Để thực hiện những vấn đề đó tôi nghiên cứu và thực hiện trên môi trường ngôn ngữ Visual C++. Visual C++ là một phần mềm lập trình hướng đối tượng được phát triển trên cơ sở là ngôn ngữ lập trình C và C++. Ở đây tôi thể hiện đề tài trên ngôn ngữ Visual C++ bởi lẽ hiện nay ngôn ngữ này được xem là một trong các ngôn ngữ hỗ trợ (support user) mạnh và phổ biến nhất. Cùng mục đích sâu xa hơn nữa là để cho những đề tài sau này có thể trên cùng ngôn ngữ xây dựng ý tưởng của đề tài “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC“ ngày thêm một đầy đủ, phong phú, hấp dẫn và ứng dụng mang tính thiết thực hơn. Tôi đầu tiên nghiên cứu tìm hiểu tổng quát về ngôn ngữ như Visual C++, thực hiện những chương trình điển hình trên ngôn ngữ lập trình hướng đối tượng. Và phần tìm hiểu chính là phần thực hiện yêu cầu của đề tài, cụ thể là về phương diện tính tốn trong những thuật tốn và thể hiện trực quan bằng đồ hoạ máy tính trên ngôn ngữ Visual C++. Trong Visual C++ phần đồ họa được thể hiện trong lớp CDC (Class Device Context) với nhiều hàm thành viên hỗ trợ cho việc vẽ điểm, đường, đa giác, tô màu…. Đặc biệt hơn trong ngôn ngữ Visual C++ có sự hỗ trợ cho việc vẽ các đối tượng hình học bằng chuột. Nhưng ngôn ngữ chỉ thực hiện được với các đối tượng hình học 2D, đối tượng hình học 3D thì chưa có, cần phải tự thiết kế. Trong quá trình nghiên cứu, tôi nhận thấy trong ngôn ngữ Visual C++ có bộ thư viện OPENGL là một thư viện API hỗ trợ cho việc thực hiện các chương trình đồ họa, trên cả 2D và 3D rất mạnh, chính vì thế ở phần kiểm tra các quan hệ hình học phần 3D tôi thực hiện trên OPENGL. Từ đây tôi chuyển hướng sang nghiên cứu OPENGL để thực hiện cho phần 3D. Để hiểu và thực hiện được trên nó cũng khó khăn không kém như ta bắt đầu nghiên cứu và làm quen với ngôn ngữ mới như Visual C++. Sau khi nghiên cứu và hiểu được những yếâu tố cơ bản của OPENGL tôi có nhận xét rằng OPENGL là một ứng dụng để thực hiện các chương trình đồ họa máy tính hấp dẫn và đẹp mắt. Khi đã cài được thì cách sử dụng có phần dễ dàng hơn, chỉ cần tìm hiểu một số các hàm trong thư viện các hàm thành viên của OPENGL là đáp ứng được yêu cầu. Còn mọi việc thực hiện cài đặt theo lý thuyết đồ họa máy tính như các phép biến hình, thiết lập chế độ màn hình, khởi tạo đồ họa, setviewport, tạo các Pallette màu, thiết lập độ sâu hình ảnh, độ phản chiếu hình ảnh, độ tương phản … tất cả do OPENGL hỗ trợ hầu hết. OpenGL được định nghĩa là “giao diện phần mềm cho phần cứng đồ họa ”. Thực chất, OpenGL là một thư viện các hàm đồ họa, được xem là tiêu chuẩn thiết kế công nghiệp cho đồ họa ba chiều. Với giao diện lập trình mạnh mẽ, OpenGL cho phép tạo các ứng dụng 3-D phức tạp với độä tinh vi, chính xác cao, mà người thiết kế không phải đánh vật với các núi công thức tốn học và các mã nguồn phức tạp. Và do OpenGL là tiêu chuẩn công nghiệp, các ứng dụng tạo từ nó dùng được trên các phần cứng và hệ điều hành khác nhau. Nhận xét về OPENGL tôi thấy rằng OPENGL là thư viện đồ họa trên WINDOWS bởi vì ta có thể thấy rằng OPENGL không những thực hiện trên ngôn ngữ Visual C++ mà còn có thể cho phép thực hiện trên cả Visual Basis , Borland C++ 2. GIỚI THIỆU CÁC HÀM CỦA NGÔN NGỮ ĐƯỢC SỬ DỤNG a. Các hàm của lớp CDC (Class Device Context) Trong CDC có rất nhiều hàm thành viên phục vụ cho quá trình kết xuất các hình ảnh ra các thiết bị. Trong phần thực hiện đề tài, tôi xin đưa ra các hàm được sử dụng trong đề tài Vẽ điểm: SetPixel ( int x , int y , int color ); Hàm này thuộc lớp CClientDC trong phần màu sử dụng macro RGB(red,green,blue) Ví du:ï Để vẽ một điểm , ta thực hiện như sau: CClientDC dc( this ); dc.SetPixel (100,100,GRB(0,0,0); Để thể hiện tọa độ một điểm trong hệ trục tọa độ hai chiều, Visual C++ dùng lớp CPoint, đối tượng thuộc lớp này được thể hiện bởi hai thành phần x và y. Ví dụ ta khai báo điểm point như sau: CPoint point point.x=100; point.y=100; Vẽ đường thẳng: Line (int x1, int y1, int x2, int y2); Hàm này thuộc lớp CClientDC Ví dụ: Để vẽ đường thẳng ta thực hiện các bước sau đây CClientDC dc(this); dc.Line(x1,y1,x2,y2); Ngồi ra trong việc vẽ đường thẳng còn có thể sử dụng hai hàm sau: MoveTo(int x, int y); Hàm này dùng để di chuyển con trỏ đến tọa độ x,y trong màn hình. LineTo(int x, int y); Hàm này dùng để vẽ đường thẳng từ điểm hiện hành đến điểm x, y. Cả hai hàm này đều thuộc lớp CClientDC, việc sử dụng như sau: CClientDC dc(this); dc.MoveTo(x,y); dc.LineTo(newx, newy); Vẽ hình chữ nhật: Rectangle(int x1,int y1,int x2,int y2); Hàm này thuộc lớp CclientDC. Dùng để vẽ hình chữ nhật có tọa độ trên góc trên trái là (x1,y1) và tọa độ góc dưới phải là (x2,y2). Cú pháp vẽ hình chữ nhật như sau: CClientDC dc(this); dc.Rectangle(x1, y1, x2, y2); Vẽ hình Ellipse: Ellipse(int x1,int y1,intx2,int y2); Hàm này có các tham tương tự các tham số hình chữ nhật, hàm này cũng thuộc lớp CClientDC. Cú pháp vẽ hình Ellipse như sau: CClientDC dc(this); dc.ellipse(int x1, int y1, intx2, int y2); Hàm loan vùng kín: FloodFill(int x,int y, int color); Hàm này dùng để tô màu vùng được giới hạn bởi một đường biên khép kín. Hàm này thuộc lớp CClientDC có tác dụng tô màu với màu color tô hết vùng có tọa độ (x,y) và một vùng kín bao quanh điểm đó. Cú pháp hàm như sau: CClientDC dc(this); dc.FloodFill(x, y, color); Tạo các đường vẽ: CreatePen(typeline, width, color); Để tạo đường vẽ trong các ứng dụng vẽ ta xét hàm CreatePen của lớp Cpen, hàm này có dạng như sau: Cpen *pPen=new Cpen; pPen->CreatePen(typeline, width, color); Trong đó : · Tham số typeline là kiểu đường vẽ, nó có giá trị được định nghĩa như sau: PS-SOLID Đường thẳng đồng nhất. PS-DASH Đường thẳng gồm các gạch ngang đứt nét. PS-DOT Đường thẳng gồm các nét chấm đứt. PS-DASDOT Đường thẳng gồm các gạch ngang chấm đứt. PS-DASHDOTDOT Đường thẳng gồm các gạch ngang chấm đứt. PS-NULL Đường thẳng vô hiệu lực không vẽ ra. PS-INSIDEFRAME Đường thẳng nằm bên trong đường viền. · Tham số width cho độ rộng của nét vẽ tính bằng pixel. · Tham số color cho màu vẽ b. Các hàm trong bộ thư viện OpenGL OpenGL gồm 5 bộ hàm, bộ hạt nhân có 115 hàm cơ bản. Tên các hàm này bắt đầu bằng GL. Windows NT hỗ trợ 4 chủng loại hàm khác, bao gồm thư viện OpenGL utility(tên hàm bắt đầu bằng GLU), thư viện OpenGL auxiliary(tên hàm bắt đầu bằng AUX), bộ hàm”WGL” (tên hàm bắt đầu bằng WGL), và các hàm WIN32 API (tên hàm không có tiền tố đặc biệt). Bộ hàm hạt nhân cho phép thiết kế các hình dạng khác nhau, tạo các hiệu quả chiếu sáng, kết hợp antialiasing và gán cấu trúc, thực hiện biến đổi ma trận… Do các hàm cơ bản được thể hiện ở nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào loại dữ liệu mà chúng tiếp nhận, nên trên thực tế có hơn 300 nguyên mẫu (prototype) các hàm cơ bản. ó Thư viện OpenGL utility gồm các hàm cao cấp. Các hàm này đơn giản hố việc sử dụng hình ảnh cấu trúc, thực hiện việc biến đổi tọa độ mức cao, hỗ trợ tesselation đa giác, và biểu diễn các đối tượng có cơ sở đa giác như hình cầu, hình trụ hình dĩa. ó Thư viện OpenGl auxiliary gồm các hàm đặc biệt dùng đơn giản hóa các ví dụ lập trình trong sách chỉ dẫn lập trình OpenGL. Các hàm phụ thuộc platform này thực hiện các nhiệm vụ như quản ký cửa sổ, điều khiển xuất/nhập, vẽ các đối tượng 3D nhất định. Do các hàm này có mực đích thiết minh nên không được dùng trong các mã sản xuất. ó Các hàm “WGL”kết nối OpenGL với WINdows NT, cho phép người lập trình xây dựng và chọn lựa các ngữ cảnh biểu diễn, tạo các bitmap font, các hàm này chỉ dùng trên Windows NT. ó Cuối cùng, các hàm Win32 API được dùng giải quyết các định dạng điểm ảnh và tạo bộ đệm đôi. Trong phần này, tôi trình bày một số hàm được sử dụng trong đề tài. Hàm vẽ điểm, đường, đa giác: Được bắt đầu bởi hàm: glBegin (Glenum mode) Để chỉ sự bắt đầu những đỉnh của một primitive, tham số mode chỉ kiểu các primitive. Tham số mode có các giá trị sau: Ÿ GL_POINTS : chỉ đỉnh được sử dụng là điểm. Ÿ GL_LINES : chỉ những đỉnh được dùng để tạo đoạn thẳng. Ÿ GL_LINE_STRIP : chỉ những đỉnh được sử dụng tạo đoạn thẳng nhẵn. Ÿ GL_TRIANGLES : những đỉnh được sử dụng tạo ra những tam giác. Ÿ GL_TRIANGLE_STRIP : những đỉnh được sử dụng tạo ra tam giác có cạnh nhẵn. Ÿ GL_POLYGON : những đỉnh được sử dụng tạo ra đa giác lồi. glEnd ( ) Hàm trên dùng để chấm dứt danh sách các đỉnh mà nó chỉ rõ primitive được khởi tạo bởi hàm glBegin. Ví du: Vẽ đường thẳng từ 2 điểm glBegin(GL_LINES) glVertex3f(0.0f, 0.0f, 0.0f); glVertex3f(50.0f, 50.0f, 50.0f); glEnd( ); Hàm chỉ ra tọa độ của điểm, đường, đa giác: glVertex2f (Glfloat x,Glfloat y) glVertex3f (Glfloat x,Glfloat y,Glfloat z) Hàm biến đổi tọa độ: · glLoadIdentity(); thay thế ma trận hiện hành bởi ma trận đơn vị. · glMultMatrix(); nhân ma trận hiện hành với ma trận được chỉ định. · gl PopMatrix(void); lấy ma trận hiện hành từ stack. · glPushMatrix(void); đẩy ma trận hiện hành vào stack. · glTranslatef (Glfloat x, Glfloat y, Glfloat z); nhân ma trận hiện hành bởi ma trận tịnh tiến. · gl Rotatef(Glfloat Angle, Glfloat x, Glfloat y, Glfloat z); nhân ma trận hiện hành bởi ma trận quay. Các hàm liên quan đến màu: · glColor3f (Glfloat red, Glfloat green, Glfloat blue); đặt màu hiện hành bởi các thành phần red, green, blue với giá trị từ 0,0 đến 1,0. · glClearColor(GLclampf red, GLclamp green, Glclamp blue, Glclamp alpha); đặt màu cho việc xóa buffer màu. · glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); xóa buffer màu, xóa cửa sổ bởi màu xóa hiện hành . Các hàm liên quan đến ánh sáng: · glLightf(Glenum light, Glenum pname, GLfloat param); · glLighti(Glenum light, Glenum pname, GLint param); Trong đó: E Tham số light chỉ ra nguồn sáng có giá trị từ GL_LIGHT0 đến GL_LIGHT7. E Tham số pname chỉ ra tham số light nào được lập như GL_AMBIENT, GL_DIFFUSE… E Tham số param chỉ có ý nghĩa đối với nguồn sáng điểm. Tham số này có các giá trị như: GL_SPOT_EXPONENT, GL_SPOT_CUTOFF… Các hàm liên quan đến thuộc tính ánh sáng của vật liệu: · glColorMaterialf(Glenum face,Glenum pname, GL float param); · glMateriali(Glenum face,Glenum pname, GL int param); · glMaterialfi(Glenum face,Glenum pname, const Glint* params); · glMaterialfi(Glenum face,Glenum pname, const Glint* params); Trong đó: E face: là thuộc tính bề mặt trước ,sau của đa giác. E pname: là thuộc tính của vật liệu: GL_AMBIENT,GL_DIFFUSE,… E param : chỉ định giá trị mà tham số pname được lập. E params: chỉ định dãy số nguyên hay thực chứa các thành phần thuộc tính được lập. · glFrontFace(Glenum mode); xác định bề mặt đa giác là mặt trước hay sau. PHẦN II: NỘI DUNG Trong phần giới thiệu tôi đã trình bày những nội dung sơ lược mang tính tổng quát của đề tài. Phần nội dung tôi trình bày chi tiết hơn theo thứ tự logic các vấn đề từ lý thuyết tốn học đến các thuật tốn chương trình. I. LÝ THUYẾT CƠ SỞ TỐN HỌC Các lý thuyết cơ sở tốn học được sử dụng cho các thuật tốn trong đề tài “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC“ bao gồm: · Hình học giải tích trong mặt phẳng · Hình học giải tích trong không gian. Phần lý thuyết cơ sở tốn học này rất cần thiết cho việc thiết kế chương trình thực hiện việc kiểm tra các quan hệ hình học, không gian vector là cơ sở lý thuyết tốn học tất yếu để xây dựng các cấu trúc đồ họa máy tính. I.1. Giới thiệu về vector: Điểm (point): Mô tả các vị trí của đồ hình và có nhiều cách để diễn đạt. Trong hai chiều biểu diễn bằng cách dùng bộ-2 để cho các tọa độ theo hai trục. Hai dạng thường được áp dụng nhiều đó là dạng Cartesian như (x,y) =(3,4) hay dạng tọa độ cực (R, q)=(2.4,450). Trong khi chúng được định nghĩa một cách đại số theo các thao tác nhất định trên đó, chúng cũng cho phép một diễn dịch hình học theo các điểm, đường, chiều. Vector: Nhìn một cách hình học, vector là một đoạn thẳng mà các điểm đầu và điểm cuối đã được xác định . Vector là một đối tượng có độ dài và chiều tương ứng với một số thực thể vật lý như lực, khoảng cách, và vận tốc. Vector thường được vẽ như một mũi tên có chiều dài chỉ về một hướng. Khi vector được chọn để chỉ định hệ tọa độ, các vector có một hàm số để đưa ra hai hằng số, ba hằng số,... Vì thế, một trong các thể hiện của một vector hai chiều a là một cặp có thứ tựï a=(a, a). Trong chương trình, vector được biểu diễn bằng kiểu dữ liệu: Typedef struct { dx,dy: float; } vector; struct { dx,dy,dz : float; } vector3D x P2 v P4 P3 v P1 y P5 Với hai điểm P1(x1,y1) và P2(x2,y2) ta định nghĩa vector v với các thành phần là vector v =(x2-x1, y2-y1). Đôi khi vector này được ghi là P1P2 và gọi là vector từ P1 đến P2. Bản thân vector không bị buộc vào một vị trí, mặc dù để dễ hình dung thường vẽ chúng xuất phát từ một điểm. Với điểm bất kỳ P = (Px, Py) trong một hệ tọa độ, vector đi từ gốc tọa độ với các tọa độ v=(Px, Py) được gọi là vector vị trí cho P. Vector 3D cũng rất quan trọng trong đồ họa. I.2. Các phép tính vector: Một vector n chiều, với n là số nguyên dương bất kỳ: W=(W1,W2,. . .,Wn) với mỗi thành phần Wi là số vô hướng. Các vector 2 chiều và 3 chiều với n=2, n=3 thì thường gặp nhất trong đồ hoạ Chúng ta không thể thấy được các vector lớn hơn 3 nhưng chúng là những thành phần có giá rị rât lớn. Hai phép tính số học cơ bản trên vector là cộng hai vector và định tỷ lệ một vector. Cộng hai vector Tổng hai vector a,b là vector c được định nghĩa như sau: C = (c, c, …, c) = (a + b, a + b, …, a + b) b a+b a a+b b a Hình b Hình a Hình a: Các thành phần của tổng là tổng các thành phần của các vector tham gia. Hình b: Tổng các vector là đường chéo hình bình hành. Procedure AddVectors( vector a, vector b; vector &c ); { c.dx := a.dx + b.dx; c.dy := a.dy + b.dy; } Định tỷ lệ một vector Việc định tỷ lệ một vector nhằm thay đổi độ dài của hay đảo chiều của nó. sa = (sa, sa, …, sa) Với s là hệ số tỷ lệ và a là vector. Khi s âm, chiều của sa ngược lại với a. Procedure Scalar(real s; vector a; vector &b) { b.d = sa.d ; b.d= sa.d; } Phép trừ hai vector: Trên cơ sở cộng và định tỷ lệ, phép trừ dễ dàng định nghĩa: a-c = a +(-c) với thành phần thứ i là ai-ci. a a-c c -c Trị tuyệt đối (độ dài) của vector Nếu một vector W được thể hiện trong không gian nhiều chiều (W, W, …, W), dựa theo định lý Pithagore ta có công thức sau: Vector có độ dài bằng zero thường được gọi là vector 0. Chương trình con minh họa như sau: Function Length(vector v): Real; · Chuẩn hóa vector -Vector đơn vị Việc định tỷ lệ một vector để kết qủa có độ dài bằng 1 gọi là chuẩn hố một vector, và kết qủa gọi là vector đơn vị. Ví dụ dạng chuẩn hố ua của a như sau: ua = a / | a| và có cùng chiều với a. Biểu thức cho hệ số của vector có thể khai báo trực tiếp như sau: Normalize(vector v, vector &u); Nó có dạng vector đơn vị u do các hệ số mỗi thành phần của v: u.d:= v.d/Length(v); u.d:= v.d/Length(v); Tổ hợp tuyến tính của vector: Để hình thành tổ hợp tuyến tính của hai vector V và W, định tỷ lệ mỗi vector theo các tỷ số a và b rồi cộng kết qủa để thành vector mới av+bw. Tổng quát, tổ hợp tuyến tính của m vector V, V, …, V như sau: W = aV + aV + …+ aV Procedure Combo2D(float a,b vector u,v ,vector &W ); { w.dx:=a*u.dx+b*v.dx; w.dy:=a*u.dy+b*v.dy; } · Tổ hợp lồi của vector Một lớp đặc biệt của tổ hợp tuyến tính có vị trí quan trọng trong tốn học và ứng dụng số học trong đồ họa, đó là:Tổ hợp lồi (convex combination), hay tổ hợp tuyến tính mà các hệ số không âm và tổng bằng 1. Vậy tổ hợp tuyến tính: W = aV + aV + … +aV là tổ hợp lồi nếu tổng =1và a0, và cung “spline” thực ra là tổ hợp lồi của một tập các vector. Tích vô hướng của hai vector: Tích vô hướng của hai vector cho ta thông tin đáng giá về một cặp vector như góc giữa chúng (cụ thể là khi nào chúng vuông góc) và chiếu vector lên vector khác. Nó cũng cho ta phương trình của một mặt phẳng mô tả bằng một điểm và hai vector. Cho hai vector, ví dụ hai chiều (a1,a2) và (b1,b2). Tích vô hướng hai vector định nghĩa là: a.b = a1b1+ a2b2 Một cách tổng quát cho vector n chiều như sau: Cho Vector V= (v, v, …, v) và W=( w, w, …, w), tích vô hướng củahai vector trên là: V. W = với i = 1,… ,n Tích vô hướng của hai vector được thể hiện trong thủ tục sau: Procedure Float Dot (vector a,b) { return Dot = a.